দ্বিতীয় অংশ 

দমিয়ামান (damping) বল কী? m ভর বিশিষ্ট একটি কণা কোনো সরলরেখায় mn² (দূরত্ব) বলের অধীনে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু অভিমুখে চলমান এবং $m\mu$(বেগ) এর সমান একটি ক্ষুদ্র বাধার দ্বারা এর গতি বাধাপ্রাপ্ত হয়। দোলনকাল, বিস্তার এবং দমিত দোলন গতি নির্ণয় করুন। 

ডি' এলেমবার্টের নীতি বর্ণনা করুন। একটি সুষম দন্ড OA যার ভর এবং দৈর্ঘ্য 2a, ইহার প্রান্ত O এর প্রেক্ষিতে এবং OZ খাড়া রেখার চারদিকে w সমকৌণিক বেগ এবং ধ্রুবক কোণে ঘুরছে; a এর মান নির্ণয় করুন।  

একটি কথার উপর কেন্দ্রীয় বল $\frac{Q}{r^2}$ ক্রিয়াশীল যেখানে Q শুধুমাত্র 0 এর ফাংশন। প্রমাণ করুন যে, যদি $Q=\mu {\left(\cos 2\theta \right)}^{-\frac{3}{2}}$ হয়, তবে সম্ভাব্য গতিপথটি একটি কণিক হবে যা দুটি সরলরেখাকে স্পর্শ করে। 

হালোনোমিক বাধা বলের ক্ষেত্রে এবং রক্ষণশীল পদ্ধতিতে ল্যাজিয়ান (Lagrangian) সমীকরণ নির্ণয় করুন। 

অপ্রকৃত কাজের নীতিটি লিখুন। প্রতিটি দৈর্ঘ্য ৪, এবং ওজন ৮ এমন চারটি সুষম দণ্ডকে যুক্তভাবে জোড় দিয়ে সৃষ্ট রন্ধসের ক্ষুদ্রাকার কর্ণটির একটি ও তারের দৈর্ঘ্য দ্বারা গঠিত। যদি দন্ডের একটি অনুভূমিক রাখা হয়, তবে প্রমাণ করুন যে, তারের টান হবে $\frac{2w\left(2b^2-a^2\right)}{b\sqrt{4b^2}-a^2}$

Differential সমীকরণের order এবং degree বলতে স্ত্রী বুঝা যায় বর্ণনা করুন। নিম্নলিখিত linear differential equation with constant co-efficient সমীকরণগুলো সমাধান করুন।

$$\begin{gathered} i. \frac{d^{3}y}{d{x}^3}-3\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+4\frac{dy}{dx}-2y=e^x+\cos r. \\ ii. \left(D^3+2D^2+D\right)y = e^{2x}+x^2+x. \\ iii. \frac{d^{2}y}{d{x}^2}-4\frac{dy}{dx}+4y=3x^2{e}^{2x}\sin 2x. \end{gathered}$$

১৭ 

১৮ 

$w=f\left(z\right)$ ফাংশনটির রিজিয়ন R এর মধ্যে এনালিটিক হওয়ার পর্যাপ্ত শর্তগুলো বর্ণনা করুন এবং প্রমাণ করুন।

রেসিডিও ব্যবহার করে ইন্টিগ্র্যাল ${\int }_0^{\infty }\frac{x^{2}dx}{x^6+1}$ এর মান বের করুন।