যোজিত ফল নির্ণয় কর: $\int \sqrt{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\mathrm{dx}$

I অভেদক ম্যাট্রিক্স হলে B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর- $\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 1\end{array}\right]\mathrm{B}=\mathrm{I}\mathrm{;}\mathrm{I}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

প্রমাণ কর : $co{t}^{-1}\frac{5}{3}+si{n}^{-1}\frac{3}{5}=ta{n}^{-1}\frac{27}{11}$

(-1, -4), (5, 0) এবং ( 11, 4 ) বিন্দু তিনটি কোন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু কিনা তা যাচাই কর।

${\mathrm{y}}^2=9\mathrm{x}$ পরাবৃত্তের উপরিস্থিত P বিন্দুর কোটি 12 হলে ঐ বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব নির্ণয় কর।

একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যার উপকেন্দ্র দুটি (0, 4) ও (0,-4) এবং ( 3,0) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

P ও Q মানের দুটি সমমুখী সমান্তরাল বলের লব্ধি O বিন্দুতে ক্রিয়া করে। P কে R পরিমাণ এবং Q কে S পরিমাণ বৃদ্ধি করলেও লব্ধি O বিন্দুতে ক্রিয়া করে। আবার P ও Q কে যথাক্রমে Q ও R দ্বারা পরিবর্তন করলেও লব্ধি একই বিন্দুতে কাজ করে । দেখাও যে, $\mathrm{S}=\mathrm{R}-\frac{{\left(\mathrm{Q}-\mathrm{R}\right)}^2}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}$ ।

যদি $\sqrt[3]{\mathrm{a}+\mathrm{ib}}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}$, হয় তবে দেখাও যে, $\sqrt[3]{\mathrm{a}-\mathrm{ib}}=\mathrm{x}-\mathrm{iy}$

‘ENGINEERING' শব্দটির সবকটি বর্ণকে কত বিভিন্ন রকমে সাজানো যায় তা নির্ণয় কর। তাদের কতগুলোতে E তিনটি একত্রে স্থান দখল করবে এবং কতগুলোতে এরা প্রথম স্থান দখল করবে?

n- তম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় কর:

$\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3^2}+\frac{7}{3^2.4^4}+......$

$2{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{y}}^2-3\mathrm{x}-4\mathrm{y}+1=0$ এবং $16{\mathrm{x}}^2+16{\mathrm{y}}^2-32\mathrm{y}-1=0$ দুটি বৃত্ত। দেখাও যে, তাদের প্রতিটির কেন্দ্র অপরটির পরিধির উপর অবস্থিত।

দেখাও যে, $\overrightarrow{\mathrm{A}}=8\widehat{\mathrm{i}}+\widehat{\mathrm{j}}-6\widehat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{B}}=4\widehat{\mathrm{i}}-2\widehat{\mathrm{j}}+5\widehat{\mathrm{k}}$ ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।

10 কেজি ওজনের একটি বস্তুকে অনুভূমিক দিকে কার্যরত 5 কেজি ওজনের একটি বল, অনুভূমিকের সঙ্গে 60° কোণে ক্রিয়ারত F বল এবং F এর উপর লম্বভাবে কার্যরত R বল সাম্যাবস্থায় রেখেছে। প্রমাণ কর যে,

$\mathrm{F}-\sqrt{3\mathrm{R}}+10=0$ এবং $\sqrt{3}\mathrm{F}+\mathrm{R}-20=0$