পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে, তাদের যোগফল কত হবে?

ধরা যাক, পরপর তিনটি সংখ্যা হলো \(n-1\), \(n\) এবং \(n+1\)।

প্রশ্নানুসারে, এই তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০।

\((n-1) \times n \times (n+1) = 120\)

আমরা উৎপাদকের বিশ্লেষণ পদ্ধতি বা অনুমান পদ্ধতি (Trial and Error) ব্যবহার করে সংখ্যাগুলো নির্ণয় করতে পারি।

১. অনুমান পদ্ধতি (Trial and Error):

আমরা পরপর কয়েকটি ছোট পূর্ণসংখ্যা দিয়ে পরীক্ষা করতে পারি:

    
• \(1 \times 2 \times 3 = 6\) (অনেক ছোট)
    
• \(2 \times 3 \times 4 = 24\) (ছোট)
    
• \(3 \times 4 \times 5 = 60\) (কাছাকাছি)
    
• \(4 \times 5 \times 6 = 120\) (সঠিক!)

সুতরাং, সংখ্যা তিনটি হলো ৪, ৫ এবং ৬।

২. উৎপাদকের বিশ্লেষণ পদ্ধতি (Prime Factorization):

১২০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো নির্ণয় করি:

\(120 = 2 \times 60\)

\(= 2 \times 2 \times 30\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 15\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5\)

এই উৎপাদকগুলোকে পরপর তিনটি পূর্ণসংখ্যায় সাজিয়ে পাই:

    
• \((2 \times 2) = 4\)
    
• \(5\)
    
• \((2 \times 3) = 6\)

সুতরাং, সংখ্যা তিনটি হলো ৪, ৫ এবং ৬।

এখন, এই সংখ্যা তিনটির যোগফল নির্ণয় করি:

\(4 + 5 + 6 = 15\)

অতএব, সংখ্যা তিনটির যোগফল হবে ১৫।

পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল দেওয়া থাকলে, মাঝের সংখ্যাটি সাধারণত গুণফলের ঘনমূলের (cube root) কাছাকাছি হয়।

এখানে গুণফল ১২০।

১২০ এর ঘনমূল \(\sqrt[3]{120}\) নির্ণয় করার চেষ্টা করি:

    
• \(4^3 = 64\)
    
• \(5^3 = 125\)

দেখা যাচ্ছে, ১২০ এর ঘনমূল ৫ এর খুব কাছাকাছি, ৫ এর থেকে সামান্য কম। সুতরাং, মাঝের সংখ্যাটি ৫ হওয়ার সম্ভাবনা বেশি।

যদি মাঝের সংখ্যাটি \(n = 5\) হয়, তাহলে পরপর তিনটি সংখ্যা হবে \((n-1), n, (n+1)\) অর্থাৎ, \(4, 5, 6\)।

এই সংখ্যা তিনটির গুণফল \(4 \times 5 \times 6 = 120\), যা প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে।

এখন, সংখ্যা তিনটির যোগফল হলো \(4 + 5 + 6 = 15\)।