ভেক্টরের গুণন

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র - উচ্চতর গণিত - এইচএসসি | NCTB BOOK

2.1k

MCQ: 265

ভেক্টরের গুণন বলতে দুটি ভিন্ন ধরনের গুণন বোঝানো হয়: ডট প্রোডাক্ট (স্কেলার গুণন) এবং ক্রস প্রোডাক্ট (ভেক্টর গুণন)। এদের প্রতিটি গুণন ভিন্ন গাণিতিক ফলাফল প্রদান করে এবং ভিন্নভাবে ব্যবহার করা হয়।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

স্কেলার গুণন

2.4k

MCQ: 213

Practice

ডট প্রোডাক্ট (Dot Product)

ডট প্রোডাক্ট হল দুটি ভেক্টরের মধ্যে স্কেলার গুণন। এটি দুটি ভেক্টরের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের উপর ভিত্তি করে একটি স্কেলার মান দেয়।

সূত্র:

যদি দুটি ভেক্টর $\vec{A} = A_x i + A_y j + A_z k$ $A$ $=$ $A$ $x$ $$ $i$ $+$ $A$ $y$ $$ $j$ $+$ $A$ $z$ $$ $k$ এবং $\vec{B} = B_x i + B_y j + B_z k$ $B$ $=$ $B$ $x$ $$ $i$ $+$ $B$ $y$ $$ $j$ $+$ $B$ $z$ $$ $k$ হয়, তাহলে তাদের ডট প্রোডাক্ট হয়:

\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z

$A$ $\cdot$ $B$ $=$ $A$ $x$ $$ $B$ $x$ $$ $+$ $A$ $y$ $$ $B$ $y$ $$ $+$ $A$ $z$ $$ $B$ $z$ $$

অথবা, ডট প্রোডাক্টকে কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta

$A$ $\cdot$ $B$ $=$ $∣$ $A$ $∣∣$ $B$ $∣$ $cos$ $θ$

এখানে,

$|\vec{A}|$ $∣$ $A$ $∣$ এবং $|\vec{B}|$ $∣$ $B$ $∣$ হল ভেক্টর $\vec{A}$ $A$ এবং $\vec{B}$ $B$ -এর মান।
$\theta$ $θ$ হল $\vec{A}$ $A$ এবং $\vec{B}$ $B$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $\vec{A} = 2i + 3j + 4k$ $A$ $=$ $2$ $i$ $+$ $3$ $j$ $+$ $4$ $k$ এবং $\vec{B} = i + 2j + 3k$ $B$ $=$ $i$ $+$ $2$ $j$ $+$ $3$ $k$ । তাহলে তাদের ডট প্রোডাক্ট হবে:

\vec{A} \cdot \vec{B} = (2 \times 1) + (3 \times 2) + (4 \times 3) = 2 + 6 + 12 = 20

$A$ $\cdot$ $B$ $=$ $($ $2$ $\times$ $1$ $)$ $+$ $($ $3$ $\times$ $2$ $)$ $+$ $($ $4$ $\times$ $3$ $)$ $=$ $2$ $+$ $6$ $+$ $12$ $=$ $20$

বৈশিষ্ট্য:

ডট প্রোডাক্ট দুটি ভেক্টরের মধ্যে কোণ নির্ণয়ে সহায়ক।
যদি $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ $A$ $\cdot$ $B$ $=$ $0$ হয়, তাহলে ভেক্টর দুটি পরস্পর লম্ব।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$\vec{A} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টরের উপর $\vec{B} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ ভেক্টরের অভিক্ষেপ কোনটি?

- \frac{1}{6}

- \frac{1}{\sqrt{6}}

\frac{1}{6}

\frac{1}{\sqrt{6}}

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র সমন্বিত বোর্ড (সকল) - 2018 স্কেলার গুণন

2.
$\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{B} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর হলে-
i. $\vec{A}$ ভেক্টরের মান $\sqrt{3}$
ii. $\vec{A}$ ভেক্টরের উপর $\vec{B}$ ভেক্টরের অভিক্ষেপ $\frac{8}{\sqrt{3}}$
iii. ভেক্টর দুটির অন্তর্গত কোণ $\cos^{- 1} \frac{8}{\sqrt{66}}$
নিচের কোনটি সঠিক?

i ও ii

i ও iii

ii ও iii

i, ii ও iii

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র বরিশাল বোর্ড - 2019 স্কেলার গুণন

3.
$\hat{i} + λ \hat{j} + 2 \hat{k}$ এবং $2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে, $λ$ এর মান কোনটি?

-6

-2

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র যশোর বোর্ড - 2019 স্কেলার গুণন

4.
$\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ এবং $\vec{b} = - \hat{i} + \hat{j} + λ \hat{k}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে, $λ$ এর মান নিচের কোনটি?

-3

-1

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র সিলেট বোর্ড - 2019 স্কেলার গুণন

উদ্দীপকটি আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও

$\vec{a} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k} ও \vec{b} = 4 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$ দুটি ভেক্টর।

1.
$\vec{b}$ বরাবর $\vec{a}$ এর উপাংশ কোনটি?

\frac{- 7}{26} (4 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k})

\frac{7}{\sqrt{26}} (- 2 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k})

\frac{- 7}{\sqrt{29}} (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})

\frac{7}{29} (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})

এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র দিনাজপুর বোর্ড - 2019 স্কেলার গুণন

প্রশ্ন তৈরি করুন View All (213)

ভেক্টর গুণন

1.3k

ক্রস প্রোডাক্ট (Cross Product)

ক্রস প্রোডাক্ট হল দুটি ভেক্টরের মধ্যে ভেক্টর গুণন, যা একটি নতুন ভেক্টর উৎপন্ন করে। এই নতুন ভেক্টরটি দুটি মূল ভেক্টরের সমতলে লম্বভাবে থাকে।

সূত্র:

\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y) i - (A_x B_z - A_z B_x) j + (A_x B_y - A_y B_x) k

$A$ $\times$ $B$ $=$ $($ $A$ $y$ $$ $B$ $z$ $$ $-$ $A$ $z$ $$ $B$ $y$ $$ $)$ $i$ $-$ $($ $A$ $x$ $$ $B$ $z$ $$ $-$ $A$ $z$ $$ $B$ $x$ $$ $)$ $j$ $+$ $($ $A$ $x$ $$ $B$ $y$ $$ $-$ $A$ $y$ $$ $B$ $x$ $$ $)$ $k$

অথবা, ক্রস প্রোডাক্টকে কোণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta

$∣$ $A$ $\times$ $B$ $∣$ $=$ $∣$ $A$ $∣∣$ $B$ $∣$ $sin$ $θ$

এখানে,

$|\vec{A}|$ $∣$ $A$ $∣$ এবং $|\vec{B}|$ $∣$ $B$ $∣$ হল ভেক্টর $\vec{A}$ $A$ এবং $\vec{B}$ $B$ -এর মান।
$\theta$ $θ$ হল $\vec{A}$ $A$ এবং $\vec{B}$ $B$ এর মধ্যবর্তী কোণ।

উদাহরণ:

ধরা যাক, $\vec{A} = 2i + 3j + 4k$ $A$ $=$ $2$ $i$ $+$ $3$ $j$ $+$ $4$ $k$ এবং $\vec{B} = i + 2j + 3k$ $B$ $=$ $i$ $+$ $2$ $j$ $+$ $3$ $k$ । তাহলে তাদের ক্রস প্রোডাক্ট হবে:

\vec{A} \times \vec{B} = (3 \times 3 - 4 \times 2)i - (2 \times 3 - 4 \times 1)j + (2 \times 2 - 3 \times 1)k

$A$ $\times$ $B$ $=$ $($ $3$ $\times$ $3$ $-$ $4$ $\times$ $2$ $)$ $i$ $-$ $($ $2$ $\times$ $3$ $-$ $4$ $\times$ $1$ $)$ $j$ $+$ $($ $2$ $\times$ $2$ $-$ $3$ $\times$ $1$ $)$ $k$ $= (9 - 8)i - (6 - 4)j + (4 - 3)k = i - 2j + k$ $=$ $($ $9$ $-$ $8$ $)$ $i$ $-$ $($ $6$ $-$ $4$ $)$ $j$ $+$ $($ $4$ $-$ $3$ $)$ $k$ $=$ $i$ $-$ $2$ $j$ $+$ $k$

বৈশিষ্ট্য:

ক্রস প্রোডাক্টে উৎপন্ন ভেক্টরটি দুটি মূল ভেক্টরের সমতলে লম্ব।
যদি $\vec{A}$ $A$ এবং $\vec{B}$ $B$ পরস্পর সমান্তরাল হয়, তাহলে $\vec{A} \times \vec{B} = 0$ $A$ $\times$ $B$ $=$ $0$ হয়।