ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrix & Determinant)

বীজগণিত (Algebra) - সাধারণ গণিত - | NCTB BOOK

ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrix & Determinant)

ম্যাট্রিক্স হলো সংখ্যা, চলক বা প্রতীকের একটি সুশৃঙ্খল আয়তাকার বিন্যাস যা সারি (Row) এবং স্তম্ভ (Column) দ্বারা গঠিত। গণিত, পদার্থবিজ্ঞান, কম্পিউটার বিজ্ঞান, অর্থনীতি ও প্রকৌশলে ম্যাট্রিক্স ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা

যদি m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক স্তম্ভবিশিষ্ট কোনো আয়তাকার বিন্যাস থাকে, তবে তাকে m × n মাত্রার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

ম্যাট্রিক্সের সাধারণ রূপ

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & ... & a_{m n} \end{matrix}]$

এখানে,

m = সারির সংখ্যা
n = স্তম্ভের সংখ্যা
a_ij = i তম সারি ও j তম স্তম্ভের উপাদান

উদাহরণ

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$

এটি একটি 2 × 2 মাত্রার ম্যাট্রিক্স।

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ

১. সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি সারি থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}]$

২. স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স (Column Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি স্তম্ভ থাকে তাকে স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}]$

৩. বর্গ ম্যাট্রিক্স (Square Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে সারি ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

৪. শূন্য ম্যাট্রিক্স (Zero Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদান শূন্য তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে।

৫. কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix)

যে বর্গ ম্যাট্রিক্সে প্রধান কর্ণ ছাড়া অন্য সব উপাদান শূন্য হয় তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।

৬. একক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)

যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1 হয় তাকে একক ম্যাট্রিক্স বলে।

$I = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

ম্যাট্রিক্সের সমতা

দুটি ম্যাট্রিক্স সমান হবে যদি তাদের সমমাত্রা হয় এবং অনুরূপ উপাদানগুলো সমান হয়।

ম্যাট্রিক্সের যোগ

সমমাত্রার দুটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ উপাদান যোগ করে ম্যাট্রিক্সের যোগ করা হয়।

উদাহরণ

$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 5 \end{matrix}]$

ফলাফল,

$[\begin{matrix} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{matrix}]$

ম্যাট্রিক্সের গুণ

যদি প্রথম ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান হয় তবে গুণ সম্ভব।

যদি,

$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$

এবং

$B = [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}]$

তবে,

$AB = [\begin{matrix} a e + b g & a f + b h \\ c e + d g & c f + d h \end{matrix}]$

ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ

কোনো ম্যাট্রিক্সের সারিকে স্তম্ভ এবং স্তম্ভকে সারিতে রূপান্তর করলে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সকে ট্রান্সপোজ বলে।

যদি A এর ট্রান্সপোজ হয়,

$A^{T}$

নির্ণায়ক (Determinant)

বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে সম্পর্কিত একটি সংখ্যামানকে নির্ণায়ক বলা হয়।

2 × 2 নির্ণায়ক

$| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$

উদাহরণ

$| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix} | = (2 \times 4) - (3 \times 1) = 5$

3 × 3 নির্ণায়ক

3 × 3 নির্ণায়ক সাধারণত সারুসের সূত্র বা কোফ্যাক্টর পদ্ধতিতে নির্ণয় করা হয়।

কোফ্যাক্টর (Cofactor)

কোনো উপাদানের মাইনরের সাথে উপযুক্ত চিহ্ন যুক্ত করলে কোফ্যাক্টর পাওয়া যায়।

মাইনর (Minor)

কোনো উপাদানের সারি ও স্তম্ভ বাদ দিলে যে নির্ণায়ক পাওয়া যায় তাকে ঐ উপাদানের মাইনর বলে।

ম্যাট্রিক্সের বিপরীত (Inverse Matrix)

যদি কোনো ম্যাট্রিক্স A এর জন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় যাতে,

$A A^{- 1} = I$

তবে,

$A^{- 1}$

কে A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে।

2 × 2 ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয়

যদি,

$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$

এবং

$|A| = a d - b c \neq 0$

তবে,

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$

ক্র্যামারের সূত্র (Cramer’s Rule)

নির্ণায়কের সাহায্যে সরল সমীকরণ সমাধানের একটি গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি হলো ক্র্যামারের সূত্র।

মনে রাখার উপায়

Matrix = সারি + স্তম্ভের বিন্যাস
Determinant শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য নির্ণয় করা যায়
|A| = ad − bc হলো 2 × 2 নির্ণায়কের মূল সূত্র
det(A) = 0 হলে ম্যাট্রিক্সের বিপরীত থাকে না

Content added By

Najjar Hossain Raju

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও যোগ-গুণ

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও যোগ-গুণ (Types, Addition & Multiplication of Matrix)

ম্যাট্রিক্স হলো সারি (Row) ও স্তম্ভ (Column) আকারে সাজানো সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাস। সাধারণত ম্যাট্রিক্সকে বড় হাতের ইংরেজি অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় যেমন A, B, C ইত্যাদি।

ম্যাট্রিক্সের সাধারণ রূপ

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}]$

এখানে, a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ হলো ম্যাট্রিক্সের উপাদান।

ম্যাট্রিক্সের ক্রম (Order of Matrix)

কোনো ম্যাট্রিক্সে যতগুলো সারি ও স্তম্ভ থাকে তাকে ম্যাট্রিক্সের ক্রম বলে।

যদি m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক স্তম্ভ থাকে তবে ম্যাট্রিক্সের ক্রম হবে:

$m \times n$

উদাহরণ

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}]$

এখানে সারি = 2 এবং স্তম্ভ = 3 অতএব, ম্যাট্রিক্সটির ক্রম 2 × 3

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ

১. সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি সারি থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}]$

২. স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স (Column Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি স্তম্ভ থাকে তাকে স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}]$

৩. বর্গ ম্যাট্রিক্স (Square Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে সারি ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$

৪. শূন্য ম্যাট্রিক্স (Null Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদান শূন্য তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

৫. কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix)

যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণ ছাড়া বাকি সব উপাদান শূন্য তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}]$

৬. একক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)

যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের সব উপাদান 1 হয় তাকে একক ম্যাট্রিক্স বলে।

$I = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

৭. স্কেলার ম্যাট্রিক্স (Scalar Matrix)

যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের সব উপাদান সমান তাকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}]$

৮. সমমিত ম্যাট্রিক্স (Symmetric Matrix)

যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ সেই ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে তাকে সমমিত ম্যাট্রিক্স বলে।

$A = A^{T}$

ম্যাট্রিক্সের যোগ (Addition of Matrix)

সমান ক্রমের দুটি ম্যাট্রিক্সের সমস্থানিক উপাদান যোগ করে ম্যাট্রিক্সের যোগ করা হয়।

শর্ত

দুটি ম্যাট্রিক্সের ক্রম অবশ্যই সমান হতে হবে।

সূত্র

$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

উদাহরণ

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$

এবং

$B = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}]$

তাহলে,

$A + B = [\begin{matrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{matrix}]$

ম্যাট্রিক্সের বিয়োগ (Subtraction of Matrix)

সমস্থানিক উপাদান বিয়োগ করে ম্যাট্রিক্সের বিয়োগ করা হয়।

$(A - B)_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$

স্কেলার গুণ (Scalar Multiplication)

কোনো সংখ্যাকে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানের সাথে গুণ করলে স্কেলার গুণ পাওয়া যায়।

সূত্র

$k A = [\begin{matrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{matrix}]$

ম্যাট্রিক্সের গুণ (Multiplication of Matrix)

ম্যাট্রিক্স গুণের জন্য প্রথম ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হতে হবে।

শর্ত

$A = m \times n, B = n \times p$

তাহলে,

$A B = m \times p$

উদাহরণ

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$

এবং

$B = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}]$

তাহলে,

$A B = [\begin{matrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{matrix}]$

অর্থাৎ,

$A B = [\begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix}]$

মনে রাখার উপায়

যোগ ও বিয়োগের জন্য দুই ম্যাট্রিক্সের ক্রম সমান হতে হবে
গুণের জন্য প্রথমটির স্তম্ভ সংখ্যা = দ্বিতীয়টির সারি সংখ্যা
একক ম্যাট্রিক্সের কাজ সংখ্যার 1 এর মতো
শূন্য ম্যাট্রিক্সের কাজ সংখ্যার 0 এর মতো

Content added By

Najjar Hossain Raju

নির্ণায়কের মান নির্ণয় ও ক্র্যামারের নিয়ম

নির্ণায়কের মান নির্ণয় ও ক্র্যামারের নিয়ম (Determinant Evaluation & Cramer’s Rule)

নির্ণায়ক (Determinant) হলো একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স থেকে প্রাপ্ত একটি সাংখ্যিক মান, যা সমীকরণ সমাধান, জ্যামিতি ও বীজগণিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।

২×২ নির্ণায়ক (2×2 Determinant)

যদি,

$A = |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$

তাহলে নির্ণায়কের মান হবে:

$|A| = a d - b c$

উদাহরণ

$|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix}| = 2 \times 5 - 3 \times 4 = 10 - 12 = - 2$

৩×৩ নির্ণায়ক (3×3 Determinant)

যদি,

$|\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}|$

তাহলে বিস্তার হবে:

$|A| = a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - eg)$

উদাহরণ

এই পদ্ধতিতে সারি বা স্তম্ভ ধরে বিস্তার করে নির্ণায়ক নির্ণয় করা হয়।

নির্ণায়কের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

যদি দুইটি সারি বা স্তম্ভ সমান হয়, নির্ণায়ক = 0
কোনো সারি বা স্তম্ভ শূন্য হলে নির্ণায়ক = 0
সারি বা স্তম্ভ বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তন হয়
একটি সারি/স্তম্ভকে k দ্বারা গুণ করলে নির্ণায়ক k গুণ হয়

ক্র্যামারের নিয়ম (Cramer’s Rule)

ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করে দুই বা তিন চলকের সরল সমীকরণ সমাধান করা যায়।

দুই চলকের সমীকরণ

ধরা যাক,

$a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$

প্রধান নির্ণায়ক

$D = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}|$

x নির্ণয়

$D_{x} = |\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}|$ $x = \frac{D_{x}}{D}$

y নির্ণয়

$D_{y} = |\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}|$ $y = \frac{D_{y}}{D}$

ক্র্যামারের শর্ত

যদি D ≠ 0 হয়, তবে সমীকরণদ্বয়ের একক সমাধান থাকবে।

মনে রাখার উপায়

D = মূল নির্ণায়ক
Dₓ = x-এর জন্য কলাম প্রতিস্থাপন
Dᵧ = y-এর জন্য কলাম প্রতিস্থাপন

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতীয় রাশিমালা (Algebraic expressions) বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া (Basic Operations of Algebra) সাধারণ সূত্রাবলী (General formulas) উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization) বীজগণিতীয় রাশিমালার ল.সা.গু ও গ.সা.গু (L.C.M & H.C.F of algebraic expressions )

ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrix & Determinant)

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও যোগ-গুণ

নির্ণায়কের মান নির্ণয় ও ক্র্যামারের নিয়ম

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrix & Determinant)

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও যোগ-গুণ

নির্ণায়কের মান নির্ণয় ও ক্র্যামারের নিয়ম

All Notifications

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!