Written এ La Hospital rule  প্রয়োগ করা যাবে না।

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-cosx}{x}$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2si{n}^2\frac{x}{2}}{x}$

$=\underset{x\to 0}{\lim }2{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)}^2\times \frac{1}{4}\times x$

$=0 \left[\mathrm{Proved}\right]$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos 7x-cos 9x}{\cos 3x-cos 5x}$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2 sin8x sinx}{2 sin4x sinx}$

$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4 sin4x cos4x}{2 sin4x}$

$=2 \left(Ans\right)$

ধরি, ${\sin }^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{z}$

$\therefore \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}=\mathrm{dz}$

$\mathrm{x}=1$ হলে $\mathrm{z}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

$\mathrm{x}=0$ হলে $\mathrm{z}=0$

এখন, ${\int }_0^1\frac{{\sin }^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}dx$

$={\int }_0^{\pi /2}zdz={\left[\frac{z^2}{2}\right]}^{\pi /2}=\left(\frac{{\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2}{2}-\frac{0}{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{8}$ $\left(\mathrm{Ans}\right)$

ধরি, $\left(1+cos\mathrm{x}\right)=\mathrm{z}$

$\Rightarrow sin\mathrm{x} \mathrm{dx}=\mathrm{dz}\left(-1\right)$

যখন, $\mathrm{x}=0, \mathrm{z}=2$ এবং যখন, $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}, \mathrm{z}=1$

এখন, ${\int }_2^1{\mathrm{z}}^2\left(-\mathrm{dz}\right)=-{\left[\frac{{\mathrm{z}}^3}{3}\right]}_2^1=\frac{7}{3} \left(\mathrm{Ans}\right)$

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& \mathrm{P}& {\mathrm{P}}^2\\ 1& {\mathrm{P}}^2& {\mathrm{P}}^4\end{array}\right|$

$=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1-\mathrm{P}& \mathrm{P}\left(1-\mathrm{P}\right)& {\mathrm{P}}^2\\ 1-{\mathrm{P}}^2& {\mathrm{P}}^2\left(1-{\mathrm{P}}^2\right)& {\mathrm{P}}^4\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{{\mathrm{c}}^{\text{'}}}_1={\mathrm{c}}_1-{\mathrm{c}}_2\\ {{\mathrm{c}}^{\text{'}}}_2={\mathrm{c}}_2-{\mathrm{c}}_3\end{array}\right)$

$={\left(1-\mathrm{P}\right)}^2\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& \mathrm{P}& {\mathrm{P}}^2\\ 1+\mathrm{P}& {\mathrm{P}}^2\left(1+\mathrm{P}\right)& {\mathrm{P}}^4\end{array}\right]$

$={\left(1-\mathrm{P}\right)}^2\left\{{\mathrm{P}}^2\left(1+\mathrm{P}\right)-\mathrm{P}\left(1+\mathrm{P}\right)\right\}$(১ম সারি বরাবর বিস্তার করে)

$={\left(1-\mathrm{P}\right)}^2\mathrm{P}\left(1+\mathrm{P}\right)\left(\mathrm{P}-1\right)$

$=\mathrm{P}{\left(1-\mathrm{P}\right)}^2\left({\mathrm{P}}^2-1\right) \left(\mathrm{Ans}.\right)$

${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 \therefore \mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$ এবং $\mathrm{\alpha }\mathrm{\beta }=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$

এখন, $\mathrm{\alpha }+\mathrm{\beta }=\frac{-\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{;}\left(\mathrm{a}\mathrm{\alpha }+\mathrm{b}\right)=-\mathrm{a}\mathrm{\beta }$

$\Rightarrow {\left(\mathrm{a}\mathrm{\alpha }+\mathrm{b}\right)}^{-2}={\left(\mathrm{a}\mathrm{\beta }\right)}^{-2}.....\left(\mathrm{i}\right)$

আবার, ${\left(\mathrm{a}\mathrm{\beta }+\mathrm{b}\right)}^{-2}+{\left(a\alpha \right)}^{-2}.....\left(ii\right)$

$\mathrm{L}.\mathrm{S}={\left(\mathrm{a}\mathrm{\beta }+\mathrm{b}\right)}^{-2}+{\left(\mathrm{a}\mathrm{\beta }+\mathrm{b}\right)}^{-2}$

$=\frac{1}{{\left(a\beta \right)}^2}+\frac{1}{{\left(a\alpha \right)}^2} \Rightarrow \frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{a^2{\left(\alpha \beta \right)}^2}=\frac{{\left(\alpha +\beta \right)}^2-2\alpha \beta }{a^2{\left(\alpha \beta \right)}^2}$

$=\frac{{\left(\frac{-b}{a}\right)}^2-2\frac{c}{a}}{a^2{\left(\frac{c}{a}\right)}^2}=\frac{b^2-2ca}{a^2{c}^2}=\mathrm{R}.\mathrm{S}\left(\mathrm{Proved}\right)$

উক্ত রেখাদ্বয় সমাধান করে পাই, $\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(-\frac{17}{28},\frac{31}{28}\right)$

$\mathrm{m}=\pm tan{45}^{\circ }=\pm 1$

$\therefore$ সরলরেখা, $\left(\mathrm{y}-\frac{31}{28}\right)=\pm 1\left(\mathrm{x}+\frac{17}{28}\right)$

$\Rightarrow 28\mathrm{x}-28\mathrm{y}+48=0$

এবং $2\mathrm{x}+2\mathrm{y}-1=0 \mathrm{Ans}.$

লামির উপপাদ্য অনুসারে,

$\frac{\mathrm{P}}{\sin \left(360-3\alpha \right)}=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{\sin 2\alpha }$

$\Rightarrow \frac{P}{-sin3\alpha }=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{\sin 2\alpha }$

$\Rightarrow \frac{P}{-3sin\alpha +4si{n}^3\alpha }=\frac{Q}{\sin \alpha }=\frac{R}{\sin 2\alpha }$

$\Rightarrow \frac{P}{4si{n}^2\alpha -3}=Q=\frac{R}{2cos\alpha }=\frac{Q-P}{1-4si{n}^2\alpha +3}=\frac{Q-P}{4co{s}^2\alpha }$

এখন, $Q=\frac{R}{2cos\alpha }$ এবং $\frac{R}{2cos\alpha }=\frac{Q-P}{4co{s}^2\alpha }$

$\Rightarrow R=2Qcos\alpha .....\left(i\right) \Rightarrow R=2\left(Q-P\right)/4co{s}^2\alpha ......\left(ii\right)$

$\left(\mathrm{i}\right)\times \left(\mathrm{ii}\right)$ নং হতে, ${\mathrm{R}}^2=\mathrm{Q}\left(\mathrm{Q}-\mathrm{P}\right) \left(\mathrm{Proved}\right)$

${\mathrm{f}}^{-1}\left(5\right)=\mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=5\Rightarrow {\mathrm{x}}^2+1=5$

$\Rightarrow {\mathrm{x}}^2=4 \therefore \mathrm{x}=\pm 2 \therefore {\mathrm{f}}^{-1}\left(5\right)=\left\{-2, +2\right\} \left(Ans.\right)$

MATHEMATICS শব্দগুলোকে নিম্নোক্ত ভাবে সাজানো যায় $=\frac{11!}{2!2!2!}$  Ans.

4 টি স্বরবর্ণকে একটি বর্ণ ধরে মোট ৪ টি অক্ষর নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা$=\frac{8!}{2!2!}$

এখন, 4 টি স্বরবর্ণের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা= $\frac{4!}{2!}$

স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে $=\frac{8!}{2!2!}\times \frac{4!}{2!}$  উপায়ে = 120960 Ans.

$\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}=\left(9\widehat{i}+\widehat{j}-6\widehat{k}\right).\left(4\widehat{i}+6\widehat{j}-5\widehat{k}\right)$

$=36-6-30=0 \therefore \overrightarrow{A} ও \overrightarrow{B}$ পরস্পর লম্ব। [Showed]