পরিমিতি (Mensuration)

ব্যবহারিক প্রয়োজনে রেখার দৈর্ঘ্য, তলের ক্ষেত্রফল, ঘনবস্তুর আয়তন ইত্যাদি পরিমাপ করা হয়। এ রকম যেকোনো রাশি পরিমাপের ক্ষেত্রে একই জাতীয় নির্দিষ্ট পরিমাণের একটি রাশিকে একক হিসেবে গ্রহণ করা হয়। পরিমাপকৃত রাশি এবং এরূপ নির্ধারিত এককের অনুপাতই রাশিটির পরিমাপ নির্ধারণ করে।

অর্থাৎ পরিমাপ = পরিমাপকৃত রাশি/একক রাশি

নির্ধারিত একক সম্পর্কে প্রত্যেক পরিমাপ একটি সংখ্যা যা পরিমাপকৃত রাশিটির একক রাশির কতগুণ তা নির্দেশ করে। যেমন, বেঞ্চটি 5 মিটার লম্বা। এখানে মিটার একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য যাকে একক হিসেবে ধরা হয়েছে এবং যার তুলনায় বেঞ্চটি 5 গুণ লম্বা।

জ্যামিতিক আকার বা বস্তুর দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল, আয়তন, পরিসীমা ইত্যাদি নির্ণয়ের শাখাকে পরিমিতি (Mensuration) বলা হয়। এটি গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ যেখানে বিভিন্ন দ্বিমাত্রিক ও ত্রিমাত্রিক বস্তুর পরিমাপ নিয়ে আলোচনা করা হয়।

পরিমিতির প্রধান অংশ

• সমতল পরিমিতি (Plane Mensuration)
• ঘন পরিমিতি (Solid Mensuration)

সমতল পরিমিতি (Plane Mensuration)

যেসব জ্যামিতিক চিত্রের শুধু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাদের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা নির্ণয় সমতল পরিমিতির অন্তর্ভুক্ত।

১. আয়তক্ষেত্র (Rectangle)

ক্ষেত্রফল

$A=l\times w$

পরিসীমা

$P=2(l+w)$

২. বর্গক্ষেত্র (Square)

ক্ষেত্রফল

$A=a^2$

পরিসীমা

$P=4a$

৩. ত্রিভুজ (Triangle)

ক্ষেত্রফল

$A=\frac{1}{2}\times b\times h$

৪. বৃত্ত (Circle)

ক্ষেত্রফল

$A=\pi r^2$

পরিধি

$C=2\pi r$

ঘন পরিমিতি (Solid Mensuration)

যেসব বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে, তাদের আয়তন ও পৃষ্ঠতল নির্ণয় ঘন পরিমিতির অন্তর্ভুক্ত।

১. ঘনক (Cube)

আয়তন

$V=a^3$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল

$T=6a^2$

২. আয়তঘন (Cuboid)

আয়তন

$V=l\times w\times h$

৩. সিলিন্ডার (Cylinder)

আয়তন

$V=\pi r^{2}h$

৪. শঙ্কু (Cone)

আয়তন

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

৫. গোলক (Sphere)

আয়তন

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

গুরুত্বপূর্ণ একক

• দৈর্ঘ্য → মিটার (m)
• ক্ষেত্রফল → বর্গমিটার (m²)
• আয়তন → ঘনমিটার (m³)

উদাহরণ

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে তার ক্ষেত্রফল:

$A=\pi 7^2=49\pi$

মনে রাখার কৌশল

• ক্ষেত্রফল → বর্গ একক
• আয়তন → ঘন একক
• বৃত্তে π ব্যবহার হয়
• ত্রিভুজে সর্বদা 1/2 থাকে

আমরা জানি, ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times$ভূমি $\times$ উচ্চতা

ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Area of Triangle)

ত্রিভুজের ভিতরের আবদ্ধ অংশের পরিমাণকে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বলা হয়। ভূমি এবং উচ্চতার সাহায্যে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়।

অর্থাৎ,

$A=\frac{1}{2}bh$

এখানে,
A = ক্ষেত্রফল
b = ভূমি
h = উচ্চতা

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব ও ভূমি পরস্পর লম্ব হয়। তাই,

$A=\frac{1}{2}\times$লম্ব $\times$ভূমি

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

যদি বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে—

$A=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

হেরনের সূত্র (Heron’s Formula)

যখন তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকে, তখন হেরনের সূত্র ব্যবহার করা হয়।

যদি তিনটি বাহু a, b, c হয়, তবে প্রথমে—

$s=\frac{a+b+c}{2}$

এখানে s = অর্ধপরিসীমা

তাহলে ক্ষেত্রফল,

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

উদাহরণ ১

একটি ত্রিভুজের ভূমি 10 সেমি এবং উচ্চতা 6 সেমি হলে ক্ষেত্রফল:

$A=\frac{1}{2}\times 10\times 6=30$

অতএব, ক্ষেত্রফল = 30 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি ত্রিভুজের তিন বাহু 5 সেমি, 6 সেমি ও 7 সেমি হলে—

অর্ধপরিসীমা,

$s=\frac{5+6+7}{2}=9$

ক্ষেত্রফল,

$A=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}$

= √(9 $\times$ 4 $\times$ 3 $\times$ 2)

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• ক্ষেত্রফল সবসময় বর্গ এককে প্রকাশ করা হয়
• ভূমি ও উচ্চতা পরস্পর লম্ব হতে হবে
• তিন বাহু জানা থাকলে হেরনের সূত্র সবচেয়ে কার্যকর

মনে রাখার কৌশল

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলে সবসময়:
“1/2 × ভূমি × উচ্চতা”

ত্রিভুজ দ্বারা আবদ্ধ সমতল অংশের পরিমাণকে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বলা হয়। সাধারণত ভূমি ও উচ্চতার সাহায্যে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়।

সাধারণ সূত্র

ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ভূমি $\times$ উচ্চতা

অর্থাৎ,

$A=\frac{1}{2}bh$

এখানে,
A = ক্ষেত্রফল
b = ভূমি
h = উচ্চতা

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব ও ভূমি পরস্পর লম্ব হয়। তাই,

$A=\frac{1}{2}\times$লম্ব $\times$ ভূমি

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

যদি প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে—

$A=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

হেরনের সূত্র (Heron’s Formula)

যখন ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকে, তখন হেরনের সূত্র ব্যবহার করা হয়।

যদি তিনটি বাহু a, b, c হয়, তবে—

$s=\frac{a+b+c}{2}$

এখানে s = অর্ধপরিসীমা

তাহলে ক্ষেত্রফল,

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

যদি ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু

(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)

হয়, তবে ক্ষেত্রফল:

$A=\frac{1}{2}\left|x_1\right(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2\left)\right|$

উদাহরণ

একটি ত্রিভুজের ভূমি 12 সেমি এবং উচ্চতা 5 সেমি হলে ক্ষেত্রফল:

$A=\frac{1}{2}\times 12\times 5=30$

অতএব, ক্ষেত্রফল = 30 বর্গ সেমি।

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• ক্ষেত্রফল সবসময় বর্গ এককে প্রকাশ করা হয়
• ভূমি ও উচ্চতা অবশ্যই পরস্পর লম্ব হতে হবে
• তিন বাহু জানা থাকলে হেরনের সূত্র ব্যবহার করা হয়

মনে রাখার কৌশল

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের মূল সূত্র:
“1/2 × ভূমি × উচ্চতা”

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে BC = a এবং AB = b BC কে ভূমি এবং AB কে উচ্চতা বিবেচনা করলে,

△ABC এর ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ভূমি $\times$ উচ্চতা $=\frac{1}{2}ab$

ত্রিভুজক্ষেত্রের দুই বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে :

মনে করি, ABC ত্রিভুজের বাহুত্রয় BC = a, CA = b, AB = c । A থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব আঁকি। ধরি, উচ্চতা AD = h । কোণ C বিবেচনা করলে পাই, $\frac{AD}{CA}=\sin C$

বা, $\frac{h}{b}= \sin C$ বা, h = b sinC

△ABC এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}BC\times AD$

$=\frac{1}{2}a \times b \sin C=\frac{1}{2}ab\sin C$

অনুরূপভাবে △ABC এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca \sin B$

ত্রিভুজের তিন বাহু দেওয়া আছে :

মনে করি, △ABC এর BC = a, CA = b এবং AB = c । এর পরিসীমা 2s = a + b + c l AD ⊥ BC আঁকি।

ধরি, BD = x তাহলে, CD = a - x

△ABD এবং △ACD সমকোণী।

আবার,

সমবাহু ত্রিভুজ :

মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ :

মনে করি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC = a এবং BC = b

উদাহরণ ১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি. ও ৪ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 6 সে.মি. এবং b = ৪ সে.মি.।

$\therefore$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\times 6\times 8$ বর্গ সে.মি. = 24 বর্গ সে.মি.।

উদাহরণ ২. কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 9 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 9 সে.মি. ও b = 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 60° I

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab \sin 60°$

$=\frac{1}{2}\times 9\times 10\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ বর্গ সে.মি. 38.97 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 38.97 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উদাহরণ ৩. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি., ৪ সে.মি. ও 9 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 7 সে.মি., b = ৪ সে.মি. ও c = 9 সে.মি.।

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 26.83 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উদাহরণ ৪. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার।

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গমিটার।

ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(a+1\right)}^2$

নির্ণেয় বাহুর দৈর্ঘ্য 5.5 মিটার।

উদাহরণ ৫. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল 1200 বর্গ সে.মি. হলে সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি b = 60 সে.মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$

বা, $a^2=2500$

$\therefore$ a = 50

ত্রিভুজটির সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে.মি.।

উদাহরণ ৬. একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুইটি রাস্তা 120° কোণে চলে গেছে। দুই জন লোক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘণ্টায় 10 কিলোমিটার ও ৪ ঘণ্টায় কিলোমিটার বেগে বিপরীত দিকে রওনা হলো। 5 ঘণ্টা পরে তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, A স্থান থেকে দুইজন লোক যথাক্রমে ঘণ্টায় 10 কিলোমিটার ও ঘণ্টায় ৪ কিলোমিটার বেগে রওনা হয়ে 5 ঘণ্টা পর যথাক্রমে B ও C স্থাণে পৌঁছালো। তাহলে, 5 ঘণ্টা পর তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব হবে BC । C থেকে BA এর বর্ধিতাংশের উপর CD লম্ব টানি।

$\therefore$ AB = 5 × 10 কিলোমিটার = 50 কিলোমিটার, AC = 5 × 8

কিলোমিটার 40 কিলোমিটার এবং ∠BAC = 120°

$\therefore$ ∠DAC = 180° - 120° = 60°

△ACD সমকোণী।

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,

নির্ণেয় দূরত্ব 78.1 কিলোমিটার (প্রায়)

উদাহরণ ৭. প্রদত্ত চিত্রের আলোকে

ক) BC বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ) BD এর মান নির্ণয় কর।

গ) △ABD ও △BCD এর ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) AB = 15, AC = 25

চতুর্ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Area of Quadrilateral)

চারটি বাহু দ্বারা আবদ্ধ সমতল ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলা হয়। বিভিন্ন ধরনের চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ভিন্ন ভিন্ন।

চতুর্ভুজের সাধারণ ধারণা

চতুর্ভুজের চারটি বাহু, চারটি কোণ এবং দুটি কর্ণ থাকে।

১. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Area of Rectangle)

যদি দৈর্ঘ্য = l এবং প্রস্থ = w হয়, তবে

$A=l\times w$

উদাহরণ

দৈর্ঘ্য 8 সেমি এবং প্রস্থ 5 সেমি হলে,

$A=8\times 5=40$

অতএব, ক্ষেত্রফল = 40 বর্গ সেমি।

২. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Area of Square)

যদি প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে

$A=a^2$

উদাহরণ

বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি হলে,

$A=6^2=36$

অতএব, ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ সেমি।

৩. সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (Area of Parallelogram)

যদি ভূমি = b এবং উচ্চতা = h হয়, তবে

$A=b\times h$

৪. রম্বসের ক্ষেত্রফল (Area of Rhombus)

যদি কর্ণদ্বয় d₁ এবং d₂ হয়, তবে

$A=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$

উদাহরণ

কর্ণদ্বয় 10 সেমি ও 8 সেমি হলে,

$A=\frac{1}{2}\times 10\times 8=40$

অতএব, ক্ষেত্রফল = 40 বর্গ সেমি।

৫. ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল (Area of Trapezium)

যদি সমান্তরাল বাহুদ্বয় a ও b এবং উচ্চতা h হয়, তবে

$A=\frac{1}{2}(a+b)h$

উদাহরণ

সমান্তরাল বাহু 6 সেমি ও 10 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি হলে,

$A=\frac{1}{2}(6+10)\times 4=32$

অতএব, ক্ষেত্রফল = 32 বর্গ সেমি।

৬. ঘুড়ির ক্ষেত্রফল (Area of Kite)

যদি কর্ণদ্বয় d₁ ও d₂ হয়, তবে

$A=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• আয়তক্ষেত্র ও সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলে ভূমি × উচ্চতা ব্যবহৃত হয়
• রম্বস ও ঘুড়ির ক্ষেত্রে কর্ণ ব্যবহার করা হয়
• ট্রাপিজিয়ামে সমান্তরাল বাহুর গড় ব্যবহার হয়

মনে রাখার কৌশল

• Rectangle → l × w
• Square → a²
• Parallelogram → b × h
• Rhombus/Kite → 1/2 × d₁ × d₂
• Trapezium → 1/2 × (a + b) × h

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল :

মনে করি, ABCD আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য AB = a, প্রস্থ BC = b এবং কর্ণ AC = d

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

আয়তক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল 2 × △ABC এর ক্ষেত্রফল $=2\times \frac{1}{2}a.b=ab$

লক্ষ করি, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা s = 2(a + b) এবং ABC ত্রিভুজটি সমকোণী।

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল :

মনে করি, ABCD বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং কর্ণ d

AC কর্ণ বর্গক্ষেত্রক্ষত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষত্রে বিভক্ত করে।

$\therefore$ বর্গক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল : 2 × ABC এর ক্ষেত্রফল $=2\times \frac{1}{2}a.a=a^2$ = (বাহুর দৈর্ঘ্য)²

লক্ষ করি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা s = 4a এবং কর্ণ $d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a$

সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল :

ক) ভূমি ও উচ্চতা দেওয়া আছে :

মনে করি, ABCD সামান্তরিকক্ষেত্রের ভূমি AB = b এবং উচ্চতা DE = h । BD কর্ণ সামান্তরিকক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

$\therefore$ সামান্তরিকক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল

খ) একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং ঐ কর্ণের বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে :

মনে করি, ABCD সামান্তরিকের কর্ণ AC d এবং = এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু D থেকে AC এর উপর অঙ্কিত লম্ব DE = h । কর্ণ AC সামান্তরিকক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি = ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

$\therefore$ সামান্তরিকক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল

রম্বসের ক্ষেত্রফল :

রম্বসের দুইটি কর্ণ দেওয়া আছে। মনে করি, ABCD রম্বসের কর্ণ AC = $d_{1,}$ কর্ণ BD = $d_2,$ এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।

কর্ণ AC রম্বসক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে। আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে

ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল :

সমান্তরাল দুইটি বাহু এবং এদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব দেওয়া আছে। মনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AB = a. একক, CD = b একক এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব CE AF = h । কর্ণ AC ট্রাপিজিয়াম ABCD ক্ষেত্রটিকে △ABC ও △ACD ক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

ট্রাপিজিয়াম ABCD এর ক্ষেত্রফল

= △ABC এর ক্ষেত্রফল + △ACD এর ক্ষেত্রফল

সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল

সুষম বহুভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান। আবার কোণগুলোও সমান। n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের কেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করলে n সংখ্যক সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।

সুতরাং বহুভুজের ক্ষেত্রফল = n× একটি ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

ABCDEF . . . একটি সুষম বহুভুজ, যার কেন্দ্র O, বাহু n সংখ্যক এবং প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a । O, A; O, B যোগ করি।

ধরি △AOB এর উচ্চতা ON = h এবং △OAB = θ সুষম বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষে উৎপন্ন কোণের পরিমান = 2θ

$\therefore$ সুষম বহুভুজের n সংখ্যক শীর্ষ কোণের সমষ্টি = 2θm

সুষম বহুভুজের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের পরিমান = 4 সমকোণ

$\therefore$ কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ ও n শীর্ষ কোণের সমষ্টি (20n + 4) সমকোণ।

△OAB এর তিন কোণের সমষ্টি = 2 সমকোণ

$\therefore$ এরূপ n সংখ্যক ত্রিভুজের কোণগুলোর সমষ্টি 2n, সমকোণ

$\therefore$ 20 · n + 4 সমকোণ = 2n সমকোণ

বা, 20 · n = (2n – 4) সমকোণ

উদাহরণ ১৫. একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, সুষম পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 সে.মি.। বাহুর সংখ্যা n = 5

উদাহরণ ১৬. একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 4 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো। ফলে 6 টি সমান ক্ষেত্রবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।

বৃত্ত হলো এমন একটি সমতল চিত্র যার কেন্দ্র থেকে পরিধির প্রতিটি বিন্দুর দূরত্ব সমান। বৃত্তের বিভিন্ন অংশের দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও পরিমাপ নির্ণয়কে বৃত্ত সংক্রান্ত পরিমাপ বলা হয়।

বৃত্তের মৌলিক উপাদান

• কেন্দ্র (Center)
• ব্যাসার্ধ (Radius)
• ব্যাস (Diameter)
• জ্যা (Chord)
• চাপ (Arc)
• পরিধি (Circumference)

ব্যাস ও ব্যাসার্ধের সম্পর্ক

$d=2r$

এখানে,
d = ব্যাস
r = ব্যাসার্ধ

বৃত্তের পরিধি (Circumference)

বৃত্তের চারপাশের মোট দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলে।

$C=2\pi r$

অথবা,

$C=\pi d$

বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle)

$A=\pi r^2$

অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল

$A=\frac{1}{2}\pi r^2$

অর্ধবৃত্তের পরিসীমা

$P=\pi r+2r$

চাপের দৈর্ঘ্য (Length of Arc)

যদি কেন্দ্রীয় কোণ θ° হয়, তবে চাপের দৈর্ঘ্য:

$L=\frac{\theta }{360}\times 2\pi r$

খণ্ডবৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Sector)

যদি কেন্দ্রীয় কোণ θ° হয়, তবে

$A=\frac{\theta }{360}\times \pi r^2$

উদাহরণ ১

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে তার পরিধি:

$C=2\times \frac{22}{7}\times 7=44$

অতএব, পরিধি = 44 সেমি।

উদাহরণ ২

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি হলে ক্ষেত্রফল:

$A=\pi 5^2=25\pi$

অতএব, ক্ষেত্রফল = 25π বর্গ সেমি।

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• π এর মান সাধারণত 22/7 বা 3.1416 ধরা হয়
• ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
• বৃত্তের ক্ষেত্রফলে সর্বদা r² থাকে
• চাপ ও খণ্ডবৃত্তে θ/360 ব্যবহৃত হয়

মনে রাখার কৌশল

• Circumference → 2πr
• Area → πr²
• Arc → (θ/360) × 2πr
• Sector → (θ/360) × πr²

বৃত্তের পরিধি

বৃত্তের দৈর্ঘ্যকে তার পরিধি বলা হয়। কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ। হলে এর পরিধি c = 27r, যেখানে = 3.14159265 . . . একটি অমূলদ সংখ্যা। এর আসন্ন মান হিসেবে 3.1416 ব্যবহার করা যায়। সুতরাং কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ জানা থাকলে এর আসন্ন মান ব্যবহার করে বৃত্তের পরিধির আসন্ন মান নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ১৮. একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে, এর পরিধি নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r

$\therefore$ বৃত্তের ব্যাস = 2r এবং পরিধি = $2\pi r$

প্রশ্নানুসারে, 2r = 26 বা, $r=\frac{26}{2}$ বা, r = 13 সে.মি.

$\therefore$ বৃত্তের পরিধি = 2nr = 2 × 3.1416 × 13 সে.মি. = 81.68 সে.মি. (প্রায়)

বৃত্তাংশের দৈর্ঘ্য

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ । এবং AB = s বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 8° কোণ উৎপন্ন করে।

বৃত্তের পরিধি = 2Ty

বৃত্তের কেন্দ্রে মোট উৎপন্ন কোণ = 360° এবং চাপ s দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের ডিগ্রি পরিমাণ θ°

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ বৃত্তচাপের সমানুপাতিক।

বৃত্তক্ষেত্র ও বৃত্তকলা ক্ষেত্রফল

কোনো বৃত্ত দ্বারা বেষ্টিত এলাকাকে বৃত্তক্ষেত্র বলা হয় এবং বৃত্তটিকে এরূপ বৃত্তক্ষেত্রের সীমারেখা বলা হয়।

বৃত্তকলা : একটি চাপ ও চাপের প্রান্তবিন্দু সংশ্লিষ্ট ব্যাসার্ধ দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রকে বৃত্তকলা বলা হয়।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধির উপর A ও B দুইটি বিন্দু হলে, ∠AOB এর অভ্যন্তরে OA ও OB ব্যাসার্ধ এবং AB চাপের সংযোগে গঠিত একটি বৃত্তকলা ৷

পূর্বের শ্রেণীতে আমরা শিখে এসেছি যে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ । হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল $={\mathrm{\pi r}}^2$

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ বৃত্তচাপের সমানুপাতিক।

সুতরাং, এ পর্যায়ে আমরা স্বীকার করে নিতে পারি যে, একই বৃত্তের দুইটি বৃত্তাংশ ক্ষেত্র এবং এরা যে চাপ দুইটির উপর দন্ডায়মান এদের পরিমাপ সমানুপাতিক।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r। AOB বৃত্তকলা ক্ষেত্রটি APB চাপের উপর দন্ডায়মান, যার ডিগ্রি পরিমাপ θ। OA এর উপর OC লম্ব টানি।

বা, বৃত্তকলা AOB এর ক্ষেত্রফল $=\frac{\theta }{90°}\times$ বৃত্তকলা AOC এর ক্ষেত্রফল

উদাহরণ ১৯. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 56° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ৪ সে.মি., বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s এবং বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = 56°

উদাহরণ ২০. একটি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 90 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r

$\therefore$ বৃত্তের ব্যাস 2r এবং পরিধি = $2\pi r$

প্রশ্নানুসারে, $2\pi r$ - 2r = 90

নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21.01 সে.মি. (প্রায়)

উদাহরণ ২১. একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 124 মিটার। মাঠের সীমানা ঘেঁষে 6 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ r এবং রাস্তাসহ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ R.

$\therefore r=\frac{124}{2}$ মিটার = 62 মিটার এবং R = (62 + 6) মিটার - 68 মিটার

$\therefore$ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল - মাঠের ক্ষেত্রফল

$= (\mathrm{\pi } R^2— {\mathrm{\pi r}}^2)=\pi (R^2—r^2)$

$= 3.1416(682-{62}^2) = 3.1416(4624-3844)$

= 3.1416 × 780 = 2450.44 বর্গমিটার (প্রায়)

নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল 2450.44 বর্গমিটার (প্রায়)

ঘন জ্যামিতি (Solid Geometry)

যে জ্যামিতিতে ত্রিমাত্রিক বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নিয়ে আলোচনা করা হয় তাকে ঘন জ্যামিতি বলা হয়। এই ধরনের বস্তুর আয়তন, পৃষ্ঠতল, কর্ণ ইত্যাদি নির্ণয় করা হয়।

ঘন জ্যামিতির বস্তুকে ত্রিমাত্রিক (3D) বস্তু বলা হয় কারণ এদের—

• দৈর্ঘ্য (Length)
• প্রস্থ (Width)
• উচ্চতা (Height)

থাকে।

ঘন জ্যামিতির প্রধান বস্তুসমূহ

• ঘনক (Cube)
• আয়তঘন (Cuboid)
• সিলিন্ডার (Cylinder)
• শঙ্কু (Cone)
• গোলক (Sphere)
• অর্ধগোলক (Hemisphere)

১. ঘনক (Cube)

যে ঘনের সবগুলো বাহু সমান তাকে ঘনক বলে।

আয়তন

$V=a^3$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল

$T=6a^2$

ঘনকের কর্ণ

$d=a\sqrt{3}$

২. আয়তঘন (Cuboid)

যে ঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা ভিন্ন হতে পারে তাকে আয়তঘন বলে।

আয়তন

$V=l\times w\times h$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল

$T=2(lw+wh+hl)$

কর্ণ

$d=\sqrt{l^2+w^2+h^2}$

৩. সিলিন্ডার (Cylinder)

দুটি সমান বৃত্তাকার তল ও একটি বাঁকা পৃষ্ঠবিশিষ্ট ঘনবস্তুকে সিলিন্ডার বলে।

আয়তন

$V=\pi r^{2}h$

বক্রতলের ক্ষেত্রফল

$C=2\pi rh$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল

$T=2\pi r(r+h)$

৪. শঙ্কু (Cone)

একটি বৃত্তাকার ভূমি ও একটি শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ঘনবস্তুকে শঙ্কু বলে।

আয়তন

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

তির্যক উচ্চতা

$l=\sqrt{r^2+h^2}$

বক্রতলের ক্ষেত্রফল

$C=\pi rl$

৫. গোলক (Sphere)

যে ঘনবস্তুর পৃষ্ঠের সব বিন্দু কেন্দ্র থেকে সমদূরত্বে থাকে তাকে গোলক বলে।

আয়তন

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

$T=4\pi r^2$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• আয়তন সবসময় ঘন এককে প্রকাশ করা হয়
• পৃষ্ঠতল বর্গ এককে প্রকাশ করা হয়
• ঘনকের সব বাহু সমান
• সিলিন্ডার ও শঙ্কুতে π ব্যবহৃত হয়

মনে রাখার কৌশল

• Cube → a³
• Cuboid → l × w × h
• Cylinder → πr²h
• Cone → (1/3)πr²h
• Sphere → (4/3)πr³

আয়তাকার ঘনবস্তু (Rectangular solid)

তিন জোড়া সমান্তরাল আয়তাকার সমতল বা পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ ঘনবস্তুকে আয়তাকার ঘনবস্তু বলে।

মনে করি, ABCDEFGH একটি আয়তাকার ঘনবস্তু। এর দৈর্ঘ্য AB = a, প্রস্থ BC = b, উচ্চতা AH = c

১. কর্ণ নির্ণয় : ABCDEFGH আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ AF ।

△ABC এ BC ⊥ AB এবং AC অতিভুজ।

২. সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় : আয়তাকার ঘনবস্তুটির 6 টি তল যেখানে, বিপরীত তলগুলো পরস্পর সমান।

আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল

= 2(ABCD তলের ক্ষেত্রফল + ABGH তলের ক্ষেত্রফল + BCFG তলের ক্ষেত্রফল)

= 2(AB × AD + AB × AH + BC × BG)

= 2 (ab + ac + bc ) = 2 (ab + bc + ca)

৩. আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = abc

উদাহরণ ২৮. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল, আয়তন এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = 25 সে.মি., প্রস্থ b = 20 সে.মি. এবং উচ্চতা c = 15 সে.মি.।$\therefore$ আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 2 (ab + bc + ca)

= 2 (25 × 20 + 20 × 15 + 15 × 25 ) 2350 বর্গ সে.মি.

এবং আয়তন = abc = 25 × 20 × 15 = 7500 ঘন সে.মি.

নির্ণেয় সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 2350 বর্গ সে.মি., আয়তন 7500 ঘন সে.মি. এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 35.363 সে.মি. (প্রায়)।

আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে একে ঘনক বলা হয়।

মনে করি, ABCDEFGH একটি ঘনক। এর দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = a একক

উদাহরণ ২৯. একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ঘনকটির ধার a

বেলন (Cylinder)

কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়। সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়। আয়তক্ষেত্রের অক্ষের সমান্তরাল ঘূর্ণায়মান বাহুটিকে বেলনের সৃজক বা উৎপাদক রেখা বলে।

উপরের, চিত্রটি একটি সমবৃত্তভূমিক বেলন যার ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h

১. ভূমির ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$

২. বজ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি × উচ্চতা= $2\pi rh$

৩. সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল

বা, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\left(\pi r^2+2\pi rh+\pi r^2\right)=2\pi r(r+h)$

৪. আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা $=\pi r^{2}h$

উদাহরণ ৩০. একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে এর আয়তন এবং সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান: মনে করি, সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r

$\therefore$ এর আয়তন $=\pi r^{2}h$

উদাহরণ ৩১. ঢাকনাসহ একটি বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.। বাক্সটির ভিতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 262 বর্গ সে. মি. এবং বাক্সের পুরুত্ব সমান।

ক) বাক্সটির আয়তন নির্ণয় কর।

খ) বাক্সটির দেওয়ালের পুরুত্ব নির্ণয় কর।

গ) বাক্সটির বৃহত্তম দৈর্ঘ্যের সমান বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) বাক্সটির বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.$\therefore$ বাক্সটির বাইরের আয়তন 10 × 9 × 7 = 630 ঘন সে.মি.।

খ) মনে করি, বাক্সের পুরুত্ব . ঢাকনাসহ বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.

$\therefore$ বাক্সের ভিতরের মাপ যথাক্রমে a = (10 – 2x) সে.মি., b = (9 – 2x) সে.মি,

এবং c = (7 – 2x) সে.মি.

বাক্সের ভিতরের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 2 (ab + bc + ca)

প্রশ্নানুসারে, 2(ab + bc + ca) 262

বা, (10 - 2x) (9 - 2x) + (9 - 2x) (7 - 2x) + (7 - 2x) (10 — 2x) = 131

বা, $90-38x+4x^2+63-32x+4x^2+70-34x+4x^2-131=0$

বা, $12x^2–104x+92=0$

বা, $3x^2– 26x+23=0$

বাক্সটির পুরুত্ব তার বাইরের তিনটি পরিমাপের কোনটির চেয়েই বড় হতে পারে না।

নির্ণেয় বাক্সের পুরুত্ব 1 সে.মি.

যে ত্রিমাত্রিক বস্তুর পৃষ্ঠের প্রতিটি বিন্দু কেন্দ্র থেকে সমদূরত্বে থাকে তাকে গোলক (Sphere) বলে। গোলকের বাইরের মোট পৃষ্ঠের পরিমাণকে গোলকের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল বলা হয়।

গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র

$A=4\pi r^2$

এখানে,
A = গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
r = গোলকের ব্যাসার্ধ
π ≈ 3.1416 অথবা 22/7

ব্যাসের সাহায্যে সূত্র

যেহেতু,

$d=2r$

তাই ক্ষেত্রফল,

$A=\pi d^2$

অর্ধগোলকের ক্ষেত্রফল (Hemisphere)

বক্রতলের ক্ষেত্রফল

$A=2\pi r^2$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

$A=3\pi r^2$

উদাহরণ ১

একটি গোলকের ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল:

$A=4\times \frac{22}{7}\times 7^2$

= 4 × 22 × 7

= 616

অতএব, ক্ষেত্রফল = 616 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 5 সেমি হলে সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল:

$A=3\pi 5^2$

= 75π

অতএব, ক্ষেত্রফল = 75π বর্গ সেমি।

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• গোলকের কোনো প্রান্ত বা কোণ নেই
• গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলে সর্বদা 4πr² ব্যবহৃত হয়
• অর্ধগোলকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলে ভিত্তির বৃত্তও যুক্ত হয়

মনে রাখার কৌশল

• Sphere → 4πr²
• Hemisphere curved surface → 2πr²
• Hemisphere total surface → 3πr²

শঙ্কু / কোণক (Cone) এর ক্ষেত্রফল

যে ঘনবস্তুর একটি বৃত্তাকার ভূমি এবং একটি শীর্ষবিন্দু থাকে তাকে শঙ্কু বা কোণক (Cone) বলা হয়।

শঙ্কুর ক্ষেত্রফল সাধারণত দুই ধরনের হয়—

• বক্রতলের ক্ষেত্রফল (Curved Surface Area)
• সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area)

কোণক উপাদান

• r = ব্যাসার্ধ
• h = লম্ব উচ্চতা
• l = তির্যক উচ্চতা (Slant Height)

তির্যক উচ্চতার সূত্র

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$l=\sqrt{r^2+h^2}$

বক্রতলের ক্ষেত্রফল (Curved Surface Area)

$C=\pi rl$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area)

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল = বক্রতল + ভূমির ক্ষেত্রফল

$T=\pi rl+\pi r^2$

অথবা,

$T=\pi r(l+r)$

শঙ্কুর আয়তন

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

উদাহরণ ১

একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 7 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 10 সেমি হলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল:

$C=\pi rl$

= (22/7) × 7 × 10

= 220

অতএব, বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 220 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 5 সেমি হলে সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল:

$T=\pi r(l+r)$

= π × 3 × (5 + 3)

= 24π

অতএব, সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 24π বর্গ সেমি।

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• শঙ্কুর বক্রতলে ভূমির বৃত্ত অন্তর্ভুক্ত হয় না
• সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলে ভূমির ক্ষেত্রফল যুক্ত হয়
• তির্যক উচ্চতা নির্ণয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহৃত হয়

মনে রাখার কৌশল

• Curved Surface → πrl
• Total Surface → πr(l + r)
• Volume → (1/3)πr²h

প্রিজম ও পিরামিড (Prism & Pyramid) এর ক্ষেত্রফল

প্রিজম ও পিরামিড হলো ঘন জ্যামিতির গুরুত্বপূর্ণ ত্রিমাত্রিক বস্তু। এদের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় গণিতে গুরুত্বপূর্ণ।

প্রিজম (Prism)

যে ঘনবস্তুর দুটি সমান্তরাল ও সমান ভিত্তি থাকে এবং পার্শ্বতলগুলো আয়তাকার হয় তাকে প্রিজম বলে।

উদাহরণ:
• ত্রিভুজাকার প্রিজম
• চতুর্ভুজাকার প্রিজম

প্রিজমের উপাদান

• ভিত্তির ক্ষেত্রফল = B
• ভিত্তির পরিসীমা = P
• উচ্চতা = h

প্রিজমের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

$L=Ph$

প্রিজমের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

$T=Ph+2B$

প্রিজমের আয়তন

$V=Bh$

উদাহরণ

একটি প্রিজমের ভিত্তির ক্ষেত্রফল 20 বর্গ সেমি, ভিত্তির পরিসীমা 18 সেমি এবং উচ্চতা 10 সেমি হলে—

পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল:

$L=18\times 10=180$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল:

$T=180+2\times 20=220$

পিরামিড (Pyramid)

যে ঘনবস্তুর একটি বহুভুজাকার ভিত্তি এবং সব পার্শ্বতল ত্রিভুজাকার হয়ে একটি শীর্ষবিন্দুতে মিলিত হয় তাকে পিরামিড বলে।

উদাহরণ:
• ত্রিভুজাকার পিরামিড
• বর্গাকার পিরামিড

পিরামিডের উপাদান

• ভিত্তির ক্ষেত্রফল = B
• ভিত্তির পরিসীমা = P
• তির্যক উচ্চতা = l
• লম্ব উচ্চতা = h

পিরামিডের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল

$L=\frac{1}{2}Pl$

পিরামিডের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

$T=\frac{1}{2}Pl+B$

পিরামিডের আয়তন

$V=\frac{1}{3}Bh$

উদাহরণ

একটি পিরামিডের ভিত্তির পরিসীমা 24 সেমি, তির্যক উচ্চতা 5 সেমি এবং ভিত্তির ক্ষেত্রফল 36 বর্গ সেমি হলে—

পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল:

$L=\frac{1}{2}\times 24\times 5=60$

সম্পূর্ণ পৃষ্ঠতল:

$T=60+36=96$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• প্রিজমের দুটি সমান ও সমান্তরাল ভিত্তি থাকে
• পিরামিডের একটি ভিত্তি ও একটি শীর্ষবিন্দু থাকে
• প্রিজমের পার্শ্বতল আয়তাকার
• পিরামিডের পার্শ্বতল ত্রিভুজাকার

মনে রাখার কৌশল

• Prism TSA → Ph + 2B
• Prism Volume → Bh
• Pyramid TSA → (1/2)Pl + B
• Pyramid Volume → (1/3)Bh