একটি বস্তুর উপর $\left(5\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}\right)$ N বল প্রয়োগ করায় 7 sec সময় পর বেগ $\left(3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}\right)$ ms^-1 হলে বস্তুটির ক্ষমতা কত?

কোনো বস্তুর উপর বল প্রয়োগের ফলে বস্তুটি গতিশীল হলে, বল এবং বস্তুর বেগের ভেক্টর গুণফল (ডট গুণফল) দ্বারা ক্ষমতা (Power) নির্ণয় করা হয়। একে তাৎক্ষণিক ক্ষমতা (Instantaneous Power) বলে।

ক্ষমতার সূত্র: \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\)

এখানে,

প্রযুক্ত বল, \(\vec{F} = \left(5\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}\right)\) N

বস্তুটির বেগ, \(\vec{v} = \left(3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}\right)\) ms^-1

আমরা জানি, দুটি ভেক্টর \(\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k}\) এবং \(\vec{B} = B_x\hat{i} + B_y\hat{j} + B_z\hat{k}\) এর ডট গুণফল হলো \(\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z\)।

সুতরাং, বস্তুটির ক্ষমতা হবে:

\(P = \left(5\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}\right) \cdot \left(3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}\right)\)

\(P = (5)(3) + (-3)(-2) + (-2)(-1)\)

\(P = 15 + 6 + 2\)

\(P = 23\)

সুতরাং, বস্তুটির ক্ষমতা 23 W।

এখানে উল্লিখিত '7 sec' সময় তাৎক্ষণিক ক্ষমতা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সরাসরি ব্যবহৃত হয় না, কারণ ক্ষমতা নির্ণয়ের জন্য বল ও সেই মুহূর্তের বেগের মান জানা প্রয়োজন।