বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র - উচ্চতর গণিত - এইচএসসি | NCTB BOOK

2.1k

MCQ: 4

Practice

ধাপ ১: ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ

উপরের সমীকরণগুলোকে আমরা $AX = B$ $AX$ $=$ $B$ আকারে লিখতে পারি, যেখানে:

A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}

$A$ $=$ $($ $24$ $$ $31$ $$ $)$ $,$ $X$ $=$ $($ $xy$ $$ $)$ $,$ $B$ $=$ $($ $511$ $$ $)$

তাহলে সমীকরণটি হবে:

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}

$($ $24$ $$ $31$ $$ $)$ $($ $xy$ $$ $)$ $=$ $($ $511$ $$ $)$

ধাপ ২: $A$ $A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা

আমাদের সমীকরণটি $AX = B$ $AX$ $=$ $B$ আকারে, এবং $X$ $X$ -এর সমাধান পেতে হলে $X = A^{-1}B$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ আকারে পুনর্লিখন করতে হবে। এজন্য প্রথমে $A$ $A$ -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1}$ $A$ $-1$ নির্ণয় করতে হবে।

$A$ $A$ -এর নির্ণায়ক $|A|$ $∣$ $A$ $∣$ নির্ণয় করা

|A| = (2 \times 1) - (3 \times 4) = 2 - 12 = -10

$∣$ $A$ $∣$ $=$ $($ $2$ $\times$ $1$ $)$ $-$ $($ $3$ $\times$ $4$ $)$ $=$ $2$ $-$ $12$ $=$ $-10$

যেহেতু $|A| \neq 0$ $∣$ $A$ $∣$ $\neq$ $=$ $0$ , তাই $A$ $A$ -এর একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স রয়েছে।

সহগুণক ও অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে $A^{-1}$ $A$ $-1$ নির্ণয় করা

প্রতিটি উপাদানের সহগুণক নির্ণয় করে এবং অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে $A^{-1}$ $A$ $-1$ নির্ণয় করা যায়:

A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A)

$A$ $-1$ $=$ $∣$ $A$ $∣1$ $$ $\cdot$ $adj$ $($ $A$ $)$

$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ $A$ $=$ $($ $24$ $$ $31$ $$ $)$ এর জন্য অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স হলো:

\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}

$adj$ $($ $A$ $)$ $=$ $($ $1-4$ $$ $-32$ $$ $)$

তাহলে,

A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.1 & 0.3 \\ 0.4 & -0.2 \end{pmatrix}

$A$ $-1$ $=$ $-101$ $$ $($ $1-4$ $$ $-32$ $$ $)$ $=$ $($ $-0.10.4$ $$ $0.3-0.2$ $$ $)$

ধাপ ৩: $X = A^{-1}B$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ ব্যবহার করে সমাধান নির্ণয়

এখন $X = A^{-1}B$ $X$ $=$ $A$ $-1$ $B$ ব্যবহার করে $X$ $X$ -এর মান নির্ণয় করা যাক:

X = \begin{pmatrix} -0.1 & 0.3 \\ 0.4 & -0.2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}

$X$ $=$ $($ $-0.10.4$ $$ $0.3-0.2$ $$ $)$ $($ $511$ $$ $)$

গুণফল নির্ণয় করে পাই:

X = \begin{pmatrix} (-0.1 \times 5) + (0.3 \times 11) \\ (0.4 \times 5) + (-0.2 \times 11) \end{pmatrix}

$X$ $=$ $($ $($ $-0.1$ $\times$ $5$ $)$ $+$ $($ $0.3$ $\times$ $11$ $)$ $($ $0.4$ $\times$ $5$ $)$ $+$ $($ $-0.2$ $\times$ $11$ $)$ $$ $)$ $= \begin{pmatrix} -0.5 + 3.3 \\ 2 - 2.2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.8 \\ -0.2 \end{pmatrix}$ $=$ $($ $-0.5$ $+$ $3.32$ $-$ $2.2$ $$ $)$ $=$ $($ $2.8-0.2$ $$ $)$