সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=26$

বা, $\sqrt{3}{a}^2=26\times 4$

বা, $\sqrt{3}{a}^2=104$

বা, $a^2=\frac{104}{\sqrt{3}}$

বা, $a^2=60.04$

বা, $\sqrt{a^2}=\sqrt{60.04}$

∴ a = 7.75

∴ প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য=7.75 মিটার। Ans.

ধরি,

প্রস্থ = a, দৈর্ঘ্য = 2a

$2a \times a = 128$

বা, 2a² = 128

বা, $a^2=\frac{128}{2}$

বা, a² = 64

a = 8

প্রস্থ = 8 দৈর্ঘ্য = 16

∴ পরিসীমা = 2 (8+16)

$= 2\times 24$

= 48 মিটার। Ans.

বর্গক্ষেত্রের এক বাহু =50$÷$4=12.5 ফুট

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল= (দৈর্ঘ্য)²=(12.5)²

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 156.25 বর্গ ফুট Ans

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য $= ২১ + (২ \times ২) = ২১ + ৪ = ২$৫ মিটার ।

রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ $= ১৫ + (২ \times ২) = ১৫ + ৪ = ১৯$ মিটার ।

রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল $= ২৫ \times ১৯ = ৪৭৫$ বর্গমিটার ।

শুধু বাগানের ক্ষেত্রফল $= ২১ \times ১৫ = ৩১৫$ বর্গমিটার।

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৪৭৫ - ৩১৫ = ১৬০ বর্গমিটার।

অতএব, মোট খরচ হবে $= ১৬০ \times ২.৭৫ = ৪৪০$ টাকা।

দেওয়া আছে, $a+\frac{1}{a}=2$

এখন, L.H.S= $a^2+\frac{1}{a^2}$

=${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2-2a.\frac{1}{a}$

=${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2-2$

মান বসিয়ে পাই,

=(2)²−2

=4−2

=2

আবার,

R.H.S= $a^4+\frac{1}{a^4}$

=${\left(a^2\right)}^2+{\left(\frac{1}{a^2}\right)}^2$

=${\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)}^{2}2-2a^2.\frac{1}{a^2}$

=${\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)}^{2}2-2$

মান বসিয়ে পাই ,

=(2)²−2

=4−2

=2

অতএব, $a^2+\frac{1}{a^2}=a^4+\frac{1}{a^4}$ (প্রমাণিত)

ধরি, মিনারটির উচ্চতা = x মিটার

tan 30⁰ = AB/BC

1/√3 = x/20

x = 20/√3

মিনারটির উচ্চতা = 20/√3 মিটার।

ভূমি জরিপ ৪ প্রকার যথা ভূ সংস্থানিক, কিস্তোয়ার, নগর, প্রকৌশল। 

থিওডোলাইট : 

থিওডোলাইট হল মনোনীত দৃশ্যমান বিন্দুগুলোর মধ্যবর্তী কোণ অনুভূমিক এবং উল্লম্ব তল বরাবর পরিমাপের জন্য একটি নির্ভুল আলোক যন্ত্র। প্রচলিতভাবে ভূমি জরিপের জন্য ব্যবহৃত হলেও বিল্ডিং এবং অবকাঠামো নির্মাণেও এটি ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় এবং আবহাওয়া এবং রকেট লঞ্চের মত বিশেষায়িত প্রয়োগগুলোতেও এটি ব্যবহৃত হয়।

মৌজা = মৌজা হচ্ছে রাজস্ব আদায়ের সর্বনিম্ন একক-এলাকা। এটি ভূমি জরিপের একটি ভৌগলিক ইউনিট।

জেএল নম্বর = জেএল নম্বর (Jurisdiction List Number) থানা বা উপজেলাধীন প্রত্যেকটি মৌজাকে পর্যায়ক্রমে ক্রমিক নম্বর দ্বারা চিন্থিত করা হয়। মৌজার এ নম্বরকে জেএল নম্বর বলে।

খতিয়ান =  মূলত জমির মালিকানা স্বত্ব রক্ষা ও রাজস্ব আদায়ের জন্য জরিপ বিভাগ কর্তৃক প্রতিটি মৌজার জমির এক বা একাধিক মালিকের নাম, পিতা বা স্বামীর নাম, ঠিকানা, দাগ নম্বর, ভূমির পরিমাণ, হিস্যা (অংশ), খাজনা ইত্যাদি বিবরণসহ যে ভূমি স্বত্ব প্রস্তুত করা হয় তাকে খতিয়ান বলে।

পর্চা = কোন জরিপ যখন সম্পন্ন হয় তখন চূড়ান্ত রেকর্ড প্রকাশিত হওয়ার পর মালিকানার বিবরণ সম্বলিত বিবরণী হল খতিয়ান। কিন্তু জরিপের প্রাথমিক পর্যায়ে জমির মালিককে যে খসড়া মালিকানার বিবরণী দেয়া হয় তাকে পর্চা বলে।

তফসিল = তফসিল অর্থ জমির পরিচিতিমূলক বিস্তারিত বিবরণ।

কোন মৌজার নকশা সম্পূর্ণ নতুন করে প্রস্তুত করতে মৌজায় যে কাঠামো স্থাপন করা হয় সেটাই ট্রাভার্স। ট্রাভার্স অংকন পদ্ধতিগুলো ওপেন ট্রাভার্সিং, বন্ধ ট্রাভার্সিং, চেইন ট্রাভার্সিং, কম্পাস ট্র্যাভার্সিং, থিওডোলাইট ট্রাভার্সিং, প্লেন টেবিল ট্রাভার্সিং।

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য $= ২১ + (২ \times ২) = ২১ + ৪ = ২$৫ মিটার ।

রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ $= ১৫ + (২ \times ২) = ১৫ + ৪ = ১৯$ মিটার ।

রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল $= ২৫ \times ১৯ = ৪৭৫$ বর্গমিটার ।

শুধু বাগানের ক্ষেত্রফল $= ২১ \times ১৫ = ৩১৫$ বর্গমিটার।

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৪৭৫ - ৩১৫ = ১৬০ বর্গমিটার।

অতএব, মোট খরচ হবে $= ১৬০ \times ২.৭৫ = ৪৪০$ টাকা।

দেওয়া আছে, $a+\frac{1}{a}=2$

এখন, L.H.S= $a^2+\frac{1}{a^2}$

=${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2-2a.\frac{1}{a}$

=${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2-2$

মান বসিয়ে পাই,

=(2)²−2

=4−2

=2

আবার,

R.H.S= $a^4+\frac{1}{a^4}$

=${\left(a^2\right)}^2+{\left(\frac{1}{a^2}\right)}^2$

=${\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)}^{2}2-2a^2.\frac{1}{a^2}$

=${\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)}^{2}2-2$

মান বসিয়ে পাই ,

=(2)²−2

=4−2

=2

অতএব, $a^2+\frac{1}{a^2}=a^4+\frac{1}{a^4}$ (প্রমাণিত)

মনে করি, গাছের উচ্চতা AB = h মিটার। পাদবিদ্ B থেকে 20 মিটার দূরের অপর একটি বিন্দ C. তাহলে BC = 20 মি.। C কিন্দতে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ ∠ACB = 30°.

এখন, ∆ABC-এ

$\tan 30° =\frac{AB}{BC}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{20}$

∴ h = 11.55

∴  মিনারটির উচ্চতা $\frac{20}{\sqrt{3}}$ অথবা 11.55 মিটার।

উত্তর: 11.55 মিটার।

৫ জন শ্রমিক ৮ হেক্টর জমির পাট কাটে ৪ দিনে

১ জন শ্রমিক ৮ হেক্টর জমির পাট কাটে ৪$\times$৫ দিনে

১ জন শ্রমিক ১ হেক্টর জমির পাট কাটে $\frac{8 \times ৫}{৮}$ দিনে

২৫জন শ্রমিক ১ হেক্টর জমির পাট কাটে $\frac{8 \times ৫}{৮\times ২৫}$ দিনে

২৫জন শ্রমিক৭০ হেক্টর জমির পাট কাটে $\frac{8 \times ৫\times ৭০}{৮\times ২৫}$ দিনে

= ৭ দিন Ans:

দেওয়া আছে

a = 2

$2a^3+5a^2+6a+9$

$=2(2{)}^3+5(2{)}^2+6.2+9$

= 2.8 + 5.4 + 12 + 9

= 16 + 20 + 12 + 9

= 57 Ans :

মনে করি, ১০টি কলমের ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
সুতরাং ১ " ' ' $\frac{১০০}{১০}$ বা ১০ টাকা
আবার ৮ টি কলমের বিক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
সুতরাং ১ " " " $\frac{১০০}{৮}$ বা $\frac{২৫}{২}$ টাকা
লাভ = $(\frac{২৫}{২}-১০)$
= $\frac{২৫-২০}{২}=\frac{৫}{২}$ টাকা
১০ টাকায় লাভ হয় $\frac{৫}{২}$ টাকা
সুতরাং ১ টাকায় লাভ হয় $\frac{৫}{২\times ১০}$ টাকা
সুতরাং ১০০ টাকায় লাভ হয় $\frac{৫\times ১০০}{২\times ১০}$ = ২৫%।

$a^3-9b^3+(a+b{)}^3$

$=a^3-b^3+(a+b{)}^3-8b^3$

$=a^3-b^3+(a+b{)}^3-(2b{)}^3$

$=(a-b)(a^2+ab+b^2)+(a+b-2b) \left\{(a+b{)}^2+(a+b)2b+(2b{)}^2\right\}$

$=(a-b)(a^2+ab+b^2)+(a-b)(a^2+2ab+b^2+2ab+2b^2+4b^2)$

$=(a-b)(a^2+ab+b^2)+(a-b)(a^2+4ab+7b^2)$

$=(a-b)(a^2+ab+b^2+a^2+4ab+7b^2)$

$=(a-b)(2a^2+5ab+8b^2)$