দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation)

বীজগণিত (Algebra) - সাধারণ গণিত - | NCTB BOOK

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)

যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয়, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

দ্বিঘাত সমীকরণে চলকের বর্গ থাকে এবং সাধারণত এর দুটি মূল (Root) পাওয়া যায়।

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ

$a x^{2} + b x + c = 0$

এখানে,

a, b, c ধ্রুবক এবং a ≠ 0

মূল নির্ণয়ের সূত্র

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

এখানে,

b² − 4ac কে বিচ্যুতি (Discriminant) বলা হয়।

বিচ্যুতির ভিত্তিতে মূলের প্রকৃতি

যদি b² − 4ac > 0 হয়, তবে দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল পাওয়া যায়
যদি b² − 4ac = 0 হয়, তবে দুটি সমান বাস্তব মূল পাওয়া যায়
যদি b² − 4ac < 0 হয়, তবে কাল্পনিক মূল পাওয়া যায়

উদাহরণ

নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি:

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

এখন উৎপাদক বিশ্লেষণ করলে পাই:

$(x - 2) (x - 3) = 0$

অতএব,

$x = 2, 3$

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
পূর্ণবর্গ সম্পন্ন পদ্ধতি
সূত্র প্রয়োগ পদ্ধতি

বৈশিষ্ট্য

চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয়
সাধারণত দুটি মূল থাকে
গ্রাফ প্যারাবোলা আকারের হয়
বীজগণিতে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

দ্বিঘাত সমীকরণে চলকের বর্গ থাকে এবং এর সমাধানকে সমীকরণের মূল বলা হয়।

মনে রাখার উপায়

“চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 = দ্বিঘাত সমীকরণ” — এই নিয়ম মনে রাখলেই সহজে চেনা যায়।

দ্বিঘাত, ত্রিঘাত এবং চতুর্ঘাত সমীকরণ (Quadratic and Higher Order Equations)

দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন (Formation of Quadratic Equations)

ধরা যাক,

$a x^{2} + b x + c = 0$

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β।

মূলদ্বয়ের যোগফল

$α + β = \frac{- b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$α β = \frac{c}{a}$

মূলদ্বয় দ্বারা সমীকরণ গঠন

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সমাধান

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

যেখানে a ≠ 0

পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করলে পাই:

$(2 a x + b)^{2} = b^{2} - 4 a c$

অতএব,

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

এটাই দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সমাধান সূত্র।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক

যদি α এবং β সমীকরণের মূল হয়, তবে

$α = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

এবং

$β = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

মূলদ্বয়ের সমষ্টি

$α + β = \frac{- b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$α β = \frac{c}{a}$

উদাহরণ

সমীকরণ:

$4 x^{2} - 3 x + 2 = 0$

এখানে,

$α + β = \frac{3}{4}$

এবং

$α β = \frac{1}{2}$

দুটি সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকার শর্ত

যদি,

$a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} = 0$

এবং

$a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} = 0$

সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে শর্ত হবে:

$(b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) = {(c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1})}^{2}$

দুটি সমীকরণের উভয় মূল সাধারণ হওয়ার শর্ত

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$

পৃথায়ক (Discriminant)

দ্বিঘাত সমীকরণে,

$D = b^{2} - 4 a c$

কে পৃথায়ক বলা হয়।

পৃথায়কের ভিত্তিতে মূলের প্রকৃতি

D > 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে
D = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে
D < 0 হলে মূলদ্বয় জটিল হবে
D পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় মূলদ হবে

ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক

যদি,

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$

সমীকরণের মূলত্রয় α, β, γ হলে,

$α + β + γ = \frac{- b}{a}$ $αβ + βγ + γα = \frac{c}{a}$ $αβγ = \frac{- d}{a}$

সমান্তর প্রগমনভুক্ত মূল

ত্রিঘাত সমীকরণে মূল: a − d, a, a + d
চতুর্ঘাত সমীকরণে মূল: a − 3d, a − d, a + d, a + 3d

গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত মূল

ত্রিঘাত সমীকরণে মূল: a/r, a, ar
চতুর্ঘাত সমীকরণে মূল: a/r³, a/r, a, ar³

n ঘাত সমীকরণের মূল ও সহগের সম্পর্ক

যদি,

$a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n} = 0$

তাহলে,

$\sum α = \frac{- a_{1}}{a_{0}}$ $\sum α β = \frac{a_{2}}{a_{0}}$ $α β ... α n = {(- 1)}^{n} \times \frac{a_{n}}{a_{0}}$

মনে রাখার উপায়

দ্বিঘাত সমীকরণে মূলের যোগফল = −b/a এবং গুণফল = c/a — এই সূত্র দুটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

Content added By

Najjar Hossain Raju

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ও গঠন (Solution & Formation)

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ও গঠন (Solution & Formation of Quadratic Equations)

যে সমীকরণে সর্বোচ্চ ঘাত ২ হয় তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়। এর সাধারণ রূপ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

যেখানে a ≠ 0 এবং a, b, c বাস্তব সংখ্যা।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল (Roots of Quadratic Equation)

ধরা যাক সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β। তাহলে,

মূলদ্বয়ের সমষ্টি

$α + β = \frac{- b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$α β = \frac{c}{a}$

দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন (Formation of Quadratic Equation)

যদি মূলদ্বয় α এবং β দেওয়া থাকে, তবে সমীকরণ হবে:

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান (Solution of Quadratic Equation)

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করে সমাধান করলে পাই:

$D = b^{2} - 4 a c$

অতএব,

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

এখানে,

a = 2
b = -5
c = 3

তাহলে মূলদ্বয়ের সমষ্টি:

$α + β = \frac{5}{2}$

এবং গুণফল:

$α β = \frac{3}{2}$

মনে রাখার উপায়

দ্বিঘাত সমীকরণে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ দুইটি সম্পর্ক:
1. α + β = -b/a
2. αβ = c/a

Content added By

Najjar Hossain Raju

নিশ্চায়ক ও মূলের প্রকৃতি (Discriminant & Nature of Roots)

নিশ্চায়ক ও মূলের প্রকৃতি (Discriminant & Nature of Roots)

দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

এখানে, a ≠ 0 এবং a, b, c ∈ বাস্তব সংখ্যা।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

এখানে বর্গমূলের ভিতরের অংশকে নিশ্চায়ক (Discriminant) বলা হয়।

নিশ্চায়ক (Discriminant)

$D = b^{2} - 4 a c$

মূলের প্রকৃতি (Nature of Roots)

১. D > 0 হলে

দুটি বাস্তব ও অসমান মূল পাওয়া যায়।

$x = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

২. D = 0 হলে

দুটি সমান বাস্তব মূল পাওয়া যায়।

$x = \frac{- b}{2 a}$

৩. D < 0 হলে

কোনো বাস্তব মূল থাকে না, মূলদ্বয় জটিল (imaginary) হয়।

৪. বিশেষ অবস্থা

যদি a, b, c ∈ Q এবং D পূর্ণবর্গ হয়, তবে মূলদ্বয় মূলদ (rational) হয়।

মনে রাখার উপায়

D > 0 → বাস্তব ও অসমান মূল
D = 0 → সমান বাস্তব মূল
D < 0 → জটিল মূল

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতীয় রাশিমালা (Algebraic expressions) বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া (Basic Operations of Algebra) সাধারণ সূত্রাবলী (General formulas) উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization) বীজগণিতীয় রাশিমালার ল.সা.গু ও গ.সা.গু (L.C.M & H.C.F of algebraic expressions )

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation)

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ও গঠন (Solution & Formation)

নিশ্চায়ক ও মূলের প্রকৃতি (Discriminant & Nature of Roots)

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation)

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ও গঠন (Solution & Formation)

নিশ্চায়ক ও মূলের প্রকৃতি (Discriminant & Nature of Roots)

All Notifications

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!