সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন ও সমাধান

সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু বা সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে। সমকোণী ত্রিভুজের প্রদত্ত সূক্ষ্মকোণের বিপরীত যে বাহু থাকে তাকে বিপরীত বাহু বলে। প্রদত্ত সূক্ষ্মকোণ সৃষ্টিকারী রেখাংশকে সন্নিহিত বাহু বলে।

কোণ নির্দেশ করে এমন 6টি গ্রিক বর্ণ হলো:

চিত্র-১  এ অতিভুজ c 

           বিপরীত বাহু a 

            সন্নিহিত বাহু b 

  চিত্র ২ এ অতিভুজ c 

            বিপরীত বাহু b 

             সন্নিহিত বাহু a 

ABC সমকোণী ত্রিভুজে AB = 6 একক, AC = 10 একক

এবং  ∠BAC = $\theta$

          $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}$

বা, $BC=\sqrt{{10}^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$

$\therefore BC = 8$

$\theta$ কোণের সাপেক্ষে সন্নিহিত বাহু = AB=6 একক

এবং বিপরীত বাহু BC = 8 একক।

ABC সমকোণী ত্রিভুজে, AB = 4 AC = 5

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

বা, $B{C}^2=A{C}^2-A{B}^2=5^2-4^2=9$

$\therefore BC = \sqrt{9}= 3$

$\therefore \sin A =$বিপরীত বাহু/অতিভুজ=$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$

এবং $\cos C=$ সন্নিহিত বাহু / অতিভুজ $=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$

প্রদত্ত রাশি$=sinA-cosC=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}=0.$

নির্ণেয় মান 0.

তথ্যগুলো চিত্রে সনাক্ত করা হলো: এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে ∠ABC = এক সমকোণ, অতিভুজ AC = 10 একক, ∠ACB=$\theta$কোণের প্রেক্ষিতে সন্নিহিত বাহু BC = ৪ একক এবং বিপরীত বাহু AB=6 একক।

sin θ = বিপরীত বাহু/ অতিভুজ 

cos θ= সন্নিহিত বাহু / অতিভুজ 

tan θ = বিপরীত বাহু / সন্নিহিত বাহু  , cot θ = সন্নিহিত বাহু/ বিপরীত বাহু 

sec θ = অতিভুজ / সন্নিহিত বাহু এবং cosec θ  = অতিভুজ / বিপরীত বাহু 

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত 6টি। এদের মধ্যে পারস্পারিক সম্পর্ক নিম্নরূপ:

$\sin \theta =\frac{1}{\csc \theta }$অথবা, $\cos ec \theta =\frac{1}{\sin \theta }$

$\cos \theta \frac{1}{sec \theta }$ অথবা , $sec \theta = \frac{1}{\cos \theta }$

$\tan \theta = \frac{1}{cot \theta }$ অথবা, $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

$cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }$ অথবা, $cot \theta \frac{\cos \theta }{\sin \theta }.$

সমকোণী  △ABC হতে পাই,

$sec B = \frac{BC}{AB}= \frac{2}{1} = 2$

এবং $\tan C = \frac{AB}{AC}= \frac{1}{\sqrt{3}}$

প্রদত্ত রাশি  $=\frac{\sec B}{\tan C}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}}$

$=2\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$

নির্ণেয় মান: $2\sqrt{3.}$

দেওয়া আছে, $\tan A =\frac{3}{4}$

বা, ${\tan }^2 A={\left(\frac{3}{4}\right)}^2$ [উভয়পক্ষে বর্গ করে]

বা, $se{c}^{2}A-1=\frac{9}{16}$

বা, $se{c}^{2}A=\frac{9}{16}+1=\frac{9+16}{16}$

বা, $\frac{1}{{\cos }^{2}A}=\frac{25}{16}$

বা, ${\cos }^2 A=\frac{16}{25}$ [ব্যস্তকরণ করে।]

বা, $1-si{n}^2 A=\frac{16}{25}$

বা, $si{n}^{2}A=1-\frac{16}{25}=\frac{25-16}{25}$

বা, $\sin A =\sqrt{\frac{9}{25}}$

$\therefore \sin A =\frac{3}{5}$

নির্ণেয় মান $\frac{3}{5}$.

দেওয়া আছে, $\sin A = \frac{4}{5}$

বা, ${\sin }^2 A=\frac{16}{25}$ [উভয়পক্ষে বর্গ করে]

বা, $1-co{s}^{2}A=\frac{16}{25}$

বা, $co{s}^{2}A=1-\frac{16}{25}=\frac{25-16}{25}=\frac{9}{25}$

বা, $\cos A =\sqrt{\frac{9}{25}}$

$\therefore \cos A =\frac{ 3}{5}$

$\therefore \tan A = \frac{\sin A}{\cos A}= \frac{{\displaystyle \frac{4}{5}}}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}=\frac{ 4}{5}\times \frac{5}{3} =\frac{ 4}{3}$

নির্ণেয় মান: $\frac{4}{3}.$

দেওয়া আছে, tan A = x

বা, $ta{n}^{2}A=x^2$

বা, $se{c}^{2}A-1=x^2$

বা, $se{c}^{2}A=x^2+1$

নির্ণেয় মান: $x^2+1$

দেওয়া আছে, $co{s}^2 \theta -si{n}^2\theta =\frac{5}{6}$

প্রদত্ত রাশি $=co{s}^4\theta -si{n}^4\theta =(co{s}^2\theta {)}^2-(si{n}^2\theta {)}^2$

                 $=(co{s}^2\theta +si{n}^2\theta )(co{s}^2\theta -si{n}^2\theta )$

                   $=1\frac{5}{6}$

                    = $\frac{5}{6}$

নির্ণেয় মান $\frac{5}{6}$

$\cos ec \theta =\frac{5}{3}$

বা, $\frac{1}{\sin \theta }=\frac{5}{3}$

$\therefore \sin \theta =\frac{3}{5}$

আমরা জানি, $co{s}^2 \theta =1-si{n}^2 \theta$

$=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{25-9}{25}=\frac{16}{25}$

$\therefore \cos \theta =\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$

$\therefore sec \theta = \frac{1}{\cos \theta }= \frac{1}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}= 1 \times \frac{5}{4}= \frac{5}{4}$

$cot \theta = \frac{\cos \theta }{\sin \theta } = \frac{{\displaystyle \frac{4}{5}}}{{\displaystyle \frac{4}{5}}}== \frac{4}{3}$

নির্ণেয় মান : $sec \theta =\frac{5}{4}$ এবং $\cot \theta =\frac{4}{3}$

দেওয়া আছে, $\tan B =\frac{5}{12}$

অর্থাৎ, সন্নিহিত বাহু BC = 12

বিপরীত বাহু,. AC = 5

∴ অতিভুজ  $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}$

                            $=\sqrt{5^2+{12}^2}=\sqrt{169}=13$

$\therefore \sin B = \frac{AC}{AB}= \frac{5}{13}$

নির্ণেয় মান: $\frac{5}{13}$

দেওয়া আছে, $\tan A = \frac{3}{4}$

বা, $ta{n}^{2}A={\left(\frac{3}{4}\right)}^2$ [বর্গ করে]                            আবার $\tan A = \frac{3}{4}$

বা, $se{c}^{2}A-1=\frac{9}{16}$                                                     বা, $\frac{\sin A}{\cos A} =\frac{ 3}{4}$

বা, $se{c}^{2}A=1+\frac{9}{16}$                                                       বা, $\sin A =\frac{ 3}{4}\times \cos A$

বা, $se{c}^{2}A=\frac{16+9}{16}=\frac{25}{16}$                                         বা, $\sin A = \frac{3}{4} \times \frac{ 4}{5}= \frac{3}{5}$

বা, $sec A = \sqrt{\frac{25}{16}}$ [বর্গমূল করে]

বা, $sec A = \frac{5}{4}$

বা, $\frac{1}{\cos A}= \frac{5}{4}$

$\therefore \cos A = \frac{4}{5}$

বামপক্ষ = $\sin A. \cos A = \frac{3}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{12}{25}=$ডানপক্ষ

$\therefore \sin A. \cos A=\frac{12}{25}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $sec\theta = 3$

বা, $se{c}^2\theta =3^2$ [বর্গ করে]

বা, $1+ta{n}^2\theta =9$

বা, $ta{n}^2 \theta =9-1=8$

বা, $\tan \theta =\sqrt{ 8}= 2\sqrt{2}$

নির্ণেয় মান : $2\sqrt{2}$

প্রদত্ত রাশি $=cot \theta \sqrt{1-{\cos }^2\theta }$

                   $=cot \theta \sqrt{{\sin }^2\theta }$

                     $= cot \theta . \sin \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }. \sin \theta =\cos \theta$

নির্ণেয় মান : $\cos \theta$.

দেওয়া আছে, $\tan A = \frac{4}{3}$

চিত্রে, $AC=\sqrt{3^2+4^2}$

                  $= \sqrt{9 + 16 }=\sqrt{ 25} = 5$

$\sin A = \frac{BC}{AC}= \frac{4}{5}$

$\cos A = \frac{AB}{AC}=\frac{ 3}{5}$

$cot A =\frac{AB}{BC} = \frac{3}{4}$

$\therefore$কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত হলো: $\sin A = \frac{4}{5}, \cos A =\frac{ 3}{5}, cot A = \frac{3}{4}, secA =\frac{ 5}{3}, cosec A= \frac{5}{4}.$

ABC সমকোণী ত্রিভুজে $\angle B= 90°$

এবং $\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{BC}{AB}$ হওয়ায় $AB = \sqrt{3}$ এবং BC = 1

এখন, $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

বা, $A{C}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+(1{)}^2=3+1=4$

$\therefore AC = 2$

নির্ণেয় মান 2

দেওয়া আছে, $\tan A = \frac{4}{3}$

প্রদত্ত রাশি= $\sqrt{\frac{1-{\sin }^{2}A}{{\sin }^{2}A}}=\sqrt{\frac{{\cos }^{2}A}{{\sin }^{2}A}}$

                  $=\sqrt{co{t}^{2}A}=cotA=\frac{1}{TanA}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{4}{3}}}=1\times \frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

নির্ণেয় মান : $\frac{3}{4}$

এখানে, $\tan \theta =\frac{4}{5}$

অর্থাৎ, লম্ব = 4, ভূমি = 5

সমকোণী $△ ABC$ - পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

বা, $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$

প্রদত্ত রাশি $=\frac{\csc \theta }{cot \theta }=$ $\frac{{\displaystyle \frac{অতিভুজ}{লম্ব}}}{{\displaystyle \frac{ভূমি}{লম্ব}}}$$=\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{41}}{4}}}{{\displaystyle \frac{5}{4}}}$$=\frac{\sqrt{41}}{4}\times \frac{4}{5}=\frac{\sqrt{41}}{5}.$

এখানে, △PMN-এ

$P{M}^2=M{N}^2+N{P}^2$

$=1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2=1+3=4$

$\therefore PM =\sqrt{ 4}= 2$

$\cos P=\frac{NP}{PM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

এখানে, $△ ABC এর \angle B = 90°$

$AB=3; BC=4$

ABC সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই,

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=3^2+4^2$

           $=9+16 =25 =\sqrt{ 25}= 5$

এখন, $\sin C = \frac{AB}{AC}= \frac{3}{5}$

$\therefore \sin C এর মান \frac{3}{5}$

বামপক্ষ $=\sin \theta \sqrt{1+{\tan }^2\theta }$

                $=\sin \theta \sqrt{se{c}^2\theta }$

                 $=\sin \theta , sec \theta$

                  $=\sin \theta \frac{1}{\cos \theta }[\because sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$]

                   $=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\tan \theta$ = ডানপক্ষ

                    $\therefore \sin \theta \sqrt{1+{\tan }^2\theta }=\tan \theta$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\sin \theta + \cos \theta = 1$

                 বা, $(sin\theta +cos\theta {)}^2=1^2$

                  বা, $si{n}^2\theta +2sin\theta .cos\theta +co{s}^2\theta =1$

                   বা, $1 + 2\sin \theta \cos \theta =1$

                    বা, $2\sin \theta \cos \theta = 1 - 1$

                    বা, $\sin \theta \cos \theta =\frac{ 0}{2}=0$

$\therefore 3\sin \theta \cos \theta = 3. 0=0.$

নির্ণেয় মান 0.

দেওয়া আছে , $sec \theta + cog \theta = 2$

বা, $\frac{1}{\cos \theta }+ \cos \theta =2$

বা, $\frac{1+{\cos }^2\theta }{cos\theta }=2$

বা, $1+co{s}^2 \theta =2 cos \theta$

বা, $1+co{s}^2\theta -2cos\theta =0$

বা, ${(1-cos\theta )}^2=0$

বা, $1 - \cos \theta = 0$

$\therefore \cos \theta =1$.

এখানে, $\frac{sec x + \tan x}{sec x- \tan x}= 3$

         বা, $\frac{{\displaystyle \frac{1}{\cos x}} + {\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}}{{\displaystyle \frac{1}{\cos x}}- {\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}} =3$

       বা, $\frac{{\displaystyle \frac{1+\sin x}{\cos x}}}{{\displaystyle \frac{1-\sin x}{\cos x}}}=3$

       বা, $\frac{1 + \sin x}{1 - sin x}=3$

       বা, $\frac{1 + \sin x - 1 + \sin x}{1 + \sin x + 1 - \sin x}= \frac{3 - 1}{3 + 1}$ [বিয়োজন-বিয়োজন করে]

      বা, $\frac{2\sin x}{2} = \frac{2}{4}$

$\therefore \sin x =\frac{ 1}{2}$

দেওয়া আছে, $cosec\theta = \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{AC}{BC}$

                         $\therefore AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}$

                                       $={\left(\sqrt{5}\right)}^2-2^2=\sqrt{5-4}=\sqrt{1}=1$

$\tan \theta =\frac{BC}{AB}=\frac{2}{1}=2$

$\therefore 2\tan \theta = 2 \times 2 = 4$

দেওয়া আছে, $5 \sin A=3$

বা, $\sin A = \frac{3}{5}$

চিত্র হতে, BC = 3 , AC = 5

$\therefore AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}$

               $=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$

                  $\therefore \tan A =\frac{BC}{AB}=\frac{3}{4}$

প্রদত্ত রাশি = $\frac{\tan A}{sec A+ 1}- \frac{sec A-1}{\tan A}$

         $=\frac{{\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}}}{{\displaystyle \frac{\cos A}{{\displaystyle \frac{1}{\cos A}}}}+1}-\frac{{\displaystyle \frac{1}{\cos A}}-1}{{\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}}}=\frac{\sin A}{\cos A + 1}-\frac{1-\cos A}{\sin A}$

          $=\frac{{\sin }^{2}A-1+{\cos }^{2}A}{\sin A \left(\cos A + 1\right)}=\frac{1-1}{\sin A(\cos A+1)}=0$

নির্ণেয় মান: 0

এখানে, $\sin 3B+\cos 3B=1$

বা, $(sin3B+cos3B{)}^2=I^2$

বা, $si{n}^2\left(3B\right)+2sin3Bcos3B+co{s}^{2}3B=1$

বা, $2sin3Bcos3B+si{n}^{2}3B+co{s}^{2}3B=1$

বা, $2\sin 3B \cos 3B + 1 = 1$

বা, $2\sin 3B \cos 3B = 1 - 1 = 0$

$\therefore 2\sin 3B \cos 3B=0$

নির্ণেয় মান : 0

দেওয়া আছে, P = sin A এবং R = tan A

বামপক্ষ=$\frac{1}{p^2}-\frac{1}{R^2}$

           $=\frac{1}{{\sin }^{2}A}-\frac{1}{{\tan }^{2}A}={\left(\frac{1}{\sin A}\right)}^2-{\left(\frac{1}{\tan A}\right)}^2$

             $=\cos ec² A-cot² A$

             $=1=$ ডানপক্ষ

$\therefore \frac{1}{p^2}-\frac{1}{R^2}=1$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $m = \sin \theta$ এবং $n = \cos \theta$

বামপক্ষ$=\sqrt{\frac{1-m}{1+m}}=\sqrt{\frac{1-\sin \theta }{1+ \sin \theta }}=\frac{\sqrt{\left(1-\sin \theta \right)\left(1-\sin \theta \right)}}{\sqrt{\left(1+\sin \theta \right)\left(1-\sin \theta \right)}}$

              $=\frac{\sqrt{{\left(1-\sin \theta \right)}^2}}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}=\frac{1-\sin \theta }{\sqrt{{\cos }^2\theta }}=\frac{1-\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1}{\cos \theta }-\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

              $=sec\theta -\tan \theta =$ডানপক্ষ

$\therefore \sqrt{\frac{1-m}{1+m}}=sec\theta -\tan \theta$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, tan A=$\frac{a}{b}$

প্রদত্ত রাশি $= cot A + \tan A=\frac{1}{\tan A}+\tan A \left[\because cot A = \frac{1}{\tan A}\right]$

                   $=\frac{1}{{\displaystyle \frac{a}{b}}}+\frac{a}{b}=1\times \frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}$

নির্ণেয় মান : $\frac{a^2+b^2}{ab}$

চিত্রে, AOB সমকোণী ত্রিভুজে ∠ABO = এক সমকোণ, ∠AOB = $\theta$, OB = x এবং AB = y

পিথাগোরাসের সূত্র অনুসারে,

$O{A}^2=O{B}^2+A{B}^2$

বা, $O{A}^2=x^2+y^2$

বা, $OA=\sqrt{x^2+y^2}$

এখন,$\sin \angle AOB=\frac{AB}{OA}$

বা, $\sin \theta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

এবং, $\cos \sqrt{AOB}=\frac{OB}{OA}$ বা, $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\therefore {\sin }^2\theta + {\cos }^2 \theta ={\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)}^2+ {\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)}^2$

                                           $=\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2}{x^2+y^2}$

                                            $=\frac{y^2+x^2}{x^2+y^2}=1$

$\therefore si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1$ (প্রমাণিত)

মনে করি, ∠XOA = θ একটি সূক্ষ্মকোণ। OA বাহুতে যেকোনো একটি বিন্দু P নিই। P থেকে OX এর উপর PM লম্ব টানি। ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ POM গঠিত হলো।

চিত্রানুযায়ী, cosec θ = $\frac{OP}{PM}$ এবং $cot \theta =\frac{OM}{PM}$

$\therefore \cos e{c}^2-co{t}^2\theta = {\left(\frac{OP}{PM}\right)}^2-{\left(\frac{OM}{PM}\right)}^2$

$=\frac{O{P}^2}{P{M}^2}-\frac{O{M}^2}{P{M}^2}=\frac{O{P}^2-O{M}^2}{P{M}^2}=\frac{P{M}^2}{M{P}^2}\left[\because O{P}^2=O{M}^2+P{M}^2\right]$

$=1$

$\therefore \cos e{c}^2\theta -co{t}^2\theta =1$ (প্রমাণিত)

এখানে, ABC সমকোণী ত্রিভুজে, ∠ABC=90° এবং ∠ACB = θ

এখানে, $\sin \angle ACB =\frac{AB}{AC}$ বা, $\sin \theta =\frac{AB}{AC}$

$\cos \angle ACB =\frac{BC}{AC}$ বা, $\cos \theta =\frac{BC}{AC}$

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। অর্থাৎ ∆ABC এ

$AB+BC > AC$ বা, $\frac{AB}{AC}+\frac{BC}{AC}>\frac{AC}{AC}$[উভয়পক্ষকে AC দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore \sin \theta + \cos \theta > 1.$ (প্রমাণিত)

বামপক্ষ $=se{c}^2\theta +cose{c}^2 \theta$

   $=\frac{1}{co{s}^2\theta }+\frac{1}{si{n}^2}=\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{co{s}^2\theta si{n}^2\theta }$

$=\frac{1}{\cos ² \theta . \sin ² \theta } [\because \sin ² \theta + \cos ² \theta = 1]$

$=\frac{1}{co{s}^2\theta }.\frac{1}{si{n}^2\theta }=se{c}^2\theta .cose{c}^2\theta$

$\therefore se{c}^2\theta +cose{c}^2\theta =se{c}^2\theta .cose{c}^2\theta$ (দেখানো হলো)

বামপক্ষ$=co{t}^{2}A-co{s}^{2}A$$=\frac{{\cos }^{2}A}{si{n}^{2}A}-co{s}^{2}A=\frac{{\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A.{\cos }^{2}A}{si{n}^{2}A}$

                                    $=\frac{{\cos }^{2}A(1-{\sin }^{2}A)}{{\sin }^{2}A }=\frac{{\cos }^{2}A.{\cos }^{2}A}{si{n}^{2}A}$

$=co{s}^{2}A\frac{{\cos }^{2}A}{si{n}^{2}A}=co{t}^{2}A .co{s}^{2}A=$ডানপক্ষ

$\therefore {\cos }^2- {\cos }^2 A = co{t}^2 A. {\cos }^2 A.$ (দেখানো হলো)    

দেওয়া আছে , $secA - \tan A = \frac{2}{5}$

বা, $(sec A - \tan A)(sec A + \tan A) = \frac{2}{5} (sec A + \tan A)$ [উভয়পক্ষকে (secA + tan A দ্বারা গুণ করে]

বা, $se{c}^2 A-ta{n}^{2}A=\frac{2}{5}\left(sec A+ \tan A\right) [ \because (a+b\left)\right(a-b)=a^2-b^2]$

বা, $1 =\frac{2}{5} \left(sec A + \tan A\right) [ \because se{c}^2 \theta - {\tan }^2 \theta ]$

$\therefore sec A+ \tan A = \frac{5}{2}$

নির্ণেয় মান : $\frac{5}{2}$  

দেওয়া আছে, $secA+ \tan A = \frac{5}{2}$

আমরা জানি , $se{c}^{2}A-ta{n}^{2}A=1$

বা, $(secA + \tan A)\left(sec\right(A) - \tan A) =1$

বা, $\frac{5}{2} (secA - \tan A) =1$

বা , $sec A- \tan A=\frac{1}{{\displaystyle \frac{5}{2}}}$

$\therefore sec A - \tan A = 1\times \frac{2}{5}=\frac{2}{5}.$

দেওয়া আছে, $sec\theta + \tan \theta = \frac{7}{2}$

আমরা জানি, $se{c}^2\theta -ta{n}^2\theta =1$

বা, $\left(sec\theta + \tan \theta \right) (sec\theta - \tan \theta ) = 1$

বা, $\frac{7}{2}\times \left(sec \theta - \tan \theta \right)=1$ [মান বসিয়ে]

বা, $-\left(\tan \theta -sec\theta \right)=1\times \frac{2}{7}$

$\therefore \tan \theta - sec\theta = - \frac{2}{7}$

নির্ণেয় মান : $-\frac{2}{7}$

দেওয়া আছে, $\cos ec A-cot A =\frac{4}{3}$

আমরা জানি, $\cos e{c}^{2}A-co{t}^{2}A.=1$

বা, $( cosec A +cot A )$ $(\cos ec A-cot A)$ = 1

বা, $(cosec A+ cot A) \times \frac{4}{3}=1$

$\therefore cosec A+ cot A = \frac{3}{4}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\cos ec \theta + cot \theta =\frac{3}{4}$

আমরা জানি, $cose{c}^2\theta -co{t}^2\theta =1$

বা, $(cosec\theta + cot \theta )(cosec\theta - cot\theta ) =1$

বা, $\frac{3}{4} (cosec\theta - cot\theta ) =1$

বা, $\cos e\theta -cot\theta =1\times \frac{4}{3}$

বা, $- (cot \theta - cosec \theta ) = \frac{4}{3}$

$\therefore cot \theta - cosec\theta = -\frac{ 4}{3}$

নির্ণেয় মান: $-\frac{4}{3}$

$sec\theta = \frac{3}{2\sqrt{2}}$

বা, $se{c}^2\theta ={\left(\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)}^2$ [বর্গ করে।]

বা, $se{c}^2\theta =\frac{9}{8}$

বা, $ta{n}^2\theta =\frac{9}{8}-1=\frac{9-8}{8}=\frac{1}{8}$

বা, $\frac{1}{ta{n}^2\theta }=8$

বা, $cot² \theta = 8$

বা, $cot \theta = \sqrt{8}$

$\therefore cot \theta = 2\sqrt{2}$

নির্ণেয় মান : $2\sqrt{2}$