ন্যূনতম কতটি আমকে ৪, ৬, ১০ বা ২০ জন বালকের মধ্যে ভাগ করে দেয়া যায়?

এই ধরণের প্রশ্নে, যখন একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক জিনিসকে একাধিক সংখ্যা দিয়ে সমানভাবে ভাগ করার কথা বলা হয়, তখন আমাদের সেই সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. (লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা Least Common Multiple - LCM) নির্ণয় করতে হয়। ল.সা.গু. হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা প্রদত্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য।

এখানে প্রদত্ত সংখ্যাগুলো হলো: ৪, ৬, ১০ এবং ২০।

১. ল.সা.গু. নির্ণয় (মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতি):

    
• \(৪ = ২ \times ২ = ২^২\)
    
• \(৬ = ২ \times ৩\)
    
• \(১০ = ২ \times ৫\)
    
• \(২০ = ২ \times ২ \times ৫ = ২^২ \times ৫\)

ল.সা.গু. (LCM) নির্ণয়ের জন্য, আমরা প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত (highest power) নেব:

    
• ২ এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো \(২^২\)
    
• ৩ এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো \(৩^১\)
    
• ৫ এর সর্বোচ্চ ঘাত হলো \(৫^১\)

সুতরাং, ল.সা.গু. = \(২^২ \times ৩ \times ৫ = ৪ \times ৩ \times ৫ = ৬০\)

২. ল.সা.গু. নির্ণয় (ভাগ পদ্ধতি):

    ২ | ৪, ৬, ১০, ২০
    ---
    ২ | ২, ৩, ৫, ১০
    ---
    ৩ | ১, ৩, ৫, ৫
    ---
    ৫ | ১, ১, ৫, ৫
    ---
      | ১, ১, ১, ১

ল.সা.গু. = \(২ \times ২ \times ৩ \times ৫ = ৬০\)

সুতরাং, ন্যূনতম ৬০টি আম ৪, ৬, ১০ বা ২০ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যায়।

কিন্তু প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ৬০ নেই। এক্ষেত্রে, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাটি এই ৪, ৬, ১০ এবং ২০ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য এবং সবচেয়ে ছোট, সেটিই উত্তর হবে। এটি সাধারণত ল.সা.গু. এর একটি গুণিতক (multiple) হয়ে থাকে।

আমরা এখন অপশনগুলো পরীক্ষা করব:

    
• অপশন ১: ১৫০
          ১৫০ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (\(১৫০ \div ৪ = ৩৭.৫\))। সুতরাং, ১৫০ উত্তর নয়।     
    
• অপশন ২: ১৯০
          ১৯০ কে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (\(১৯০ \div ৪ = ৪৭.৫\))। সুতরাং, ১৯০ উত্তর নয়।     
    
• অপশন ৩: ২০০
          ২০০ কে ৪ দ্বারা ভাগ করা যায় (\(২০০ \div ৪ = ৫০\))।
          কিন্তু, ২০০ কে ৬ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (\(২০০ \div ৬ = ৩৩.৩৩...\))। সুতরাং, ২০০ উত্তর নয়।     
    
• অপশন ৪: ২৪০
          ২৪০ কে ৪ দ্বারা ভাগ করা যায় (\(২৪০ \div ৪ = ৬০\))।
          ২৪০ কে ৬ দ্বারা ভাগ করা যায় (\(২৪০ \div ৬ = ৪০\))।
          ২৪০ কে ১০ দ্বারা ভাগ করা যায় (\(২৪০ \div ১০ = ২৪\))।
          ২৪০ কে ২০ দ্বারা ভাগ করা যায় (\(২৪০ \div ২০ = ১২\))।
          ২৪০ সংখ্যাটি ৪, ৬, ১০ এবং ২০ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য।     

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, ২৪০ হলো ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা ৪, ৬, ১০ এবং ২০ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য। এটি ৬০ এর একটি গুণিতকও (\(৬০ \times ৪ = ২৪০\))।

যদি প্রশ্নে ল.সা.গু. সরাসরি অপশনে না থাকে, তাহলে অপশনগুলো থেকে সরাসরি পরীক্ষা করে দেখা যেতে পারে যে কোন সংখ্যাটি প্রদত্ত সব সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য। যে সংখ্যাটি বিভাজ্য হবে এবং অপশনগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট হবে, সেটিই সঠিক উত্তর।

এখানে, আমরা দেখলাম যে শুধুমাত্র ২৪০ সংখ্যাটি ৪, ৬, ১০ এবং ২০ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য এবং এটি প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ন্যূনতম।