বীজগণিত (Algebra)

সাধারণ গণিত - | NCTB BOOK

বীজগণিত (Algebra)

বীজগণিত হলো গণিতের একটি শাখা যেখানে সংখ্যা ছাড়াও অক্ষর (যেমন: x, y, a, b ইত্যাদি) ব্যবহার করে সমস্যা সমাধান করা হয়। এই অক্ষরগুলোকে চলক (Variable) বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

বীজগণিতে সংখ্যার পরিবর্তে প্রতীক ব্যবহার করে সাধারণ নিয়ম তৈরি করা হয়, যাতে যেকোনো মানের জন্য সমাধান করা যায়।

চলক (Variable)

যে অক্ষরগুলোর মান পরিবর্তনশীল, তাদের চলক বলা হয়।

উদাহরণ: x, y, a, b

ধ্রুবক (Constant)

যে সংখ্যার মান পরিবর্তন হয় না, তাকে ধ্রুবক বলা হয়।

উদাহরণ: 2, 5, 10, -3 ইত্যাদি

বীজগাণিতিক রাশি (Algebraic Expression)

চলক ও ধ্রুবক নিয়ে গঠিত গাণিতিক প্রকাশকে বীজগাণিতিক রাশি বলা হয়।

উদাহরণ:

$2 x + 3$

বীজগণিতের মৌলিক ক্রিয়া

যোগ (Addition)
বিয়োগ (Subtraction)
গুণ (Multiplication)
ভাগ (Division)

একপদী ও বহুপদী

একপদী (Monomial) = একটি মাত্র পদ বিশিষ্ট রাশি
উদাহরণ: 3x, 5a

বহুপদী (Polynomial) = একাধিক পদ বিশিষ্ট রাশি
উদাহরণ: x + y, 2x + 3y + 5

গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

বীজগণিতে কিছু সাধারণ সূত্র ব্যবহৃত হয়:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

a² - b² = (a - b)(a + b)

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

বীজগণিতে অক্ষর দিয়ে সংখ্যা প্রকাশ করা হয়
চলকের মান পরিবর্তনশীল
ধ্রুবকের মান অপরিবর্তনীয়
সূত্র ব্যবহার করে জটিল সমস্যা সহজ করা যায়

মনে রাখার উপায়

যেখানে সংখ্যা না দিয়ে অক্ষর ব্যবহার করা হয়, সেটিই বীজগণিত।

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতীয় রাশিমালা (Algebraic expressions)

বীজগণিতে অনেক সমস্যা সমাধানে বীজগাণিতিক সূত্র ব্যবহৃত হয়। আবার অনেক বীজগাণিতিক রাশি বিশ্লেষণ করে উৎপাদকের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হয়ে থাকে। তাই এ অধ্যায়ে বীজগাণিতিক সূত্রের সাহায্যে সমস্যা সমাধান এবং রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বিষয়ক বিষয়বস্তু শিক্ষার্থীর উপযোগী করে উপস্থাপন করা হয়েছে। অধিকন্তু নানাবিধ গাণিতিক সমস্যা বীজগাণিতিক সূত্রের সাহায্যে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেও সমাধান করা যায়। পূর্বের শ্রেণিতে বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এদের সাথে সম্পৃক্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে ঐগুলো পুনরুল্লেখ করা হলো এবং উদাহরণের মাধ্যমে এদের কতিপয় প্রয়োগ দেখানো হলো। এছাড়াও এ অধ্যায়ে বর্গ ও ঘনের সম্প্রসারণ, ভাগশেষ উপপাদ্য প্রয়োগ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ এবং বাস্তব সমস্যা সমাধানে বীজগাণিতিক সূত্রের গঠন ও প্রয়োগ সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

বীজগাণিতিক রাশি

সংখ্যা নির্দেশক প্রতীক এবং প্রক্রিয়া চিহ্ন এর অর্থবোধক বিন্যাসকে বীজগাণিতিক রাশি বলা হয়। যেমন, 2a + 3b - 4c একটি বীজগাণিতিক রাশি। বীজগাণিতিক রাশিতে a, b, c, p, g, r, m, n, x, y, z, … ইত্যাদি বর্ণের মাধ্যমে বিভিন্ন তথ্য প্রকাশ করা হয়। বীজগাণিতিক রাশি সংবলিত বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে এই সমস্ত বর্ণকে ব্যবহার করা হয়। পাটিগণিতে শুধু ধনাত্মক সংখ্যা ব্যবহৃত হয়, অন্যদিকে বীজগণিতে শূন্যসহ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সকল সংখ্যা ব্যবহার করা হয়। বীজগণিতকে পাটিগণিতের সর্বায়নকৃত (generalized) রূপ বলা হয়।

বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলো ধ্রুবক (constant), এদের মান নির্দিষ্ট। আর অক্ষর প্রতীকগুলো চলক (variables), এদের মান নির্দিষ্ট নয়, এরা বিভিন্ন মান ধারণ করতে পারে।

5x, 2x + 3y , 5x + 3y - z , 3b $\times$ c - y, 5x $\div$ 2 y + 9x - y ইত্যাদি এক একটি বীজগণিতীয় রাশি। প্রক্রিয়া চিহ্ন ও সংখ্যাসূচক প্রতীক এর অর্থবোধক সংযোগ বা বিন্যাসকে বীজগণিতীয় রাশি বলা হয়। বীজগণিতীয় রাশির যে অংশ যোগ (+) ও বিয়োগ (-) চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত থাকে, এদের প্রত্যেকটিকে ঐ রাশির পদ বলা হয়। যেমন, 4x + 3y একটি রাশি। রাশিটিতে 4.x ও 3y দুইটি পদ রয়েছে। এরা যোগ চিহ্ন দ্বারা যুক্ত। আবার, 5x + 3y $\div$ c , 4b $\times$ 2y রাশিতে 5x, 3y $\div$ c, 4b $\times$ 2y তিনটি পদ আছে। 4x একটি একপদী, 2x + 3y একটি দ্বিপদী, a - 2b + 4c একটি ত্রিপদী রাশি।

সহগ: কোনো একপদী রাশিতে চলকের সাথে যখন কোনো সংখ্যা গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির সাংখ্যিক সহগ বা সহগ বলে। যেমন, 3x, 5y, 8xy, 9a ইত্যাদি একপদী রাশি এবং 3,5,8,9 যথাক্রমে এদের সহগ।

একপদী রাশির সাথে যখন কোনো সংখ্যা গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে না, তখন ঐ রাশির সহগ 1 ধরা হয়। যেমন, a, b, x, y ইত্যাদি একপদী রাশি এবং প্রত্যেকটির সহগ 1; কারণ,

a = 1a বা 1 $\times$ a; x = 1x বা 1 $\times$ x.

যখন কোনো চলকের সাথে কোনো অক্ষর প্রতীক গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির আক্ষরিক সহগ বলে। যেমন, ax, by, mz ইত্যাদি রাশিতে ax = a $\times$ x, by = b $\times$ y , mz = m $\times$ z যেখানে, a,b ও m কে যথাক্রমে x, y ও z এর আক্ষরিক সহগ বলা হয়। আবার, 3x + by রাশিতে x এর সহগ 3 এবং y এর সহগ b.

উদাহরণ ৩। সহগ নির্ণয় কর:

(i) 8x
(ii) 7xy
(iii) $\frac{3}{2} a b$
(iv) axy
(v)-xyz

সমাধান :

(i) 8x = 8 $\times$ x

(ii) 7xy = 7 $\times$ xy

(iii) $\frac{3}{2} a b$ = $\frac{3}{2} \times a b$

(iv) axy = 1 $\times$ axy

(v) - xyz = - 1 $\times$ xyz

উদাহরণ ৪। x এর আক্ষরিক সহগ নির্ণয় কর:

(i) bx
(ii) pqx
(iii) mx + c
(iv) ax - bz

সমাধান:
(i) bx = bx

(ii) pqx = pq $\times$ x

(iii) mx + c = m $\times$ x + c

(iv) ax - bz = a $\times$ x - bz

x এর সহগ b
x এর সহগ pq
x এর সহগ m
x এর সহগ a

উদাহরণ ৫। একটি কলমের দাম x টাকা, একটি খাতার দাম y টাকা এবং একটি ঘড়ির দাম z টাকা হলে, নিচের প্রতীকগুলো দ্বারা কী বোঝায়?

(i) 5x
(ii) 7y
(iii) 2x + 5y
(iv) x + y + z

সমাধান:

(i) 5.x দ্বারা 5টি কলমের দাম বোঝায়।
(ii) 7y দ্বারা 7টি খাতার দাম বোঝায়।

(iii) 2x + 5y দ্বারা 2টি কলমের দাম ও ১টি খাতার দামের সমষ্টি বোঝায়।
(iv) x+y+z দ্বারা একটি কলমের দাম, একটি খাতার দাম ও একটি ঘড়ির দামের সমষ্টি বোঝায়।
(v) 4x + 3z দ্বারা 4টি কলমের দাম ও 3টি ঘড়ির দামের সমষ্টি বোঝায়।

উদাহরণ ৬। একটি গরুর দাম x টাকা, একটি খাসির দাম y টাকা হলে,

উদাহরণ ৬। একটি গরুর দাম x টাকা, একটি খাসির দাম ৮ টাকা হলে,
(i) চারটি গরু ও ছয়টি খাসির মোট দাম কত?
(ii) সাতটি গরু ও পাঁচটি খাসির মোট দাম কত?

সমাধান:

(i) চারটি গরু ও ছয়টি খাসির মোট দাম (4x+6y) টাকা।
(ii) সাতটি গরু ও পাঁচটি খাসির মোট দাম (7x+5y) টাকা।

উদাহরণ ৭:। প্লাবন ছয়টি কলম ও তিনটি খাতা এবং শ্রাবণ চারটি কলম ও পাঁচটি খাতা ক্রয় করে। একটি কলমের মূল্য x টাকা এবং একটি খাতার মূল্য y টাকা।

(ক) প্লাবনের মোট খরচ বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ কর?
(খ) দুই জনের মোট খরচের পরিমান নির্ণয় কর।
(গ) যদি x=15 হয় এবং y=25 হয় তবে প্লাবন ও শ্রাবণের খরচের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান:

(ক)

1টি কলমের দাম x টাকা
অতএব 6 টি কলমের দাম 6.x টাকা
আবার 1 টি খাতার দাম y টাকা
অতএব 3 টি খাতার দাম 3y টাকা
অতএব প্লাবনের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি 6x+3y

(খ)

'ক' হতে প্রাপ্ত, প্লাবনের মোট খরচের বীজগনিতীয় রাশি 6x+3y
1 টি কলমের দাম x টাকা
অতএব, 4 টি কলমের দাম 4.x টাকা
আবার, 1টি খাতার দাম y টাকা
অতএব, 5 টি খাতার দাম 5y টাকা
অতএব, শ্রাবণের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি 4.x+5y
সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে সাজিয়ে পাই
$6 x + 3 y + 4 x + 5 y 10 x + 8 y$

দুইজনের মোট খরচের পরিমাণ (10x+8y) টাকা।

(গ) x=15 টাকা এবং y=25 টাকা

প্লাবণের মোট খরচের পরিমাণ = 6x+3y
= (6.15+3.25) টাকা।
= (90+75) টাকা
= 165 টাকা

শ্রাবণের মোট খরচের পরিমাণ 4x+5y

= (4.15+5.25) টাকা।
= (60+125) টাকা
= 185 টাকা

প্লাবন ও শ্রাবণের খরচের অনুপাত= 165 : 185

= 33 : 37

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া (Basic Operations of Algebra)

বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া (Basic Operations of Algebra)

বীজগণিতে বিভিন্ন রাশির উপর যে চারটি প্রধান গাণিতিক কাজ করা হয়, সেগুলোকে বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া বলা হয়। এই চারটি প্রক্রিয়া হলো—যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ।

১. যোগ (Addition)

সমজাতীয় পদগুলোর সহগ যোগ করে বীজগাণিতিক রাশির যোগ করা হয়।

উদাহরণ:

$2 x + 3 x = 5 x$

২. বিয়োগ (Subtraction)

সমজাতীয় পদগুলোর সহগ বিয়োগ করে রাশির বিয়োগ করা হয়।

উদাহরণ:

$7 y - 4 y = 3 y$

৩. গুণ (Multiplication)

একটি রাশির প্রতিটি পদকে অপর রাশির প্রতিটি পদের সাথে গুণ করতে হয়।

উদাহরণ:

$(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6$

৪. ভাগ (Division)

একটি বীজগাণিতিক রাশিকে অন্য একটি রাশি দ্বারা ভাগ করাকে ভাগ বলা হয়।

উদাহরণ:

$\frac{8 x^{2}}{4 x} = 2 x$

সমজাতীয় পদ

যেসব পদের চলক ও চলকের ঘাত একই থাকে, সেগুলোকে সমজাতীয় পদ বলা হয়।

উদাহরণ:

$3 x, 5 x, - 2 x$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

শুধুমাত্র সমজাতীয় পদ যোগ ও বিয়োগ করা যায়
গুণের ক্ষেত্রে প্রত্যেক পদকে গুণ করতে হয়
ভাগে সহগ ও চলকের ঘাতের নিয়ম মানতে হয়
চলকের ঘাত একই হলে পদগুলো সমজাতীয় হয়

মনে রাখার উপায়

বীজগণিতের চার প্রক্রিয়া হলো—যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগ। সমজাতীয় পদ ছাড়া যোগ-বিয়োগ করা যায় না।

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতীয় রাশির যোগ (Addition of Algebraic Expressions)

বীজগণিতীয় রাশির যোগ (Addition of Algebraic Expressions)

দুই বা ততোধিক বীজগাণিতিক রাশিকে একত্র করে একটি নতুন রাশি গঠন করাকে বীজগণিতীয় রাশির যোগ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

বীজগাণিতিক রাশির যোগ করার সময় সমজাতীয় পদগুলোর সহগ যোগ করতে হয়।

সমজাতীয় পদ (Like Terms)

যেসব পদের চলক ও চলকের ঘাত একই হয়, সেগুলোকে সমজাতীয় পদ বলা হয়।

উদাহরণ:

$2 x, 5 x, - 3 x$

রাশির যোগের নিয়ম

সমজাতীয় পদগুলো একত্র করতে হবে
সহগগুলো যোগ করতে হবে
চলক ও ঘাত অপরিবর্তিত থাকবে

উদাহরণ ১

নিচের রাশিদ্বয়ের যোগ নির্ণয় করি:

$(2 x + 3 y) + (4 x + 5 y)$

সমজাতীয় পদগুলো যোগ করলে পাই:

$6 x + 8 y$

উদাহরণ ২

নিচের রাশিগুলোর যোগ নির্ণয় করি:

$3 a^{2} + 2 a + 5 + 4 a^{2} - a$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$7 a^{2} + a + 5$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

শুধুমাত্র সমজাতীয় পদ যোগ করা যায়
চলক ও ঘাত একই থাকতে হবে
সহগগুলোর যোগফল নেওয়া হয়
অসমজাতীয় পদ আলাদা থাকবে

মনে রাখার উপায়

“সমজাতীয় পদ একত্র করো, সহগগুলো যোগ করো” — এ নিয়ম অনুসরণ করলেই বীজগাণিতিক রাশির যোগ সহজে করা যায়।

দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশি যোগ করতে হলে সদৃশ পদের সহগগুলো চিহ্নযুক্ত সংখ্যার নিয়মে যোগ করতে হবে। এরপর প্রাপ্ত সহগের ডানপাশে প্রতীকগুলো বসাতে হবে। বিসদৃশ পদগুলো তাদের চিহ্নসহ যোগফলে বসাতে হবে।

উদাহরণ ১ (ক)। যোগ কর: 2a+4b+5c, 3a+2b-6c.

সমাধান:

(2a+4b+5c) + (3a+2b-6c)
= (2a+3a)+(4b+2b) + (5c6c)
= 5a +6b-c.

নির্ণেয় যোগফল 5a+6b-c.

বিকল্প পদ্ধতি: সদৃশ পদগুলো তাদের স্ব-স্ব চিহ্নসহ নিচে নিচে লিখে পাই,

$2 a + 4 b + 5 c$

$+ 3 a + 2 b - 6 c$

__________

$5 a + 6 b - c$

নির্ণেয় যোগফল 5a + 6b - c

উদাহরণ ১ (খ)। যোগ কর: 3a + 6b + c, 5a + 2b + d .

সমাধান:

(3a + 6b + c) + (5a + 2b + d)

= (3a + 5a) + (6b + 2b) + c + d

= 8a + 8b + c + d

[এখানে সদৃশ পদগুলো যোগ করে বিসদৃশ পদ দুইটির যোগফলের সাথে যোগ করা হয়েছে।] নির্ণেয় যোগফল 8a + 8b + c + d

লক্ষ করি: সদৃশ পদের সাংখ্যিক সহগগুলোর বীজগণিতীয় যোগফল নির্ণয় করা হয়েছে। প্রাপ্ত যোগফলের পাশে সংশ্লিষ্ট পদের প্রতীকগুলো বসানো হয়েছে। এভাবে প্রাপ্ত সব পদের যোগফলই নির্ণেয় যোগফল।

উদাহরণ ২। যোগ কর: $5 a + 3 b - c^{2}, - 3 a + 4 b + 4 c^{2}, a - 8 b + 2 c^{2} .$

সমাধান: সদৃশ পদগুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে পাই,

নির্ণেয় যোগফল $3 a - b + 5 c^{2}$

উদাহরণ ৩। যোগ কর: $(i) 7 x - 5 y + 7 z, 2 x - 3 z + 7 y 8 x + 2 y - 3 z (i i) 4 x^{2} - 3 y + 7 z, 8 x^{2} + 5 y - 3 z y + 2 z$

সমাধান:

(i)

নির্ণেয় যোগফল 17x + 4y + z

(ii)

নির্ণেয় যোগফল $12 x^{2} + 3 y + 6 z$

লক্ষ করি: কোনো রাশির আগে কোনো চিহ্ন না থাকলে, সেখানে যোগ (+) চিহ্ন ধরা হয়।

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতীয় রাশির বিয়োগ (Subtraction of Algebraic Expressions)

বীজগণিতীয় রাশির বিয়োগ (Subtraction of Algebraic Expressions)

একটি বীজগাণিতিক রাশি থেকে অন্য একটি বীজগাণিতিক রাশি বাদ দেওয়াকে বীজগণিতীয় রাশির বিয়োগ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

বীজগাণিতিক রাশির বিয়োগ করার সময় সমজাতীয় পদগুলোর সহগ বিয়োগ করতে হয়।

সমজাতীয় পদ (Like Terms)

যেসব পদের চলক ও চলকের ঘাত একই হয়, সেগুলোকে সমজাতীয় পদ বলা হয়।

উদাহরণ:

$5 x, 2 x, - 3 x$

রাশির বিয়োগের নিয়ম

বিয়োগ চিহ্নের পরের রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করতে হবে
সমজাতীয় পদগুলো একত্র করতে হবে
সহগগুলোর বিয়োগ করতে হবে

উদাহরণ ১

নিচের রাশিদ্বয়ের বিয়োগ নির্ণয় করি:

$(7 x + 5 y) - (3 x + 2 y)$

চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই:

$7 x + 5 y - 3 x - 2 y$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$4 x + 3 y$

উদাহরণ ২

নিচের রাশির বিয়োগ নির্ণয় করি:

$(8 a^{2} + 4 a - 6) - (3 a^{2} + a - 2)$

সমাধান:

$8 a^{2} + 4 a - 6 - 3 a^{2} - a + 2$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$5 a^{2} + 3 a - 4$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

বিয়োগের সময় চিহ্ন পরিবর্তন করতে হয়
শুধুমাত্র সমজাতীয় পদ বিয়োগ করা যায়
চলক ও ঘাত একই থাকতে হবে
অসমজাতীয় পদ আলাদা থাকবে

মনে রাখার উপায়

“ব্র্যাকেট খুললে চিহ্ন বদলাবে, তারপর সমজাতীয় পদ একত্র হবে” — এই নিয়ম মনে রাখলে বীজগাণিতিক রাশির বিয়োগ সহজ হয়।

a - b = a + (- b)

একটি বীজগণিতীয় রাশি থেকে অপর একটি বীজগণিতীয় রাশি বিয়োগ করার ক্ষেত্রে, প্রথম রাশির সাথে দ্বিতীয় রাশির যোগাত্মক বিপরীত রাশি যোগ করা হয়। অর্থাৎ, বিয়োজ্য বা দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে প্রাপ্ত রাশিকে প্রথম রাশির সাথে যোগ করা।

উদাহরণ ৩। 5a+ 4b -5c থেকে 3a - 4b - 6c বিয়োগ কর।

সমাধান:

বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,

- 3a + 4b + 6c

এখন রূপান্তরিত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,

বিকল্প পদ্ধতি:

এখানেও চিহ্ন পরিবর্তন করে যোগ করা হয়েছে।

উদাহরণ ৪। $5 x^{2} - 4 x^{2} y + 5 x y^{2}$ থেকে $- 3 x y^{2} - 4 x^{2} y + 5 x^{2}$ বিয়োগ কর।

সমাধান: বিয়োজ্যের প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে পাই,

$3 x y^{2} + 4 x^{2} y - 5 x^{2}$

এখন প্রথম রাশির সাথে রূপান্তরিত বিয়োজ্য রাশি যোগ করে পাই,

নির্ণেয় বিয়োগফল $8 x y^{2}$

উদাহরণ ৫। বিয়োগ কর:

(i) 4xy + 2yz + 5zx থেকে 3xy - yz + 2zx
(ii) 3ab + bc - 4ca - 5 থেকে 2ab - 2bc - 5ca - 6

সমাধান:
(i)

নির্ণেয় বিয়োগফল xy + 3yz + 3zx

(ii)

নির্ণেয় বিয়োগফল ab + 3bc + ca + 1

লক্ষ করি: প্রথম রাশি লেখার পর দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের চিহ্ন পরিবর্তন করে সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে লিখে যোগ করা হয়েছে।

উদাহরণ ৬। p,q,r তিনটি বীজগনিতীয় রাশি যেখানে

p = 7a + 5b + 6c q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a

(ক) a = 1 b = 2 এবং c = 3 হলে ৭ এর মান নির্নয় কর?
(খ) 2p-3q+5r মান নির্নয় কর?
(গ) প্রমান কর যে, প্রদত্ত রাশি গুলোর যোগফল প্রথম রাশির দ্বিগুনের সমান।

সমাধান:

(ক) q = 3a - b + 9c

=3.1-2+9.3 [মান বসিয়ে]

=3-2+27

=30-2

=28

(খ)

2p-3q+5r
2(7a+5b+6c)-3 (3a-b+9c)+5 (- 3c + 6b + 4a) [মান বসিয়ে]
= 14a + 10b + 12c - 9a + 3b - 27c - 15c + 30b + 20a
= 14a + 20a - 9a + 10b + 3b + 30b + 12c - 27c - 15c
=25a+43b-30c

(গ) সদৃশ পদ গুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে পাই

7a + 5b + 6c
3a-b+9c
(+) 4a+6b-3c
14a+10b+12c

রাশিগুলোর যোগফল
= 14a + 10b + 12c
= 2(7a + 5b + 6c)
= 2p

রাশিগুলোর যোগফল প্রথম রাশির দ্বিগুনের সমান। (প্রমানিত)

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতীয় রাশির গুণ (Multiplication of Algebraic Expressions)

বীজগণিতীয় রাশির গুণ (Multiplication of Algebraic Expressions)

একটি বীজগাণিতিক রাশির প্রতিটি পদকে অন্য একটি রাশির প্রতিটি পদের সাথে গুণ করাকে বীজগণিতীয় রাশির গুণ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

রাশির গুণ করার সময় সহগের গুণ করতে হয় এবং একই চলকের ক্ষেত্রে ঘাত যোগ করতে হয়।

গুণের মৌলিক নিয়ম

সহগগুলোর গুণ করতে হবে
একই চলকের ঘাত যোগ করতে হবে
প্রতিটি পদকে প্রতিটি পদের সাথে গুণ করতে হবে

চলকের ঘাতের নিয়ম

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

উদাহরণ ১

একপদীর সাথে একপদীর গুণ:

$3 x \times 2 x = 6 x^{2}$

উদাহরণ ২

একপদীর সাথে বহুপদীর গুণ:

$2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$

উদাহরণ ৩

দুইটি বহুপদীর গুণ:

$(x + 2) (x + 3)$

প্রথম রাশির প্রতিটি পদকে দ্বিতীয় রাশির প্রতিটি পদের সাথে গুণ করলে পাই:

$x^{2} + 3 x + 2 x + 6$

সমজাতীয় পদ একত্র করলে পাই:

$x^{2} + 5 x + 6$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

প্রতিটি পদকে প্রতিটি পদের সাথে গুণ করতে হয়
একই চলকের ঘাত যোগ হয়
সহগগুলো আলাদাভাবে গুণ করা হয়
শেষে সমজাতীয় পদ একত্র করতে হয়

মনে রাখার উপায়

“প্রত্যেক পদের সাথে প্রত্যেক পদের গুণ” — এই নিয়ম অনুসরণ করলেই বীজগাণিতিক রাশির গুণ সহজে করা যায়।

বীজগণিতীয় রাশির গুণ

গুণের বিনিময়বিধি

আমরা জানি,

2 $\times$ 3 = 6 আবার 3 $\times$ 2 = 6

2 $\times$ 3 = 3 $\times$ 2 যা গুণের বিনিময়বিধি।

a, b যেকোনো দুটি বীজগণিতীয় রাশি হলে, a

\times

b = b

\times

a অর্থাৎ, গুণ্য ও গুণকের স্থান বিনিময় করলে, গুণফলের কোনো পরিবর্তন হয় না। যা সাধারণ বিনিময় বিধি।

গুণের সংযোগবিধি

$(2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24$ আবার $2 (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24$

$(2 \times 3) \times 4 = 2 (3 \times 4)$ যা গুণের সংযোগবিধি।

a, b, c যেকোনো তিনটি বীজগণিতীয় রাশির জন্য (a $\times$ b) $\times$ c=a $\times$ (b $\times$ c), যা গুণের সংযোগবিধি।

গুণের সূচকবিধি

আমরা জানি,

$a \times a = a^{2}, a \times a \times a = a^{3}, a \times a \times a \times a = a^{4}$

$a^{2} \times a^{4} = (a \times a) (a \times a \times a \times a) = a \times a \times a \times a \times a \times a \times a = a^{6} = a^{2 + 4}$

সাধারণভাবে $a^{m} x a^{n} = a^{m + n}$ যেখানে m, n যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।

এই প্রক্রিয়াকে গুণের সূচকবিধি বলা হয়।

আবার, $(a^{3})^{2} = a^{3} \times a^{3} = a^{6} = a^{3 \times 2} = a^{6}$

সাধারণভাবে, ${(a^{m})}^{n} = a^{n m}$

গুণের বণ্টন বিধি

আমরা জানি,

$2 (a + b) = (a + b) + (a + b) [∵ 2 x = x + x]$

= (a + a) + (b + b)

= 2a + 2b

আবার পাশের চিত্র হতে পাই,

ABEF আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

= দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ = BE $\times$ AB=a $\times$ 2=2 $\times$ a=2a

আবার, ECDF আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

= EC $\times$ CD=b $\times$ 2=2 $\times$ b= 2b

$∴$ ABCD আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল

= ABEF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ECDF আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= 2a + 2b

আবার, ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

= BC $\times$ AB

= AB $\times$ (BE + EC)

= 2 $\times$ (a+b)

= 2(a + b)

$∴$ 2(a+b) =2a+2b.

m(a+b+c+_______) = ma + mb + mc+ _________ এই নিয়মকে গুণের বণ্টনবিধি বলা হয়।

চিহ্নযুক্ত রাশির গুণ

আমরা জানি, 2 কে 4 বার নিলে 2 + 2 + 2 + 2 = 8 = 2 $\times$ 4 হয়। এখানে বলা যায় যে, 2 কে 4 দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

অর্থাৎ, 2 $\times$ 4 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

যেকোনো বীজগণিতীয় রাশি a ও b এর জন্য

a $\times$ b = ab _________ (i)

আবার

$(- 2) \times 4 = (- 2) + (- 2) + (- 2) + (- 2) = - 8 = - (2 \times 4)$

অর্থাৎ $(- 2) \times 4 = - (2 \times 4) = - 8$

সাধারণভাবে, $(- a) \times b = - (a \times b) = - a \times b$ __________ (ii)

আবার, $a \times (- b) = (- b) \times a$ গুণের বিনিময়বিধি

= - (b $\times$ a)

= - (a $\times$ b)

= - a $\times$ b

অর্থাৎ, $a \times (- b) = - (a \times b) = - a b$ _____________ (iii)

আবার, $(- a) \times (- b) = - {(- a) \times b}$ [(iii) অনুযায়ী]

= - {- (a $\times$ b)} [ (ii) অনুযায়ী]

= - (- ab)

= ab

অর্থাৎ, $(- a) (- b) = a b$ __________(iv)

লক্ষ করি :

একই চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল (+) চিহ্নযুক্ত হবে।
বিপরীত চিহ্নযুক্ত দুটি রাশির গুণফল (-) চিহ্নযুক্ত হবে।

একপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ

দুটি একপদী রাশির গুণের ক্ষেত্রে তাদের সাংখ্যিক সহগদ্বয়কে চিহ্নযুক্ত সংখ্যার গুণের নিয়মে গুণ করতে হয়। উভয়পদে বিদ্যমান বীজগণিতীয় প্রতীকগুলোকে সূচক নিয়মে গুণ করে গুণফলে লিখতে হয়। অন্যান্য প্রতীকগুলো অপরিবর্তিত অবস্থায় গুণফলে নেওয়া হয়।

উদাহরণ ১। $5 x^{2} y^{4}$ কে $3 x^{2} y^{4}$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$5 x^{2} y^{4} \times 3 x^{2} y^{3}$

$= (5 x 3) \times (x^{2} \times x^{2}) \times (y^{4} + y^{3})$

$= 15 x^{4} y^{7}$ [সূচক নিয়ম অনুযায়ী।

নির্ণেয় গুণফল $= 15 x^{4} y^{7}$

উদাহরণ ২। $12 a^{2} x y^{2}$ কে $- 6 a x^{3} b$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$12 a^{2} x y^{2} \times (- 6 a x^{3} b)$

$= 12 \times (- 6) \times (a^{2} \times a) \times b \times (x \times x^{3}) \times y^{2} = - 72 a^{3} b x^{4} y^{2}$

নির্ণেয় গুণফল $- 72 a^{3} b x^{4} y^{2}$

উদাহরণ ৩। $- 7 a^{2} b^{4} c$ কে $4 a^{2} c^{3} d$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$(- 7 a^{2} b^{4} c) \times 4 a^{2} c^{3} d$

$= (- 7 \times 4) \times (a^{2} \times a^{2}) \times b^{2} \times (c \times c^{3}) \times d = - 28 a^{4} b^{4} c^{4} d$

নির্ণেয় গুণফল $- 28 a^{4} b^{4} c^{4} d$

বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ

একের অধিক পদযুক্ত বীজগণিতীয় রাশিই বহুপদী রাশি। যেমন, $5 x^{2} y + 7 x y^{2}$ একটি বহুপদী রাশি।

বহুপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ করতে হলে গুণ্যের (প্রথম রাশি) প্রত্যেক পদকে গুণক (দ্বিতীয় রাশি) দ্বারা গুণ করতে হয়।

উদাহরণ ১। $(5 x^{2} y + 7 x y^{2})$ কে $5 x^{3} y^{3}$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$(5 x^{2} y + 7 x y^{2}) x 5 x^{3} y^{3} = (5 x^{2} y \times 5 x^{3} y^{3}) + (7 x y^{2} \times 5 x^{3} y^{3}) = (5 \times 5) \times (x^{2} \times x^{3}) x (y \times y^{3}) + (7 \times 5) \times (x \times x^{3}) \times (y^{2} \times y^{3}) = 25 x^{5} y^{4} + 35 x^{4} y^{5}$

নির্ণেয় গুণফল $25 x^{5} y^{4} + 35 x^{4} y^{5}$

উদাহরণ ২। $2 a^{3} - b^{3} + 3 a b c$ কে $a^{4} b^{2}$ দ্বারা গুণ কর।

সমাধান:

$(2 a^{3} - b^{3} + 3 a b c) \times a^{4} b^{2} = (2 a^{3} \times a^{4} b^{2}) - (b^{3} \times a^{4} b^{2}) + (3 a b c \times a^{4} b^{2}) = 2 a^{7} b^{2} - a^{4} b^{5} + 3 a^{5} b^{3} c$

বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ

বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা গুণ করতে হলে গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের প্রত্যেক পদ দ্বারা আলাদা আলাদাভাবে গুণ করে সদৃশ পদগুলোকে নিচে নিচে সাজিয়ে লিখতে হয়।
চিহ্নযুক্ত রাশির যোগের নিয়মে যোগ করতে হয়।
বিসদৃশ পদ থাকলে সেগুলোকে পৃথকভাবে লিখতে হয় এবং গুণফলে বসাতে হয়।

উদাহরণ ১। 3x + 2y কে x + y দ্বারা গুণ কর।

গুণের নিয়ম:

প্রথমে গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের প্রথম পদ দ্বারা গুণ করে গুণফল লিখতে হবে।
এরপর গুণ্যের প্রত্যেক পদকে গুণকের দ্বিতীয় পদ দ্বারা গুণ করে গুণফল বের করতে হবে। এ গুণফলকে এমনভাবে সাজিয়ে লিখতে হবে যেন উভয় গুণফলের সদৃশ পদগুলো নিচে নিচে পড়ে।
প্রাপ্ত দুটি গুণফলের বীজগণিতীয় সমষ্টিই হলো নির্ণেয় গুণফল।

উদাহরণ ২। $a^{2} - 2 a b + b$ কে a - bদ্বারা গুণ কর।

উদাহরণ ৩। $2 x^{2} + 3 x - 4$ কে $3 x^{2} - 4 x - 5$ দ্বারা গুণ কর।

নির্ণেয় গুণফল $6 x^{4} + x^{3} - 34 x^{2} + x + 20$

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতীয় রাশির ভাগ (Division of Algebraic Expressions)

বীজগণিতীয় রাশির ভাগ (Division of Algebraic Expressions)

একটি বীজগাণিতিক রাশিকে অন্য একটি রাশি দ্বারা ভাগ করাকে বীজগণিতীয় রাশির ভাগ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

রাশির ভাগ করার সময় সহগগুলো আলাদাভাবে ভাগ করতে হয় এবং একই চলকের ক্ষেত্রে ঘাত বিয়োগ করতে হয়।

ভাগের মৌলিক নিয়ম

সহগগুলো ভাগ করতে হবে
একই চলকের ঘাত বিয়োগ করতে হবে
লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক কর্তন করতে হবে

চলকের ঘাতের নিয়ম

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

উদাহরণ ১

একপদীর ভাগ:

$\frac{12 x^{3}}{3 x} = 4 x^{2}$

কারণ,

$12 \div 3 = 4, x^{3} \div x = x^{2}$

উদাহরণ ২

বহুপদীকে একপদী দ্বারা ভাগ:

$\frac{6 x^{2} + 9 x}{3 x}$

প্রতিটি পদকে ভাগ করলে পাই:

$2 x + 3$

উদাহরণ ৩

সাধারণ গুণনীয়ক কর্তন:

$\frac{8 a^{2} b}{4 a} = 2 a b$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

একই চলকের ঘাত ভাগে বিয়োগ হয়
সহগগুলো আলাদাভাবে ভাগ করতে হয়
লব ও হরের সাধারণ গুণনীয়ক কর্তন করা যায়
প্রতিটি পদকে আলাদাভাবে ভাগ করতে হয়

মনে রাখার উপায়

“গুণে ঘাত যোগ, ভাগে ঘাত বিয়োগ” — এই নিয়ম মনে রাখলে বীজগাণিতিক রাশির ভাগ সহজে করা যায়।

বহুপদী রাশিকে বহুপদী রাশি দ্বারা ভাগ করার ক্ষেত্রে প্রথমে ভাজ্য ও ভাজক উভয়ের মধ্যে আছে এমন একটি বীজগণিতীয় প্রতীকের ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে রাশিদ্বয়কে সাজাতে হবে। যেমন $x^{2} + 2 x^{2} + 110 - 48 x$ একটি বহুপদী। একে x এর মানের অধঃক্রম অনুসারে সাজালে আমরা পাই: $2 x^{2} + x^{2} - 48 x + 110$ এরপর পাটিগণিতের ভাগ প্রক্রিয়ার মতো নিচের নিয়মে ধাপে ধাপে ভাগ করতে হবে।

ভাজ্যের প্রথম পদটিকে ভাজকের প্রথম পদ দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগফল হয় তা নির্ণেয় ভাগফলের প্রথম পদ।
ভাগফলের ঐ প্রথম পদ দ্বারা ভাজকের প্রত্যেক পদকে গুণ করে গুণফল সদৃশ পদ অনুযায়ী ভাজ্যের নিচে বসিয়ে ভাজ্য থেকে বিয়োগ করতে হয়।
বিয়োগফল নতুন ভাজ্য হবে। বিয়োগফল এমনভাবে লিখতে হবে যেন তা আগের মতো বিবেচ্য প্রতীকের অধঃক্রম অনুসারে থাকে।
নতুন ভাজ্যের প্রথম পদটিকে ভাজকের প্রথম পদ দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগফল হয় তা নির্ণেয় ভাগফলের দ্বিতীয় পদ।
এভাবে ক্রমান্বয়ে ভাগ করতে হয়।

উদাহরণ ৩। $6 x^{2} + x - 2$ কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ কর।

এখানে

$6 x^{2} \div 2 x = 3 x$ এই 3.x দ্বারা ভাজক 2x+1 গুণ করে গুণফল ভাজ্যের সদৃশ পদের নিচে লিখে বিয়োগ করা হল: নতুন ভাজ্য 4x - 2 এর ক্ষেত্রে একই নিয়ম অনুসরণ করা হল

সমাধান:

এখানে ভাজ্য ও ভাজক উভয়েই x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল 3x+2

উদাহরণ ৪। $2 x^{2} - 7 x y + 6 y^{2}$ কে x - 2y দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: এখানে রাশি দুইটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল 2x + 3y

উদাহরণ ৫। $16 x^{4} + 36 x^{2} + 81$ কে $4 x^{2} - 6 x + 9$ দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: এখানে রাশি দুটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল $4 x^{2} + 6 x + 9$

মন্তব্য: ২য় ধাপে নতুন ভাজ্যকেও x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজিয়ে লেখা হয়েছে।

উদাহরণ ৬। $2 x^{4} + 110 - 48 x$ কে $4 x + 11 + x^{2}$ দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: ভাজ্য ও ভাজক উভয়কে x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই,

ভাজ্য = $2 x^{4} + 110 - 48 x = 2 x^{4} - 48 x + 110$

ভাজক $= 4 x + 11 + x^{2} = x^{2} + 4 x + 11$

নির্ণেয় ভাগফল $2 x^{2} - 8 x + 10$

উদাহরণ ৭। $x^{4} - 1$ কে $x^{2} + 1$ দ্বারা ভাগ কর।

সমাধান: এখানে রাশি দুটি x এর ঘাতের অধঃক্রম অনুসারে সাজানো আছে।

নির্ণেয় ভাগফল $x^{2} - 1$

Content added By

Najjar Hossain Raju

সাধারণ সূত্রাবলী (General formulas)

বীজগণিতীয় সাধারণ সূত্রাবলী (General Formulas)

বীজগণিতে বিভিন্ন রাশি সরলীকরণ, উৎপাদক বিশ্লেষণ এবং সমীকরণ সমাধানের জন্য কিছু গুরুত্বপূর্ণ সাধারণ সূত্র ব্যবহার করা হয়।

১. দুই রাশির যোগের বর্গ

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

২. দুই রাশির বিয়োগের বর্গ

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

৩. বর্গের অন্তর

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

৪. দুই রাশির যোগ ও বিয়োগের গুণফল

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

৫. তিন রাশির বর্গের সূত্র

${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 bc + 2 ca$

৬. দুই রাশির যোগের ঘন

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

৭. দুই রাশির বিয়োগের ঘন

${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

সূত্রগুলো রাশি সরলীকরণে ব্যবহৃত হয়
উৎপাদক বিশ্লেষণে এই সূত্রগুলো গুরুত্বপূর্ণ
বর্গ ও ঘনের সূত্র সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়
চিহ্নের (+, −) দিকে সতর্ক থাকতে হয়

মনে রাখার উপায়

বর্গের সূত্রে “মাঝখানে 2ab” এবং ঘনের সূত্রে “3a²b ও 3ab²” থাকে — এই বিষয়টি মনে রাখলে সূত্র সহজে মনে থাকে।

Content added By

Najjar Hossain Raju

বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগাণিতিক প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগাণিতিক সূত্র বলা হয় । সপ্তম ও অষ্টম শ্রেণিতে বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এতদসংক্রান্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে ঐগুলো পুনরুল্লেখ করে কতিপয় প্রয়োগ দেখানো হলো।

সূত্র ১. ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

সূত্র ২. ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

মন্তব্য: সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে দেখা যায় যে, $a^{2} - b^{2}$ এর সাথে 2ab অথবা – 2ab যোগ করলে একটি পূর্ণবর্গ, অর্থাৎ ${(a + b)}^{2}$ অথবা ${(a - b)}^{2}$ পাওয়া যায়। সূত্র ১ এ b এর স্থলে –b বসালে সূত্র ২ পাওয়া যায় : ${a + (- b)}^{2} = a^{2} + 2 a (- b) + {(- b)}^{2}$ অর্থাৎ ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ।

অনুসিদ্ধান্ত ১. $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$

অনুসিদ্ধান্ত ২. $a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b$

অনুসিদ্ধান্ত ৩. ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$

প্রমাণ : ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} + 4 a b = {(a - b)}^{2} + 4 a b$

অনুসিদ্ধান্ত ৪. ${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b$

প্রমাণ : ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} - 4 a b = {(a + b)}^{2} - 4 a b$

অনুসিদ্ধান্ত ৫. $a ² + b ² = \frac{{(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}}{2}$

প্রমাণ : সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে,

অনুসিদ্ধান্ত ৬. $a b = {(\frac{a + b}{2})}^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2}$

প্রমাণ : সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে,

মন্তব্য : অনুসিদ্ধান্ত ৬ প্রয়োগ করে যেকোনো দুইটি রাশির গুণফলকে ঐ দুইটি রাশির সমষ্টির অর্ধেকের বর্গ হতে ঐ দুইটি রাশির অন্তরের অর্ধেকের বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করা যায়।

সূত্র ৩. $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

অর্থাৎ, দুইটি রাশির বর্গের বিয়োগফল = রাশি দুইটির যোগফল × রাশি দুইটির বিয়োগফল

সূত্র ৪. $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$

অর্থাৎ, $(x + a) (x + b) = x^{2} +$ (a ও b এর বীজগাণিতিক যোগফল) x + (a ও b এর গুণফল)

বর্গসূত্রের সম্প্রসারণ: a` + b + c রাশিটিতে তিনটি পদ আছে। একে (a + b) এবং c এ দুইটি পদের সমষ্টিরূপে বিবেচনা করা যায়। অতএব, সূত্র ১ প্রয়োগ করে রাশিটির বর্গ করে পাই,

$(a + b + c) ² = (a + b) + c ² = (a + b) ² + 2 (a + b) c + c ²$

$= a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a c + 2 b c + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$

সূত্র ৫. ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$

অনুসিদ্ধান্ত ৭. $a^{2} + b^{2} + c^{2} = {(a + b + c)}^{2} - 2 (a b + b c + a c)$

অনুসিদ্ধান্ত ৮. $2 (a b + b c + a c) = {(a + b + c)}^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

দ্রষ্টব্য : সূত্র ৫ প্রয়োগ করে পাই,

ক) ${(a + b - c)}^{2} = {{a + b + (- c)}}^{2}$

$= a^{2} + b^{2} + {(- c)}^{2} + 2 a b + 2 b (- c) + 2 a (- c)$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b - 2 b c - 2 a c$

খ) $(a - b + c)^{2} = {a + (- b) + c}^{2}$

$= a^{2} + {(- b)}^{2} + c^{2} + 2 a (- b) + 2 (- b) c + 2 a c$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 b c + 2 a c$

গ) ${(a - b - c)}^{2} = {a + (- b) + (- c)}^{2}$

$= a^{2} + {(- b)}^{2} + {(- c)}^{2} + 2 a (- b) + 2 (- b) (- c) + 2 a (- c)$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b + 2 b c - 2 a c$

উদাহরণ ১. (4x + 5y) এর বর্গ কত?

সমাধান : $(4 x + 5 y)^{2} = (4 x)^{2} + 2 \times (4 x) \times (5 y) + (5 y)^{2} = 16 x^{2} + 40 x y + 25 y^{2}$

উদাহরণ ২. (3a - 7b) এর বর্গ কত?

সমাধান : $(3 a - 7 b)^{2} = (3 a)^{2} - 2 \times (3 a) \times (7 b) + (7 b)^{2} = 9 a^{2} - 42 a b + 49 b^{2}$

উদাহরণ ৩. বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে 996 এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : $(996)^{2} = (1000 - 4)^{2} = (1000)^{2} - 2 \times 1000 \times 4 + 4^{2}$

$= 1000000 - 8000 + 16 = 1000016 - 8000 = 992016$

উদাহরণ ৪. a + b + c + d এর বর্গ কত?

সমাধান : $(a + b + c + d)^{2} = {(a + b) + (c + d)}^{2}$

$= (a + b)^{2} + 2 (a + b) (c + d) + (c + d)^{2}$

$= a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 (a c + a d + b c + b d) + c^{2} + 2 c d + d^{2}$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 a d + 2 b c + 2 b d + 2 c d$

উদাহরণ ৫. সরল কর :

$(5 x + 7 y + 3 z)^{2} + 2 (7 x - 7 y - 3 z) (5 x + 7 y + 3 z) + (7 x - 7 y - 3 z)^{2}$

সমাধান : , 5x + 7y + 3z = a এবং 7x - 7y - 3z = b

$∴$ প্রদত্ত রাশি $= a^{2} + 2 . b . a + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$= {(a + b)}^{2}$

$= {(5 x + 7 y + 3 z) + (7 x - 7 y - 3 z)}^{2}$

$= (12 x)^{2} = 144 x^{2}$

উদাহরণ ৬. x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x + y এর মান কত?

সমাধান : $(x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4 x y = (2)^{2} + 4 \times 24 = 4 + 96 = 100$

$∴ x + y = \pm \sqrt{100} = \pm 10$

উদাহরণ ৭. যদি $a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4} = 3$ এবং $a^{2} + a b + b^{2} = 3$ হয়, তবে $a^{2} + b^{2}$ এর মান কত?

সমাধান : $a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$

$= (a^{2})^{2} + 2 a^{2} b^{2} + (b^{2})^{2} - a^{2} b^{2}$

$= (a^{2} + b^{2})^{2} - (a b)^{2}$

$= (a^{2} + b^{2} + a b) (a^{2} + b^{2} - a b)$

$= (a^{2} + a b + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2})$

$∴$ $3 = 3 (a^{2} - a b + b^{2})$ [মান বসিয়ে]

বা, $a^{2} - a b + b^{2} = \frac{3}{3} = 1$

এখন, $a^{2} + a b + b^{2} = 3$ এবং $a^{2} - a b + b^{2} = 1$

যোগ করে পাই, $2 (a^{2} + b^{2}) = 4$

বা, $a^{2} + b^{2} = \frac{4}{2} = 2$

$∴$ $a^{2} + b^{2} = 2$

উদাহরণ ৮. প্রমাণ কর যে, $(a + b)^{4} - (a - b)^{4} = 8 a b (a^{2} + b^{2})$

সমাধান : $(a + b)^{4} - (a - b)^{4}$

$= {(a + b)^{2}}^{2} - {(a - b)^{2}}^{2}$

$= {(a + b)^{2} + (a - b)^{2}} {(a + b)^{2} - (a - b)^{2}}$

$= 2 (a^{2} + b^{2}) \times 4 a b$ [অনুসিদ্ধান্ত ৫ এবং অনুসিদ্ধান্ত ৬ ব্যবহার করে]

$= 8 a b (a^{2} + b^{2})$

$∴ (a + b)^{4} - (a - b)^{4} = 8 a b (a^{2} + b^{2})$

উদাহরণ ৯. a + b + c = 15 এবং $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 83$ হলে, $a b + b c + a c$ এর মান কত?

সমাধান : প্রথম পদ্ধতি :

$2 (a b + b c + a c) = (a + b + c)^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = (15)^{2} - 83 = 225 - 83 = 142$

$∴ a b + b c + a c = \frac{142}{2} = 71$

উদাহরণ ১০. a + b + c = 2 এবং ab + bc + ac = 1 হলে, $(a + b)^{2} + (b + c)^{2} + (c + a)^{2}$ এর মান কত?

সমাধান : $(a + b)^{2} + (b + c)^{2} + (c + a)^{2}$

$= a^{2} + 2 a b + b^{2} + b^{2} + 2 b c + c^{2} + c^{2} + 2 c a + a^{2}$

$= (a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a) + (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$= (a + b + c)^{2} + (a + b + c)^{2} - 2 (a b + b c + c a)$

$= (2)^{2} + (2)^{2} - 2 \times 1 = 4 + 4 - 2 = 8 - 2 = 6$

উদাহরণ ১১. (2x + 3y)(4x - 5y) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।

সমাধান : ধরি, 2x + 3y = a এবং 4x - 5y = b

$∴$ প্রদত্ত রাশি $a b = {(\frac{a + b}{2})}^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2}$

$= {(\frac{2 x_3 y + 4 x - 5 y}{2})}^{2} - {(\frac{2 x + 3 y - 4 y + 5 y}{2})}^{2}$ [a ও b এর মান বসিয়ে]

$= (3 x - y)^{2} - (4 y - x)^{2}$

$∴ (2 x + 3 y) (4 x - 5 y) = (3 x - y)^{2} - (4 y - x)^{2}$

Content added By

Najjar Hossain Raju

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগণিতে ঘন (Cube) সম্পর্কিত বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ব্যবহার করে জটিল রাশিকে সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও সরলীকরণ করা হয়।

ঘনের মৌলিক ধারণা

কোনো সংখ্যাকে বা রাশিকে তিনবার গুণ করলে তাকে সেই সংখ্যার ঘন বলা হয়।

উদাহরণ:

$a \times a \times a = a^{3}$

ঘন সংবলিত গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

১. দুই রাশির যোগের ঘন

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

২. দুই রাশির বিয়োগের ঘন

${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

৩. দুই ঘনের যোগ

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

৪. দুই ঘনের বিয়োগ

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ঘন মানে কোনো রাশির তৃতীয় ঘাত
ঘন সূত্র উৎপাদক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়
যোগ ও বিয়োগের ঘনের সূত্র আলাদা
দুই ঘনের যোগ ও বিয়োগের নির্দিষ্ট সূত্র রয়েছে

মনে রাখার উপায়

“দুই ঘনের যোগে মাঝখানে ঋণ, আর বিয়োগে মাঝখানে ধন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সূত্র সহজে মনে থাকে।

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

সূত্র ৬. $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

প্রমাণ : $(a + b)^{3} = (a + b) (a + b)^{2}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + b (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৯. $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

সূত্র ৭. $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

প্রমাণ : $(a - b)^{3} = (a - b) (a - b)^{2}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} - 2 a b + b^{2}) - b (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

অনুসিদ্ধান্ত ১০. $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

সূত্র ৮. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

প্রমাণ : $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

$= (a + b) {(a + b)^{2} - 3 a b}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - 3 a b)$

$= (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

সূত্র ৯. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

প্রমাণ : $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

$= (a - b) {(a - b)^{2} + 3 a b}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + 3 a b)$

$= (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

উদাহরণ ১২. 2x + 6y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2 x + 3 y)^{3}$

$= (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} . 3 y + 3.2 x (3 y)^{2} + (3 y)^{3}$

$= 8 x^{3} + 3.4 x^{2} . 3 y + 3.2 x . 9 y^{2} + 27 y^{3}$

$= 8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$

উদাহরণ ১৩. 2x - y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2 x - y)^{3}$

$= (2 x)^{3} - 3 (2 x)^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= 8 x^{3} - 3.4 x^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$

উদাহরণ ১৪. x = 37 হলে, $8 x^{3} + 72 x^{2} + 216 x + 216$ এর মান কত?

সমাধান: $8 x^{3} + 72 x^{2} + 216 x + 216$

$= (2 x)^{3} + 3 . (2 x)^{2} . 6 + 3.2 x . (6)^{2} + (6)^{3}$

$= (2 x + 6)^{3} = (2 \times 37 + 6)^{3}$ [মান বসিয়ে]

$= (74 + 6)^{3} = (80)^{3} = 512000$

উদাহরণ ১৫. যদি 7x - y = 8 এবং xy = 5 হয়, তবে $x^{3} - y^{3} + 8 (x + y)^{2}$ এর মান কত?

সমাধান: $x^{3} - y^{3} + 8 (x + y)^{2}$

$= (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) + 8 {(x - y)^{2} + 4 x y}$

$= (8)^{3} + 3 \times 5 \times 8 + 8 (8^{2} + 4 \times 5)$ [মান বসিয়ে]

$= 8^{3} + 15 \times 8 + 8 (8^{2} + 4 \times 5)$

$= 8^{3} + 15 \times 8 + 8 \times 84$

$= 8 (8^{2} + 15 + 84) = 8 (64 + 15 + 84)$

$= 8 \times 163 = 1304$

উদাহরণ ১৬. যদি $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 18 \sqrt{3}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

উদাহরণ ১৭. x + y = 5, xy = 6 হলে এবং x > y হলে

ক) $2 (x^{2} + y^{2})$ এর মান নির্ণয় কর।

খ) $x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2})$ এর মান নির্ণয় কর।

গ) $x^{5} + y^{5}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) আমরা জানি,

$= 2 (5^{2} - 2.6) = 2 \times 13 = 26$

$∴ 2 (x^{2} + y^{2}) = 26$

খ) দেওয়া আছে, $x + y = 5$ এবং $x y = 6, x > y$

$∴ x - y = \sqrt{{(x + y)}^{2} - 4 x y}$ (প্রদত্ত শর্ত মোতাবেক ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

$= \sqrt{5^{2} - 4 \times 6} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1$

$x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2})$

$= (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) - \frac{3}{2} . 2 (x^{2} + y^{2})$

$= 1^{3} + 3.6.1 - \frac{3}{2} . 26$

$= 1 + 18 - 39$

$= - 20$

$∴ x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2}) = - 20$

গ) x + y = 5 এবং x - y = 1

যোগ করে, 2x = 6 $∴ x = \frac{6}{2} = 3$

বিয়োগ করে, 2y = 4 $∴ y = \frac{4}{2} = 2$

$∴ x^{5} + y^{5} = 3^{5} + 2^{5} = 243 + 32 = 275$

Content added By

Najjar Hossain Raju

উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

কোনো রাশি দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলের সমান হলে, শেষোক্ত রাশিগুলোর প্রত্যেকটিকে প্রথমোক্ত রাশির উৎপাদক বা গুণনীয়ক বলা হয়। কোনো বীজগাণিতিক রাশির উৎপাদকগুলো নির্ণয় করার পর রাশিটিকে লব্ধ উৎপাদকগুলোর গুণফলরূপে প্রকাশ করাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ বলা হয়। বীজগাণিতিক রাশিগুলো এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট (বহুপদী) হতে পারে। সেজন্য উক্ত রাশির উৎপাদকগুলোও এক বা একাধিক পদবিশিষ্ট হতে পারে। এখানে উৎপাদক নির্ণয়ের কতিপয় কৌশল আলোচনা করা হবে।

সাধারণ উৎপাদক : কোনো বহুপদীর প্রত্যেক পদে কোনো সাধারণ উৎপাদক থাকলে তা বের করে নিতে হয়। যেমন :

উদাহরণ ১৮. $3 a^{2} b + 6 a b^{2} + 12 a^{2} b^{2} = 3 a b (a + 2 b + 4 a b)$

উদাহরণ ১৯. $2 a b (x - y) + 2 b c (x - y) + 3 c a (x - 3) = (x - y) (2 a b + 2 b c + c a)$

পূর্ণবর্গ : একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ আকারে প্রকাশ করেও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।

উদাহরণ ২০. $4 x^{2} + 12 x + 9$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $4 x^{2} + 12 x + 9 = {(2 x)}^{2} + 2 \times 2 \times 3 + {(3)}^{2}$

$= {(2 x + 3)}^{2} = (2 x + 3) (2 x + 3)$

উদাহরণ ২১. $9 x^{2} - 30 x y + 25 y^{2}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $9 x^{2} - 30 x y + 25 y^{2}$

$= {(3 x)}^{2} - 2 \times 3 x \times 5 y + {(5 y)}^{2}$

$= {(3 x — 5 y)}^{2} = (3 x — 5 y) (3 x - 5 y)$

দুইটি বর্গের অন্তর : একটি রাশিকে দুইটি বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করে এবং $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ সূত্র প্রয়োগ করেও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।

উদাহরণ ২২. $a^{2} - 1 + 2 b - b^{2}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $a^{2} - 1 + 2 b - b^{2} = a^{2} - (b^{2} - 2 b + 1)$

$= a^{2} - {(b - 1)}^{2} = a + (b - 1) a - (b - 1)$

$= (a + b - 1) (a - b + 1)$

উদাহরণ ২৩. $a^{4} + 64 b^{4}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $a^{4} + 64 b^{4} = {(a^{2})}^{2} + {(8 b^{2})}^{2}$

$= {(a^{2})}^{2} + 2 \times a^{2} \times 8 b^{2} + {(8 b^{2})}^{2} - 16 a^{2} b^{2}$

$= {(a^{2} + 8 b^{2})}^{2} - {(4 a b)}^{2}$

$= (a^{2} + 8 b^{2} + 4 a b) (a^{2} + 8 b^{2} — 4 a b)$

$= (a^{2} + 4 a b + 8 b^{2}) (a^{2} — 4 a b + 8 b^{2})$

সরল মধ্যপদ বিভক্তিকরণ : $x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ সূত্রটি ব্যবহার করে উৎপাদক নির্ণয় করা যায়। এ পদ্ধতিতে $x^{2} + p x + q$ আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করা সম্ভব হয় যদি দুইটি সংখ্যা a ও b নির্ণয় করা যায় যেন, a + b = p এবং ab = q হয়। এজন্য q এর দুইটি সচিহ্ন উৎপাদক নিতে হয় যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি p হয়। q>0 হলে, a ও b একই চিহ্নযুক্ত হবে এবং q<0 হলে, a ও b বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে। উল্লেখ্য p এবং q পূর্ণসংখ্যা না ও হতে পারে।

উদাহরণ ২৪. $x^{2} + 12 x + 35$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $x^{2} + 12 x + 35 = x^{2} + (5 + 7) x + 5 \times 7 (x + 5) (x + 7)$

উদাহরণ ২৫. $x^{2} + x - 20$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $x^{2} + x - 20 = x^{2} + (5 - 4) x + (5) (- 4) = (x + 5) (x - 4)$

যৌগিক মধ্যপদ বিশ্লেষণ : $a x^{2} + b c + c$ আকারের বহুপদীর মধ্যপদ বিভক্তিকরণ পদ্ধতিতে $a c^{2} + b x + c = (r x + p) (s x + q)$ হবে যদি $a x^{2} + b x + c = r s x^{2} + (r q + s p) x + p q$ হয়। অর্থাৎ, a = rs, b = rq + sp এবং c = pg হয়। সুতরাং, ac = rspq = (rq) (sp) এবং b = rq + sp l অতএব, $a x^{2} + b + c$ আকারের বহুপদীর উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে ac, অর্থাৎ, $x^{2}$ এর সহগ এবং x বর্জিত পদের গুণফলকে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে, যাদের বীজগাণিতিক সমষ্টি x এর সহগ b এর সমান হয়।

উদাহরণ ২৬. $3 x^{2} - x - 14$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $3 x^{2} - x - 14 = 3 x^{2} - 7 x + 6 x - 14$

$= x (3 x - 7) + 2 (3 x - 7) = (3 x - 7) (x + 2)$

ঘন আকার : একটি রাশিকে পূর্ণঘন আকারে প্রকাশ করেও উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ২৭. $8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : $8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$

$= (2 x)^{3} + 3 \times (2 x)^{2} \times 3 y + 3 \times 2 x \times (3 y)^{2} + (3 y)^{3}$

$= (2 x + 3 y)^{3} = (2 x + 3 y) (2 x + 3 y) (2 x + 3 y)$

দুইটি ঘন এর যোগফল বা বিয়োগফলের সূত্র দিয়ে : $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ এবং $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ সূত্র দুইটি ব্যবহার করে উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ২৮. উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর : ক) $8 a^{3} + 27 b^{3}$ খ) $a^{6} - 64$

সমাধান :

ক) $8 a^{3} + 27 b^{3} = (2 a)^{3} + (3 b)^{3}$

$= (2 a + 3 b) {(2 a)^{2} - 2 a \times 3 b + (3 b)^{2}}$

$= (2 a + 3 b) (4 a^{2} - 6 a b + 9 b^{2})$

খ) $a^{6} - 64 = (a^{2})^{3} - (4)^{3} = (a^{2} - 4) {(a^{2})^{2} + a \times^{2} 4 + (4)^{2}}$

কিন্তু $= (a^{2} - 4) (a^{4} + 4 a^{2} + 16)$

এবং $a^{4} + 4 a^{2} + 16 = (a^{2})^{2} + (4)^{2} + 4 a^{2}$

$= (a^{2} + 4)^{2} - 2 (a^{2}) (4) + 4 a^{2}$

$= (a^{2} + 4)^{2} - 4 a^{2}$

$= (a^{2} + 4)^{2} - (2 a)^{2}$

$= (a^{2} + 4 + 2 a) (a^{2} + 4 - 2 a)$

$= (a^{2} + 2 a + 4) (a^{2} - 2 a + 4)$

$∴ a^{6} - 64 = (a + 2) (a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) (a^{2} - 2 a + 4)$

বিকল্প নিয়ম : $a^{6} - 64 = (a^{3})^{2} - 8^{2}$

$= (a^{3} + 8) (a^{3} - 8)$

$= (a^{3} + 2^{3}) (a^{3} - 2^{3})$

$= (a + 2) (a^{2} - 2 a + 4) (a - 2) (a^{2} + 2 a + 4)$

$= (a + 2) (a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) (a^{2} - 2 a + 4)$

ভগ্নাংশসহগযুক্ত রাশির উৎপাদক : ভগ্নাংশসহগযুক্ত রাশির উৎপাদকগুলোকে বিভিন্নভাবে প্রকাশ করা যায়। যেমন, $a^{3} + \frac{1}{27} = a^{3} + \frac{1}{3^{3}} = (a + \frac{1}{3}) (a^{2} - \frac{a}{3} + \frac{1}{9})$

আবার, $a^{3} + \frac{1}{27} = \frac{1}{27} (27 a^{3} + 1) = \frac{1}{27} (3 a)^{3} + (1)^{3} = \frac{1}{27} (3 a + 1) (9 a^{2} - 3 a + 1)$

দ্বিতীয় সমাধানে চলক-সংবলিত উৎপাদকগুলোর সহগগুলো পূর্ণসংখ্যা কিন্তু সমাধান দুইটি অভিন্ন।

$\frac{1}{27} (3 a + 1) (9 a^{2} - 3 a + 1) = \frac{1}{3} (3 a + 1) \times \frac{1}{9} (9 a^{2} - 3 a + 1)$

$= (a + \frac{1}{3}) (a^{2} - \frac{a}{3} + \frac{1}{9})$

উদাহরণ ২৯. $x^{3} + 6 x^{2} y + 11 x y^{2} + 6 y^{3}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষ্ণ কর।

সমাধান : $x^{3} + 6 x^{2} y + 11 x y^{2} + 6 y^{3}$

$= {x^{3} + 3 x^{2} . 2 y + 3 . x . (2 y)^{2} + (2 y)^{3}} - x y^{2} - 2 y^{3}$

$= (x + 2 y)^{3} - y^{2} (x + 2 y) = (x + 2 y) {(x + 2 y)^{2} - y^{2}}$

$= (x + 2 y) (x + 2 y + y) (x + 2 y - y)$

$= (x + 2 y) (x + 3 y) (x + y) = (x + y) (x + 2 y) (x + 3 y)$

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem)

নিচের উদাহরণটিতে $6 x^{2} - 7 x + 5$ কে $x - 1$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ও ভাগশেষ কত?

এখানে, ভাজক $x - 1,$ ভাজ্য $6 x^{2} - 7 x + 5,$ ভাগফল $6 x - 1$ এবং ভাগশেষ 4 ।

আমরা জানি, ভাজ্য = ভাজক x ভাগফল + ভাগশেষ

এখন যদি আমরা ভাজ্যকে f(x), ভাগফলকে h(2), ভাগশেষকে । ও ভাজককে (x – a) দ্বারা সূচিত করি, তাহলে উপরের সূত্র থেকে পাই,

f(x) = (x – a) . h(a) + r, এই সূত্রটি a এর সকল মানের জন্য সত্য।

উভয়পক্ষে x = a বসিয়ে পাই,

f(a) = (a - a) . h(a) + r = 0. h(a) + r = r

সুতরাং, r = f(a)

অতএব, f(x) কে (x – a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় f(a)। এই সূত্র ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder theorem) নামে পরিচিত। অর্থাৎ, ধনাত্মক মাত্রার কোনো বহুপদী f(x) কে (x – a) আকারের বহুপদী দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা ভাগ না করে বের করার সূত্রই হলো ভাগশেষ উপপাদ্য। উপরের উদাহরণে a = 1 হলে $f (x) = 6 x^{2} - 7 x + 51$

$∴$ f(1) = 6 - 7 + 5 = 4 যা ভাগশেষের সমান। ভাজক বহুপদী (x – a) এর মাত্রা 1, ভাজক যদি ভাজ্যের উৎপাদক হয়, তাহলে ভাগশেষ হবে শূন্য। আর যদি উৎপাদক না হয়, তাহলে ভাগশেষ থাকবে এবং তা হবে অশূন্য কোনো সংখ্যা। তবে সাধারণভাবে বলতে গেলে ভাগফল ভাজকের থেকে কম মাত্রার একটি বহুপদী হবে।

অনুসিদ্ধান্ত ১১. (x – a), f(x) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি f(a) = 0 হয়।

প্রমাণ : ধরি, f(a) 0। অতএব, ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, f(x) কে (x – a) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ শূন্য হবে। অর্থাৎ, (x – a), f(x) এর একটি উৎপাদক হবে।

বিপরীতক্রমে, ধরি, (x – a), f(x) এর একটি উৎপাদক।

অতএব, f(x) = (x – a) . h(x), যেখানে h(x) বহুপদী।

উভয়পক্ষে x = a বসিয়ে পাই,

f(a) = (a – a) . h(a) = 0

$∴$ f(a) = 0

সুতরাং, কোনো বহুপদী f(x), (x – a) দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি এবং কেবল যদি f(a) = 0 হয়। এই সূত্র উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem) নামে পরিচিত।

প্রতিজ্ঞা ১২. যদি f(x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে f(x) কে (a + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $f (- \frac{b}{a})$

প্রমাণ : ভাজক ax + b, (a ≠ 0) এর মাত্রা 1 ।

সুতরাং আমরা লিখতে পারি, $f (x) = (a x + b) . h (x) + r = a (x + \frac{b}{a}) . h (x) + r$

$∴ f (x) = (x + \frac{b}{a}) . a . h (x) + r$

দেখা যাচ্ছে যে, f(x) কে $(x + \frac{b}{a})$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হয়, a. h(x) এবং ভাগশেষ হয় r ।

এখানে, ভাজক $= x - (- \frac{b}{a})$

সুতরাং ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, $r = f (- \frac{b}{a})$

অতএব, f(x) কে (ax + b) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $(- \frac{b}{a})$

অনুসিদ্ধান্ত ১৩. ax + b, a ≠ 0 হলে, রাশিটি কোনো বহুপদী f(x) এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি $f (- \frac{b}{a}) = 0$ হয়।

প্রমাণ : $a \neq 0, a x + b = a (x + \frac{b}{a}), f (x)$ এর উৎপাদক হবে, যদি এবং কেবল যদি $(x + \frac{b}{a}) = x - (- \frac{b}{a}), f (x)$ এর একটি উৎপাদক হয়। অর্থাৎ, যদি এবং কেবল যদি $f (- \frac{b}{a}) = 0$ হয়। ভাগশেষ উপপাদ্যের সাহায্যে উৎপাদক নির্ণয়ের এই পদ্ধতিকে শূন্যায়ন পদ্ধতি (Vanishing method) বলে।

উদাহরণ ৩০. $x^{3} - x - 6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এখানে, $f (x) = x^{3} - x - 6$ একটি বহুপদী। এর ধ্রুবপদ – 6 এর উৎপাদকগুলো হচ্ছে ±1, ±2, ±3, ±6 ।

এখন, x = 1, –1 বসিয়ে দেখি, f(x) এর মান শূন্য হয় না।

কিন্তু x = 2 বসিয়ে দেখি, f(x) এর মান শূন্য হয়।

অর্থাৎ, $f (2) = 2^{3} - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0$ ।

সুতরাং, x – 2, f(x) বহুপদীটির একটি উৎপাদক ।

$∴ f (x) = x^{3} - x - 6$

$= x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6$

$= x^{2} (x - 2) + 2 x (x - 2) + 3 (x - 2)$

$= (x - 2) (x^{2} + 2 x + 3)$

উদাহরণ ৩১. $x^{3} - 3 x y^{2} + 2 y^{2}$ এবং $x^{3} - 3 x y^{2} + 2 y^{3}$ এবং $x^{2} + x y - 2 y^{2}$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এখানে, æ কে চলক এবং y কে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করি।

প্রদত্ত রাশিকে x-এর বহুপদী বিবেচনা করে

ধরি, $f (x) = x^{3} - 3 x y^{2} + 2 y^{3}$

তাহলে, $f (y) = y^{3} - 3 y . y^{2} + 2 y^{3} = 3 y^{3} - 3 y^{3} = 0$

$∴$ (x - y), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন, $x^{3} - 3 x y^{2} + 2 y^{3}$

$= x^{3} - x^{2} y + x^{2} y - x y^{2} - 2 x y^{2} + 2 y^{3}$

$= x^{2} (x - y) + x y (x - y) - 2 y^{2} (x - y) = (x - y) (x^{2} + x y - 2 y^{2})$

আবার ধরি, $g (x) = x^{2} + x y - 2 y^{2}$

$∴ g (y) = y^{2} + y^{2} - 2 y^{2} = 0$

$∴ (x - y) g (x)$

$∴ g (x) = x^{2} + x y - 2 y^{2}$

$= x^{2} - x y + 2 x y - 2 y^{2}$

$= x (x - y) + 2 y (x - y)$

$= (x - y) (x + 2 y)$

$∴ x^{3} - 3 x y^{2} + 2 y^{3} = (x - y)^{2} (x + 2 y)$

উদাহরণ ৩২. $54 x^{4} + 27 x^{3} a - 16 x - 8 a$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : ধরি, $f (x) = 54 x^{4} + 27 x^{3} a - 16 x - 8 a$

তাহলে, $f (- \frac{1}{2} a) = 54 {(- \frac{1}{2} a)}^{4} + 27 a {(- \frac{1}{2} a)}^{3} - 16 (- \frac{1}{2} a) - 8 a$

$= \frac{27}{8} a^{4} - \frac{27}{8} a^{4} + 8 a - 8 a = 0$

$∴ x - (- \frac{1}{2} a) = x + \frac{a}{2} = \frac{1}{2} (2 x + a),$ f(x) এর একটি উৎপাদক

অর্থাৎ, (2x + a) f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন, $54 x^{4} + 27 x^{3} a - 16 x - 8 a$

$= 27 x^{3} (2 x + a) - 8 (2 x + a)$

$= (2 x + a) (27 x^{3} - 8)$

$= (2 x + a) {(3 x)^{3} - (2)^{3}}$

$= (2 x + a) (3 x - 2) (9 x^{2} + 6 x + 4)$

উদাহরণ ৩৩. $g (a) = a^{3} + a^{2} + 10 a - 8, f (a) = a^{3} - 9 + (a + 1)^{3}$ ।

ক) g(a) কে (a - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে তা নির্ণয় কর।

খ) f(a) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : ক) দেওয়া আছে, $g (a) = a^{3} + a^{2} + 10 a - 8$

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে g(a) কে (a - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে g(2) ।

$∴ g (2) = 2^{3} + 2^{2} + 10.2 - 8 = 8 + 4 + 20 - 8 = 32 - 8 = 24$

$∴ g (2) = 24$

নির্ণেয় ভাগশেষ 24

খ) $f (a) = a^{3} - 9 + {(a + 1)}^{3}$

f(a) একটি বহুপদী, a = 1 বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়।

ফলে (a – 1) বহুপদীটির একটি উৎপাদক।

$∴ f (a) = a^{3} - 9 + a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 1 = 2 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a - 8$

$= 2 a^{3} - 2 a^{2} + 5 a^{2} - 5 a + 8 a - 8$

$= 2 a^{2} (a - 1) + 5 a (a - 1) + 8 (a - 1)$

$= (a - 1) (2 a^{2} + 5 a + 8)$

$∴ a^{3} - 9 + {(a + 1)}^{3} = (a - 1) (2 a^{2} + 5 a + 8)$

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতীয় রাশিমালার ল.সা.গু ও গ.সা.গু (L.C.M & H.C.F of algebraic expressions )

বীজগণিতীয় রাশিমালার ল.সা.গু ও গ.সা.গু (L.C.M & H.C.F of Algebraic Expressions)

বীজগাণিতিক রাশিগুলোর সাধারণ গুণিতক ও সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করাকে বীজগণিতীয় রাশিমালার ল.সা.গু ও গ.সা.গু নির্ণয় বলা হয়।

গ.সা.গু (H.C.F - Highest Common Factor)

দুই বা ততোধিক রাশির সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে বৃহত্তম গুণনীয়ককে গ.সা.গু বলা হয়।

ল.সা.গু (L.C.M - Least Common Multiple)

দুই বা ততোধিক রাশির সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম গুণিতককে ল.সা.গু বলা হয়।

গ.সা.গু নির্ণয়ের নিয়ম

প্রথমে রাশিগুলোকে উৎপাদক বিশ্লেষণ করতে হবে
সাধারণ উৎপাদকগুলো নির্বাচন করতে হবে
প্রতিটি সাধারণ উৎপাদকের ক্ষুদ্রতম ঘাত নিতে হবে

ল.সা.গু নির্ণয়ের নিয়ম

প্রথমে রাশিগুলোকে উৎপাদক বিশ্লেষণ করতে হবে
সব উৎপাদক নিতে হবে
প্রতিটি উৎপাদকের বৃহত্তম ঘাত নিতে হবে

উদাহরণ ১ : গ.সা.গু নির্ণয়

নিচের রাশিদ্বয়ের গ.সা.গু নির্ণয় করি:

$6 x^{2} y, 9 x y^{2}$

সহগ 6 ও 9 এর গ.সা.গু = 3
সাধারণ চলক = x এবং y

ক্ষুদ্রতম ঘাত নিলে পাই:

$3 x y$

উদাহরণ ২ : ল.সা.গু নির্ণয়

নিচের রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু নির্ণয় করি:

$4 x, 6 x^{2}$

সহগ 4 ও 6 এর ল.সা.গু = 12
চলকের বৃহত্তম ঘাত = x²

সুতরাং ল.সা.গু হবে:

$12 x^{2}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

গ.সা.গুতে ক্ষুদ্রতম ঘাত নেওয়া হয়
ল.সা.গুতে বৃহত্তম ঘাত নেওয়া হয়
প্রথমে উৎপাদক বিশ্লেষণ করা গুরুত্বপূর্ণ
সহগ ও চলক আলাদাভাবে বিবেচনা করতে হয়

মনে রাখার উপায়

“গ.সা.গুতে ছোট ঘাত, ল.সা.গুতে বড় ঘাত” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে নির্ণয় করা যায়।

সপ্তম শ্রেণিতে অনূর্ধ্ব তিনটি বীজগণিতীয় রাশির সাংখ্যিক সহগসহ গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. নির্ণয় সম্পর্কে সম্যক ধারণা দেওয়া হয়েছে । এখানে সংক্ষেপে এ সম্পর্কে পুনরালোচনা করা হলো।

সাধারণ গুণনীয়ক : যে রাশি দুই বা ততোধিক রাশির প্রত্যেকটির গুণনীয়ক, একে উক্ত রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক (Common factor) বলা হয়। যেমন, $x^{2} y, x y, x y^{2}, 5 x$ রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক হলো $x$ ।

আবার, $(a^{2} - b^{2}), (a + b)^{2}, (a^{3} + b^{3})$ রাশিগুলোর সাধারণ গুণনীয়ক $(a + b)$

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.)

দুই বা ততোধিক রাশির ভিতর যতগুলো মৌলিক সাধারণ গুণনীয়ক আছে, এদের সকলের গুণফলকে ঐ রাশিদ্বয় বা রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (Highest Common Factor) বা সংক্ষেপে গ.সা.গু. (H.C.E) বলা হয়। যেমন, $a^{3} b^{2} c^{3}, a^{5} b^{3} c^{4}$ ও $a^{4} b^{3} c^{2}$ এই রাশি তিনটির গ.সা.গু. হবে $a^{3} b^{2} c^{2}$ ।

আবার, ${(x + y)}^{2}, {(x + y)}^{3}$

গ.সা.গু. নির্ণয়ের নিয়ম

প্রথমে পাটিগণিতের নিয়মে প্রদত্ত রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগের গ.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে। এরপর বীজগণিতীয় রাশিগুলোর মৌলিক উৎপাদক বের করতে হবে। অতঃপর সাংখ্যিক সহগের গ.সা.গু. এবং প্রদত্ত রাশিগুলোর সর্বোচ্চ বীজগণিতীয় সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলোর ধারাবাহিক গুণফলই হবে নির্ণেয় গ.সা.গু.।

উদাহরণ ১। $9 a^{3} b^{2} c^{2}, 12 a^{2} b c$ ও $15 a b^{3} c^{3}$ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : $9, 12, 15$ এর গ.সা.গু. $= 3$

$a^{3}, a^{2}, a$ এর গ.সা.গু $= a$

$b^{2}, b, b^{3}$ এর গ.সা.গু $= b$

$c^{2}, c, c^{3}$ এর গ.সা.গু $= c$

নির্ণেয় গ.সা.গু. $= 3 a b c$

উদাহরণ ২। $x^{3} - 2 x, x^{2} - 4$ $x y - 2 y$ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে, প্রথম রাশি $= x^{3} - 2 x^{2} = x^{2} (x - 2)$

দ্বিতীয় রাশি $= x - 4 = (x + 2) (x - 2)$

তৃতীয় রাশি $= x y - 2 y = y (x - 2)$

রাশিগুলোতে সাধারণ উৎপাদক $(x - 2)$ এবং এর সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাতযুক্ত উৎপাদক $(x - 2)$

$∴$ গ.সা.গু. $= (x - 2)$

উদাহরণ ৩। $x^{2} y (x^{3} - y^{3}), x^{2} y^{2} (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4})$ ও $(x^{2} y^{2} + x^{2} y^{3} + x y^{4})$ এর গ.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে, প্রথম রাশি $= x^{2} y (x^{3} - y^{3})$

$= x^{2} y (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})$

দ্বিতীয় রাশি $= x^{2} y^{2} (x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4})$

$= x^{2} y^{2} {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} y^{2} + {(y^{2})}^{2} - x^{2} y^{2}$

$= x^{2} y^{2} (x^{2} + y^{2} + x y) (x^{2} + y^{2} - x y)$

$= x^{2} y^{2} (x^{2} + x y + y^{2}) (x^{2} - x y + y^{2})$

তৃতীয় রাশি $= x^{3} y^{2} + x^{2} y^{3} + x y^{4} = x y^{2} (x^{2} + x y + y^{2})$

এখানে, প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশির সাধারণ উৎপাদক $x y (x^{2} + x y + y^{2})$

$∴$ গ.সা.গু. $= x y (x^{2} + x y + y^{2})$

সাধারণ গুণিতক : কোনো একটি রাশি অপর দুই বা ততোধিক রাশি দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে, ভাজ্যকে ভাজকদ্বয় বা ভাজকগুলোর সাধারণ গুণিতক (Common Multiple) বলে । যেমন, $a^{2} b^{2} c$ রাশিটি $a, b, c, a b, b e, c a, a^{2} b, a b^{2}, a^{2} c, b^{2} c$ রাশিগুলোর প্রত্যেকটি দ্বারা বিভাজ্য । সুতরাং, $a^{2} b^{2} c$ রাশিটি $a, b, c, a b, b e, c a, a^{2} b, a^{2} c, a b^{2}, b^{2} c$ রাশিগুলোর সাধারণ গুণিতক। আবার, ${(a + b)}^{2} (a - b)$ রাশিটি $(a + b), {(a + b)}^{2}$ ও $(a^{2} - b^{2})$ রাশি তিনটির সাধারণ গুণিতক।

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.)

দুই বা ততোধিক রাশির সম্ভাব্য সকল উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফলকে রাশিগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (Least Common Multiple) বা সংক্ষেপে ল.সা.গু. (L.C.M.) বলা হয়।

যেমন, $x^{2} y^{2} z$ রাশিটি $x^{2} y z, x y^{2}$ ও $x y z$ রাশি তিনটির ল.সা.গু.।

আবার, ${(x + y)}^{2} (x - y)$ রাশিটি $(x + y), {(x + y)}^{2}$ ও $(x^{2} - y^{2})$ রাশি তিনটির ল.সা.গু.।

ল.সা.গু. নির্ণয়ের নিয়ম

প্রথমে প্রদত্ত রাশিগুলোর সাংখ্যিক সহগের ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
এরপর সাধারণ উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত বের করতে হবে। অতঃপর উভয়ের গুণফলই হবে প্রদত্ত রাশিগুলোর ল.সা.গু.

উদাহরণ ৪। $4 a^{2} b c, 8 a b^{2} c$ ও $6 a^{2} b^{2} c$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সামাধান: এখানে, $4, 8$ ও $6$ এর ল.সা.গু $= 24$

প্রদত্ত রাশিগুলোর সর্বোচ্চ সাধারণ ঘাতের উৎপাদক যথাক্রমে $a^{2}, b^{2}, c$

$∴$ ল.সা.গু. $= 24 a^{2} b^{2} c .$

উদাহরণ ৫। $x - x^{2} y, x^{2} y + x y^{2}, x^{3} + y^{3}$ এবং ${(x + y)}^{3}$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে, প্রথম রাশি $= x^{2} + x^{2} y = x^{2} (x + y)$

দ্বিতীয় রাশি $= x^{2} y + x y^{2} = x y (x + y)$

তৃতীয় রাশি $= 47^{2} = x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$

চতুর্থ রাশি $= {(x + y)}^{3} = (x + y) (x + y) (x + y)$

$∴$ ল.সা.গু. $= x^{2} y (x + y)^{3} (x^{2} - x y + y^{2}) = x^{2} y (x + y)^{2} (x^{3} + y^{3})$

উদাহরণ ৬। $4 (x^{2} + a x)^{2}, 6 (x^{3} - a^{2} x)$ ও $14 x^{3} (x^{3} - a^{3})$ এর ল.সা.গু. নির্ণয় কর।

সমাধাণ : এখানে প্রথম রাশি $= 4 (x^{2} + a x)^{2} = 2 \times 2 \times x^{2} (x + a)^{2}$

দ্বিতীয় রাশি $= 6 (x^{3} - a^{2} x) = 2 \times 3 \times x (x^{2} - a^{2}) = 2 \times 3 \times x (x + a) (x - a)$

তৃতীয় রাশি $= 14 x^{3} (x^{3} - a^{3}) = 2 \times 7 \times x^{3} (x - a) (x^{2} + a x + a^{2})$

$∴$ ল.সা.গু. $= 2 \times 2 \times 3 \times 7 \times x^{3} \times (x + a)^{2} (x - a) (x^{2} + a x + a^{2})$

$= 84 x^{3} (x + a)^{2} (x^{3} - a^{3})$

Content added By

Najjar Hossain Raju

সূচক ও লগারিদম (Exponents & Logarithms)

সূচক ও লগারিদম (Exponents & Logarithms)

সূচক (Exponent) ও লগারিদম (Logarithm) গণিতের এমন দুটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা যা বড় সংখ্যাকে সহজভাবে প্রকাশ ও সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়।

সূচক (Exponent) কী?

যদি কোনো সংখ্যাকে বারবার গুণ করা হয়, তবে সেই গুণের সংক্ষিপ্ত রূপকে সূচক বলে।

সাধারণ রূপ

$a^{n} = a \times a \times \dots \times a$

এখানে a হলো ভিত্তি (Base) এবং n হলো সূচক (Exponent)।

সূচকের মৌলিক সূত্রাবলী

১. একই ভিত্তির গুণ

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

২. একই ভিত্তির ভাগ

$\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$

৩. সূচকের সূচক

${a^{m}}^{n} = a^{m \times n}$

৪. শূন্য সূচক

$a^{0} = 1 (a \neq 0)$

৫. ঋণাত্মক সূচক

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$

লগারিদম (Logarithm) কী?

লগারিদম হলো সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া। অর্থাৎ সূচককে উল্টোভাবে প্রকাশ করার পদ্ধতি।

সাধারণ রূপ

$a^{x} = N \Rightarrow \log_{a} N = x$

এখানে, a = ভিত্তি (Base), N = সংখ্যা, x = লগারিদমের মান

লগারিদমের মৌলিক সূত্রাবলী

১. গুণের সূত্র

$\log_{a} (M \times N) = \log_{a} M + \log_{a} N$

২. ভাগের সূত্র

$\log_{a} (\frac{M}{N}) = \log_{a} M - \log_{a} N$

৩. ঘাতের সূত্র

$\log_{a} (M^{n}) = n \log_{a} M$

৪. ভিত্তি পরিবর্তন সূত্র

লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তন করার সূত্র হলো—

$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$

লগারিদমের গুরুত্বপূর্ণ ধরন

Common Log: ভিত্তি 10
Natural Log: ভিত্তি e

মনে রাখার উপায়

সূচক → বারবার গুণ
লগারিদম → সূচকের উল্টো প্রক্রিয়া
log(ab) = log a + log b
log(a/b) = log a − log b

Content added By

Najjar Hossain Raju

সূচক (Exponents /Indices)

অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যা বা রাশিকে সূচকের সাহায্যে লিখে অতি সহজে প্রকাশ করা যায় । ফলে হিসাব গণনা ও গাণিতিক সমস্যা সমাধান সহজতর হয়। তাছাড়া সূচকের মাধ্যমেই সংখ্যার বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ প্রকাশ করা হয়। তাই প্রত্যেক শিক্ষার্থীর সূচকের ধারণা ও এর প্রয়োগ সম্পর্কে জ্ঞান থাকা আবশ্যক।

সূচক ও ভিত্তি সংবলিত রাশিকে সূচকীয় রাশি বলা হয়।

a যেকোনো বাস্তব সংখা এবং n যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে, n সংখ্যক a এর ক্রমিক গুণ হলো $a^{n}$ । অর্থাৎ, a × a × a × ... × a (n সংখ্যক বার a) = $a^{n}$ । এখানে, n হলো সূচক বা ঘাত এবং a হলো ভিত্তি। আবার, বিপরীতক্রমে $a^{n}$ = a × a × a × a (n সংখ্যক বার a)।

সূচক শুধু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাই নয়, ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বা ধনাত্মক ভগ্নাংশ বা ঋণাত্মক ভগ্নাংশও হতে পারে। অর্থাৎ, ভিত্তি a ∈ R (বাস্তব সংখ্যার সেট) এবং সূচক n ∈ Q (মুলদ সংখ্যার সেট) এর জন্য $a^{n}$ সংজ্ঞায়িত। বিশেষ ক্ষেত্রে, n ∈ N (স্বাভাবিক সংখ্যার সেট) ধরা হয়। তাছাড়া অমূলদ সূচকও হতে পারে। তবে সেটা মাধ্যমিক স্তরের পাঠ্যসূচি বহির্ভূত বলে এখানে আর আলোচনা করা হয় নি।

সূচকের সূত্রাবলি (Index Laws)

ধরি, a ∈ R (বাস্তব সংখ্যার সেট) এবং m, n ∈ N (স্বাভাবিক সংখ্যার সেট)।

সূত্র ১ (গুণ). $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

সূত্র ২ (ভাগ).

সূত্র ৩ (গুণফলের ঘাত). ${(a b)}^{n} = a^{n} \times b^{n}$

সূত্র ৪ (ভাগফলের ঘাত). ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}, (b \neq 0)$

সূত্র ৫ (ঘাতের ঘাত). ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$

শূন্য ও ঋণাত্মক সূচক (Zero and Negative Indices)

সূচকে সূত্রাবলির প্রয়োগ ক্ষেত্র সকল পূর্ণসংখ্যা সম্প্রসারণের লক্ষে $a^{0}$ এবং $a^{- n}$ (যেখানে n স্বাভাবিক সংখ্যা) এর সংজ্ঞা দেয়া প্রয়োজন।

সংজ্ঞা ১ (শূন্য সূচক). $a^{0} = 1, (a \neq 0)$

সংজ্ঞা ২ (ঋণাত্মক সূচক). $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}, (a \neq 0, n \in N)$

এই সংজ্ঞা দুইটির ফলে সূচক বিধি m এবং n এর সকল পূর্ণসাংখ্যিক মানের জন্য বলবৎ থাকে এবং এরূপ সকল সূচকের জন্য $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m n}$ খাটে।

লক্ষ কর, $\frac{a^{n}}{a^{n}} = a^{n - n} = a^{0} .$

উদাহরণ ১. মান নির্ণয় কর : ক) $\frac{5^{3}}{5^{3}}$ খ) ${(\frac{2}{3})}^{5} \times {(\frac{2}{3})}^{- 5}$

সমাধান :

উদাহরণ ২. সরল কর : ক) $\frac{5^{4} \times 8 \times 16}{2^{5} \times 125}$ খ) $\frac{3 . 2^{n} - 4 . 2^{n - 2}}{2^{n} - 2^{n - 1}}$

সমাধান :

উদাহরণ ৩. দেখাও যে, $(a^{p})^{q - r} . (a^{q})^{r - p} . (a^{r})^{p - q} = 1$

সমাধান :

n তম মূল (n th Root)

2,4,8,16 ইত্যাদি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদক বের করে পাই,

2 = 2,2 আছে 1 বার
4=2 $\times$ 2,2 গুণ আকারে আছে 2 বার
8=2 $\times$ 2 $\times$ 2,2 গুণ আকারে আছে 3 বার
16=2 $\times$ 2 $\times$ 2 $\times$ 2,2 গুণ আকারে আছে 4 বার

কোনো রাশিতে একই উৎপাদক যতবার গুণ আকারে থাকে, সেই সংখ্যাকে উৎপাদকটির সূচক এবং উৎপাদকটিকে ভিত্তি বলা হয়।

লক্ষণীয় যে, 2 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি একবার আছে, এখানে সূচক 1 এবং ভিত্তি 2। 4 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি 2 বার আছে। কাজেই সূচক 2 এবং ভিত্তি 2। আবার, ৪ এবং 16 এর মধ্যে 2 উৎপাদকটি যথাক্রমে 3 বার এবং 4 বার আছে। সেজন্য ৪ এর সূচক 3 ও ভিত্তি 2 এবং 16 এর সূচক 4 ও ভিত্তি 2

ঘাত বা শক্তি

এ একটি বীজগণিতীয় রাশি। একে এ দ্বারা এক বার, দুই বার, তিন বার গুণ করলে হবে:

$a \times a = a^{2}$ যেখানে a² কে a এর দ্বিতীয় ঘাত বলে এবং a² কে পড়া হয় এ এর বর্গ

$a \times a \times a = a^{3}$ যেখানে a³কে a এর তৃতীয় ঘাত বলে এবং a³ কে পড়া হয় এ এর ঘন

$a \times a \times a \times a = a^{4}$ যেখানে a⁴ কে a এর চতুর্থ ঘাত বলে, ইত্যাদি।

অনুরূপভাবে, এ কে যদি n বার গুণ করা হয় তবে আমরা পাই $a \times a \times a \times$ ________ $\times a$ (n বার) = aⁿ। এখানে aⁿ কে a এর ॥ তম ঘাত বা শক্তি বলে এবং n হবে ঘাতের সূচক ও a হবে ভিত্তি। সুতরাং a² এর ক্ষেত্রে a এর ঘাত বা সূচক 2 ও ভিত্তি a; a³ এর ক্ষেত্রে ৫ এর ঘাত বা সূচক 3 ও ভিত্তি a, ইত্যাদি।

সংখ্যার ক্ষেত্রে সূচক থেকে আমরা একটি সূচকমুক্ত ফলাফল পাই, কিন্তু অক্ষরের ক্ষেত্রে সূচক থেকে ফলাফল সূচক আকারেই থাকে।

উদাহরণস্বরূপ,

$2^{3} + 3^{2} = 2 \times 2 \times 2 + 3 \times 3 = 8 + 9 = 17$

$a^{4} + 2^{4} = a \times a \times a \times a + 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = a^{4} + 16$

উদাহরণ ৮। সরল কর:

$(i) a x a^{2} (i i) a^{3} x a^{2} (i i i) a x a^{3}$

সমাধান:

$(i) a \times a^{2} = a \times a \times a = a^{3} (i i) a^{3} \times a^{2} = (a \times a \times a) (a \times a) = a \times a \times a \times a \times a \times a \times a = a^{5} (i i i) a^{4} \times a^{3} = (a \times a \times a \times a) (a \times a \times a) = a \times a \times a \times a \times a \times a \times a \times a = a^{7}$

লক্ষ করি:

$a \times a^{2} = a^{1} \times a^{2} = a^{3} = a^{1 + 2} a^{3} \times a^{2} = a^{5} = a^{3 + 2} a^{4} \times a^{3} = a^{7} = a^{4 + 3}$

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি, $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$ m ও n স্বাভাবিক সংখ্যা। গুণনের এই প্রক্রিয়াকে বলা হয় সূচকের গুণনবিধি।

কোনো সংখ্যার ঘাত বা শক্তি 1 হলে, সংখ্যাটির সূচক 1 লেখা হয় না। যেমন,

a = a^{1}, x = x^{1}

ইত্যাদি।

উদাহরণ ৯। গুণ কর:

$(i) a^{4} \times a^{5} (i i) x^{3} \times x^{8} (i i i) x^{5} \times x^{9}$

সমাধান:

$(i) a^{4} \times a^{5} = a^{4 + 5} = a^{9} (i i) x^{3} \times x^{8} = x^{3 + 8} = x^{11} (i i i) x^{5} \times x^{9} = x^{5 + 9} = x^{14}$

উদাহরণ ১০। সরল কর:

$(i) 2 a \times 3 b^{2} \times 4 c \times 6 a^{2} \times 5 b^{3} (i i) a \times a \times a \times b \times c \times b \times c \times a \times c \times b .$

সমাধান:

$(i) 2 a \times 3 b^{2} \times 4 c \times 6 a^{2} \times 5 b^{3} = (2 a \times 6 a^{2}) \times (3 b^{2} \times 5 b^{3}) \times 4 c$
$= (2 \times 6 \times a^{1 + 2}) \times (3 \times 5 \times b^{2 + 3}) \times 4 c = 12 a^{3} \times 15 b^{5} \times 4 c = (12 \times 15 \times 4) a^{3} b^{5} c = 720 a^{3} b^{5} c .$

(ii)

$a \times a \times a \times b \times c \times b \times c \times a \times c \times b = (a \times a \times a x \times a) \times (b \times b \times b) \times (c \times c \times c) = a^{4} b^{3} c^{3} .$

উদাহরণ ১১ । a = 1 , b = 2 , c = 3 হলে, নিচের রাশিগুলোর মান নির্ণয় কর:

$(i) a^{2} + b^{2} + c^{2} (i i) a^{2} + 2 a b - c$

সমাধান:

$(i) a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 = 1 + 4 + 9 = 14$

$(i i) a^{2} + 2 a b - c = 1^{2} + 2.1.2 - 3 = 1 + 4 - 3 = 5 - 3 - 2 .$

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

লগারিদম (Logarithms)

লগারিদম হলো সূচকের একটি বিশেষ রূপ, যার মাধ্যমে কোনো সংখ্যাকে কত ঘাত করলে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায় তা নির্ণয় করা হয়।

মৌলিক ধারণা

যদি,

$a^{x} = N$

তবে,

$\log_{a} N = x$

এখানে,
a = ভিত্তি (Base)
N = সংখ্যা
x = লগারিদমের মান

উদাহরণ

$2^{3} = 8$

অতএব,

$\log_{2} 8 = 3$

লগারিদমের গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

১. গুণের সূত্র

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M + \log_{a} N$

২. ভাগের সূত্র

$\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$

৩. ঘাতের সূত্র

$\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M$

সাধারণ লগারিদম

যখন ভিত্তি 10 হয়, তখন তাকে সাধারণ লগারিদম বলা হয়।

$\log_{10} N$

প্রাকৃতিক লগারিদম

যখন ভিত্তি e হয়, তখন তাকে প্রাকৃতিক লগারিদম বলা হয়।

$\log_{e} N$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

লগারিদম সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া
ভিত্তি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে
ভিত্তি 1 হতে পারবে না
লগারিদমের মান নির্ণয়ে সূত্রগুলো গুরুত্বপূর্ণ

মনে রাখার উপায়

“গুণে যোগ, ভাগে বিয়োগ, ঘাতে সামনে আসে” — এই নিয়ম মনে রাখলে লগারিদমের সূত্র সহজে মনে থাকে।

সূচকীয় রাশির মান বের করতে লগারিদম (Logarithms) ব্যবহার করা হয়। সাধারণ লগারিদমকে সংক্ষেপে লগ (Log) লেখা হয়। বড় বড় সংখ্যা বা রাশির গুণফল, ভাগফল ইত্যাদি লগারিদমের সাহায্যে সহজে নির্ণয় করা যায়।

আমরা জানি, $2^{3} = ৪$ এই গাণিতিক উক্তিটিকে লগের মাধ্যমে লেখা হয় $\log_{2} 8 = 3$ হলে $2^{3} = ৪$ একইভাবে $2^{- 3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}$ কে লগের মাধ্যমে লেখা যায়, $\log_{2} \frac{1}{8} = - 3$ ।

$a^{x} = N, (a > 0, a \neq 1)$ হলে, $x = \log_{a} N$ কে N এর a ভিত্তিক লগ বলা হয়।

দ্রষ্টব্য : ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যাই হোক না কেন, a > 0 হলে $a^{z}$ সর্বদা ধনাত্মক। তাই শুধু ধনাত্মক সংখ্যারই লগের মান আছে যা বাস্তব। শূন্য বা ঋণাত্মক সংখ্যার লগের বাস্তব মান নেই।

লগারিদমের সূত্রাবলি (Laws of Logarithms)

ধরি, a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1 এবং M > 0, N > 0

সূত্র ৬ (শূন্য ও এক লগ). a > 0, a = 1 হলে ক) $\log_{a} 1 = 0$ খ) $\log_{a} a = 1$

উদাহরণ ৭. ক) $5 \sqrt{5}$ এর 5 ভিত্তিক লগ কত? খ) 400 এর লগ 4 হলে লগের ভিত্তি কত?

সমাধান :

সংখ্যার বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ (Scientific or Standard Form of Numbers)

সূচকের সাহায্যে আমরা অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যাকে সহজ আকারে প্রকাশ করতে পারি।

যেমন, আলোর গতি = 300000 কি.মি./সে. 300000000 মিটার/সে

= 3 × 100000000মি./সে. = 3 × 10º মি./সে.

আবার, একটি হাইড্রোজেন পরমাণুর ব্যাসার্ধ

= 0.0000000037 সে. মি.

$= \frac{37}{10000000000}$ সে.মি. $= 37 \times 10^{- 10}$ সে.মি.

= $3.7 \times 10 \times 10^{- 10}$ সে.মি. $= 3.7 \times 10^{- 9}$ সে.মি.

সুবিধার্থে অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যাকে ax 10” আকারে প্রকাশ করা হয়, যেখানে, 1 < a < 10 এবং n ∈ Z । কোনো সংখ্যার $a \times 10^{n}$ রূপকে বলা হয় সংখ্যাটির বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ।

লগারিদম পদ্ধতি (Logarithmic Method)

লগারিদম পদ্ধতি দুই ধরনের :

ক) স্বাভাবিক লগারিদম (Natural Logarithm): স্কটল্যান্ডের গণিতবিদ জন নেপিয়ার (John Napier: 1550-1617) ১৬১৪ সালে e কে ভিত্তি ধরে প্রথম লগারিদম সম্পর্কিত বই প্রকাশ করেন। e একটি অমূলদ সংখ্যা, e = 2.71828...। তাঁর এই লগারিদমকে নেপিরিয়ান লগারিদম বা e ভিত্তিক লগারিদম বা তত্ত্বীয় লগারিদমও বলা হয়। $\log_{e} x$ কে Inx আকারেও লেখা হয়।

খ) সাধারণ লগারিদম ( Common Logarithm): ইংল্যান্ডের গণিতবিদ হেনরি ব্রিগস (Henry Briggs: 1561-1630) ১৬২৪ সালে 10 কে ভিত্তি ধরে লগারিদমের টেবিল (লগ টেবিল বা লগ সারণি) তৈরি করেন। তাঁর এই লগারিদমকে ব্রিগস লগারিদম বা 10 ভিত্তিক লগারিদম বা ব্যবহারিক লগারিদমও বলা হয়। এই লগারিদমকে $\log_{1 o} x$ আকারে লেখা হয়।

দ্রষ্টব্য : লগারিদমের ভিত্তির উল্লেখ না থাকলে রাশির (বীজগণিতীয়) ক্ষেত্রে e কে এবং সংখ্যার ক্ষেত্রে 10 কে ভিত্তি হিসেবে ধরা হয়। লগ সারণিতে ভিত্তি 10 ধরতে হয়।

সাধারণ লগের পূর্ণক (Characteristics of Common Log)

একটি সংখ্যা N কে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করে পাই,

$N = a \times 10^{n},$ যেখানে $N > 0, 1 \leq a < 10$ এবং n ∈ Z

উভয়পক্ষে 10 ভিত্তিতে লগ নিয়ে পাই,

ভিত্তি 10 উহ্য রেখে পাই, logN = n + loga

n কে বলা হয় logN এর পূর্ণক।

দ্রষ্টব্য : নিচের ছক থেকে লক্ষ করি: প্রদত্ত সংখ্যার পূর্ণ অংশে যতগুলো অঙ্ক থাকবে, সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে সেই অঙ্কসংখ্যার চেয়ে 1 কম এবং তা হবে ধনাত্মক। অর্থাৎ উল্লিখিত অঙ্ক সংখ্যা m হলে সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে m - 1

দ্রষ্টব্য: এবার নিচের ছক থেকে লক্ষ করি: প্রদত্ত সংখ্যার পূর্ণ অংশ না থাকলে দশমিক বিন্দু ও এর পরের প্রথম সার্থক অঙ্কের মাঝে যতগুলো ০ (শূন্য) থাকবে, সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে শূন্যের সংখ্যার চেয়ে 1 বেশি এবং তা হবে ঋণাত্মক। অর্থাৎ উল্লিখিত শূন্যের সংখ্যা k হলে সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে {–(k + 1)}।

পূর্ণক ঋনাত্মক হলে, পূর্ণকটির বামে ‘–' চিহ্ন না দিয়ে পূর্ণকটির উপরে '—' (বার চিহ্ন) দিয়ে লেখা হয়। যেমন, পূর্ণক –3 কে লেখা হবে $\bar{3}$ দিয়ে। তা না হলে অংশকসহ লগের সম্পূর্ণ অংশটি ঋণাত্মক বুঝাবে।

দ্রষ্টব্য : পূর্ণক ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে, কিন্তু অংশক সর্বদা ধনাত্মক।

উদাহরণ ১১. নিচের সংখ্যাগুলোর লগের পূর্ণক নির্ণয় কর :

ক) 5570 খ) 45.70 গ) 0.4305 ঘ) 0.000435

সমাধান :

সাধারণ লগের অংশক (Mantissa of Common Log)

কোনো সংখ্যার সাধারণ লগের অংশক 1 অপেক্ষা ছোট একটি অঋণাত্মক সংখ্যা। এটি মূলত: অমূলদ সংখ্যা। তবে একটি নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত অংশকের মান বের করা হয়। কোনো সংখ্যার লগের অংশক লগ তালিকা থেকে বের করা যায়। আবার তা ক্যালকুলেটরের সাহায্যেও বের করা যায়। আমরা দ্বিতীয় পদ্ধতিতে, অর্থাৎ ক্যালকুলেটরের সাহায্যে সংখ্যার লগের অংশক বের করবো।

উদাহরণ ১২. log2717 এর পূর্ণক ও অংশক নির্ণয় কর :

সমাধান :

উদাহরণ ১৩. log43.517 এর পূর্ণক ও অংশক বের কর।

সমাধান :

উদাহরণ ১৪. 0.00836 এর লগের পূর্ণক ও অংশক কত?

সমাধান :

$∴$ log0.00836 এর পূর্ণক –3 এবং অংশক .92221, অংশকটি সর্বদা অঋণাত্মক হওয়ায় এখানে পূর্ণকের ‘-’ চিহ্নটি সংখ্যাটির ওপরে দেখানো হয়।

উদাহরণ ১৫. $\log_{e} 10$ নির্ণয় কর :

সমাধান :

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

অভেদ ও সমীকরণ

অভেদ ও সমীকরণ (Identities & Equations)

অভেদ (Identity)

যে সমীকরণে চলকের সকল মানের জন্য উভয়পক্ষ সমান থাকে, তাকে অভেদ (Identity) বলে। অভেদকে সাধারণত “≡” চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ

$(a + b)^{2} \equiv a^{2} + 2 a b + b^{2}$

আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ অভেদ

$(a - b) (a + b) \equiv a^{2} - b^{2}$

সমীকরণ (Equation)

যে গাণিতিক বাক্যে দুটি রাশির মধ্যে সমতা ( = ) চিহ্ন দ্বারা সম্পর্ক প্রকাশ করা হয় এবং যার একটি বা একাধিক মান নির্ণয় করতে হয়, তাকে সমীকরণ বলে।

উদাহরণ

$2 x + 5 = 11$

সমীকরণের প্রকারভেদ

সরল সমীকরণ (Linear Equation)
দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)
উচ্চ ঘাত সমীকরণ (Higher Order Equation)

অভেদ ও সমীকরণের পার্থক্য

অভেদ: সব মানের জন্য সত্য
সমীকরণ: নির্দিষ্ট মানের জন্য সত্য

উদাহরণ দিয়ে পার্থক্য

অভেদ:

$(a + b)^{2} \equiv a^{2} + 2 a b + b^{2}$

সমীকরণ:

$x + 3 = 7$

গুরুত্বপূর্ণ কথা

অভেদে সমানতা সব মানের জন্য সত্য
সমীকরণে নির্দিষ্ট মান বসালে সমাধান পাওয়া যায়
অভেদে “≡” এবং সমীকরণে “=” ব্যবহার করা হয়

Content added By

Najjar Hossain Raju

লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তন

লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তন (Change of Base of Logarithm)

লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তনের মাধ্যমে যেকোনো লগারিদমকে অন্য ভিত্তিতে প্রকাশ করা যায়। এটি লগারিদমের একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র।

মূল সূত্র

$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$

বিশেষ ক্ষেত্রে (Base 10 ব্যবহার করে)

$\log_{a} b = \frac{\log b}{\log a}$

প্রাকৃতিক লগ (Natural Log) ব্যবহার করে

$\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$

সূত্রের ব্যাখ্যা

উপরে থাকে সংখ্যার লগ (b)
নিচে থাকে ভিত্তির লগ (a)
উভয় লগ একই ভিত্তিতে হতে হবে

গুরুত্বপূর্ণ কথা

ভিত্তি পরিবর্তন করলে গণনা সহজ হয়
সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত ভিত্তি 10 এবং e (ln)
যেকোনো লগকে অন্য লগে রূপান্তর করা যায়

Content added By

Najjar Hossain Raju

সেট (Set)

বাস্তব বা চিন্তাজগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে। ইংরেজি বর্ণমালার প্রথম পাঁচটি বর্ণ, এশিয়া মহাদেশের দেশসমূহ, স্বাভাবিক সংখ্যা ইত্যাদির সেট সু-সংজ্ঞায়িত সেটের উদাহরণ। কোন বস্তু বিবেচনাধীন সেটের অন্তর্ভুক্ত আর কোনটি নয় তা সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারিত হতে হবে। সেটের বস্তুর কোনো পুনরাবৃত্তি ও ক্রম নেই।

সেটের প্রত্যেক বস্তুকে সেটের উপাদান (element) বলা হয় । সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর A, B, C,..., X, Y, Z দ্বারা এবং উপাদানকে ছোট হাতের অক্ষর a, b, c, x, y, z দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সেটের উপাদানগুলোকে{ } এই প্রতীকের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করে সেট হিসেবে ব্যবহার করা হয় । যেমন: a,b,c-এর সেট {a,b,c}; তিস্তা, মেঘনা, যমুনা ও ব্রহ্মপুত্র নদ-নদীর সেট {তিস্তা, মেঘনা, যমুনা, ব্রহ্মপুত্র}, প্রথম দুইটি জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট {2, 4}; 6 এর গুণনীয়কসমূহের সেট {1, 2, 3, 6} ইত্যাদি । মনে করি, সেট A এর একটি উপাদান x । একে গাণিতিকভাবে x ∈ A প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । x ∈ A কে পড়তে হয়, x, A সেটের উপাদান ( x belongs to A)। যেমন, B = {m, n} হলে, m ∈ B এবং n ∈ B.

উদাহরণ ১। প্রথম পাঁচটি বিজোড় সংখ্যার সেট A হলে, A = {1,3,5,7,9}

সেট (Set)

সুস্পষ্টভাবে নির্ধারিত বস্তু বা সংখ্যার সমষ্টিকে সেট বলা হয়। বীজগণিত ও গণিতের বিভিন্ন শাখায় সেট একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা।

সেট প্রকাশের পদ্ধতি

সাধারণত সেটকে বড় হাতের ইংরেজি অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং উপাদানগুলো দ্বিতীয় বন্ধনীর মধ্যে লেখা হয়।

উদাহরণ:

$A = {1, 2, 3, 4}$

সেটের উপাদান

সেটের অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি বস্তুকে সেটের উপাদান বলা হয়।

যদি 2, A সেটের একটি উপাদান হয় তবে লিখি:

$2 \in A$

সেটের প্রকারভেদ

১. সসীম সেট (Finite Set)

যে সেটের উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট, তাকে সসীম সেট বলে।

উদাহরণ:

${2, 4, 6}$

২. অসীম সেট (Infinite Set)

যে সেটের উপাদান সংখ্যা অসীম, তাকে অসীম সেট বলে।

উদাহরণ:

${1, 2, 3, ...}$

৩. শূন্য সেট (Null Set)

যে সেটে কোনো উপাদান থাকে না, তাকে শূন্য সেট বলে।

${}$

৪. সমান সেট (Equal Set)

দুইটি সেটের সব উপাদান একই হলে তাদের সমান সেট বলা হয়।

সাবসেট (Subset)

একটি সেটের সব উপাদান যদি অন্য একটি সেটে থাকে, তবে প্রথম সেটটি দ্বিতীয় সেটের উপসেট।

উদাহরণ:

$A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}$

তাহলে,

$A \subset B$

সেটের মৌলিক ক্রিয়া

১. ইউনিয়ন (Union)

দুই সেটের সব উপাদান নিয়ে নতুন সেট গঠন করলে তাকে ইউনিয়ন বলে।

$A \cup B$

২. ছেদ (Intersection)

দুই সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ বলে।

$A \cap B$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

সেট সুস্পষ্ট হতে হবে
উপাদান একাধিকবার লেখা হয় না
উপাদানের ক্রম পরিবর্তন হলেও সেট পরিবর্তিত হয় না
শূন্য সেট সব সেটের উপসেট

মনে রাখার উপায়

সেট হলো “সুস্পষ্ট উপাদানের সমষ্টি” এবং ইউনিয়ন মানে একত্র, ছেদ মানে সাধারণ অংশ।

সেট প্রকাশের পদ্ধতি

প্রধানত সেট দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়। যথা: (১) তালিকা পদ্ধতি (Tabular Method) (2) সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method)

(১) তালিকা পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করে দ্বিতীয় বন্ধনী { } এর মধ্যে আবদ্ধ করা হয় এবং একাধিক উপাদান থাকলে ‘কমা’ ব্যবহার করে উপাদানগুলোকে পৃথক করা হয় । যেমন : A = {1, 2, 3} B = {x, y, z}, C = {100}, D = {গোলাপ, রজনীগন্ধা}, E = {রহিম, সুমন, শুভ্র, চাংপাই} ইত্যাদি।

(২) সেট গঠন পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ না করে উপাদান নির্ধারণের জন্য শর্ত দেওয়া থাকে । যেমন : 10 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার সেট A হলে, A = {x : x স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা, x < 10}

এখানে, ‘:’ দ্বারা ‘এরূপ যেন' বা সংক্ষেপে ‘যেন’ বোঝায় । সেট গঠন পদ্ধতিতে { } এর ভেতরে ' : ' চিহ্নের আগে একটি অজানা রাশি বা চলক ধরে নিতে হয় এবং পরে চলকের ওপর প্রয়োজনীয় শর্ত আরোপ করতে হয়। যেমন: { 3, 6, 9, 12 } সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করতে চাই । লক্ষ করি, 3, 6, 9, 12, সংখ্যাগুলো স্বাভাবিক সংখ্যা, 3 দ্বারা বিভাজ্য এবং 12 এর বড় নয় । এক্ষেত্রে সেটের উপাদানকে 'y' চলক বিবেচনা করলে 'y' এর ওপর শর্ত হবে y স্বাভাবিক সংখ্যা, 3 এর গুণিতক এবং 12 এর চেয়ে বড় নয় () ≤ 12)। সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতিতে হবে {y: y স্বাভাবিক সংখ্যা, 3 এর গুণিতক এবং y ≤ 12}।

উদাহরণ ১। P = {4, 8, 12, 16, 20} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।

সমাধান : P সেটের উপাদানসমূহ 4, 8, 12, 16, 20

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান জোড় সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং 20 এর বড় নয়।

∴ P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}

উদাহরণ ২। Q = {x : x, 42 এর সকল গুণনীয়ক} সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

সমাধান : Q সেটটি 42 এর গুণনীয়কসমূহের সেট।

∴ 42 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

নির্ণেয় সেট Q = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

Content added By

Najjar Hossain Raju

সসীম সেট (Finite Set)

(Finite set) যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়, একে সসীম সেট বলে। যেমন A = {a, b, c, d}, B = { 5, 10, 15, 100} ইত্যাদি সসীম সেট। এখানে A সেটে 4টি উপাদান এবং B সেটে 20 টি উপাদান আছে।

যে সেটের উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট ও গণনা করা সম্ভব, তাকে সসীম সেট বলা হয়। অর্থাৎ, যেসব সেটের উপাদান গণনা করে শেষ করা যায়, সেগুলোই সসীম সেট।

মৌলিক ধারণা

সসীম সেটে উপাদানের সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকে এবং তা একটি নির্দিষ্ট মানে শেষ হয়।

উদাহরণ

$A = {1, 2, 3, 4, 5}$

এখানে A সেটের উপাদান সংখ্যা 5, যা নির্দিষ্ট। তাই এটি সসীম সেট।

আরেকটি উদাহরণ

$B = {a, b, c, d}$

B সেটেও উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট, তাই এটি সসীম সেট।

বৈশিষ্ট্য

উপাদান সংখ্যা গণনা করা যায়
উপাদান শেষ হয়ে যায়
উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকে
ছোট বা বড় যেকোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা হতে পারে

সসীম সেটের উপাদান সংখ্যা (Cardinality)

যদি কোনো সেট A তে n টি উপাদান থাকে, তবে তাকে লিখা হয়:

$| A | = n$

উদাহরণ

যদি A = {1, 2, 3, 4} হয়, তবে

$| A | = 4$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

সসীম সেটে উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকে
উপাদান গণনা করে শেষ করা যায়
এটি বাস্তব জীবনের অনেক সমস্যায় ব্যবহৃত হয়

মনে রাখার উপায়

“যে সেট গণনা করে শেষ করা যায় = সসীম সেট” — এই নিয়ম মনে রাখলেই সহজে বোঝা যায়।

Content added By

Najjar Hossain Raju

অসীম সেট (Infinite Set)

যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় না, তাকে অসীম সেট বলে। যেমন, A = {x : x বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা}, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N {1, 2, 3, 4, ...}, পূর্ণসংখ্যার সেট Z = {… – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3}, মূলদ সংখ্যার সেট Q = { $\frac{a}{b}$ : a ও b পূর্ণসংখ্যা এবং b≠ 0} বাস্তব সংখ্যার সেট R ইত্যাদি অসীম সেট।

উদাহরণ ৪. দেখাও যে, সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট।

সমাধান : স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

N সেট থেকে বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ নিয়ে গঠিত সেট A {1, 3, 5, 7, ...}

N সেট থেকে জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ নিয়ে গঠিত সেট B {2, 4, 6, 8, ...}

N সেট থেকে 3 এর গুণিতকসমূহের সেট C {3, 6, 9, 12, ...} ইত্যাদি।

এখানে, N সেট থেকে গঠিত উপরের সেটসমূহের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না। ফলে A, B, C অসীম সেট।

$∴$ N একটি অসীম সেট।

Content added By

Najjar Hossain Raju

ফাঁকা সেট (Empty Set)

যে সেটের কোনো উপাদান নেই তাকে ফাঁকা সেট বলে। ফাঁকা সেটকে Ø দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ের তিনজন ছাত্রের সেট, {x ∈ N : 10 < x < 11}, {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং 23 < x < 29} ইত্যাদি।

যে সেটে কোনো উপাদান থাকে না, তাকে ফাঁকা সেট বা শূন্য সেট (Null Set) বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

ফাঁকা সেটে কোনো সদস্য না থাকায় এর উপাদান সংখ্যা শূন্য (0) হয়।

প্রকাশের পদ্ধতি

ফাঁকা সেটকে সাধারণত দুইভাবে প্রকাশ করা হয়—

${}$

অথবা

$\emptyset$

উদাহরণ

১ থেকে ৩ এর মধ্যে এমন স্বাভাবিক সংখ্যা যা 5 দ্বারা বিভাজ্য — এই ধরনের কোনো সংখ্যা নেই।

$A = {x | x \in N, x > 3 and x < 2}$

এখানে কোনো উপাদান নেই, তাই এটি ফাঁকা সেট।

বৈশিষ্ট্য

ফাঁকা সেটে কোনো উপাদান থাকে না
উপাদান সংখ্যা শূন্য (|A| = 0)
এটি প্রতিটি সেটের উপসেট হতে পারে
ফাঁকা সেটকে শূন্য সেটও বলা হয়

গাণিতিক প্রকাশ

$| \emptyset | = 0$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ফাঁকা সেট মানে “কোনো সদস্য নেই”, তবে এটি একটি সেট হিসেবে গণ্য করা হয়।

মনে রাখার উপায়

“যেখানে কোনো উপাদান নেই = ফাঁকা সেট” — এই সহজ ধারণা মনে রাখলেই বোঝা যায়।

Content added By

Najjar Hossain Raju

ভেনচিত্র (Venn-Diagram)

জন ভেন (১৮৩৪-১৯২৩) সেটের কার্যবিধি চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ করেন। এতে বিবেচনাধীন সেটগুলোকে সমতলে অবস্থিত বিভিন্ন আকারের জ্যামিতিক চিত্র যেমন আয়ত, বৃত্ত এবং ত্রিভুজ ব্যবহার করা হয়। জন ভেনের নামানুসারে চিত্রগুলো ভেন চিত্র নামে পরিচিত।

নিচে কয়েকটি সেটের ভেনচিত্র প্রদর্শন করা হলো :

ভেনচিত্র ব্যবহার করে অতি সহজে সেট ও সেট প্রক্রিয়ার বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য যাচাই করা যায়।

ভেনচিত্র হলো এমন একটি চিত্র যার মাধ্যমে সেটের মধ্যে সম্পর্ক, যেমন ইউনিয়ন (∪), ছেদ (∩), এবং পার্থক্য খুব সহজে বোঝানো হয়। এটি সেট তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ ভিজ্যুয়াল উপস্থাপন পদ্ধতি।

মৌলিক ধারণা

ভেনচিত্রে সাধারণত বৃত্ত ব্যবহার করে সেটগুলো দেখানো হয় এবং আয়তক্ষেত্র দ্বারা সার্বিক সেট (Universal Set) বোঝানো হয়।

চিহ্ন ও অর্থ

∪ = ইউনিয়ন (Union)
∩ = ছেদ (Intersection)
U = সার্বিক সেট (Universal Set)

দুই সেটের ভেনচিত্র

ধরা যাক A এবং B দুটি সেট।

ইউনিয়ন (A ∪ B)

A ∪ B মানে A এবং B সেটের সব উপাদান একত্রে নেওয়া।

$A \cup B$

ছেদ (A ∩ B)

A ∩ B মানে A এবং B সেটের সাধারণ উপাদানগুলো।

$A \cap B$

ভেনচিত্রের ব্যবহার

সেটের সম্পর্ক বোঝাতে ব্যবহৃত হয়
গণিতের সমস্যা সহজে সমাধান করা যায়
সম্ভাব্যতা (Probability) বোঝাতে গুরুত্বপূর্ণ
ডেটা বিশ্লেষণে ব্যবহার করা হয়

উদাহরণ

A = {1, 2, 3} এবং B = {3, 4, 5} হলে,

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$

এবং

$A \cap B = {3}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ভেনচিত্রে সেটগুলো বৃত্ত আকারে দেখানো হয়
ছায়াযুক্ত অংশ দ্বারা ফলাফল বোঝানো হয়
একাধিক সেটের সম্পর্ক সহজে বোঝা যায়

মনে রাখার উপায়

“ভেনচিত্র = সেটের ছবি” — যেখানে চিত্র দেখেই সেটের সম্পর্ক বোঝা যায়।

Content added By

Najjar Hossain Raju

উপসেট (Subset)

মনে করি, A = {a, b} একটি সেট। A সেটের উপাদান নিয়ে আমরা {a, b}, {a}, {b} সেটগুলো গঠন করতে পারি। গঠিত {a, b}, {a}, {b} সেটগুলো A সেটের উপসেট। কোনো সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় এদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট।

যেমন : P = {2, 3, 4, 5} এবং Q = {3,5} হলে, Q সেটটি P সেটের উপসেট। অর্থাৎ Q ⊆ P. কারণ Q সেটের 3 এবং 5 উপাদানসমূহ P সেটে বিদ্যমান। '2' প্রতীক দ্বারা উপসেটকে সূচিত করা হয়।

উদাহরণ ৪। A = {1, 2, 3} এর উপসেটসমূহ লেখ।

সমাধান : A সেটের উপসেটসমূহ নিম্নরূপ :

{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, Ø

Content added By

Najjar Hossain Raju

প্রকৃত উপসেট (Proper subset)

কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম এদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন, A = {3, 4, 5, 6} এবং B = {3,5} দুইটি সেট। এখানে, B এর সব উপাদান A সেটে বিদ্যমান এবং B সেটের উপাদান সংখ্যা A সেটের উপাদান সংখ্যা থেকে কম।

$∴$ B, A এর একটি প্রকৃত উপসেট এবং B ⊆ A লিখে প্রকাশ করা হয়।

উপসেটের উদাহরণে Q ও R প্রত্যেকে P এর প্রকৃত উপসেট। উল্লেখ্য ফাঁকা সেট বা Ø যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট।

উদাহরণ ৫. P = {x, y, z} এর উপসেটগুলো লিখ এবং সেগুলো থেকে প্রকৃত উপসেট বাছাই কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P = {x, y, 2}

P এর উপসেটসমূহ {x, y, 2}, {x, y}, {x, 2}, {y, 2}, {x}, {y}, {z}, Ø ।

P এর প্রকৃত উপসেটসমূহ {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x}, {y}, {z}, Ø ।

দ্রষ্টব্য : কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ওই সেটের উপসেটের সংখ্যা $2^{n}$ এবং প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা $2^{n} - 1$

Content added By

Najjar Hossain Raju

সেটের সমতা (Equivalent Set)

দুইটি সেটের উপাদান একই হলে, সেট দুইটিকে সমান বলা হয়। যেমন: A {3, 5, 7} এবং B {5, 3, 3, 7} দুইটি সমান সেট এবং A = B চিহ্ন দ্বারা লেখা হয়। লক্ষ করি A = B যদি এবং কেবল যদি A ⊆ B এবং B ⊆ A হয়।

আবার, A = {3, 5, 7}, B = {5, 3, 3, 7} এবং C {7, 7, 3, 5, 5 } হলে A, B ও C সেট তিনটি সমতা বোঝায়। অর্থাৎ, A = B = C ।

দ্রষ্টব্য : সেটের উপাদানগুলোর ক্রম বদলালে বা কোনো উপাদান পুনরাবৃত্তি করলে সেটের কোনো পরিবর্তন হয় না।

Content added By

Najjar Hossain Raju

সেটের অন্তর (Difference of Sets)

মনে করি, A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং B = {3,5}। সেট A থেকে সেট B এর উপাদানগুলো বাদ দিলে যে সেটটি হয় তা {1, 2, 4} এবং লেখা হয় A \ B বা A – B এবং পড়া হয় A বাদ B ।

$∴$ A B = {1, 2, 3, 4, 5} {3, 5} = {1, 2, 4}

উদাহরণ ১. P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং æ < 12} হলে P – Q নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}

এখানে, 12 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 12

$∴$ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

আবার, Q {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x < 12}

এখানে, 12 পর্যন্ত 3 এর গুণিতকসমূহ 3, 6, 9, 12

$∴$ Q= {3,6,9, 12}

$∴$ P - Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12} = {1, 2, 4}

নির্ণেয় সেট : {1, 2, 4}

Content added By

Najjar Hossain Raju

সার্বিক সেট (Universal Set)

সার্বিক সেট (Universal Set)

যে সেটের মধ্যে আলোচ্য সকল সেটের উপাদান অন্তর্ভুক্ত থাকে, তাকে সার্বিক সেট (Universal Set) বলা হয়। এটি সাধারণত সকল সম্পর্কিত সেটের “বড় সেট” হিসেবে বিবেচিত হয়।

প্রতীক

সার্বিক সেটকে সাধারণত U দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

কোনো নির্দিষ্ট সমস্যা বা আলোচনায় যেসব সেট নিয়ে কাজ করা হয়, তাদের সকল উপাদান যে বৃহত্তম সেটে থাকে, সেটিই সার্বিক সেট।

উদাহরণ

ধরা যাক আমরা 1 থেকে 10 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো নিয়ে কাজ করছি, তাহলে সার্বিক সেট হবে—

$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$

আরেকটি উদাহরণ

A = {1, 2, 3} এবং B = {3, 4, 5} হলে সার্বিক সেট হতে পারে—

$U = {1, 2, 3, 4, 5}$

বৈশিষ্ট্য

সার্বিক সেটে সকল সেটের উপাদান থাকে
এটি আলোচ্য প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হতে পারে
সেট তত্ত্বে ভেনচিত্রে আয়তক্ষেত্র দ্বারা দেখানো হয়
প্রতিটি সেট সার্বিক সেটের উপসেট হয়

গাণিতিক প্রকাশ

যদি A একটি সেট হয়, তবে—

$A \subseteq U$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

সার্বিক সেট হলো এমন একটি সেট যা নির্দিষ্ট সমস্যার সকল সম্ভাব্য উপাদান ধারণ করে।

মনে রাখার উপায়

“যে সেটের ভিতরে সব সেট থাকে = সার্বিক সেট (U)” — এই ধারণা মনে রাখলেই সহজে বোঝা যায়।

আলোচনায় সংশ্লিষ্ট সকল সেট একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট। যেমন : A = {x, y} সেটটি B = {x, y, z} এর একটি উপসেট। এখানে, B সেটকে A সেটের সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে।

সুতরাং আলোচনা সংশ্লিষ্ট সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয় তবে ঐ নির্দিষ্ট সেটকে তার উপসেটগুলোর সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে।

সার্বিক সেটকে সাধারণত U দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তবে অন্য প্রতীকের সাহায্যেও সার্বিক সেট প্রকাশ করা যায়। যেমন: সকল জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট C = {2,4,6, . . .} এবং সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} হলে C সেটের সাপেক্ষে সার্বিক সেট হবে N ।

Content added By

Najjar Hossain Raju

পূরক সেট (Complement of a Set)

পূরক সেট (Complement of a Set)

সার্বিক সেট (U) এর মধ্যে কোনো সেট A বাদ দিলে যে সেটটি পাওয়া যায়, তাকে A সেটের পূরক সেট বলা হয়।

প্রতীক

A-এর পূরক সেটকে সাধারণত A′ অথবা A^c দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

যদি U সার্বিক সেট হয় এবং A তার একটি উপসেট হয়, তবে A-এর মধ্যে না থাকা কিন্তু U-এর মধ্যে থাকা সকল উপাদান নিয়ে পূরক সেট গঠিত হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$A' = U - A$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$

এবং

$A = {2, 4, 6}$

তাহলে A-এর পূরক সেট হবে—

$A' = {1, 3, 5}$

ভেনচিত্রে পূরক সেট

ভেনচিত্রে সার্বিক সেটের বাইরে A সেটের অংশ বাদ দিলে যে অংশ থাকে, সেটিই A-এর পূরক সেট।

বৈশিষ্ট্য

A ∪ A′ = U
A ∩ A′ = ∅
পূরক সেট সর্বদা সার্বিক সেটের উপর নির্ভরশীল
একই সেটের পূরক ভিন্ন U হলে পরিবর্তিত হতে পারে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

পূরক সেট মানে হলো “যা সেটে নেই কিন্তু সার্বিক সেটে আছে”।

মনে রাখার উপায়

“U থেকে A বাদ দিলে যা থাকে = A-এর পূরক সেট” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

U সার্বিক সেট এবং A সেটটি U এর উপসেট। A সেটের বহির্ভূত সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A সেটের পূরক সেট বলে। A এর পূরক সেটকে $A^{c}$ বা $A^{'}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। গাণিতিকভাবে $A^{c} = U \ A$

মনে করি, P ও Q দুইটি সেট এবং P সেটের যেসব উপাদান Q সেটের উপাদান নয়, ঐ উপাদানগুলোর সেটকে P এর প্রেক্ষিতে Q এর পূরক সেট বলা হয় এবং লেখা হয় $Q^{c} = P \ Q$ ।

উদাহরণ ১. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {2, 4, 6, 7} এবং B = {1, 3, 5} হলে $A^{c}$ ও $B^{c}$ নির্ণয় কর।

সমাধান : $A^{c}$ = U \ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \ {2, 4, 6, 7} = {1, 3, 5}

এবং $B^{c}$ = U \ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \ {1, 3, 5} = {2, 4, 6, 7}

নির্ণেয় সেট $A^{c}$ = {1,3,5} এবং B = {2, 4, 6, 7}

Content added By

Najjar Hossain Raju

সংযোগ সেট (Union of Sets)

সংযোগ সেট (Union of Sets)

দুই বা ততোধিক সেটের সব উপাদান একত্র করে যে নতুন সেট গঠন করা হয়, তাকে সংযোগ সেট বা ইউনিয়ন (Union) বলা হয়।

প্রতীক

সংযোগ সেটকে ∪ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

A এবং B দুটি সেট হলে A ∪ B মানে হলো A এবং B সেটের সব উপাদান একত্রে নেওয়া, তবে কোনো উপাদান একাধিকবার লেখা হয় না।

গাণিতিক প্রকাশ

$A \cup B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2, 3}$ $B = {3, 4, 5}$

তাহলে,

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$

ভেনচিত্রে সংযোগ

ভেনচিত্রে A ∪ B হলো A এবং B দুইটি সেটের সব অংশ একত্রে নেওয়া অঞ্চল।

বৈশিষ্ট্য

A ∪ B = B ∪ A (কমিউটেটিভ ধর্ম)
A ∪ A = A
A ∪ ∅ = A
সব উপাদান একবার করে লেখা হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

সংযোগ সেট মানে হলো “দুই সেটের সব উপাদান একসাথে”।

মনে রাখার উপায়

“∪ মানে ইউনিয়ন = সব একসাথে” — এই ধারণা মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

দুই বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট বলা হয়। মনে করি, A ও B দুইটি সেট। A ও B সেটের সংযোগকে A ∪ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A সংযোগ B অথবা A Union B। সেট গঠন পদ্ধতিতে A ∪ B = {x : x ∈ A অথবা x ∈ B}।

উদাহরণ ১. C = {3, 4, 5} এবং D = {4, 6, 8} হলে, C ∪ D নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, C = {3, 4, 5}

এবং D = {4, 6, 8}

$∴$ C ∪ D = {3, 4, 5} ∪ { 4, 6, 8} = {3, 4, 5, 6, 8}

নির্ণেয় সেট : {3, 4, 5, 6, 8}

Content added By

Najjar Hossain Raju

ছেদ সেট (Intersection of Sets)

দুই বা ততোধিক সেটের মধ্যে যে সাধারণ উপাদানগুলো থাকে, তাদের নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলা হয়।

প্রতীক

ছেদ সেটকে ∩ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

A এবং B দুটি সেট হলে A ∩ B মানে হলো A এবং B সেটের সাধারণ উপাদানগুলো।

গাণিতিক প্রকাশ

$A \cap B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2, 3, 4}$ $B = {3, 4, 5, 6}$

তাহলে,

$A \cap B = {3, 4}$

ভেনচিত্রে ছেদ

ভেনচিত্রে A ∩ B হলো A এবং B সেটের মধ্যবর্তী সাধারণ অংশ।

বৈশিষ্ট্য

A ∩ B = B ∩ A (কমিউটেটিভ ধর্ম)
A ∩ A = A
A ∩ ∅ = ∅
যদি কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে, তবে ছেদ সেট শূন্য সেট হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ছেদ সেট মানে হলো “দুই সেটের মধ্যে মিল থাকা অংশ”।

মনে রাখার উপায়

“∩ মানে Intersection = যেখানে মিল আছে” — এইভাবে মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

মনে করি, A ও B দুইটি সেট। A ও B এর ছেদ সেটকে A ∩ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A ছেদ B বা A intersection B। সেট গঠন পদ্ধতিতে A ∩ B = {x : x ∈ A এবং x ∈ B}।

উদাহরণ ১. P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} এবং Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, P ∩ Q নির্ণয় কর।

সমাধান :

দেওয়া আছে,

P = {x ∈ N : 2 < x < 6} = {3, 4, 5, 6}

Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} = {2, 4, 6, 8}

$∴$ P ∩ Q = {3, 4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6, 8} = {4,6}

নির্ণেয় সেট : {4,6}

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

নিশ্ছেদ সেট (Disjoint Set)

দুইটি সেটের মধ্যে যদি কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে তবে সেট দুইটিকে পরস্পর নিশ্ছেদ সেট বলে। মনে করি, A ও B দুইটি সেট। A ∩ B = Ø হলে A ও B পরস্পর নিশ্ছেদ সেট হবে।

প্রতীক

A এবং B দুটি সেট নিশ্ছেদ হলে লিখা হয়—

$A \cap B = \emptyset$

মৌলিক ধারণা

নিশ্ছেদ সেটে কোনো সেটের সাথে অন্য সেটের কোনো উপাদান মিলে না। তাই তাদের মধ্যে কোনো সাধারণ অংশ থাকে না।

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2, 3}$ $B = {4, 5, 6}$

এখানে A এবং B এর কোনো সাধারণ উপাদান নেই। তাই,

$A \cap B = \emptyset$

ভেনচিত্রে নিশ্ছেদ সেট

ভেনচিত্রে নিশ্ছেদ সেটে দুইটি বৃত্ত একে অপরের সাথে ওভারল্যাপ করে না।

বৈশিষ্ট্য

কোনো সাধারণ উপাদান থাকে না
A ∩ B = ∅
ভেনচিত্রে সেট দুটি আলাদা থাকে
দুই সেট সম্পূর্ণ পৃথক হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

নিশ্ছেদ সেট মানে হলো “যেখানে কোনো মিল নেই”।

মনে রাখার উপায়

“যদি ছেদ শূন্য হয় = নিশ্ছেদ সেট” — এই সহজ নিয়ম মনে রাখলেই বোঝা যায়।

Content added By

Najjar Hossain Raju

শক্তি সেট (Power Sets)

শক্তি সেট (Power Sets)

কোনো একটি সেটের সকল সম্ভাব্য উপসেটের সমষ্টিকে সেই সেটের শক্তি সেট বলা হয়।

প্রতীক

যদি A একটি সেট হয়, তবে A-এর শক্তি সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

একটি সেটের মধ্যে যতগুলো উপসেট তৈরি করা যায়, তাদের সবগুলো একত্র করলে যে সেট পাওয়া যায়, সেটিই শক্তি সেট।

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2}$

তাহলে A-এর উপসেটগুলো হবে:

{∅}, {1}, {2}, {1,2}

অতএব শক্তি সেট হবে:

$P (A) = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$

শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা

যদি কোনো সেটে nটি উপাদান থাকে, তবে তার শক্তি সেটে উপাদান সংখ্যা হবে:

$2^{n}$

উদাহরণ

যদি A = {1, 2, 3} হয়, তবে n = 3

$2^{3} = 8$

অতএব শক্তি সেটে মোট 8টি উপসেট থাকবে।

বৈশিষ্ট্য

শক্তি সেটে সব সম্ভাব্য উপসেট থাকে
শূন্য সেট সব সেটের উপসেট
মৌলিক সেট নিজেও শক্তি সেটে থাকে
উপাদান সংখ্যা সর্বদা 2^n হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

শক্তি সেট মানে হলো “একটি সেটের সব সম্ভাব্য উপসেটের সেট”।

মনে রাখার উপায়

“n উপাদান → শক্তি সেট = 2^n উপাদান” — এই সূত্র মনে রাখলেই সহজে বোঝা যায়।

A = {m, n} একটি সেট। A সেটের উপসেটসমূহ হলো {m, n}, {m}, {n}, Ø; এখানে উপসেটসমূহের সেট {{m, n}, {m}, {n}, Ø} কে A সেটের শক্তি সেট বলা হয়। A সেটের শক্তি সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সুতরাং কোনো সেটের সকল উপসেট দ্বারা গঠিত সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট বলা হয়।

উদাহরণ ১. A = Ø, B = {a}, C = {a, b} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান : এখানে, P(A) = {Ø}

$∴$ A সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 1 = $2^{n}$

আবার, P(B) = {{a}, Ø}

$∴$ B সেটের উপাদান সংখ্যা 1 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2 = $2^{1}$

এবং P(C) = {{a}, {6}, {a, b}, Ø}

$∴$ C সেটের উপাদান সংখ্যা 2 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 4 = $2^{2}$

সুতরাং, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, ঐ সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা হবে $2^{n}$

Content added By

Najjar Hossain Raju

ক্রমজোড় (Ordered Pair)

একজোড়া উপাদানের মধ্যে কোনটি প্রথম অবস্থানে আর কোনটি দ্বিতীয় অবস্থানে থাকবে, তা নির্দিষ্ট করে জোড়া আকারে প্রকাশকে ক্রমজোড় বলা হয়।

যদি কোনো ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদান বা পদ x এবং দ্বিতীয় উপাদান বা পদ y হয়, তবে ক্রমজোড়টিকে (x, y) দিয়ে প্রকাশ করা হয়। ক্রমজোড় (x, y) ও (a, b) সমান বা (x, y) = (a, b) হবে যদি x = a এবং y = b হয়।

দুইটি উপাদানকে নির্দিষ্ট ক্রমে সাজিয়ে যে জোড় তৈরি করা হয়, তাকে ক্রমজোড় বলা হয়।

প্রতীক

ক্রমজোড়কে সাধারণত (a, b) আকারে প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

ক্রমজোড়ে উপাদানের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। অর্থাৎ (a, b) এবং (b, a) এক নয়, যদি না a = b হয়।

উদাহরণ

$(2, 3)$

এখানে প্রথম উপাদান 2 এবং দ্বিতীয় উপাদান 3।

গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য

(2, 3) ≠ (3, 2)

ক্রমজোড়ের সমতা

দুটি ক্রমজোড় তখনই সমান হবে যখন তাদের প্রথম ও দ্বিতীয় উপাদান একই হবে।

$(a, b) = (c, d) \Rightarrow a = c, b = d$

কার্টেসিয়ান গুণন (Cartesian Product)

দুইটি সেটের সব সম্ভাব্য ক্রমজোড়ের সমষ্টিকে কার্টেসিয়ান গুণন বলা হয়।

$A \times B$

উদাহরণ

A = {1, 2}, B = {x, y} হলে,

$A \times B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}$

বৈশিষ্ট্য

ক্রম গুরুত্বপূর্ণ
(a, b) ≠ (b, a) সাধারণত
দুইটি উপাদান নিয়ে গঠিত
কার্টেসিয়ান গুণনে ব্যবহৃত হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ক্রমজোড় মানে হলো “নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানো দুইটি উপাদান”।

মনে রাখার উপায়

“Order থাকলে পরিবর্তন মানেই নতুন জোড়” — এই নিয়ম মনে রাখলেই সহজে বোঝা যায়।

উদাহরণ ১. (2x + y 3 ) = (6, x - y) হলে (x, y) নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, (2x + y, 3) = (6, x – y)

ক্রমজোড়ের শর্তমতে,

2x + y = 6 ---- (1)

x - y = 3 ---- (2)

সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই, 3x = 9 বা x = 3

সমীকরণ (1) এ x এর মান বসিয়ে পাই, 6 + y = 6 বা y = 0

$∴$ (x, y) = (3, 0)

Content added By

Najjar Hossain Raju

কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product)

কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product)

দুইটি সেটের উপাদানগুলোকে ক্রমানুসারে জোড়া বানিয়ে যে নতুন সেট তৈরি করা হয়, তাকে কার্তেসীয় গুণজ বলা হয়।

প্রতীক

A এবং B সেটের কার্তেসীয় গুণজকে A × B দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

A × B মানে হলো A সেটের প্রতিটি উপাদানকে B সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে জোড়া (ordered pair) বানানো।

গাণিতিক প্রকাশ

$A \times B = {(a, b) | a \in A, b \in B}$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2}$ $B = {x, y}$

তাহলে,

$A \times B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}$

উপাদান সংখ্যা

যদি A সেটে mটি এবং B সেটে nটি উপাদান থাকে, তবে

$| A \times B | = m \times n$

বৈশিষ্ট্য

ক্রম গুরুত্বপূর্ণ (A × B ≠ B × A সাধারণত)
প্রতিটি উপাদান ordered pair আকারে থাকে
সব সম্ভাব্য জোড়া তৈরি হয়
গ্রাফ ও সম্পর্ক (Relation) নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

কার্তেসীয় গুণজ মানে হলো “দুই সেটের সব সম্ভাব্য ordered pair এর সমষ্টি”।

মনে রাখার উপায়

“এক সেটের প্রতিটি উপাদান → অন্য সেটের সব উপাদানের সাথে জোড়া” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

করিম সাহেব তাঁর বাড়ির একটি ঘরের ভিতরের দেওয়ালে সাদা বা নীল রং এবং বাইরের দেওয়ালে লাল বা হলুদ বা সবুজ রং এর লেপন দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিলেন। ভিতরের দেওয়ালে রং এর সেট A {সাদা, নীল} এবং বাইরের দেওয়ালে রং এর সেট B {লাল, হলুদ ও সবুজ}। করিম সাহেব তাঁর ঘরের রং লেপন (সাদা, লাল), (সাদা, হলুদ), (সাদা, সবুজ), (নীল, লাল), (নীল, হলুদ), (নীল, সবুজ) ক্রমজোড় আকারে দিতে পারেন।

উক্ত ক্রমজোড়ের সেটকে নিচের মতো করে লেখা হয় :

A × B= {(সাদা, লাল), (সাদা, হলুদ), (সাদা, সবুজ), (নীল, লাল), (নীল, হলুদ), (নীল, সবুজ)}

উপরোক্ত ক্রমজোড়ের সেটটিকেই কার্তেসীয় গুণজ সেট বলা হয়।

সেট গঠন পদ্ধতিতে, A × B = {(x, y) : x ∈ A এবং y ∈ B}

A × B কে পড়া হয় A ক্রস B

উদাহরণ ১. P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4}, R = P ∩ Q হলে P × R এবং R × Q নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4}

এবং R = P ∩ Q = {1, 2, 3} {3, 4} = {3}

$∴$ P × R = {1, 2, 3} × {3} = {(1, 3), (2, 3), (3, 3)}

এবং R × Q = {3} × { 3, 4} = { (3, 3), ( 3, 4)}

উদাহরণ ২. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 311 এবং 419 কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 23 অবশিষ্ট থাকে এদের সেট নির্ণয় কর।

সমাধান : যে স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 311 এবং 419 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 23 অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যা হবে 23 অপেক্ষা বড় এবং 311 - 23 = 288 এবং 419 - 23 = 396 এর সাধারণ গুণনীয়ক।

মনে করি, 23 অপেক্ষা বড় 288 এর গুণনীয়কসমূহের সেট A ।

এখানে, 288 = 1 × 288 = 2 × 144 = 3 x 96 = 4 × 72 = 6 × 48 = 8 × 36 = 9 × 32 = 12 × 24 = 16 × 18

$∴$ A = {24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288}

মনে করি, 23 অপেক্ষা বড় 396 এর গুণনীয়কসমূহের সেট B ।

এখানে, 396 = 1 × 396 = 2 × 198 = 3 × 132 = 4 × 99 = 6 × 66 = 9 × 44 = 11 × 36 = 12 × 33 = 18 × 22

$∴$ B = {33, 36, 44, 66, 99, 132, 198, 396}

$∴$ A ∩ B = {24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288} {33, 36, 44, 66, 99, 132, 198, 396}

$∴$ A ∩ B = {36}

নির্ণেয় সেট {36}

উদাহরণ ৩. 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৪৪ জন বাংলায়, ৪০ জন গণিতে এবং 70 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। ভেনচিত্রের সাহায্যে তথ্যগুলো প্রকাশ কর এবং কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তা নির্ণয় কর।

সমাধান : ভেনচিত্রে আয়তাকার ক্ষেত্রটি 100 জন শিক্ষার্থীর সেট U এবং বাংলায় ও গণিতে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট যথাক্রমে B ও M দ্বারা নির্দেশ করে। ফলে ভেনচিত্রটি চারটি নিশ্ছেদ সেটে বিভক্ত হয়েছে, যাদেরকে P, Q, R, F দ্বারা চিহ্নিত করা হলো।

এখানে, উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট Q = B ∩ M, যার সদস্য সংখ্যা 70

P = শুধু বাংলায় পাশ শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 88 - 70 = 18

R = শুধু গণিতে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 80 - 70 = 10

P U Q U R = B U M, যেকোনো একটি বিষয়ে এবং উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 18+ 10 +70 = 98

F = উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 100 - 98 = 2

$∴$ উভয় বিষয়ে ফেল করেছে 2 জন শিক্ষার্থী।

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

অন্বয় (Relation)

অন্বয় (Relation)

দুইটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে নির্দিষ্ট নিয়মে গঠিত সম্পর্ককে অন্বয় (Relation) বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A থেকে B এর মধ্যে কিছু নির্বাচিত ordered pair এর সমষ্টিকে অন্বয় বলা হয়।

প্রতীক

অন্বয়কে সাধারণত R দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$R \subseteq A \times B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2, 3}$

এবং B = A, তাহলে একটি অন্বয় হতে পারে “ছোট বা সমান (≤)” সম্পর্ক:

$R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}$

অন্বয়ের প্রকারভেদ

১. স্বপরিচয় অন্বয় (Identity Relation)

যেখানে প্রতিটি উপাদান নিজেকেই সম্পর্কিত করে।

$R = {(a, a)}$

২. সার্বজনীন অন্বয় (Universal Relation)

যেখানে A × B এর সকল ordered pair থাকে।

$R = A \times B$

৩. শূন্য অন্বয় (Empty Relation)

যেখানে কোনো ordered pair থাকে না।

$R = \emptyset$

বৈশিষ্ট্য

অন্বয় হলো কার্তেসীয় গুণজের উপসেট
Ordered pair দ্বারা গঠিত
দুই সেটের মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করে
বিভিন্ন ধরনের হতে পারে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

অন্বয় মানে হলো “দুই সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে সম্পর্ক”।

মনে রাখার উপায়

“Relation = সেটের মধ্যে সম্পর্ক দেখায়” — এইভাবে মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

আমরা জানি, বাংলাদেশের রাজধানী ঢাকা, ভারতের রাজধানী নতুন দিল্লী এবং থাইল্যান্ডের রাজধানী ব্যাংকক। এখানে দেশের সাথে রাজধানীর একটি অন্বয় বা সম্পর্ক আছে। এ সম্পর্ক হচ্ছে দেশ-রাজধানী অন্বয়। উক্ত সম্পর্ককে সেট আকারে নিম্নরূপে দেখানো যায় :

অর্থাৎ দেশ-রাজধানীর অন্বয় = {(বাংলাদেশ, ঢাকা), (ভারত, নতুন দিল্লী ), (থাইল্যান্ড, ব্যাংকক)}।

যদি A ও B দুইটি সেট হয় তবে সেটদ্বয়ের কার্তেসীয় গুণজ A × B সেটের অন্তর্গত ক্রমজোড়গুলোর অশূন্য উপসেট R কে A সেট হতে B সেটের একটি অন্বয় বা সম্পর্ক বলা হয়। এখানে, R সেট A × B সেটের একটি উপসেট অর্থাৎ, R ⊆ A × B

উদাহরণ ১. মনে করি, A = {3, 5} এবং B = {2, 4}

$∴$ A × B = {3, 5} × {2, 4} = {(3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}

$∴$ R ⊆ {(3,2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}

যখন A সেটের একটি উপাদান ও B সেটের একটি উপাদান y এবং (x, y) ∈ R হয় তবে লেখা হয় x R y এবং পড়া হয় x, y এর সাথে অন্বিত (x is related to y) অর্থাৎ উপাদান x, উপাদান Y এর সাথে R সম্পর্কযুক্ত।

যদি x > y শর্ত হয় তবে, R = {(3,2), (5, 2), (5, 4)}

এবং যদি x < y শর্ত হয় তবে, R = {(3, 4)}

আবার, A সেট হতে A সেটের একটি অন্বয় অর্থাৎ R ⊆ A × A হলে, R কে A এর অন্বয় বলা হয়।

A এবং B দুইটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে সম্পর্ক দেওয়া থাকলে x ∈ A এর সংগে সম্পর্কিত y ∈ B নিয়ে যে সব ক্রমজোড় (x, y) পাওয়া যায়, এদের অশূন্য উপসেট হচ্ছে একটি অন্বয়।

উদাহরণ ২. যদি P = {2, 3, 4}, Q = {4,6} এবং P ও Q এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = 2x সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P = {2, 3, 4} এবং Q = {4, 6}

প্রশ্নানুসারে, R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q এবং y = 2x}

এখানে, P × Q = {2, 3, 4} × {4, 6} = {(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 4), (4, 6)}

$∴$ R= {(2,4), (3, 6)}

নির্ণেয় অন্বয় {(2, 4), ( 3, 6)}

উদাহরণ ৩. যদি A = {1, 2, 3}, B {0, 2, 4} এবং A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে x = y - 1 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় বর্ণনা কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3}, B = {0, 2, 4}

প্রশ্নানসারে, অন্বয় R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B এবং x = y - 1}

এখানে, A × B = {1, 2, 3} × {0, 2, 4}

= {(1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4)}

$∴$ R = {(1, 2), (3, 4)}

Content added By

Najjar Hossain Raju

ফাংশন (Function)

ফাংশন হলো এমন একটি বিশেষ অন্বয় যেখানে একটি সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য অপর সেটে ঠিক একটি নির্দিষ্ট উপাদান নির্ধারিত থাকে।

মৌলিক ধারণা

যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A থেকে B তে একটি ফাংশন বলতে বোঝায় A-এর প্রতিটি উপাদানের সাথে B-এর ঠিক একটি উপাদানের সম্পর্ক স্থাপন।

প্রতীক

ফাংশনকে সাধারণত f, g, h ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$f : A \to B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A = {1, 2, 3}$

এবং একটি ফাংশন f সংজ্ঞায়িত করা হলো:

f(x) = x + 1

তাহলে,

$f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}$

ফাংশনের শর্ত

A-এর প্রতিটি উপাদানের জন্য একটি মাত্র মান থাকবে
একটি ইনপুটের একাধিক আউটপুট থাকতে পারবে না
একটি আউটপুট একাধিক ইনপুটের হতে পারে

ফাংশনের উপাদান

ডোমেইন (Domain): ইনপুট সেট A
কো-ডোমেইন (Codomain): সেট B
রেঞ্জ (Range): প্রকৃত আউটপুটগুলোর সেট

উদাহরণ

f(x) = 2x হলে,

$f (2) = 4$

বৈশিষ্ট্য

ফাংশন একটি বিশেষ অন্বয়
প্রতিটি ইনপুটের একটি নির্দিষ্ট আউটপুট থাকে
গ্রাফ আকারে প্রকাশ করা যায়
গণিত ও বিজ্ঞানে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহার আছে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ফাংশন মানে হলো “প্রতিটি ইনপুটের জন্য ঠিক একটি আউটপুট নির্ধারণ”।

মনে রাখার উপায়

“এক ইনপুট → এক আউটপুট = ফাংশন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

নিচের A ও B সেটের অন্বয় লক্ষ করি :

যখন y = x + 2, তখন

x = 1 হলে, y = 3

x = 2 হলে, y = 4

x = 3 হলে, y = 5

অর্থাৎ x এর একটি মানের জন্য y এর মাত্র একটি মান পাওয়া যায় এবং x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক তৈরি হয় y = x + 2 দ্বারা। সুতরাং দুইটি চলক x এবং y এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত যেন x এর যেকোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যায়, তবে y কে c এর ফাংশন বলা হয়। এর ফাংশনকে সাধারণত y, f(x), g(x), F(x) ইত্যাদি দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মনে করি, $y = x^{2} - 2 x + 3$ একটি ফাংশন। এখানে, x এর যে কোনো একটি মানের জন্য y এর একটি মাত্র মান পাওয়া যাবে। এখানে, x এবং y উভয়ই চলক তবে, x এর মানের উপর y এর মান নির্ভরশীল। কাজেই x হচ্ছে স্বাধীন চলক এবং y হচ্ছে অধীন চলক।

উদাহরণ ১. $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ হলে, f(−1) নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

$∴ ƒ (- 1) = (- 1) ² - 4 (- 1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

উদাহরণ ২. যদি $g (x) = x^{3} + a x^{2} - 3 x - 6$ হয় তবে a এর কোন মানের জন্য g(-2) = 0?

সমাধান : দেওয়া আছে, $g (x) = x^{3} + a x^{2} - 3 x - 6$

$∴ g (- 2) = {(- 2)}^{3} + a {(- 2)}^{2} - 3 (- 2) - 6$

= 8 + 4a + 6 6 = 4a - 8

প্রশ্নানুসারে g(-2) = 0

$∴$ 4a – 8 = 0 বা, 4a = 8 বা, a = 2

$∴$ a = 2 হলে, g(-2) = 0

Content added By

Najjar Hossain Raju

সরল সমীকরণ (Simple/linear equation)

x + 1 = 5 একটি গাণিতিক খোলা বাক্য ও একটি সমতা। সমান চিহ্ন সংবলিত গাণিতিক খোলা বাক্যকে সমীকরণ বলা হয়। এখানে অজানা বা অজ্ঞাত রাশি x কে চল বা চলক বলা হয়।
প্রধানত ইংরেজি বর্ণমালার ছোট হাতের অক্ষর x, y, z চলক হিসেবে ব্যবহৃত হয়।

সুতরাং, আমরা বলতে পারি, অজানা বা অজ্ঞাত রাশি বা চলক, প্রক্রিয়া চিহ্ন এবং সমান চিহ্ন সংবলিত গাণিতিক বাক্য হলো সমীকরণ।

একটি সমীকরণের দুইটি পক্ষ থাকে। সমান (=) চিহ্নের বাম পাশের রাশিকে বামপক্ষ এবং ডান পাশের রাশিকে ডানপক্ষ বলা হয়।

সরল সমীকরণ

অজ্ঞাত রাশির বা চলকের একঘাতবিশিষ্ট সমীকরণকে সরল সমীকরণ বলে x + 1 = 5, 2x - 1 = 3

2y + 3 = y - 5 2z - 1 = 0 এগুলো এক চলকবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণ বা সরল সমীকরণ।

x + y = 3, 2x = y - 5 এগুলো দুই চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ।

(১) যোগের ও গুণের বিনিময়বিধি

a, b এর যেকোনো মানের জন্য, a + b = b + a এবং ab = ba

(২) গুণের বণ্টনবিধি

a, b, c এর যেকোনো মানের জন্য, a(b + c) = ab + ac, (b + c) a = ba + ca

আমরা সমীকরণটি লক্ষ করি: x + 3 = 7

(ক) সমীকরণটির অজ্ঞাত রাশি বা চলক কোনটি?
(থ) সমীকরণটির প্রক্রিয়া চিহ্ন কোনটি?
(গ) সমীকরণটি সরল সমীকরণ কি না?
(ঘ) সমীকরণটির মূল কত?

আমরা জানি চলক, প্রক্রিয়া চিহ্ন ও সমান চিহ্ন সংবলিত গাণিতিক বাক্যকে সমীকরণ বলে। আর চলকের এক ঘাত বিশিষ্ট সমীকরণকে সরল সমীকরণ বলে। সরল সমীকরণ এক বা একাধিক চলকবিশিষ্ট হতে পারে।

যেমন, x + 3 = 7, 2y - 1 = y + 3, 3z - 5 = 0, 4 + 3 = x - 1,

x + 4y - 1 = 0, 2x - y + 1 = x + y ইত্যাদি, এগুলো সরল সমীকরণ।

সমীকরণ সমাধান করে চলকের যে মান পাওয়া যায়, একে সমীকরণটির মূল বলে। মূলটি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয়। অর্থাৎ, চলকটির ঐ মান সমীকরণে বসালে সমীকরণটির দুইপক্ষ সমান হয়।

সমীকরণ সমাধানের জন্য চারটি স্বতঃসিদ্ধ আছে, তা আমরা জানি। এগুলো হলো:

পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটির সাথে একই রাশি যোগ করলে যোগফলগুলো পরস্পর সমান হয়।
পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটি থেকে একই রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফলগুলো পরস্পর সমান হয়।
পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে একই রাশি দ্বারা গুণ করলে গুণফলগুলো পরস্পর সমান হয়।
পরস্পর সমান রাশির প্রত্যেকটিকে অশূন্য একই রাশি দ্বারা ভাগ করলে ভাগফলগুলো পরস্পর সমান হয়।

(১) পক্ষান্তরবিধি

সমীকরণ-১ এ (খ) এর ক্ষেত্রে 5 এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে বামপক্ষ থেকে ডানপক্ষে গেছে। সমীকরণ-২ এ (খ) এর ক্ষেত্রে 3x এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে ডানপক্ষ থেকে বামপক্ষে গেছে।

কোনো সমীকরণের যেকোনো পদকে এক পক্ষ থেকে চিহ্ন পরিবর্তন করে অপরপক্ষে সরাসরি স্থানান্তর করা যায়। এই স্থানান্তরকে বলে পক্ষান্তরবিধি।

উদাহরণ ১। সমাধান কর: x + 3 = 9

সমাধান: x + 3 = 9

বা, x = 9 - 3 [পক্ষান্তর করে]

বা, x = 6

∴ সমাধান: x = 6

(২) বর্জনবিধি

(a) যোগের বর্জনবিধি:

সমীকরণ-১ এ (খ) এর ক্ষেত্রে উভয়পক্ষ থেকে 3 বর্জন করা হয়েছে।

সমীকরণ-২ এ (খ) এর ক্ষেত্রে উভয়পক্ষ থেকে -5 বর্জন করা হয়েছে।

বিকল্প নিয়ম: x + 3 = 9

বা, x + 3 - 3 = 9 - 3 [উভয়পক্ষ থেকে 3 বিয়োগ করে]

বা, x = 6

∴ সমাধান: x = 6

(b) গুণের বর্জনবিধি

(খ) এর ক্ষেত্রে প্রদত্ত সমীকরণটির উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক সরাসরি বর্জন করা যায়।

কোনো সমীকরণের উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক সরাসরি বর্জন করা যায়। একে বলা হয় গুণের বর্জনবিধি।

উদাহরণ ২। সমাধান কর ও শুদ্ধি পরীক্ষা কর: 4y - 5 = 2y - 1

সমাধান: 4y - 5 = 2y - 1

বা, 4y - 2y = - 1 + 5 [পক্ষান্তর করে]

বা, 2y = 4

বা, 2y = 2 $\times$ 2

বা, y = 2 [উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক 2 বর্জন করে]

∴ সমাধান: y = 2

শুদ্ধি পরীক্ষা: প্রদত্ত সমীকরণে y এর মান 2 বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ = 4y - 5 = 4 $\times$ 2 - 5 = 8 - 5 = 3

ডানপক্ষ = 2y - 1 = 2 $\times$ 2 - 1 = 4 - 1 = 3

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ

∴ সমীকরণটির সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

(৩) আড়গুণনবিধি

সমীকরণটির (খ) এর ক্ষেত্রে লিখতে পারি,

বামপক্ষের লব

\times

ডানপক্ষের হর = বামপক্ষের হর

\times

ডানপক্ষের লব একে বলা হয় আড়গুণনবিধি।

উদাহরণ ৩। সমাধান কর: $\frac{2 z}{3} - \frac{z}{6} = - \frac{3}{4}$

সমাধান:

$\frac{2 z}{3} - \frac{z}{6} = - \frac{3}{4}$

বা, $\frac{4 z - z}{6} = - \frac{3}{4}$ [বামপক্ষে হর 3,6 এর ল.সা.গু. 6]

বা, $\frac{3 z}{6} = - \frac{3}{4}$

বা, $\frac{z}{2} = - \frac{3}{4}$

বা, $4 \times z = 2 \times (- 3)$ [আড়গুণন করে]

বা, $2 \times 2 z = 2 \times (- 3)$

বা, 2z = - 3 [উভয়পক্ষ থেকে সাধারণ উৎপাদক 2 বর্জন করে]

বা, $\frac{2 z}{2} = - \frac{3}{2}$ [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে।]

বা, $z = - \frac{3}{2}$

∴ সমাধান: $z = - \frac{3}{2}$

(৪) প্রতিসাম্যবিধি

সমীকরণ: 2x + 1 = 5x - 8

বা, 5x - 8 = 2x + 1

একই সাথে বামপক্ষের সবগুলো পদ ডানপক্ষে ও ডানপক্ষের সবগুলো পদ বামপক্ষে কোনো চিহ্ন পরিবর্তন না করে স্থানান্তর করা যায়। একে বলা হয় প্রতিসাম্যবিধি।

উল্লিখিত স্বতঃসিদ্ধসমূহ ও বিধিসমূহ প্রয়োগ করে একটি সমীকরণকে অপর একটি সহজ সমীকরণে রূপান্তর করে সবশেষে তা x = a আকারে পাওয়া যায়। অর্থাৎ, চলক x এর মান a নির্ণয় করা হয়।

উদাহরণ ৪। সমাধান কর: 2(5 + x) = 16

সমাধান: 2(5 + x) = 16

বা, 2 $\times$ 5 + 2 $\times$ x = 16[বণ্টনবিধি অনুসারে

বা. 10 + 2x = 16

বা, 2x = 16 - 10 [পক্ষান্তরবিধি]

বা, 2x = 6

বা, $\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$ [গুণের বণ্টনবিধি]

∴ সমাধান x = 3

উদাহরণ ৫। সমাধান কর:

$\frac{3 x + 7}{4} + \frac{5 x - 4}{7} = x + 3 \frac{1}{2}$

সমাধান:

$\frac{3 x + 7}{4} + \frac{5 x - 4}{7} = x + 3 \frac{1}{2}$

বা, $\frac{3 x + 7}{4} + \frac{5 x - 4}{7} - x = \frac{7}{2}$ [পক্ষান্তর করে]

বা, $\frac{7 (3 x + 7) + 4 (5 x - 4) - 28 x}{28} = \frac{7}{2}$ [বামপক্ষে হর 4, 7 এর ল.সা.গু. 28]

বা, $\frac{21 x + 49 + 20 x - 16 - 28 x}{28} = \frac{7}{2}$ [বণ্টনবিধি অনুসারে]

বা, $\frac{13 x + 33}{28} = \frac{7}{2}$

বা, $28 \times \frac{13 x + 33}{28} = 28 \times \frac{7}{2}$ [উভয়পক্ষকে 28 দ্বারা গুণ করে]

বা, 13x + 33 = 98

বা, 13x = 98 - 33

বা, 13x = 65

বা, $\frac{13 x}{13} = \frac{65}{13}$ [উভয়পক্ষকে 13 দ্বারা ভাগ করে।]

বা, x = 5

∴ সমাধান: x = 5

স্থানাঙ্কের ধারণা

ফ্রান্সের বিখ্যাত গণিতবিদ রেনে দেকার্তে (Rene Descartes 1596-1650) সর্বপ্রথম স্থানাঙ্কের ধারণা দেন। তিনি দুটি পরস্পরছেদী লম্বরেখার সাপেক্ষে বিন্দুর অবস্থান ব্যাখ্যা করেন।

একটি শ্রেণিকক্ষে একক আসনবিন্যাসে একজন শিক্ষার্থীর অবস্থান কোথায় জানতে হলে অনুভূমিক রেখা বা শয়ান রেখা বরাবর কোথায় আছে এবং উল্লম্ব রেখা বা খাড়া রেখা বরাবর কোথায় আছে তা জানা দরকার।

ধরি, শ্রেণিকক্ষে একজন শিক্ষার্থী লিজা (L)-এর অবস্থান জানতে চাই। লিজার অবস্থানকে একটি বিন্দু (•) হিসেবে বিবেচনা করা যায়। চিত্রে লক্ষ করি, লিজা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে অনুভূমিক রেখা OX বরাবর 3 একক দূরে M বিন্দুতে এবং সেখান থেকে উল্লম্ব রেখা OY এর সমান্তরাল রেখা বরাবর উপরদিকে 2 একক দূরে L বিন্দুতে অবস্থান করছে। তার এ অবস্থানকে (3, 2) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বিন্দু পাতন

ছক কাগজে সমান দূরে পরস্পরছেদী সমান্তরাল সরলরেখা দ্বারা ছোটো ছোটো বর্গে বিভক্ত করা থাকে। ছক কাগজে কোনো বিন্দুর অবস্থান দেখানোকে বা কোনো বিন্দু স্থাপন করাকে বিন্দু পাতন বলে। বিন্দু পাতনের জন্য সুবিধামতো দুটি পরস্পর লম্ব সরলরেখা নেওয়া হয়। চিত্রে XOX'ও YOY' রেখাদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে। O বিন্দুকে বলা হয় মূলবিন্দু। অনুভূমিক রেখা XOX' কে x-অক্ষ এবং উল্লম্ব রেখা YOY' কেy-অক্ষ বলা হয়।

প্রধানত ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক হিসেবে ধরা হয়। সাধারণভাবে যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ককে (x, y) লেখা হয়। X-কে বলা হয় বিন্দুটির x-স্থানাঙ্ক বা ভুজ এবং y-কে বলা হয় বিন্দুটির -স্থানাঙ্ক বা কোটি। স্পষ্টতই মূলবিন্দু O এর স্থানাঙ্ক হবে (0,0)।

মূলবিন্দু থেকে x-অক্ষের ডানদিক ধনাত্মক দিক ও বামদিক ঋণাত্মক দিক। আবার, মূলবিন্দু থেকে -অক্ষের উপরের দিক ধনাত্মক দিক ও নিচের দিক ঋণাত্মক দিক। ফলে ছকটি অক্ষদ্বয় দ্বারা চারটি ভাগে বিভক্ত হয়েছে। এইভাগ চারটি ঘড়ির কাঁটার ঘূর্ণনের বিপরীত দিক অনুযায়ী ১ম, ২য়, ৩য় ও ৪র্থ চতুর্ভাগ হিসেবে পরিচিত। প্রথম চতুর্ভাগে যেকোনো বিন্দুর x স্থানাঙ্ক ও স্থানাঙ্ক উভয়ই ধনাত্মক, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে যেকোনো বিন্দুর X স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক ও y স্থানাঙ্ক ধনাত্মক, তৃতীয় চতুর্ভাগে যেকোনো বিন্দুর X স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক ও y স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক এবং চতুর্থ চতুর্ভাগে যেকোনো বিন্দুর X স্থানাঙ্ক ধনাত্মক ও y স্থানাঙ্ক ঋণাত্মক।

পূর্বের অনুচ্ছেদে আলোচিত লিজার অবস্থান (3, 2) নির্ণয় করার জন্য প্রথমে x-অক্ষ বরাবর ডানদিকে 3 একক দূরত্বে যেতে হবে। তারপর সেখান থেকে খাড়া উপর দিকে 2 একক দূরত্বে যেতে হবে। তা হলে লিজার অবস্থান L বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে (3,2)। অনুরূপভাবে চিত্রে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-2,4)।

উদাহরণ ১। ছক কাগজে নিচের প্রথম চারটি বিন্দু স্থাপন করে তীর চিহ্ন অনুযায়ী যোগ কর: (3, 2) $\to$ (6, 2) $\to$ (6, 4) $\to$ (3, 4) । চিত্রটির জ্যামিতিক আকৃতি কী হবে?

সমাধান: ধরি, বিন্দু চারটি যথাক্রমে A, B, C, D। অর্থাৎ, A(3, 2) B(6, 2) C(6,4) এবং D(3, 4) । ছক কাগজে উভয় অক্ষে ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। A বিন্দুটি স্থাপন করতে মূলবিন্দু O থেকে x-অক্ষের ডানদিক বরাবর 3টি ছোট বর্গের বাহুর সমান দূরে গিয়ে উপরের দিকে ২টি ছোটো বর্গের বাহুর সমান উঠে গেলে যে বিন্দুটি পাওয়া যাবে, তা A বিন্দু। অনুরূপভাবে প্রদত্ত অবশিষ্ট বিন্দুসমূহ স্থাপন করি। তারপর A $\to$ B $\to$ C $\to$ D $\to$ A এভাবে বিন্দুগুলো যোগ করি। এতে ABCD চিত্রটি পাওয়া গেল। দেখা যায় যে, ABCD চিত্রটি একটি আয়ত।

লেখচিত্রে সমীকরণের সমাধান

লেখচিত্রের সাহায্যে সহজেই সমীকরণের সমাধান বের করা যায়। মনে করি, 2x - 5 = 0 সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। সমীকরণের বামপক্ষ 2x - 5 রাশিতে x-এর বিভিন্ন মান বসালে রাশিটির বিভিন্ন মান পাওয়া যায়। লেখচিত্রে প্রতিটি X কে ভুজ এবং রাশিটির মানকে কোটি ধরে একটি করে বিন্দু পাওয়া যাবে। বিন্দুগুলো যোগ করে একটি সরলরেখা অঙ্কিত হবে। সরলরেখাটি যে বিন্দুতে x অক্ষকে ছেদ করে, সেই বিন্দুর ভুজই নির্ণেয় সমাধান। কেননা, x-এর এই মানের জন্য রাশিটির মান 0 হয়, যা সমীকরণের ডানপক্ষের মানের সমান হয়। এ ক্ষেত্রে সমীকরণটির সমাধান $x = \frac{5}{2}$ ।

উদাহরণ ২। 3x - 6 = 0 সমাধান কর এবং লেখচিত্রে সমাধান প্রদর্শন কর।

সমাধান: 3x - 6 = 0

বা, 3x = 6 [পক্ষান্তর করে]

বা, $\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3}$ [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]

বা, x = 2

∴ সমাধান: x = 2

লেখচিত্র অঙ্কন: প্রদত্ত সমীকরণ 3x-6=0

x এর কয়েকটি মান নিয়ে 3x - 6 এর অনুরূপ মান বের করি এবং নিচের ছকটি তৈরি করি:

x	3x-6	(x, 3x-6)
2	0	(2,0)
5	9	(5,9)
6	12	(6,12)

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য তিনটি বিন্দু (2,0), (5,9) ও (6,12) নেওয়া হলো।

মনে করি, পরস্পর লম্ব রেখা XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু।

ছক কাগজে উভয় অক্ষে ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (2,0), (5,9), (6,12) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। তারপর বিন্দুগুলো পরপর সংযোগ করি। লেখচিত্রে একটি সরলরেখা পাই। সরলরেখাটি x-অক্ষকে (2,0) বিন্দুতে ছেদ করে। বিন্দুটির ভুজ হলো 2। সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান x = 2 ।

উদাহরণ ৩। লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর: 3x - 4 = - x + 4

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণ 3x - 4 = - x + 4

x এর কয়েকটি মান নিয়ে 3x - 4 এর অনুরূপ মান বের করি এবং পাশের ছক-১ তৈরি করি:

∴ 3x - 4 এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0,-4), (2,2), (4,8) নিই।

x	3x - 4	(x, 3x - 4)
0	-4	(0,-4)
2	2	(2,2)
4	8	(4,8)

ছক-১

আবার, x এর কয়েকটি মান নিয়ে - x + 4 এর অনুরূপ মান বের করি এবং পাশের ছক-২ তৈরি করি:

∴ -x + 4 এর লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0,4), (2,2), (4,0) নিই।

মনে করি, পরস্পর লম্ব রেখা XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও ৮-অক্ষ এবং মূলবিন্দু। এখন, ছক-১ এ প্রাপ্ত (0,-4), (2,2), (4, 8) বিন্দু তিনটি স্থাপন করি এবং এদের পরপর সংযোগ করি।

x	-x + 4	(x, -x + 4)
0	4	(0,4)
2	2	(2,2)
4	0	(4,0)

ছক-২

(0,4), (2, 2), (4,0) বিন্দু তিনটি স্থাপন করি ও এদের পরপর সংযোগ করি। এক্ষেত্রেও লেখচিত্রে একটি সরলরেখা পাই।

লক্ষ করি, সরলরেখা দুটি পরস্পর (2,2) বিন্দুতে ছেদ করেছে। ছেদবিন্দুতে 3x-43-x+4 এর মান পরস্পর সমান। সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান হলো (2, 2) বিন্দুতে ভুজের মান, অর্থাৎ x = 2 ।

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

সরল-সহসমীকরণ (Simultaneous linear equations)

দুই বা ততোধিক চলকবিশিষ্ট এমন একাধিক সরল সমীকরণ, যেগুলো একসাথে সত্য হয়, তাদেরকে সরল-সহসমীকরণ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

সহসমীকরণে একই চলকের মান একাধিক সমীকরণে একই থাকে এবং সেই মান নির্ণয় করাই মূল উদ্দেশ্য।

দুই চলকবিশিষ্ট সরল-সহসমীকরণের সাধারণ রূপ

$a x + b y = c$

এবং

$p x + q y = r$

সমাধানের পদ্ধতি

বিয়োজন পদ্ধতি (Elimination Method)
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method)
ক্রস গুণন পদ্ধতি (Cross Multiplication Method)

বিয়োজন পদ্ধতির উদাহরণ

নিচের সহসমীকরণ দুটি সমাধান করি:

$2 x + y = 7$

এবং

$x - y = 2$

দুই সমীকরণ যোগ করলে পাই:

$3 x = 9$

অতএব,

$x = 3$

এখন x = 3 প্রথম সমীকরণে বসালে পাই:

$2 (3) + y = 7$

অর্থাৎ,

$6 + y = 7$

সুতরাং,

$y = 1$

অতএব সমাধান

$x = 3, y = 1$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

একাধিক সমীকরণ একসাথে সমাধান করা হয়
চলকের মান সব সমীকরণে একই থাকে
বিয়োজন ও প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বেশি ব্যবহৃত হয়
গ্রাফের সাহায্যেও সমাধান করা যায়

মনে রাখার উপায়

“একই চলকের মান সব সমীকরণে মিলবে” — এটাই সহসমীকরণের মূল ধারণা।

x + y = 5 একটি সমীকরণ। এখানে, x ও y দুইটি অজানা রাশি বা চলক। এই চলক দুইটি একঘাতবিশিষ্ট। এরূপ সমীকরণ সরল সমীকরণ।

এখানে, যে সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল 5 সেই সংখ্যা দ্বারাই সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। যেমন, x = 4, y = 1; বা, x = 3, y = 2; বা, x = 2, y = 3; বা, x = 1, y = 4, ইত্যাদি, এরূপ অসংখ্য সংখ্যাযুগল দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

আবার, x – y = 3 এই সমীকরণটি বিবেচনা করলে দেখতে পাই, সমীকরণটি x = 4, y=1 বা x = 5, y = 2 _বা_ x = 6, y = 3 বা x = 7, y = 4 বা x = 8, y = 5 বা x = 2, y = -1 বা x = 1, y = -2, x = 0, y = - 3 ... ইত্যাদি অসংখ্য সংখ্যাযুগল দ্বারা সিদ্ধ হয়।

এখানে, x + y = 5 এবং x - y = 3 সমীকরণ দুইটি একত্রে বিবেচনা করলে উভয় সমীকরণ হতে প্রাপ্ত সংখ্যাযুগলের মধ্যে x = 4, y = 1 দ্বারা উভয় সমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়।

চলকের মান দ্বারা একাধিক সমীকরণ সিদ্ধ হলে, সমীকরণসমূহকে একত্রে সহসমীকরণ বলা হয় এবং চলক একঘাত বিশিষ্ট হলে সহসমীকরণকে সরল সহসমীকরণ বলে।

চলকদ্বয়ের যে মান দ্বারা সহসমীকরণ যুগপৎ সিদ্ধ হয়, এদেরকে সহসমীকরণের মূল বা সমাধান বলা হয় । এখানে x + y = 5 এবং x - y = 3 সমীকরণ দুইটি সহসমীকরণ। এদের একমাত্র সমাধান x=4, y=1_ যা (x, y) = ( 4, 1 ) দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সরল সমীকরণের সমাধানের পদ্ধতিগুলোর মধ্যে নিচের পদ্ধতি দুইটি আলোচনা
করা হলো :
(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Method of Substitution)
(২) অপনয়ন পদ্ধতি (Method of Elimination)

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করতে পারি :

(ক) যেকোনো সমীকরণ থেকে চলক দুইটির একটির মান অপরটির মাধ্যমে প্রকাশ করা।

(খ) অপর সমীকরণে প্রাপ্ত চলকের মানটি স্থাপন করে এক চলকবিশিষ্ট সমীকরণ সমাধান করা।

(গ) নির্ণীত সমাধান প্রদত্ত সমীকরণ দুইটির যেকোনো একটিতে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা।

উদাহরণ ১। সমাধান কর :
x + y =7
x - y = 3

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + y = 7………………….(1)
x - y = 3…………………(2)

সমীকরণ (2) হতে পক্ষান্তর করে পাই,
x = y + 3...........(3)

সমীকরণ (3) হতে x এর মানটি সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,
y + 3 + y =7
বা, 2y = 7 - 3
বা, 2y = 4
∴ y = 2
এখন সমীকরণ (3) এ y = 2 বসিয়ে পাই,
x = 2 + 3
∴ x = 5
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (5, 2)

[শুদ্ধি পরীক্ষা : সমীকরণ দুইটিতে x = 5 ও y = 2 বসালে সমীকরণ (1)-এর বামপক্ষ = 5 + 2 = 7 = ডানপক্ষ এবং সমীকরণ (2)-এর বামপক্ষ = 5 - 2 = 3 = ডানপক্ষ।]

উদাহরণ ২। সমাধান কর :
x + 2y = 9
2x - y = 3
সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + 2y = 9……...……………..(1)
2x - y = 3…………………….(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2 x – 3……………………(3)

সমীকরণ (I) এ y এর মান বসিয়ে পাই, x + 2 (2x – 3) = 9
বা, x + 4x – 6 = 9
বা, 5 x = 6 +9
বা, 5 x = 15
বা, x = $\frac{15}{5}$
∴ x=3
এখন x এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2 x 3 - 3
= 6 - 3
= 3
নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3,3)

উদাহরণ ৩। সমাধান কর :
2y + 5z = 16
y - 2z = -1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
2y + 5z = 16……………..(1)
y - 2z = -1………………….(2)

সমীকরণ (2) হতে পাই, y = 2z – 1……………………(3)

সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
2(2z-1)+5z = 16
বা, 4z - 2 + 5z = 16
বা, 9z= 16 + 2
বা, z = $\frac{18}{9}$
∴ x=3
এখন z এর মান সমীকরণ (3) -এ বসিয়ে পাই,
y = 2 x 3 - 3
= 6 - 3
∴ y = 3
নির্ণেয় সমাধান (y, z) = (3, 2)

উদাহরণ ৪। সমাধান কর :
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$
$\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = - 1$

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ……………..(1)
$\frac{4}{x} - \frac{9}{y} = - 1$ ………………….(2)

$\frac{1}{x} = u$ এবং $\frac{1}{y} = v$ ধরে (1) ও (2) নং সমীকরণ হতে পাই
2x + v = 3………….………(3)
4u - 9v = -1………………(4)

(3) নং সমীকরণ হতে পাই
v = 1 - 2u ………………..(5)

(4) নং সমীকরণে v এর মান বসিয়ে পাই, বা,

4u - 9 (1-2u) = -1

বা, 4u - 9 + 18 u = -1

বা, 22u = 9 – 1

∴ $u = \frac{8}{22} = \frac{4}{11}$

বা, $\frac{1}{x} = \frac{4}{11}$

∴ $x = \frac{11}{4}$

এখন, u এর মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

v = 1 - 2 $\times \frac{4}{11} = \frac{11 - 8}{11}$

∴ $v = \frac{3}{11}$

বা, $\frac{1}{y} = \frac{3}{11}$

∴ $y = \frac{11}{3}$

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = $(\frac{11}{4}, \frac{11}{3})$

(২) অপনয়ন পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করে সমাধান করা যায় :
(ক) প্রদত্ত উভয় সমীকরণকে এমন দুইটি সংখ্যা বা রাশি দ্বারা পৃথকভাবে গুণ করতে হবে যেন যেকোনো একটি চলকের সহগের সাংখ্যিক মান সমান হয়।
(খ) একটি চলকের সহগ একই চিহ্ন বিশিষ্ট হলে সমীকরণ পরস্পর বিয়োগ, অন্যথায় যোগ করতে হবে।
বিয়োগফলকৃত (বা যোগফলকৃত) সমীকরণটি একটি এক চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ হবে।
(গ) সরল সমীকরণ সমাধানের নিয়মে চলকটির মান নির্ণয় করা।
(ঘ) প্রাপ্ত চলকের মান প্রদত্ত যেকোনো একটি সমীকরণে বসিয়ে অপর চলকের মান নির্ণয় করা।

উদাহরণ ৫। সমাধান কর :
5x - 4y = 6
x + 2y = 4

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
5x - 4y = 6.………………….(1)
x+2y= 4.………………….(2)

(3) ও (4) সমীকরণ যোগ করে পাই,
7x = 14
বা, x = $\frac{14}{7}$ ………………….(4)

∴ x = 2

সমীকরণ (2) এx এর মান বসিয়ে পাই,
2 + 2y = 4
বা, 2y = 4 - 2
বা, y = $\frac{2}{2}$
∴ y = 1

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 1)

উদাহরণ ৬। সমাধান কর :
x + 4y = 14
7 x - 3y = 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
x + 4y = 14………………..(1)
7x - 3y = 5………………..(2)

সমীকরণ (1) কে 3 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 4 দ্বারা গুণ করে পাই,

বা, x = $\frac{62}{31}$

∴ x = 2

এখন x এর মান সমীকরণ (1) -এ বসিয়ে পাই,
2 + 4y=14
বা, 4y = 14 - 2
বা, 4 y = 12
বা, y = $\frac{12}{4}$
∴ y = 3

∴ (x, y) = (2, 3)

উদাহরণ ৭। সমাধান কর :
5x - 3y = 9
3x - 5y = - 1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণ
5x - 3y = 9………………………(1)
3x - 5y = -1……………………..(2)

সমীকরণ (1) কে 5 দ্বারা এবং সমীকরণ (2) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই

বা, x = $\frac{48}{16}$

∴ x = 3

সমীকরণ (1) এ x এর মান বসিয়ে পাই,
5 × 3 - 3y = 9
বা, 15 - 3y = 9
বা, - 3y = 9 - 15
বা, - 3y = - 6
বা, y = $\frac{- 6}{- 3}$
∴ y = 2

∴ (x, y) = (3, 2)

উদাহরন ৮।
$\frac{x}{5} + \frac{3}{y} = 3$
$\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$

সমাধান :
প্রদত্ত সমীকরণ
$\frac{x}{5} + \frac{3}{y} = 3$ …………………….(1)
$\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$ …………………….(2)

(1) সমীকরণকে (2) দ্বারা গুণ করে (2) নং সমীকরণ এর সাথে যোগ করে পাই,
$\frac{2 x}{5} + \frac{6}{y} = 6$ ………………….(3)
$\frac{x}{2} - \frac{6}{y} = 2$ …………………….(4)
$\frac{2 x}{5} + \frac{x}{2} = 8$
বা, $\frac{4 x + 5 x}{10} = 8$
বা, 9x = 8 × 10
বা, x = $\frac{80}{9}$

(1) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
$\frac{1}{5} \times \frac{80}{9} + \frac{3}{y} = 3$
বা, $\frac{16}{9} + \frac{3}{y} = 3$
বা, $\frac{3}{y} = 3 - \frac{16}{9}$
বা, $\frac{3}{y} = \frac{11}{9}$
বা, $y = \frac{27}{11}$
∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = $(\frac{80}{9}, \frac{27}{11})$

আড়গুণন পদ্ধতি (Cross multiplication method) :

আড়গুণন পদ্ধতিকে বজ্রগুণন পদ্ধতিও বলে।

নিচের সমীকরণ দুইটি বিবেচনা করি :

সমীকরণ (1) কে b2 দিয়ে ও সমীকরণ (2) কে $b_{1}$ দিয়ে গুণ করে পাই,

সমীকরণ (3) থেকে সমীকরণ (4) বিয়োগ করে পাই,

আবার, সমীকরণ (1) কে দিয়ে ও সমীকরণ (2) কে $a_{1}$ দিয়ে গুণ করে পাই,

সমীকরণ (6) থেকে সমীকরণ (7) বিয়োগ করে পাই,

সমীকরণ (5) ও (8) থেকে পাই,

x ও y এর এরূপ সম্পর্ক থেকে এদের মান নির্ণয়ের কৌশলকে আড়গুণন পদ্ধতি বলে।

x ও y এর উল্লেখিত সম্পর্ক থেকে পাই,

লক্ষ করি :

দ্রষ্টব্য : প্রদত্ত উভয় সমীকরণের ধ্রুবক পদ ডানপক্ষে রেখেও আড়গুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করা যায়। তবে সেক্ষেত্রে চিহ্নের কিছু পরিবর্তন হবে। কিন্তু সমাধান একই পাওয়া যাবে।

উদাহরণ ৪. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর :

6x – y = 1

3x + 2y = 13

সমাধান : পক্ষান্তর প্রক্রিয়ায় প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের ডানপক্ষ 0 (শূন্য) করে পাই,

6x – y – 1 = 0

3x + 2y – 13 = 0

সমীকরণদ্বয়কে যথাক্রমে

এর সাথে তুলনা করে পাই,

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

উদাহরণ ৫. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর :

3x - 4y = 0

2x - 3y = - 1

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

উদাহরণ ৬. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর :

সমাধান: প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়কে ax + by + c = 0 আকারে সাজিয়ে পাই,

$∴$ সমীকরণদ্বয়

3x + 2y - 48 = 0

5x - 12y + 12 = 0

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

সমাধানের শুদ্ধি পরীক্ষা: প্রাপ্ত x ও y এর মান প্রদত্ত সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$∴$ সমাধান শুদ্ধ হয়েছে।

উদাহরণ ৭. আড়গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর : ax - by = ab = bx - ay

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়,

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

লৈখিক পদ্ধতি (Graphical Method)

দুই চলকবিশিষ্ট একটি সরল সমীকরণে বিদ্যমান চলক x ও y এর সম্পর্ককে চিত্রের সাহায্যে প্ৰকাশ করা যায়। এই চিত্রকে ঐ সম্পর্কের লেখচিত্র বলে। এ জাতীয় সমীকরণের লেখচিত্রে অসংখ্য বিন্দু থাকে। এরূপ কয়েকটি বিন্দু স্থাপন করে এদের পরস্পর সংযুক্ত করলেই লেখচিত্র পাওয়া যায়।

সরল সহসমীকরণের প্রত্যেকটির অসংখ্য সমাধান রয়েছে। প্রত্যেকটি সমীকরণের লেখ একটি সরলরেখা। সরলরেখাটির প্রত্যেকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। কোনো লেখ নির্দিষ্ট করতে তিন বা ততোধিক বিন্দু আবশ্যক। এখন আমরা নিচের সমীকরণজোটটি সমাধান করার চেষ্টা করবো :

2x + y = 3 … (1)

4x + 2y = 6 ... (2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, y=3-2x ।

সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

x	-1	0	3
y	5	3	-3

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (–1, 5), (0, 3) ও (3, − 3 ) ।

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপে মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

x	-2	0	6
y	7	3	-9

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (−2, 7), (0, 3 ) ও ( 6, 9 )।

মনে করি, ছক কাগজে XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও Y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু।

ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন সমীকরণ (1) হতে প্রাপ্ত (–1, 5), (0, 3) ও (3, − 3) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

আবার, সমীকরণ (2) হতে প্রাপ্ত (−2, 7), (0, 3) ও (6, – 9 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। এক্ষেত্রেও লেখটি একটি সরলরেখা।

তবে লক্ষ করি, সরলরেখা দুইটি পরস্পরের উপর সমাপতিত হয়ে একটি সরলরেখায় পরিণত হয়েছে। আবার, সমীকরণ (2) এর উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করলে সমীকরণ (1) পাওয়া যায়। এ কারণে সমীকরণদ্বয়ের লেখ পরস্পর সমাপতিত হয়েছে।

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (–1, – 6), (0, – 4), ( 4, 4)।

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

4x – 2y = 12, বা, 2x – y = 6 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, y = 2x – 6

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (0, – 6), (3,0), (6, 6) ।

মনে করি, ছক কাগজে XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে সমীকরণ (1) হতে প্রাপ্ত (–1, – 6), (0, – 4 ) ও ( 4, 4 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

আবার, সমীকরণ (2) হতে প্রাপ্ত (0, – 6), (3,0), (6, 6) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। এক্ষেত্রেও লেখটি একটি সরলরেখা।

চিত্রে লক্ষ করি, প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের পৃথকভাবে প্রত্যেকটির অসংখ্য সমাধান থাকলেও জোট হিসেবে এদের সাধারণ সমাধান নেই। আরও লক্ষ করি যে, প্রদত্ত সমীকরণ দুইটির লেখচিত্র দুইটি পরস্পর সমান্তরাল সরলরেখা। অর্থাৎ, রেখা দুইটি কখনো একে অপরকে ছেদ করবে না। অতএব, এদের কোনো সাধারণ ছেদ বিন্দু পাওয়া যাবে না। এ ক্ষেত্রে আমরা বলি যে, এরূপ সমীকরণজোটের কোনো সমাধান নেই। আমরা জানি, এরূপ সমীকরণজোট অসমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল।

আমরা এখন লেখচিত্রের সাহায্যে সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সমীকরণজোট সমাধান করবো।

দুই চলকবিশিষ্ট দুইটি সমঞ্জস ও পরস্পর অনির্ভরশীল সরল সমীকরণের লেখ একটি বিন্দুতে ছেদ করে। ঐ ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক দ্বারা উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হবে। ছেদবিন্দুটির স্থানাঙ্কই হবে সমীকরণদ্বয়ের সমাধান।

উদাহরণ ৮. সমাধান কর ও সমাধান লেখচিত্রে দেখাও :

2x + y = 8

3x - 2y – 5

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

2x + y – 8 = 0 ... (1)

3x - 2y 5 = 0 ...(2)

আড়গুণন পদ্ধতিতে পাই,

$∴$ সমাধান : (x, y) = (3, 2)

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (3,2) বিন্দুটি স্থাপন করি।

উদাহরণ ৯. লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর :

3x - y = 3

5x + y = 21

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

3x – y = 3 . . . (1)

5x + y = 21 . . . (2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, 3x - y = 3, বা, y = 3x - 3

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (–1, – 6), (0, – 3), (3, 6)

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই, 5x + y = 21, বা, y = 21 – 52

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (3, 6), ( 4, 1), (5, – 4) ।

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন ছক কাগজে সমীকরণ (1) হতে প্রাপ্ত (–1, – 6), (0, – 3), ( 3, 6 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

একইভাবে, সমীকরণ (2) হতে প্রাপ্ত (3, 6), ( 4, 1 ), ( 5, – 4 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও এদের পরস্পর সংযুক্ত করি। এক্ষেত্রেও লেখটি একটি সরলরেখা।

মনে করি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করেছে। চিত্র থেকে দেখা যায়, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 6)

$∴$ সমাধান: (x, y) = ( 3, 6)

উদাহরণ ১০. লৈখিক পদ্ধতিতে সমাধান কর :

2x + 5y = −14

4x – 5y = 17

সমাধান : প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়

2x + 5y = - 14 . . . (1)

4x - 5y = 17. . . (2)

সমীকরণটিতে x এর সুবিধামত কয়েকটি মান নিয়ে y এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু। ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন, ছক কাগজে সমীকরণ (1) থেকে প্রাপ্ত (3,-4), $(\frac{1}{3}, - 3), (- 2, - 2)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে এদের পরপর সংযুক্ত করি। লেখটি একটি সরলরেখা।

আবার, সমীকরণ (2) এ x-এর কয়েকটি মান নিয়ে y-এর অনুরূপ মান বের করি ও নিম্নের ছকটি তৈরি করি :

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (1, 4), (2, 0 ), ( 3, –4)

মনে করি, XOX' ও YOY' যথাক্রমে x-অক্ষ ও y-অক্ষ এবং O মূলবিন্দু৷ ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরি। এখন, ছক কাগজে সমীকরণ (1) থেকে প্রাপ্ত (−2, 6), (0, 3), (2, 0 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করি ও বিন্দুগুলো পরপর সংযুক্ত করি। তাহলে, লেখটি হবে একটি সরলরেখা।

একইভাবে, সমীকরণ (2) থেকে প্রাপ্ত (3,-1), $(\frac{1}{3}, - 3), (- 2, - 5)$ বিন্দুগুলো স্থাপন করে এদের পরপর সংযুক্ত । লেখটি একটি সরলরেখা।

$∴$ সমীকরণটির লেখের উপর তিনটি বিন্দু (1, 4), (2, 0 ), ( 3, –4)

একইভাবে, সমীকরণ (2) থেকে প্রাপ্ত (1, 4), (2, 0), (3, – 4 ) বিন্দুগুলো স্থাপন করে এগুলো পরপর সংযুক্ত করি। তাহলে, লেখটি হবে একটি সরলরেখা।

মনে করি, সরলরেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। চিত্রে দেখা যায়, P ছেদবিন্দুটির স্থানাঙ্ক (2, 0) I

$∴$ সমাধান : x = 2

বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান

দৈনন্দিন জীবনে এমন কিছু গাণিতিক সমস্যা আছে যা সমীকরণ গঠনের মাধ্যমে সমাধান করা সহজতর হয়। এ জন্য সমস্যার শর্ত বা শর্তাবলি থেকে দুইটি অজ্ঞাত রাশির জন্য দুইটি গাণিতিক প্রতীক, প্রধানত চলক x, y ধরা হয়। অজ্ঞাত রাশি দুইটির মান নির্ণয়ের জন্য দুইটি সমীকরণ গঠন করতে হয়। গঠিত সমীকরণদ্বয় সমাধান করলেই অজ্ঞাত রাশি দুইটির মান পাওয়া যায়।

উদাহরণ ১২. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 5 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, নির্ণেয় সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্ক x এবং একক স্থানীয় অঙ্ক y। অতএব, সংখ্যাটি 10x + y ।

$∴$ ১ম শর্তানুসারে, x + y + 5 = 3x . . . (1)

এবং ২য় শর্তানুসারে, 10y + x = (10x + y) – 9 . . . (2)

সমীকরণ (1) থেকে পাই, y - 3x - x – 5, বা, y = 2x – 5 . . . (3)

আবার, সমীকরণ (2) থেকে পাই,

10y – y + x - 10x + 9 = 0

বা, 9y – 9x + 9 = 0

বা, y − x + 1 = 0

বা, 2x – 5 – x + 1 = 0 [(3) হতে y এর মান বসিয়ে পাই]

বা, x = 4

(3) এ x এর মান বসিয়ে পাই, y = 2 × 4 – 5 = 8 – 5 = 3

$∴$ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে 10x + y 10 × 4 + 3 = 40 + 3 = 43

উদাহরণ ১৩. আট বছর পূর্বে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের আটগুণ ছিল। দশ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের দ্বিগুণ হবে। বর্তমানে কার বয়স কত?

সমাধান : মনে করি, বর্তমানে পিতার বয়স x বছর ও পুত্রের বয়স y বছর।

$∴$ বর্তমানে পিতার বয়স 32 বছর ও পুত্রের বয়স 11 বছর।

উদাহরণ ১৪. একটি আয়তাকার বাগানের প্রস্থের দ্বিগুণ, দৈর্ঘ্য অপেক্ষা 10 মিটার বেশি এবং বাগানটির পরিসীমা 100 মিটার। বাগানটির সীমানার বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা আছে। রাস্তাটি ইট দিয়ে তৈরি করতে প্রতি বর্গ মিটারে 110 টাকা খরচ হয়।

ক) বাগানটির দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার ধরে সমীকরণজোট গঠন কর।

খ) বাগানটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

গ) রাস্তাটি ইট দিয়ে তৈরি করতে মোট কত খরচ হবে?

সমাধান :

ক)

আয়তাকার বাগানটির দৈর্ঘ্য x মিটার ও প্রস্থ y মিটার।

$∴$ ১ম শর্তানুসারে, 2y = x + 10 (1)

এবং ২য় শর্তানুসারে, 2(x + y) = 100 . . . (2)

খ) সমীকরণ (2) হতে পাই, 2x + 2y = 100

বা, 2x + x + 10 100 [(1) হতে 2y এর মান বসিয়ে]

বা, 3x = 90

বা, x = 30

$∴$ (1) হতে পাই, 2y = 30 + 10 [x এর মান বসিয়ে]

বা, 2y = 40

বা, y = 20

$∴$ বাগানটির দৈর্ঘ্য 30 মিটার ও প্রস্থ 20 মিটার।

গ)

রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = (30+ 4) মি. = 34 মি. এবং রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = (20 + 4) মি. = 24 মি.

$∴$ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল - বাগানের ক্ষেত্রফল

= (34 × 24 - 30 × 20) বর্গমিটার।

= (816 – 600) বর্গমিটার।

= 216 বর্গমিটার।

$∴$ ইট দিয়ে রাস্তা তৈরি করার খরচ = (216 × 110) টাকা = 23760 টাকা

উদাহরণ ১৫. ঘড়ির ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা কতবার একটির উপরে আরেকটি বসে? সময়গুলো নির্ণয় কর।

সমাধান: মনে করি, টা y মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা একটি আরেকটির উপরে বসে। মনে রাখতে হবে x (সুবিধার্থে x 0,1, . . . 11 যেখানে 0 প্রকৃতপক্ষে 12 বোঝাবে) পূর্ণসংখ্যা হলেও y কিন্তু পূর্ণসংখ্যা নাও হতে পারে। আমরা জানি মিনিটের কাঁটা ঘণ্টার কাঁটার তুলনায় 12 গুণ বেশি দ্রুত চলে। x টার সময় ঘণ্টার কাঁটা ঠিক x লেখার উপরে এবং মিনিটের কাঁটা 12 এর উপরে ছিল। মিনিটে ঘন্টার কাঁটা $\frac{y}{12}$ এবং মিনিটের কাঁটা y ঘর অতিক্রম করবে। তাই

প্রথম ও শেষ সময় দুইটি একই সময় বলে কাঁটা দুইটি 11 বার মিলিত হবে এবং সময়গুলো হলো x টা $\frac{60}{11} x$ মিনিট।

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic equation)

দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)

যে সমীকরণে চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয়, তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

দ্বিঘাত সমীকরণে চলকের বর্গ থাকে এবং সাধারণত এর দুটি মূল (Root) পাওয়া যায়।

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ

$a x^{2} + b x + c = 0$

এখানে,

a, b, c ধ্রুবক এবং a ≠ 0

মূল নির্ণয়ের সূত্র

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

এখানে,

b² − 4ac কে বিচ্যুতি (Discriminant) বলা হয়।

বিচ্যুতির ভিত্তিতে মূলের প্রকৃতি

যদি b² − 4ac > 0 হয়, তবে দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল পাওয়া যায়
যদি b² − 4ac = 0 হয়, তবে দুটি সমান বাস্তব মূল পাওয়া যায়
যদি b² − 4ac < 0 হয়, তবে কাল্পনিক মূল পাওয়া যায়

উদাহরণ

নিচের দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি:

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

এখন উৎপাদক বিশ্লেষণ করলে পাই:

$(x - 2) (x - 3) = 0$

অতএব,

$x = 2, 3$

দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি

উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
পূর্ণবর্গ সম্পন্ন পদ্ধতি
সূত্র প্রয়োগ পদ্ধতি

বৈশিষ্ট্য

চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয়
সাধারণত দুটি মূল থাকে
গ্রাফ প্যারাবোলা আকারের হয়
বীজগণিতে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

দ্বিঘাত সমীকরণে চলকের বর্গ থাকে এবং এর সমাধানকে সমীকরণের মূল বলা হয়।

মনে রাখার উপায়

“চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 2 = দ্বিঘাত সমীকরণ” — এই নিয়ম মনে রাখলেই সহজে চেনা যায়।

দ্বিঘাত, ত্রিঘাত এবং চতুর্ঘাত সমীকরণ (Quadratic and Higher Order Equations)

দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন (Formation of Quadratic Equations)

ধরা যাক,

$a x^{2} + b x + c = 0$

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β।

মূলদ্বয়ের যোগফল

$α + β = \frac{- b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$α β = \frac{c}{a}$

মূলদ্বয় দ্বারা সমীকরণ গঠন

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সমাধান

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

যেখানে a ≠ 0

পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করলে পাই:

$(2 a x + b)^{2} = b^{2} - 4 a c$

অতএব,

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

এটাই দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সমাধান সূত্র।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক

যদি α এবং β সমীকরণের মূল হয়, তবে

$α = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

এবং

$β = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

মূলদ্বয়ের সমষ্টি

$α + β = \frac{- b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$α β = \frac{c}{a}$

উদাহরণ

সমীকরণ:

$4 x^{2} - 3 x + 2 = 0$

এখানে,

$α + β = \frac{3}{4}$

এবং

$α β = \frac{1}{2}$

দুটি সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকার শর্ত

যদি,

$a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} = 0$

এবং

$a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} = 0$

সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে শর্ত হবে:

$(b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}) (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) = {(c_{1} a_{2} - c_{2} a_{1})}^{2}$

দুটি সমীকরণের উভয় মূল সাধারণ হওয়ার শর্ত

$\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$

পৃথায়ক (Discriminant)

দ্বিঘাত সমীকরণে,

$D = b^{2} - 4 a c$

কে পৃথায়ক বলা হয়।

পৃথায়কের ভিত্তিতে মূলের প্রকৃতি

D > 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে
D = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে
D < 0 হলে মূলদ্বয় জটিল হবে
D পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় মূলদ হবে

ত্রিঘাত সমীকরণের মূল-সহগ সম্পর্ক

যদি,

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$

সমীকরণের মূলত্রয় α, β, γ হলে,

$α + β + γ = \frac{- b}{a}$ $αβ + βγ + γα = \frac{c}{a}$ $αβγ = \frac{- d}{a}$

সমান্তর প্রগমনভুক্ত মূল

ত্রিঘাত সমীকরণে মূল: a − d, a, a + d
চতুর্ঘাত সমীকরণে মূল: a − 3d, a − d, a + d, a + 3d

গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত মূল

ত্রিঘাত সমীকরণে মূল: a/r, a, ar
চতুর্ঘাত সমীকরণে মূল: a/r³, a/r, a, ar³

n ঘাত সমীকরণের মূল ও সহগের সম্পর্ক

যদি,

$a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n} = 0$

তাহলে,

$\sum α = \frac{- a_{1}}{a_{0}}$ $\sum α β = \frac{a_{2}}{a_{0}}$ $α β ... α n = {(- 1)}^{n} \times \frac{a_{n}}{a_{0}}$

মনে রাখার উপায়

দ্বিঘাত সমীকরণে মূলের যোগফল = −b/a এবং গুণফল = c/a — এই সূত্র দুটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

Content added By

Najjar Hossain Raju

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ও গঠন (Solution & Formation)

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান ও গঠন (Solution & Formation of Quadratic Equations)

যে সমীকরণে সর্বোচ্চ ঘাত ২ হয় তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়। এর সাধারণ রূপ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

যেখানে a ≠ 0 এবং a, b, c বাস্তব সংখ্যা।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল (Roots of Quadratic Equation)

ধরা যাক সমীকরণের মূলদ্বয় α এবং β। তাহলে,

মূলদ্বয়ের সমষ্টি

$α + β = \frac{- b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$α β = \frac{c}{a}$

দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন (Formation of Quadratic Equation)

যদি মূলদ্বয় α এবং β দেওয়া থাকে, তবে সমীকরণ হবে:

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান (Solution of Quadratic Equation)

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করে সমাধান করলে পাই:

$D = b^{2} - 4 a c$

অতএব,

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

এখানে,

a = 2
b = -5
c = 3

তাহলে মূলদ্বয়ের সমষ্টি:

$α + β = \frac{5}{2}$

এবং গুণফল:

$α β = \frac{3}{2}$

মনে রাখার উপায়

দ্বিঘাত সমীকরণে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ দুইটি সম্পর্ক:
1. α + β = -b/a
2. αβ = c/a

Content added By

Najjar Hossain Raju

নিশ্চায়ক ও মূলের প্রকৃতি (Discriminant & Nature of Roots)

নিশ্চায়ক ও মূলের প্রকৃতি (Discriminant & Nature of Roots)

দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

এখানে, a ≠ 0 এবং a, b, c ∈ বাস্তব সংখ্যা।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

এখানে বর্গমূলের ভিতরের অংশকে নিশ্চায়ক (Discriminant) বলা হয়।

নিশ্চায়ক (Discriminant)

$D = b^{2} - 4 a c$

মূলের প্রকৃতি (Nature of Roots)

১. D > 0 হলে

দুটি বাস্তব ও অসমান মূল পাওয়া যায়।

$x = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$

২. D = 0 হলে

দুটি সমান বাস্তব মূল পাওয়া যায়।

$x = \frac{- b}{2 a}$

৩. D < 0 হলে

কোনো বাস্তব মূল থাকে না, মূলদ্বয় জটিল (imaginary) হয়।

৪. বিশেষ অবস্থা

যদি a, b, c ∈ Q এবং D পূর্ণবর্গ হয়, তবে মূলদ্বয় মূলদ (rational) হয়।

মনে রাখার উপায়

D > 0 → বাস্তব ও অসমান মূল
D = 0 → সমান বাস্তব মূল
D < 0 → জটিল মূল

Content added By

Najjar Hossain Raju

পরমমান সমীকরণ ও অসমতা (Absolute Value Equations & Inequalities)

পরমমান সমীকরণ ও অসমতা (Absolute Value Equations & Inequalities)

কোনো সংখ্যার পরমমান বলতে সংখ্যাটি শূন্য থেকে কত দূরে অবস্থান করছে তা বোঝায়। পরমমান সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য হয়।

পরমমানের প্রতীক

পরমমানকে দুই পাশে উল্লম্ব দাগ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$| x |$

পরমমানের সংজ্ঞা

যদি কোনো সংখ্যা ধনাত্মক বা শূন্য হয় তবে তার পরমমান সংখ্যাটি নিজেই হবে এবং ঋণাত্মক হলে চিহ্ন পরিবর্তন করে ধনাত্মক মান নিতে হবে।

$| x | = \{\begin{matrix} x & , x \geq 0 \\ - x & , x < 0 \end{matrix}$

উদাহরণ

নিচের সংখ্যাগুলোর পরমমান:

$| 5 | = 5, | - 7 | = 7, | 0 | = 0$

পরমমান সমীকরণ

যে সমীকরণে পরমমান চিহ্ন থাকে তাকে পরমমান সমীকরণ বলে।

যদি,

$| x | = a$

এবং a একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, তবে

$x = a অথবা x = - a$

উদাহরণ

সমীকরণটি সমাধান করি:

$| x - 3 | = 5$

তাহলে,

$x - 3 = 5$

অথবা,

$x - 3 = - 5$

সুতরাং,

$x = 8 অথবা x = - 2$

পরমমান অসমতা

যে অসমতায় পরমমান চিহ্ন থাকে তাকে পরমমান অসমতা বলে।

গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম

যদি,

$| x | < a$

তবে,

$- a < x < a$

এবং যদি,

$| x | > a$

তবে,

$x < - a অথবা x > a$

উদাহরণ

অসমতাটি সমাধান করি:

$| x | < 4$

তাহলে,

$- 4 < x < 4$

অর্থাৎ x এর মান −4 এবং 4 এর মধ্যবর্তী হবে।

গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

পরমমান কখনো ঋণাত্মক হয় না।
পরমমান দূরত্ব নির্দেশ করে।
|a − b| দ্বারা a ও b এর মধ্যকার দূরত্ব বোঝায়।
পরমমান সমীকরণের সাধারণত দুইটি সমাধান হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

পরমমান মানে শুধু সংখ্যার ধনাত্মক দূরত্ব। চিহ্ন বাদ দিলে যে মান পাওয়া যায় সেটিই পরমমান।

Content added By

Najjar Hossain Raju

ক্রম ও ধারা (Sequence & Series)

ক্রম ও ধারা (Sequence & Series)

গণিতে কোনো নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে সাজানো সংখ্যার তালিকাকে ক্রম (Sequence) বলা হয় এবং সেই সংখ্যাগুলোর যোগফলকে ধারা (Series) বলা হয়।

ক্রম (Sequence)

ক্রম হলো এমন একটি সাজানো সংখ্যা সমষ্টি যেখানে প্রতিটি পদ একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে আগের পদ থেকে নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ

2, 4, 6, 8, 10, ...

এখানে প্রতিটি সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে 2 যোগ করে পাওয়া যাচ্ছে।

সাধারণ পদ (General Term)

ক্রমের n-তম পদকে সাধারণ পদ বলা হয়, যা সাধারণত a_n দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$a_{n}$

ধারা (Series)

ক্রমের পদগুলোকে যোগ করলে যে রূপ পাওয়া যায় তাকে ধারা বলা হয়।

উদাহরণ

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ...

গাণিতিক ক্রম (Arithmetic Sequence / AP)

যে ক্রমে প্রতিটি পরবর্তী পদ আগের পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করে পাওয়া যায় তাকে গাণিতিক ক্রম বলে।

সাধারণ রূপ

$a, a + d, a + 2 d, a + 3 d$

এখানে,

a = প্রথম পদ
d = সাধারণ পার্থক্য (Common Difference)

n-তম পদ

$a_{n} = a + (n - 1) d$

প্রথম n সংখ্যার যোগফল

$S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]$

জ্যামিতিক ক্রম (Geometric Sequence / GP)

যে ক্রমে প্রতিটি পরবর্তী পদ আগের পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা গুণ করে পাওয়া যায় তাকে জ্যামিতিক ক্রম বলে।

সাধারণ রূপ

$a, a r, a r^{2}, a r^{3}$

এখানে,

a = প্রথম পদ
r = সাধারণ অনুপাত (Common Ratio)

n-তম পদ

$a_{n} = a r^{n - 1}$

প্রথম n পদের যোগফল

যদি r ≠ 1 হয়,

$S_{n} = a \frac{r^{n} - 1}{r - 1}$

অসীম জ্যামিতিক ধারা

যদি |r| < 1 হয়, তবে অসীম জ্যামিতিক ধারার যোগফল হবে:

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

হারমোনিক ধারা (Harmonic Series)

যে ধারার পদগুলো গাণিতিক ক্রমের বিপরীত রূপ তাকে হারমোনিক ধারা বলা হয়।

উদাহরণ

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

সিগমা নোটেশন (Sigma Notation)

কোনো ধারার যোগফল সংক্ষিপ্তভাবে প্রকাশ করতে Σ (Sigma) ব্যবহার করা হয়।

$\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$

গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

AP: aₙ = a + (n−1)d
AP: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
GP: aₙ = arⁿ⁻¹
GP: Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)
Infinite GP: S∞ = a/(1−r)

মনে রাখার উপায়

ক্রম হলো তালিকা, ধারা হলো যোগফল। AP মানে যোগে বাড়ে, GP মানে গুণে বাড়ে।

প্রাত্যহিক জীবনে ‘ক্ৰম' বহুল প্রচলিত একটি শব্দ। যেমন - দোকানের তাকে ভোগ্যপণ্য সাজাতে, নাটক ও অনুষ্ঠানের ঘটনাবলী সাজাতে, গুদামঘরে সুন্দরভাবে দ্রব্যাদি রাখতে ক্রমের ধারণা ব্যবহৃত হয়। আবার অনেক কাজ সহজে এবং দৃষ্টিনন্দনভাবে সম্পাদন করতে আমরা বড় হতে ছোট, শিশু হতে বৃদ্ধ, হালকা হতে ভারী ইত্যাদি বিভিন্ন ধরনের ক্রম ব্যবহার করি। এই ক্রমের ধারণা হতেই বিভিন্ন প্রকার গাণিতিক ধারার উদ্ভব হয়েছে। এই অধ্যায়ে অনুক্রম ও ধারার মধ্যে সম্পর্ক ও এতদ সংক্রান্ত বিষয়বস্তু উপস্থাপন করা হয়েছে।

অনুক্রম (Sequence)

নিচের সম্পর্কটি লক্ষ করি :

এখানে প্রত্যেক স্বাভাবিক সংখ্যা n তার দ্বিগুণ সংখ্যা 2n এর সাথে সম্পর্কিত। অর্থাৎ স্বাভাবিক সংখ্যার সেট {1, 2, 3, . . .} থেকে একটি নিয়মের মাধ্যমে যোগবোধক জোড় সংখার সেট {2, 4, 6, . . .} পাওয়া যায়। এই সাজানো জোড়সংখ্যার সেটটি একটি অনুক্রম। সুতরাং, কতকগুলো রাশি একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়। এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম (Sequence) বলা হয়।

উপরের সম্পর্কটিকে ফাংশন বলে এবং f(n) = 2n লিখা হয়। এই অনুক্রমের সাধারণ পদ 2n যেকোনো অনুক্রমের পদসংখ্যা অসীম। অনুক্রমটি সাধারণ পদের সাহায্যে লিখার পদ্ধতি হলো {2n}, n = 1, 2, 3, . . বা, {27} $\begin{matrix} + \infty \\ n = 1 \end{matrix}$ বা, {2n}।

অনুক্রমের প্রথম রাশিকে প্রথম পদ, দ্বিতীয় রাশিকে দ্বিতীয় পদ, তৃতীয় রাশিকে তৃতীয় পদ ইত্যাদি বলা হয়। 1, 3, 5, 7, ... অনুক্রমের প্রথম পদ = 1, দ্বিতীয় পদ = 3, ইত্যাদি। নিচে অনুক্রমের চারটি উদাহরণ দেওয়া হলো :

ধারা (Series)

কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর + চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা (Series) পাওয়া যায়। যেমন, 1 + 3 + 5 + 7 + . . . একটি ধারা। ধারাটির পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান। আবার 2 + 4 + 8 + 16 +. . . একটি ধারা। এর পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান। সুতরাং, যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য। ধারাগুলোর মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ দুইটি ধারা হলো সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা।

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 3 – 1 = 2,

তৃতীয় পদ দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 – 2, চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5, ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1 + 4 + 7 + 10 + . . . একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a +d) + (a + 2d) + . . . ।

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + (1 – 1)d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + (2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + (3 – 1)d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + (4 – 1) d

. . . . . .

$∴$ n তম পদ = a + (n - 1) d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n 1, 2, 3, 4, . . . বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ = নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1) × 2 = 2n + 1 ।

উদাহরণ ২. 5 + 8 + 11 + 14 + . . . ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 I

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n}$ ।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{n}$

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে লিখে পাওয়া যায়

উদাহরণ ৩. প্রথম 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধান: আমরা (3) নং সূত্র ব্যবহার করে পাই,

$∴$ প্রথম 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল 1275 ।

উদাহরণ ৪. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 99 = কত?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 1, সাধারণ অন্তর d = 2 – 1 = 1 এবং শেষ পদ p = 99 ।

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 99

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ a + (n - 1)d = 99

বা, 1 + (n – 1)1 = 99

বা, 1 + n − 1 = 99

$∴$ n = 99

উদাহরণ ৫. 7 + 12 + 17 + . . . ধারাটির প্রথম 30 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 7, সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা। এখানে পদ সংখ্যা n = 30

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

উদাহরণ ৬. রশিদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন।

ক) সমস্যাটিকে n সংখ্যক পদ পর্যন্ত ধারায় প্রকাশ কর।

খ) তিনি 18 তম মাসে কত টাকা এবং প্রথম 18 মাসে মোট কত টাকা সঞ্চয় করেন?

গ) তিনি কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান :

ধারার বিভিন্ন সূত্র

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $S_{n}$ ।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $S_{n}$

প্রয়োজনীয় সূত্র

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression)

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে। যেমন, 2 + 4 + 8 + 16 + 32 ধারাটির প্রথম পদ 2, দ্বিতীয় পদ 4, তৃতীয় পদ ৪, চতুর্থ পদ 16, পঞ্চম পদ 32 । এখানে,

দ্বিতীয় পদের সাথে প্রথম পদের অনুপাত $= \frac{4}{2} = 2$

তৃতীয় পদের সাথে দ্বিতীয় পদের অনুপাত $= \frac{8}{4} = 2$

চতুর্থ পদের সাথে তৃতীয় পদের অনুপাত $= \frac{16}{8} = 2$

পঞ্চম পদের সাথে চতুর্থ পদের অনুপাত $= \frac{32}{16} = 2$ ।

সুতরাং, ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা। এই ধারায় যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান। উল্লেখিত ধারায় সাধারণ অনুপাত 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি গুণোত্তর সসীম ধারা।

ভৌত ও জীব বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে, ব্যাংক ও বীমা ইত্যাদি প্রতিষ্ঠানে এবং বিভিন্ন প্রকার প্রযুক্তি বিদ্যায় গুণোত্তর ধারার ব্যাপক প্রয়োগ আছে।

গুণোত্তর ধারার পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট না থাকলে একে অনন্ত গুণোত্তর ধারা বলে।

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদকে সাধারণত a দ্বারা এবং সাধারণ অনুপাতকে r দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ ar, তৃতীয় পদ $a r^{2}$ ইত্যাদি। সুতরাং ধারাটি হবে,

$a + a r + a r^{2} + a r^{3} + . . .$

গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ

মনে করি, যেকোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r, তাহলে ধারাটির

এই n তম পদকেই গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত । জানা থাকলে n তম পদে পর্যায়ক্রমে r - 1, 2, 3, . . . ইত্যাদি বসিয়ে ধারাটির - যেকোনো পদ নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ৭. 2 + 4 + 8 + 16 ধারাটির 10 তম পদ কত?

ধারাটির প্রথম পদ a = 2, সাধরণ অনুপাত $r = \frac{4}{2} = 2$

$∴$ প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ $= a r^{n - 1}$

$∴$ ধারাটির 10 তম পদ $= 2 \times 2^{10 - 1} = 2 \times 2^{9} = 1024$

উদাহরণ ৮. 128 + 64 + 32 + ... ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ a = 128, সাধারণ অনুপাত r $= \frac{64}{128} = \frac{1}{2}$

$∴$ ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ $= a r^{n - 1}$

উদাহরণ ৯. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9 হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ এবং দশম পদ নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ a = 27, দ্বিতীয় পদ = 9

তাহলে সাধারণ অনুপাত $r = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

গুণোত্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n । যদি n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n}$ হয়, তাহলে

উদাহরণ ১০. 12 + 24 + 48 +. . . + 768 ধারাটির সমষ্টি কত?

উদাহরণ ১২. পলাশ সরকার 2005 সালের জানুয়ারি মাসে বার্ষিক 120000 টাকা বেতনে চাকুরীতে যোগদান করলেন। তার বেতন বৃদ্ধির পরিমাণ প্রতি বছর 5000 টাকা। প্রতি বছর তার বেতন থেকে 10% ভবিষ্যৎ তহবিল হিসেবে কর্তন করা হয়। তিনি বেতন থেকে বার্ষিক 12% চক্রবৃদ্ধি মুনাফা হারে বছর শেষে একটি ব্যাংকে 12000 টাকা জমা রাখেন। তিনি 2030 সালের 31 ডিসেম্বর চাকুরী থেকে অবসরে যাবেন।

ক) পলাশ সরকারের মূল বেতন কোন ধারাকে সমর্থন করে? ধারাটি লিখ।

খ) ভবিষ্যৎ তহবিল ব্যতিত সে বেতন হিসেবে চাকুরী জীবনে মোট কত টাকা পাবেন।

গ) 2031 সালের 31 ডিসেম্বর ঐ ব্যাংকে মুনাফাসহ তার মোট কত টাকা জমা হবে?

সমাধান :

ক) পলাশ সরকারের মূল বেতন সমান্তর ধারা সমর্থন করে।

ধারাটির প্রথম পদ a = 120000 এবং সাধারণ অন্তর = 5000

$∴$ দ্বিতীয় পদ = 120000 + 5000 = 125000

তৃতীয় পদ = 125000 + 5000 = 130000

$∴$ ধারাটি, 120000 + 125000 + 130000 + . . .

খ) 2005 সালের জানুয়ারি থেকে 2030 সালের 31 ডিসেম্বর পর্যন্ত মোট ( 2030 – 2005 + 1) বা, 26 বছর ভবিষ্যৎ তহবিল ব্যতিত তাঁর বেতন বাবদ প্রাপ্য টাকার পরিমাণ

(120000 - 120000 এর 10%) + (125000 - 125000 এর 10%) + (130000 — 130000 এর 10%) + . . .

এক্ষেত্রে সৃষ্ট ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 108000, সাধারণ অন্তর d = 112500 - 108000 4500 এবং পদ সংখ্যা n = 26

= 13(216000 + 112500) = 13 × 328500 = 4270500 টাকা

গ) 2005 সাল থেকে 2031 পর্যন্ত জমা করার মোট সময় (2031 – 2005) বা 26 বছর

12000 টাকার 1 বছর শেষে জমা করেন $12000 (1 + \frac{12}{100}) = 12000 \times 1.12$ টাকা

12000 টাকার 2 বছর শেষে জমা করেন $12000 \times {(1.12)}^{2}$ টাকা

12000 টাকার ও বছর শেষে জমা করেন $12000 \times {(1.12)}^{3}$ টাকা

= 2020488 টাকা (প্রায়)

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

অনুপাত - সমানুপাত (Ration-Proportion-Algebra)

অনুপাত (Ratio)

একই এককে সমজাতীয় দুইটি রাশির পরিমাণের একটি অপরটির কত গুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায়। এই ভগ্নাংশটিকে রাশি দুইটির অনুপাত বলে।

দুইটি রাশি p ও q এর অনুপাতকে $p : q = \frac{p}{q}$ লিখা হয়। p ও q রাশি দুইটি সমজাতীয় ও একই এককে প্রকাশিত হতে হবে। অনুপাতে p কে পূর্ব রাশি এবং q কে উত্তর রাশি বলা হয়।

অনেক সময় আনুমানিক পরিমাপ করতেও আমরা অনুপাত ব্যবহার করি। যেমন, সকাল ৪ টায় রাস্তায় যে সংখ্যক গাড়ী থাকে, 10 টায় তার দ্বিগুণ গাড়ী থাকে। এ ক্ষেত্রে অনুপাত নির্ণয়ে গাড়ীর প্রকৃত সংখ্যা জানার প্রয়োজন হয় না। আবার অনেক সময় আমরা বলে থাকি, তোমার ঘরের আয়তন আমার ঘরের আয়তনের তিনগুণ হবে। এখানেও ঘরের সঠিক আয়তন জানার প্রয়োজন হয় না। বাস্তব জীবনে এরকম অনেক ক্ষেত্রে আমরা অনুপাতের ধারণা ব্যবহার করে থাকি।

সমানুপাত (Proportion)

যদি চারটি রাশি এরূপ হয় যে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত উৎপন্ন হয়। a, b, c, এরূপ চারটি রাশি হলে আমরা লিখি a : b = c : d । সমানুপাতের চারটি রাশিই একজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন হয় না। প্রত্যেক অনুপাতের রাশি দুইটি এক জাতীয় হলেই চলে।

উপরের চিত্রে, দুইটি ত্রিভুজের ভূমি যথাক্রমে a ও b এবং এদের প্রত্যেকের উচ্চতা h একক। ত্রিভুজদ্বয়ের ক্ষেত্রফল A ও B বর্গএকক হলে আমরা লিখতে পারি

অর্থাৎ, ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত ভূমিদ্বয়ের অনুপাতের সমান।

ক্রমিক সমানুপাতী (Continued proportion)

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী বলতে বোঝায় a : b=b : c l

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হবে যদি এবং কেবল যদি $b^{2} = a c$ হয়। ক্রমিক সমানুপাতের ক্ষেত্রে সবগুলো রাশি এক জাতীয় হতে হবে। এক্ষেত্রে c কে a ও b এর তৃতীয় সমানুপাতী এবং b কে a ও c এর মধ্যসমানুপাতী বলা হয়।

উদাহরণ ১. A ও B নির্দিষ্ট পথ অতিক্রম করে যথাক্রমে $t_{1}$ এবং $t_{2}$ মিনিট। A ও B এর গড় গতিবেগের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, A ও B এর গড় গতিবেগ প্রতি মিনিটে যথাক্রমে 1 মিটার ও 2 মিটার। তাহলে, $t_{1}$ মিনিটে A অতিক্রম করে $u_{1} t_{1}$ মিটার এবং $t_{2}$ মিনিটে B অতিক্রম করে $u_{2} t_{2}$ মিটার।

প্রশ্নানুসারে,

এখানে গতিবেগের অনুপাত সময়ের ব্যস্ত অনুপাতের সমান।খ) x : y = 5 : 6 হলে 3x : 5y

অনুপাতের রূপান্তর

এখানে অনুপাতের রাশিগুলো ধনাত্মক সংখ্যা।

১. a : b = c : d হলে, b : a = d : c [ব্যস্তকরণ (Invertendo)]

প্রমাণ : দেওয়া আছে,

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

বা, ad = bc [উভয়পক্ষকে bd দ্বারা গুণ করে ]

বা, $\frac{a d}{a c} = \frac{b c}{a c}$ [উভয় পক্ষকে ac দ্বারা ভাগ করে যেখানে a, c এর কোনটিই শূন্য নয়]

বা, $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

অর্থাৎ, b : a = d : c

২. a : b = c : d হলে, a : c = b : d [একান্তরকরণ (Alternendo)]

প্রমাণ : দেওয়া আছে,

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

বা, ad = bc [উভয়পক্ষকে bd দ্বারা গুণ করে]

বা, $\frac{a d}{a c} = \frac{b c}{a c}$ [উভয় পক্ষকে cd দ্বারা ভাগ করে যেখানে c, d এর কোনটিই শূন্য নয়]

বা, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

অর্থাৎ, a : c = b : d

উদাহরণ ২. পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত 7 : 2 এবং 5 বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৪ : 3 হবে। তাদের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান : মনে করি, পিতার বর্তমান বয়স a বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স b বছর।

প্রশ্নের প্রথম ও দ্বিতীয় শর্তানুসারে যথাক্রমে পাই,

$\frac{1}{b} = \frac{7}{2} . . . (1)$

$\frac{a + 5}{b + 5} = \frac{8}{3} . . . (3)$

সমীকরণ (1) থেকে পাই,

$a = \frac{7 b}{2} . . . (3)$

সমীকরণ (2) থেকে পাই,

3 (a + 5 ) = 8 (b + 5)

বা, 3a + 15 = 8b + 40

বা, 3a - 8b = 40 – 15

বা, $3 \frac{7 b}{2} - 8 b = 25$ [(3) ব্যবহার করে]

বা, $\frac{21 b - 16 b}{2} = 25$

বা, 5b = 50

$∴$ b = 10

সমীকরণ (3) এ b = 10 বসিয়ে পাই, $a = \frac{7 \times 10}{2} = 35$

$∴$ পিতার বর্তমান বয়স 35 বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স 10 বছর।

উদাহরণ ৩. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ কর যে, ${(\frac{a + b}{b - c})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{b^{2} + c^{2}}$

সমাধান : দেওয়া আছে, a : b = b : c

উদাহরণ ৪. $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ হলে, দেখাও যে, $\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{a c + b d}{a c - b d}$

সমাধান :

সমাধান : মনে করি, ax = by = cz = k

সমাধান :

ধারাবাহিক অনুপাত (Continued Ratio)

মনে কর, রনির আয় 1000 টাকা, সনির আয় 1500 টাকা এবং সামির আয় 2500 টাকা। এখানে, রনির আয় : সনির আয় 1000 : 1500 = 2 : 3; সনির আয় : সামির আয় 1500: 2500 = 3:51 = সুতরাং রনির আয় : সনির আয় : সামির আয় = 2 : 3 : 5 ।

দুইটি অনুপাত যদি ক : খ এবং খ : গ আকারের হয়, তাহলে এদেরকে সাধারণত ক : খ : গ আকারে লেখা যায়। একে ধারবাহিক অনুপাত বলা হয়। যেকোনো দুই বা ততোধিক অনুপাতকে এই আকারে প্রকাশ করা যায়। এখানে লক্ষণীয় যে, দুইটি অনুপাতকে ক : খ : গ আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথম অনুপাতটির উত্তর রাশি, দ্বিতীয় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান হতে হবে। যেমন, 2 : 3 এবং 4 : 3 অনুপাত দুইটি ক : খ : গ আকারে প্রকাশ করতে হলে প্রথম অনুপাতটির উত্তর রাশিটিকে দ্বিতীয় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান করতে হবে। অর্থাৎ ঐ দুইটি রাশিকে এদের ল.সা.গু. এর সমান করতে হবে।

এখানে, 3, 4 এর ল.সা.গু. 12

অতএব 2 : 3 এবং 4 : 3 অনুপাত দুইটি ক : খ : গ আকারে হবে 8 : 12 : 9

লক্ষ করি যে, উপরের উদাহরণে সামির আয় যদি 1125 টাকা হয়, তাহলে তাদের আয়ের অনুপাতও 8 : 12: 9 আকারে লেখা যাবে।

উদাহরণ ১২. ক, খ ও গ এক জাতীয় রাশি এবং ক : খ = 3 : 4, খ : গ = 6 : 7 হলে, ক : খ : গ কত?

উদাহরণ ১৩. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 3 : 4 : 5, কোণ তিনটি ডিগ্রিতে প্রকাশ কর।

সমাধান : মনে করি, প্রদত্ত অনুপাত অনুসারে কোণ তিনটি যথাক্রমে 3x, 4x এবং 5x। ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180° ।

প্রশ্নানুসারে, 3x + 4x + 5x = 180° বা, 12x = 180° বা, x = 15°

অতএব, কোণ তিনটি হল,

3x = 3 x 15° : 45°

4x = 4 × 15° = 60°

এবং 5x = 5 x 15° = 75°

উদাহরণ ১৪. যদি কোনো বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর পরিমাণ 10% বৃদ্ধি পায়, তবে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান : মনে করি, বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার। সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $a^{2}$ বর্গমিটার। 10% বৃদ্ধি পেলে প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য হয় (a + a এর 10% ) মিটার বা 1.10a মিটার।

সমানুপাতিক ভাগ

কোনো রাশিকে নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করাকে সমানুপাতিক ভাগ বলা হয়। S কে a : b : c : d অনুপাতে ভাগ করতে হলে, S কে মোট a + b + c + d ভাগ করে যথাক্রমে a, b, c ও d ভাগ নিতে হয়। অতএব,

এভাবে যেকোনো রাশিকে যেকোনো নির্দিষ্ট অনুপাতে ভাগ করা যায়।

উদাহরণ ১৫. একটি আয়তাকার জমির ক্ষেত্রফল 12 হেক্টর এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 500 মিটার। ঐ জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 4 এবং 2 : 3।

ক) প্রদত্ত আয়তাকার জমিটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

খ) অপর জমিটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

গ) প্রদত্ত জমিটির প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) আমরা জানি, 1 হেক্টর = 10,000 বর্গমিটার

$∴$ 12 হেক্টর = 12 x 10,000 120000 বর্গমিটার

খ) দেওয়া আছে, প্রদত্ত জমির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের সঙ্গে অপর একটি জমির দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের অনুপাত যথাক্রমে 3 : 4 এবং 2 : 3।

মনে করি, প্রদত্ত জমির দৈর্ঘ্য 3x মিটার এবং প্রস্থ 2y মিটার।

সুতরাং, অপর জমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার এবং প্রস্থ 3y মিটার।

$∴$ প্রদত্ত জমির ক্ষেত্রফল = 3x . 2y = 6xy বর্গমিটার

এবং অপর জমির ক্ষেত্রফল = 4x . 3y = 12xy বর্গমিটার

প্রশ্নমতে, 6xy = 120000 বা, xy = 20000

$∴$ অপর জমির ক্ষেত্রফল = 12xy = 12 × 20000 = 240000 বর্গমিটার

গ) মনে করি, প্রদত্ত জমির দৈর্ঘ্য 3x মিটার এবং প্রস্থ 2y মিটার।

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

সমীকরণের প্রয়োগ (Application of Equation)

সমীকরণের প্রয়োগ (Application of Equation)

সমীকরণ হলো এমন একটি গাণিতিক বাক্য যেখানে অজানা রাশি (variable) ও ধ্রুবক রাশি থাকে এবং সমতার চিহ্ন (=) দ্বারা দুই পাশ সমান দেখানো হয়। বাস্তব জীবনের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানে সমীকরণের ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে।

সমীকরণের ধারণা

যেকোনো সমস্যাকে গাণিতিক রূপে প্রকাশ করে সমাধান বের করার প্রক্রিয়াকে সমীকরণের প্রয়োগ বলা হয়। এখানে অজানা রাশিকে ধরা হয় x, y ইত্যাদি।

রৈখিক সমীকরণের সাধারণ রূপ

$a x + b = 0$

অথবা

$a x + b y + c = 0$

সমীকরণের প্রয়োগের ধাপ

সমস্যাটি ভালোভাবে পড়া ও বোঝা
অজানা রাশি নির্ধারণ করা (ধরা যাক x)
সমস্যাটিকে গাণিতিক সমীকরণে রূপান্তর করা
সমীকরণ সমাধান করা
প্রাপ্ত মান যাচাই করা

উদাহরণ ১

একটি সংখ্যার সাথে ৫ যোগ করলে ১২ হয়। সংখ্যাটি কত?

ধরি, সংখ্যাটি x

$x + 5 = 12$

সমাধান:

$x = 12 - 5 = 7$

উদাহরণ ২

একটি সংখ্যার দ্বিগুণ তার সাথে ৮ যোগ করলে ২০ হয়।

ধরি, সংখ্যাটি x

$2 x + 8 = 20$ $2 x = 12$ $x = 6$

বাস্তব জীবনে সমীকরণের ব্যবহার

দৈনন্দিন হিসাব-নিকাশ
বাণিজ্য ও ব্যবসা (লাভ-ক্ষতি নির্ণয়)
সময়, দূরত্ব ও গতি সম্পর্কিত সমস্যা
বেতন, আয় ও বাজেট নির্ধারণ
বিভিন্ন প্রকৌশল ও বিজ্ঞান সমস্যা

মনে রাখার উপায়

যে কোনো সমস্যায় “অজানা = x ধরে সমীকরণ গঠন → সমাধান → যাচাই” এই ধাপ অনুসরণ করলেই সমাধান সহজ হয়।

Content added By

Najjar Hossain Raju

পরিসংখ্যান (Statistics)

পরিসংখ্যান হলো গণিতের একটি শাখা যেখানে তথ্য সংগ্রহ, বিন্যাস, বিশ্লেষণ ও ব্যাখ্যা করা হয়। বাস্তব জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে সিদ্ধান্ত গ্রহণের জন্য পরিসংখ্যান অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

পরিসংখ্যানের মৌলিক ধারণা

কোনো নির্দিষ্ট বিষয়ের উপর সংগৃহীত সংখ্যাগত তথ্যকে তথ্য (Data) বলা হয়। এই তথ্য বিশ্লেষণ করে উপসংহার টানা হয়।

তথ্যের প্রকারভেদ

প্রাথমিক তথ্য (Primary Data): সরাসরি উৎস থেকে সংগৃহীত তথ্য
দ্বিতীয়িক তথ্য (Secondary Data): পূর্বে সংগৃহীত বা প্রকাশিত তথ্য

পরিসংখ্যানের উপাদান

তথ্য (Data)
পরিবর্তনশীল (Variable)
জনসংখ্যা (Population)
নমুনা (Sample)

চলক (Variable)

যে রাশি বিভিন্ন মান গ্রহণ করতে পারে তাকে চলক বলা হয়।

চলকের প্রকার

বিচ্ছিন্ন চলক (Discrete Variable): নির্দিষ্ট মান গ্রহণ করে
ধারাবাহিক চলক (Continuous Variable): যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে

গড় (Mean)

গড় হলো সব মানের যোগফলকে মোট সংখ্যার দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়।

$Mean = \frac{Sum of observations}{Total number of observations}$

মধ্যক (Median)

তথ্যগুলোকে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজালে মাঝখানের মানকে মধ্যক বলা হয়।

সর্বাধিক মান (Mode)

যে মানটি সবচেয়ে বেশি বার ঘটে তাকে মোড বা সর্বাধিক মান বলা হয়।

বিচ্যুতি (Range)

সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের পার্থক্যকে বিচ্যুতি বলা হয়।

$Range = Highest - Lowest$

পরিসংখ্যানের ব্যবহার

জনসংখ্যা নির্ণয়
অর্থনীতি ও ব্যবসায় বিশ্লেষণ
শিক্ষা ও পরীক্ষার ফলাফল বিশ্লেষণ
বিজ্ঞান ও গবেষণায় তথ্য বিশ্লেষণ
সরকারি নীতি নির্ধারণ

মনে রাখার উপায়

পরিসংখ্যান = তথ্য সংগ্রহ → বিন্যাস → বিশ্লেষণ → সিদ্ধান্ত গ্রহণ

বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির উন্নয়নের অগ্রযাত্রায় তথ্য ও উপাত্তের অবদানের ফলে পৃথিবী পরিণত হয়েছে বিশ্বগ্রামে। তথ্য ও উপাত্তের দ্রুত সঞ্চালন ও বিস্তারের জন্য সম্ভব হয়েছে বিশ্বায়নের। তাই উন্নয়নের ধারা অব্যাহত রাখা ও বিশ্বায়নে অংশগ্রহণ ও অবদান রাখতে হলে তথ্য ও উপাত্ত সম্বন্ধে সম্যক জ্ঞান অর্জন এ স্তরের শিক্ষার্থীদের জন্য অপরিহার্য।

উপাত্তের উপস্থাপন ( Presentation of Data) : আমরা জানি, গুণবাচক নয় এমন সংখ্যাসূচক তথ্যাবলি পরিসংখ্যানের উপাত্ত। অনুসন্ধানাধীন উপাত্ত পরিসংখ্যানের কাঁচামাল। এগুলো অবিন্যস্তভাবে থাকে এবং অবিন্যস্ত উপাত্ত থেকে সরাসরি প্রয়োজনীয় সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়া যায় না। প্রয়োজন হয় উপাত্তগুলো বিন্যস্ত ও সারণিভুক্ত করা। আর উপাত্তসমূহ কীভাবে সারণিভুক্ত করে বিন্যস্ত করতে হয় তা আমরা আগে শিখেছি। আমরা জানি, কোনো উপাত্ত সারণিভুক্ত করতে হলে প্রথমে তার পরিসর নির্ধারণ করতে হয়। এরপর শ্রেণি ব্যবধান ও শ্রেণি সংখ্যা নির্ধারণ করে ট্যালি চিহ্ন ব্যবহার করে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করা হয়। এখানে বুঝার সুবিধার্থে নিচের উদাহরণের মাধ্যমে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করার পদ্ধতি পুনরালোচনা করা হলো।

উদাহরণ ১. কোনো এক শীত মৌসুমে শ্রীমঙ্গলে জানুয়ারি মাসের 31 দিনের সর্বনিম্ন তাপমাত্রা ডিগ্রী সেলসিয়াসে নিচে দেওয়া হলো। সর্বনিম্ন তাপমাত্রার গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি কর।

14°, 14°, 14°, 13°, 12°, 13°, 10°, 10°, 11°, 12°, 11°, 10°, 9°, 8°, 90, 11°, 10°, 10°, 8°, 9°, 7º, 6º, 6º, 6º, 6º, 7°, 8°, 90, 9°, 8°, 7°

সমাধান : এখানে তাপমাত্রা নির্দেশক উপাত্তের সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 6 এবং বড় সংখ্যা 14 ।

সুতরাং উপাত্তের পরিসর = (14 – 6) + 1 = 9

এখন শ্রেণি ব্যবধান যদি 3 নেওয়া হয় তবে শ্রেণি সংখ্যা হবে $\frac{9}{3}$ বা, 3 ।

শ্রেণি ব্যবধান 3 নিয়ে তিন শ্রেণিতে উপাত্তসমূহ বিন্যাস করলে গণসংখ্যা (ঘটন সংখ্যাও বলা হয়) নিবেশন সারণি হবে নিম্নরূপ :

ক্রমযোজিত সংখ্যা (Cumulative Frequency) : উদাহরণ ১ এর শ্রেণি ব্যবধান 3 ধরে শ্রেণি সংখ্যা নির্ধারণ করে গণসংখ্যা নিবেশন সারণি তৈরি করা হয়েছে। উল্লেখিত উপাত্তের শ্রেণি সংখ্যা 3। প্ৰথম শ্রেণির সীমা হলো 6° – 8° । এই শ্রেণির নিম্নসীমা 6° এবং উচ্চসীমা ৪° সে. এবং গণসংখ্যা 11। একইভাবে দ্বিতীয় শ্রেণির সীমা 9° 11° এবং গণসংখ্যা 13। এখন প্রথম শ্রেণির গণসংখ্যা 11 এর সাথে দ্বিতীয় শ্রেণির গণসংখ্যা 13 যোগ করে পাই 24। এই 24 হবে দ্বিতীয় শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা। আর প্রথম শ্রেণি দিয়ে শুরু হওয়ায় এই শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা হবে 11। আবার দ্বিতীয় শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 24 এর সাথে তৃতীয় শ্রেণির গণসংখ্যা যোগ করলে 24 + 7 = 31 উপরের আলোচনার প্রেক্ষিতে উদাহরণ ১ এর তাপমাত্রার ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি নিম্নরূপ :

উদাহরণ ২. নিচে 40 জন শিক্ষার্থীর বার্ষিক পরীক্ষার ইংরেজীতে প্রাপ্ত নম্বর দেওয়া হলো (পূর্ণ নম্বর 100)। প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি তৈরি কর।

70, 40, 35, 60, 55, 58, 45, 60, 65, 80, 70, 46, 50, 60, 65, 70, 58, 60, 48, 70, 36, 85, 60, 50, 46, 65, 55, 61, 72, 85, 90, 68, 65, 50, 40, 56, 60, 65, 46, 76

সমাধান : উপাত্তের পরিসর = (সর্বোচ্চ মান – সর্বনিম্ন মান) + 1

= (90 - 35) + 1 55 + 1 = 56

শ্রেণি ব্যবধান যদি 5 ধরা হয়, তবে শ্রেণি সংখ্যা $\frac{56}{5} = 11.2$ বা 12 [যদি দশমিক চলে আসে তবে পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা নিতে হয়]

সুতরাং শ্রেণি ব্যবধান 5 ধরে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি হবে নিম্নরূপ :

চলক (Variable) : আমরা জানি সংখ্যাসূচক তথ্যসমূহ পরিসংখ্যানের উপাত্ত। উপাত্তে ব্যবহৃত সংখ্যাসমূহ চলকের মান নির্দেশ করে। যেমন, উদাহরণ ১ এ তাপমাত্রা ও উদাহরণ ২ এ প্রাপ্ত নম্বর চলক।

বিচ্ছিন্ন ও অবিচ্ছিন্ন চলক (Discrete and Continuous Variable) : পরিসংখ্যানে ব্যবহৃত চলক দুই প্রকারের হয়। যেমন বিচ্ছিন্ন চলক ও অবিচ্ছিন্ন চলক। যে চলকের মান শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা হয় তা বিচ্ছিন্ন চলক, যেমন উদাহরণ ২ এ ব্যবহৃত প্রাপ্ত নম্বর। তদনুরূপ জনসংখ্যা নির্দেশক উপাত্তে পূর্ণসংখ্যা ব্যবহৃত হয়। তাই জনসংখ্যামূলক উপাত্তের চলক হচ্ছে বিচ্ছিন্ন চলক। আর যে সকল চলকের মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, সে সকল চলক অবিচ্ছিন্ন চলক। যেমন উদাহরণ ১ এ তাপমাত্রা নির্দেশক উপাত্তে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। এ ছাড়া বয়স, উচ্চতা, ওজন ইত্যাদি সংশ্লিষ্ট উপাত্তে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা ব্যবহার করা যায়। তাই এগুলোর জন্য ব্যবহৃত চলক হচ্ছে অবিচ্ছিন্ন চলক। অবিচ্ছিন্ন চলকের দুইটি মানের মধ্যবর্তী যেকোনো সংখ্যাও ঐ চলকের মান হতে পারে। অনেক সময় শ্রেণি ব্যবধান অবিচ্ছিন্ন করার প্রয়োজন হয়। শ্রেণি ব্যবধান অবিচ্ছিন্ন করার জন্য কোনো শ্রেণির উচ্চসীমা এবং পরবর্তী শ্রেণির নিম্নসীমার মধ্যবিন্দু নিয়ে সেই শ্রেণির প্রকৃত উচ্চসীমা এবং পরবর্তী শ্রেণির প্রকৃত নিম্নসীমা নির্ধারণ করা হয়। যেমন, উদাহরণ ১ এ প্রথম শ্রেণির প্রকৃত উচ্চসীমা ও নিম্নসীমা যথাক্রমে 8.5° ও 5.5° এবং দ্বিতীয় শ্রেণির উচ্চসীমা ও নিম্নসীমা যথাক্রমে 11.5° ও 8.5°, ইত্যাদি।

উপাত্তের লেখচিত্র (Graphs or Plots of Data) : আমরা দেখেছি যে, অনুসন্ধানাধীন সংগৃহীত উপাত্ত পরিসংখ্যানের কাঁচামাল। এগুলো গণসংখ্যা নিবেশন সারণিভুক্ত বা ক্রমযোজিত সারণিভুক্ত করা হলে এদের সম্বন্ধে সম্যক ধারণা করা ও সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ হয়। এই সারণিভুক্ত উপাত্তসমূহ যদি লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হয়, তবে তা বুঝানোর জন্য যেমন আরও সহজ হয় তেমনি চিত্তাকর্ষক হয়। এ জন্য পরিসংখ্যানের উপাত্তসমূহ সারণিভুক্ত করা ও লেখচিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন বহুল প্রচলিত এবং ব্যাপক ব্যবহৃত পদ্ধতি।

উদাহরণ ৩. কোনো স্কুলের ১০ম শ্রেণির ৬০ জন শিক্ষার্থীর ওজনের গণসংখ্যা নিবেশন হলো নিম্নরূপ :

ক) গণসংখ্যা নিবেশনের আয়তলেখ আঁক।

খ) আয়তলেখের গণসংখ্যা বহুভুজ আঁক।

সমাধান : প্রদত্ত সারণিতে উপাত্তের শ্রেণি ব্যবধান বিচ্ছিন্ন। শ্রেণি ব্যবধান অবিচ্ছিন্ন হলে সারণি হবে :

ক) ছক কাগজের প্রতি ঘরকে পাঁচ একক ধরে x-অক্ষ বরাবর শ্রেণিসীমা এবং y-অক্ষ বরাবর গণসংখ্যা নিয়ে নিচে আয়তলেখ আঁকা হয়েছে। x-অক্ষ বরাবর শ্রেণিসীমা 45.5 থেকে আরম্ভ হয়েছে। মূলবিন্দু থেকে 45.5 পর্যন্ত পূর্ববর্তী ঘরগুলো আছে বোঝাতে / ছেদ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে।

খ) আয়তলেখ হতে গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকার জন্য আয়তলেখের আয়তসমূহের ভূমির সমান্তরাল বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুসমূহ নির্ধারণ করা হয়েছে। চিহ্নিত মধ্যবিন্দুসমূহ রেখাংশ দ্বারা সংযুক্ত করে গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকা হয়েছে। গণসংখ্যা বহুভুজ সুন্দর দেখানোর জন্য প্রথম ও শেষ আয়তের মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখাংশের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় শ্রেণি ব্যবধান নির্দেশক x-অক্ষের সাথে সংযুক্ত করা হয়েছে।

গণসংখ্যা বহুভুজ : কোনো অবিচ্ছিন্ন উপাত্তের শ্রেণি ব্যবধানের বিপরীতে গণসংখ্যা নির্দেশক বিন্দুসমূহকে পর্যায়ক্রমে রেখাংশ দ্বারা যুক্ত করে যে লেখচিত্র পাওয়া যায়, তাই হলো গণসংখ্যা বহুভুজ। লক্ষ কর এখানে রেখাংশগুলো প্রতিটি শ্রেণির মধ্যবিন্দু বরাবর।

উদাহরণ ৪. নিচের গণসংখ্যা নিবেশন সারণির বহুভুজ অঙ্কন কর।

সমাধান : x-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের প্রতি ঘরকে 10 একক ধরে এবং y-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের প্রতি ঘরকে গণসংখ্যার 5 একক ধরে প্রদত্ত গণসংখ্যা নিবেশনের আয়তলেখ আঁকা হলো। আয়তলেখের আয়তসমূহের ভূমির বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু যা শ্রেণির মধ্যবিন্দু চিহ্নিত করি। এখন চিহ্নিত মধ্যবিন্দুসমূহ রেখাংশ দ্বারা সংযুক্ত করি। প্রথম শ্রেণির প্রান্তবিন্দু ও শেষ শ্রেণির প্রান্তবিন্দুদ্বয়কে শ্রেণি ব্যবধান নির্দেশক x-অক্ষের সাথে সংযুক্ত করে গণসংখ্যা বহুভুজ অঙ্কন করা হলো।

উদাহরণ ৫. ১০ম শ্রেণির 50 জন শিক্ষার্থীর বিজ্ঞান বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ আঁক (আয়তলেখ ব্যবহার না করে)।

সমাধান : এখানে প্রদত্ত উপাত্ত বিচ্ছিন্ন। এক্ষেত্রে শ্রেণি ব্যবধানের মধ্যবিন্দু বের করে সরাসরি গণসংখ্যা 31 +40 বহুভুজ আঁকা সুবিধাজনক। প্রথম শ্রেণি (31 – 40) এর মধ্যবিন্দু $\frac{31 + 40}{2} = 35.5$ ।

x-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের প্রতি এক ঘরকে এক একক ধরে এবং y-অক্ষ বরাবর ছক কাগজের ১ ঘরকে গণসংখ্যার ২ একক ধরে প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ আঁকা হলো।

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা লেখচিত্র বা অজিভ রেখা (Cumulative Frequency Graph or Ogive Graph): কোনো উপাত্তের শ্রেণি বিন্যাসের পর শ্রেণি ব্যবধানের উচ্চসীমা x-অক্ষ বরাবর এবং শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা y-অক্ষ বরাবর স্থাপন করে ক্রমযোজিত গণসংখ্যার লেখচিত্র বা অজিভ রেখা পাওয়া যায়।

উদাহরণ ৬. কোনো শ্রেণির ৬০ জন শিক্ষার্থীর ৫০ নম্বরের সাময়িকী পরীক্ষার প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি হলো :

এই গণসংখ্যা নিবেশনের অজিভ রেখা আঁক।

সমাধান : প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা নিবেশনের ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি হলো :

ছক কাগজের উভয় অক্ষে প্রতি এক ঘরকে দুই একক ধরে প্রদত্ত উপাত্তের ক্রমযোজিত গণসংখ্যার অজিভ রেখা আঁকা হলো।

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

কেন্দ্রীয় প্রবণতা (Central Tendency)

কেন্দ্রীয় প্রবণতা (Central Tendency): অনুসন্ধানাধীন অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে, উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। আবার অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপন করা হলে মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য দেখা যায়। অর্থাৎ, মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যা খুব বেশি হয়। বস্তুত উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জিভূত হওয়ার এই প্রবণতাই হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতা। কেন্দ্রীয় মান একটি সংখ্যা এবং এই সংখ্যা উপাত্তসমূহের প্রতিনিধিত্ব করে। এই সংখ্যা দ্বারা কেন্দ্রীয় প্রবণতা পরিমাপ করা হয়। সাধারণত কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হলো: (১) গাণিতিক গড় (২) মধ্যক (৩) প্রচুরক।

কেন্দ্রীয় প্রবণতা (Central Tendency)

কেন্দ্রীয় প্রবণতা হলো পরিসংখ্যানের এমন একটি ধারণা যেখানে কোনো তথ্যসমষ্টির কেন্দ্র বা প্রতিনিধিত্বকারী মান নির্ণয় করা হয়। এই মান দ্বারা পুরো তথ্যের সাধারণ প্রবণতা বোঝা যায়।

কেন্দ্রীয় প্রবণতার প্রধান পরিমাপ

গড় (Mean)
মধ্যক (Median)
মোড (Mode)

১. গড় (Mean)

সব তথ্যের মান যোগ করে মোট তথ্যসংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে গড় পাওয়া যায়।

$Mean = \frac{Σ x}{n}$

এখানে, Σx = সব মানের যোগফল, n = মোট মানের সংখ্যা

২. মধ্যক (Median)

তথ্যগুলোকে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজালে মাঝখানের মানকে মধ্যক বলা হয়।

যদি তথ্যের সংখ্যা বিজোড় হয়, তবে মাঝের একটি মানই মধ্যক।

যদি তথ্যের সংখ্যা জোড় হয়, তবে মাঝের দুইটি মানের গড় হবে মধ্যক।

৩. মোড (Mode)

যে মানটি সবচেয়ে বেশি বার ঘটে তাকে মোড বা সর্বাধিক মান বলা হয়।

অসংগৃহীত (Ungrouped) ডেটার ক্ষেত্রে

যে মানটি সবচেয়ে বেশি পুনরাবৃত্তি হয় সেটিই মোড।

উদাহরণ

তথ্য: 2, 3, 3, 5, 7, 3, 8

এখানে মোড = 3 (কারণ 3 সবচেয়ে বেশি বার এসেছে)

কেন্দ্রীয় প্রবণতার সম্পর্ক

কিছু ক্ষেত্রে গড়, মধ্যক ও মোড প্রায় কাছাকাছি থাকে এবং তথ্যের কেন্দ্রীয় প্রবণতা বোঝাতে সাহায্য করে।

গড়, মধ্যক ও মোডের তুলনা

গড়: সব মানের উপর নির্ভর করে
মধ্যক: অবস্থান ভিত্তিক মান
মোড: পুনরাবৃত্ত মানের উপর নির্ভর করে

মনে রাখার উপায়

Mean = হিসাবভিত্তিক গড়, Median = মাঝের মান, Mode = সবচেয়ে বেশি বার আসা মান

গাণিতিক গড় (Arithmetic Average or Mean) : আমরা জানি, উপাত্তসমূহের মানের সমষ্টিকে যদি তার সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে উপাত্তসমূহের গড় মান পাওয়া যায়। তবে উপাত্তসমূহের সংখ্যা যদি খুব বেশি হয় তাহলে এ পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করা সময়সাপেক্ষ, বেশ কঠিন ও ভুল হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। এ সকল ক্ষেত্রে উপাত্তসমূহ শ্রেণি বিন্যাসের মাধ্যমে সারণিবদ্ধ করে সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় করা হয়।

উদাহরণ ৭. নিচে কোনো একটি শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড় নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে শ্রেণি ব্যাপ্তি দেওয়া আছে বিধায় শিক্ষার্থীদের ব্যক্তিগত নম্বর কত তা জানা যায় না। এ ক্ষেত্রে প্রত্যেক শ্রেণির শ্রেণি মধ্যমান নির্ণয় করার প্রয়োজন হয়।

নির্ণেয় গাণিতিক গড়

শ্রেণিবিন্যাসকৃত উপাত্তের গাণিতিক গড় (সহজ পদ্ধতি) : শ্রেণিবিন্যাসকৃত উপাত্তের গাণিতিক গড় নির্ণয়ের জন্য সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি হলো সহজ পদ্ধতি, যাতে গড় নির্ণয়ের ধাপসমূহ নিম্নরূপ :

১. শ্রেণিসমূহের মধ্যমান নির্ণয় করা

২. মধ্যমানসমূহ থেকে সুবিধাজনক কোনো মানকে আনুমানিক গড় (a) ধরা

৩. প্রত্যেক শ্রেণির মধ্যমান থেকে আনুমানিক গড় বিয়োগ করে একে শ্রেণি ব্যাপ্তি দ্বারা ভাগ করে

৪. ধাপ বিচ্যুতিকে সংশ্লিষ্ট শ্রেণির গণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা

৫. বিচ্যুতির গড় নির্ণয় করা এবং এর সাথে আনুমানিক গড় যোগ করে কাঙ্খিত গড় নির্ণয় করা ।

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি : শ্রেণিবিন্যাসকৃত উপাত্তসমূহের গাণিতিক গড়

উদাহরণ ৮. কোনো দ্রব্যের উৎপাদনে বিভিন্ন পর্যায়ে যে খরচসমূহ (শত টাকায়) হয় তা নিচের সারণিতে দেখানো হয়েছে। সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে গড় খরচ নির্ণয় কর।

সমাধান : সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে অনুসৃত ধাপের আলোকে গড় নির্ণয়ের সারণি হবে নিম্নরূপ :

গুরুত্ব যুক্ত উপাত্তের গড় নির্ণয় (Determination of Weighted Average) : অনেক ক্ষেত্রে অনুসন্ধানাধীন পরিসংখ্যানের চলকের সাংখ্যিক মান $x_{1}, x_{2}, . . . x_{n}$ বিভিন্ন কারণ/গুরুত্ব/ভার দ্বারা প্রভাবিত হতে পারে । এ সকল ক্ষেত্রে উপাত্তের মান $x_{1}, x_{2},, . . . x_{n}$ এর সাথে এদের কারণ/গুরুত্ব/ভার $w_{1}, w_{2}, . . . w_{n}$ বিবেচনা করে গাণিতিক গড় নির্ণয় করতে হয়। যদি n সংখ্যক উপাত্তের মান $x_{1}, x_{2},, . . . x_{n}$ হয় এবং এদের গুরুত্ব $w_{1}, w_{2}, . . . w_{n}$ হয়, তবে এদের গুরুত্ব প্রদত্ত গাণিতিক গড় হবে :

উদাহরণ ৯. কোনো বিশ্ববিদ্যালয়ের কয়েকটি বিভাগের স্নাতক সম্মান শ্রেণিতে পাশের হার ও শিক্ষার্থীর সংখ্যা নিচের সারণিতে উপস্থাপন করা হলো। উক্ত বিশ্ববিদ্যালয়ের ঐ কয়টি বিভাগের স্নাতক সম্মান শ্রেণিতে পাশের গড় হার নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে পাশের হার ও শিক্ষার্থীর সংখ্যা দেওয়া আছে। পাশের হারের ভার হলো শিক্ষার্থীর সংখ্যা। যদি পাশের হারের চলক x এবং শিক্ষার্থীর সংখ্যা চলক . ধরা হয়, তবে গুরুত্ব প্রদত্ত গাণিতিক গড় নির্ণয়ের সারণি হবে নিম্নরূপ :

$∴$ পাশের গড় হার 77.14

মধ্যক (Median): ৮ম শ্রেণিতে আমরা শিখেছি যে, পরিসংখ্যানের উপাত্তগুলো মানের ক্রমানুসারে সাজালে যেসকল উপাত্ত ঠিক মাঝখানে থাকে সেইগুলোর মানই হবে উপাত্তগুলোর মধ্যক। যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় এবং n যদি বিজোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে $\frac{n + 1}{2}$ তম পদের মান। আর n যদি জোড় সংখ্যা হয় তবে মধ্যক হবে $\frac{n}{2}$ তম ও $(\frac{n}{2} + 1)$ তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়। এখানে সূত্র ব্যবহার না করে এবং ব্যবহার করে কীভাবে মধ্যক নির্ণয় করা হয় তা উদাহরণের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হলো।

উদাহরণ ১০. নিচের 51 জন শিক্ষার্থীর উচ্চতার গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো। মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান : মধ্যক নির্ণয়ের ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি :

নির্ণেয় মধ্যক 165 সে.মি.।

লক্ষ করি : 23 থেকে 38 তম পদের মান 165 ।

উদাহরণ ১১. নিচে 60 জন শিক্ষার্থীর গণিতে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি। মধ্যক নির্ণয় কর।

সমাধান : মধ্যক নির্ণয়ের ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি :

এখানে, n = 60, যা জোড় সংখ্যা।

$∴$ নির্ণেয় মধ্যক 75 ।

উদাহরণ ১২. নিচে একটি গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া আছে।

ক) গণসংখ্যা নিবেশন সারণি বলতে কী বুঝ?

খ) উপরের গণসংখ্যা সারণি থেকে মধ্যক নির্ণয় কর।

গ) তারপর সারণিতে প্রদত্ত উপাত্তের বহুভুজ অঙ্কন কর।

সমাধান :

ক) প্রদত্ত উপাত্তসমূহকে নির্দিষ্ট শ্রেণি ব্যবধান ও শ্রেণি সংখ্যা নির্ধারণের মাধ্যমে বিন্যস্ত ও সারণিভুক্ত করাকে গণসংখ্যা সারণি বলে।

খ) মধ্যক নির্ণয়ের জন্য গণসংখ্যা নিবেশন সারণি :

প্রচুরক (Mode) : ৮ম শ্রেণিতে আমরা শিখেছি যে, কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক। একটি উপাত্তের এক বা একাধিক প্রচুরক থাকতে পারে। কোন উপাত্তে যদি কোন সংখ্যাই একাধিকবার না থাকে তবে সেই উপাত্তে কোন প্রচুরক নেই। এখানে সূত্র ব্যবহার করে কীভাবে শ্রেণিবিন্যস্ত উপাত্তের প্রচুরক নির্ণয় করতে হয় তাই আলোচনা করা হলো।

উদাহরণ ১৩. নিচের সারণিটি লক্ষ কর।

ক) কেন্দ্রীয় প্রবণতা কী?

খ) প্রদত্ত সারণি থেকে প্রচুরক নির্ণয় কর।

গ) উপাত্তের অজিভ রেখা অঙ্কন কর।

সমাধান :

ক) অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে, উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। আবার উপাত্তসমূহ গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপন করা হলে কোনো একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য দেখা যায়। উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জিভূত হওয়ার এই প্রবণতাকে কেন্দ্রীয় প্রবণতা বলে।

খ) প্রচুরক নির্ণয়ের সারণি :

গ) অজিভ রেখা অঙ্কনের জন্য সারণি :

উদাহরণ ১৪. নিচের গণসংখ্যা নিবেশন সারনি থেকে প্রচুরক নির্ণয় কর :

সমাধান : এখানে গণসংখ্যা সর্বাধিক 25 বার আছে (41 – 50 ) শ্রেণিতে। সুতরাং, প্রচুরক এই শ্রেণিতে আছে।

উদাহরণ ১৫. নিচের গণসংখ্যা নিবেশন সারনি থেকে প্রচুরক নির্ণয় কর :

সমাধান :

এখানে গণসংখ্যা সর্বাধিক 25 বার আছে (41 – 50) শ্রেণিতে। এই শ্রেণিতে প্রচুরক বিদ্যমান। আমরা জানি প্রচুরক

শ্রেণি বিন্যস্ত উপাত্তে প্রথম শ্রেণি প্রচুরক শ্রেণি হলে, তার আগের শ্রেণির গণসংখ্যা শূন্য ধরতে হয়। শ্রেণিবিন্যস্ত উপাত্তে শেষ শ্রেণি প্রচুরক শ্রেণি হলে, তার পরের শ্রেণির গণসংখ্যা শূন্য ধরতে হয়।

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

উপাত্ত বিশ্লেষণ (Data Interpretation)

আমরা জানি, সংখ্যাভিত্তিক কোনো তথ্য বা ঘটনা হচ্ছে একটি পরিসংখ্যান। আর তথ্য বা ঘটনা-নির্দেশক সংখ্যাগুলো হচ্ছে পরিসংখ্যানের উপাত্ত। ধরা যাক, ৫০ নম্বরের মধ্যে অনুষ্ঠিত কোনো প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় অংশগ্রহণকারী ২০ জন প্রার্থীর গণিতের প্রাপ্ত নম্বর হলো ২৫, ৪৫, ৪০, ২০, ৩৫, ৩০, ৩৫, ৩০, ৪০, ৪১, ৪৬, ২০, ২৫, ৩০, ৪৫, ৪২, ৪৫, ৪৭, ৫০, ৩০ । এখানে, গণিতে প্রাপ্ত সংখ্যা-নির্দেশিত নম্বরসমূহ একটি পরিসংখ্যান। আর নম্বরগুলো হলো এ পরিসংখ্যানের উপাত্ত। এ উপাত্তগুলো সহজে সরাসরি উৎস থেকে সংগ্রহ করা যায়। সরাসরি উৎস থেকে সংগৃহীত উপাত্তের নির্ভরযোগ্যতা অনেক বেশি। সরাসরি উৎস থেকে সংগৃহীত হয় এমন উপাত্ত হলো প্রাথমিক উপাত্ত। মাধ্যমিক উপাত্ত পরোক্ষ উৎস থেকে সংগৃহীত হয় বিধায় এর নির্ভরযোগ্যতা অনেক কম। উপরে বর্ণিত উপাত্তের নম্বরগুলো এলোমেলোভাবে আছে। নম্বরগুলো মানের কোনো ক্রমে সাজানো নেই। এ ধরনের উপাত্ত হলো অবিন্যস্ত উপাত্ত। এ উপাত্তের নম্বরগুলো মানের যেকোনো ক্রমে সাজালে হবে বিন্যস্ত উপাত্ত। নম্বরগুলো মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে হয় ২০, ২০, ২৫, ২৫, ৩০, ৩০, ৩০, ৩০, ৩৫, ৩৫, ৪০, ৪০, ৪১, ৪২, ৪৫, ৪৫, ৪৫, ৪৬, ৪৭, ৫০ যা একটি বিন্যস্ত উপাত্ত। অবিন্যস্ত উপাত্ত এভাবে বিন্যস্ত করা বেশ জটিল এবং ভুল হওয়ার সম্ভাবনা থেকে যায়। শ্রেণিবিন্যাসের মাধ্যমে অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ অতিসহজে বিন্যস্ত উপাত্তে রূপান্তর করা যায় এবং গণসংখ্যা সারণির সাহায্যে উপস্থাপন করা হয়।

উপাত্ত বিশ্লেষণ (Data Interpretation)

উপাত্ত বিশ্লেষণ হলো পরিসংখ্যানের এমন একটি প্রক্রিয়া যেখানে সংগৃহীত তথ্য (data) বিশ্লেষণ করে তা থেকে অর্থপূর্ণ সিদ্ধান্ত, ফলাফল বা উপসংহার নির্ণয় করা হয়।

উপাত্ত (Data) কী?

কোনো নির্দিষ্ট বিষয় সম্পর্কে সংগৃহীত সংখ্যাগত বা বর্ণনামূলক তথ্যকে উপাত্ত বলা হয়।

উপাত্ত বিশ্লেষণের ধাপ

তথ্য সংগ্রহ করা
তথ্য সাজানো (Sorting)
টেবিল বা তালিকা আকারে উপস্থাপন
গ্রাফ বা চার্ট তৈরি করা
বিশ্লেষণ ও উপসংহার নির্ণয়

উপাত্ত উপস্থাপনের পদ্ধতি

সারণী (Table)
বার গ্রাফ (Bar Graph)
পাই চার্ট (Pie Chart)
লাইন গ্রাফ (Line Graph)

সারণী (Table)

উপাত্তকে সারি ও স্তম্ভে সাজিয়ে উপস্থাপন করার পদ্ধতিকে সারণী বলা হয়।

বার গ্রাফ (Bar Graph)

বিভিন্ন শ্রেণির তথ্য তুলনা করার জন্য আয়তাকার বার ব্যবহার করে উপস্থাপন করা হয়।

পাই চার্ট (Pie Chart)

একটি বৃত্তকে বিভিন্ন অংশে ভাগ করে শতাংশ বা অনুপাত আকারে তথ্য উপস্থাপন করা হয়।

লাইন গ্রাফ (Line Graph)

সময় অনুযায়ী পরিবর্তন দেখানোর জন্য বিন্দুগুলোকে রেখা দ্বারা যুক্ত করে উপস্থাপন করা হয়।

গড় নির্ণয়ে উপাত্ত বিশ্লেষণ

উপাত্ত বিশ্লেষণের মাধ্যমে গড়, মধ্যক ও মোড নির্ণয় করা হয়, যা তথ্যের কেন্দ্রীয় প্রবণতা বোঝায়।

উদাহরণ

একটি শ্রেণির ৫ জন শিক্ষার্থীর নম্বর: 10, 15, 20, 25, 30

গড় =

$Mean = \frac{10 + 15 + 20 + 25 + 30}{5} = 20$

উপাত্ত বিশ্লেষণের ব্যবহার

শিক্ষার ফলাফল বিশ্লেষণ
অর্থনৈতিক পরিকল্পনা
ব্যবসায় বিক্রয় বিশ্লেষণ
জনসংখ্যা ও গবেষণা
সরকারি সিদ্ধান্ত গ্রহণ

মনে রাখার উপায়

Data Interpretation = তথ্য সংগ্রহ → উপস্থাপন → বিশ্লেষণ → সিদ্ধান্ত গ্রহণ

Content added By

Najjar Hossain Raju

সম্ভাব্যতা (Probability)

সম্ভাব্যতা (Probability)

কোনো একটি নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে সম্ভাব্যতা বলে। এটি একটি সরল অনুপাত।

দৈব পরীক্ষা (Random Experiment)

যখন কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল আগে থেকে জানা থাকে কিন্তু পরীক্ষাটিতে কোনো একটা নির্দিষ্ট চেষ্টায় কি ফলাফল আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না, একে দৈব পরীক্ষা বলে।

যেমন- একটা মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষার সম্ভাব্য ফলাফল (H, T) হবে, তা আমরা আগে থেকেই জানি কিন্তু মুদ্রাটি নিক্ষেপের পূর্বে কোন ফলাফলটি ঘটবে তা আমরা নিশ্চিত করে বলতে পারি না। সুতরাং মুদ্রা নিক্ষেপ একটা দৈব পরীক্ষা।

ঘটনা (Event)

কোনো পরীক্ষার ফলাফল বা ফলাফলের সমাবেশকে ঘটনা বলে। উদাহরণস্বরূপ একটা ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় '3' পাওয়া একটা ঘটনা। আবার জোড় সংখ্যা পাওয়া আরেকটি ঘটনা।

ঘটনজগত বা নমুনাক্ষেত্র (Sample Space)

কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল নিয়ে গঠিত সেটকে ঘটনজগত বা নমুনাক্ষেত্র বলে।

ঘটন জগতকে S দ্বারা নির্দেশ করলে ছক্কার ক্ষেত্রে S = {1, 2, 3, 4,5,6}।

বিভিন্ন প্রকারের ঘটনা-

স্বাধীন বা অনির্ভরশীল ঘটনা (Independent Events)

যদি দুইটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা অন্যটি ঘটার উপর নির্ভর না করে তাহলে, এ ঘটনা দুইটিকে স্বাধীন বা অনির্ভরশীল ঘটনা বলে।

যেমন- দুইটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে একটি মুদ্রার উপরের দিকে H পাওয়ার সম্ভাবনা অন্য মুদ্রাটির উপরের দিকে H পাওয়ার সম্ভাবনার উপর নির্ভর করে না। এজন্য এ ঘটনা দুইটি স্বাধীন বা অনির্ভরশীল ঘটনা।

অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা (Dependent Events)

যদি দুইটি ঘটনা এমন হয় যে, এদের কোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা পূর্বের অন্য একটি ঘটনা ঘটার উপর নির্ভর করে তাহলে, পরের ঘটনাটি অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা বলে।

যেমন- এক প্যাকেট তাস হতে দুইবার একটি করে তাস নেওয়া হলো। প্রথম তাসটি যেকোনো রঙের হতে পারে, কিন্তু দ্বিতীয় বারে টানা তাসটি একই রঙের হবে তা নির্ভর করে প্রথম তাসটির রঙের উপর। এখানে দ্বিতীয় ঘটনাটি অধীন বা নির্ভরশীল ঘটনা।

সম-সম্ভাব্য ঘটনা (Equally Likely Events)

যদি কোনো পরীক্ষার ঘটনাগুলো ঘটার সম্ভাবনা সমান হয় অর্থাৎ একটি অপরটির চেয়ে বেশি বা কম সম্ভাব্য না হয় তবে ঘটনাগুলোকে সম-সম্ভাব্য বলে।

যেমন- একটা নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপে হেড বা টেল আসার সম্ভাবনা সমান।

বর্জনশীল বা পৃথক বা বিচ্ছিন্ন ঘটনা (Mutually Exclusive Events)

কতগুলো ঘটনা এমন হয় যে, একটি ঘটনা ঘটলে অপর ঘটনাগুলো ঘটবে না, তাহলে ঐ ঘটনাগুলোকে পরস্পর বর্জনশীল বা বিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে।

যেমন- একটা নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপ করলে হেড আসা বা টেল আসা দুইটি বিচ্ছিন্ন ঘটনা। কেননা হেড আসলে টেল আসতে পারে না। আবার টেল আসলে হেড আসতে পারে না। অর্থাৎ হেড ও টেল একসাথে আসতে পারে না।

অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা (Not Mutually Exclusive Events)

দুইটি ঘটনার একটি ঘটলে যখন অপরটিও ঘটতে পারে তখন তাদেরকে অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে।

যেমন- 52টি তাসের প্যাকেট হতে 3টি তাস টানা হলো। তাসটি হরতন হওয়ার ঘটনা A এবং তাসটি লাল হওয়ার ঘটনা B হলে, A এবং B পরস্পর অবর্জনশীল বা অবিচ্ছিন্ন ঘটনা। কেননা হরতন তাস লাল রঙের বলে তা A এবং B উভয় ঘটনার অন্তর্গত।

পূরক ঘটনা (Complementary Event)

কোনো পরীক্ষায় একটি ঘটনা ঘটা এবং একটি ঘটনা না ঘটার ঘটনাকে পরস্পর পূরক ঘটনা বলে।

যেমন- একটা ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা উপরে পাওয়ার ঘটনা A = {2, 4, 6} হলে, A ঘটনার পূরক ঘটনা হবে বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা। অর্থাৎ A^c = {1, 3, 5}

নিশ্চিত ঘটনা (Sure Event)

কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনা অবশ্যই ঘটবে একে নিশ্চিত ঘটনা বলে। নিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান 1 হয়। যেমন-আগামীকাল সূর্য পূর্ব দিকে উঠার সম্ভাবনা 1.

একটা মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষায় H অথবা T আসার সম্ভাবনাও 1.

অসম্ভব ঘটনা (Impossible Event)

কোনো পরীক্ষায় যে ঘটনা কখনো ঘটবে না অর্থাৎ ঘটতে পারে না একে অসম্ভব ঘটনা বলে। অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা সব সময় শূন্য হয়।

যেমন-

আগামীকাল সূর্য পশ্চিম দিক থেকে উঠবে এর সম্ভাবনা শূন্য।

একটা ছক্কা নিক্ষেপে 7 আসার সম্ভাবনাও শূন্য।

অনুকূল ফলাফল (Favourable Outcomes)

কোনো পরীক্ষায় একটা ঘটনার স্বপক্ষের ফলাফলকে উক্ত ঘটনার অনুকূল ফলাফল বলে। যেমন- একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে বিজোড় সংখ্যা হওয়ার অনুকূল ফলাফল 3টি।

সম্ভাব্যতার পরিমাপ

ঘটনজগতের মোট উপাদান সংখ্যা n(S) এবং A ঘটনার উপাদান সংখ্যা n(A) হলে, A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা,

P(A) = n(A) A ঘটনার উপাদান সংখ্যা/n(S) S ঘটনজগতের মোট উপাদান সংখ্যা

= উক্ত ঘটনার অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল

যেমন- একটি ছক্কা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে ঘটনজগত S={ 1, 2 , 3, 4, 5, 6} এবং জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা A হলে, A = {2, 4, 6} সুতরাং n(S) = 6 এবং n(A) = 3

তাহলে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

সম্ভাব্যতার সুত্র

সংযোগ সূত্র: দুইটি বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে যেকোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের প্রত্যেকটির পৃথক পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান।

P(A U B)= P(A) + P(B)

যৌগিক সূত্র: দুইটি অবর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে যেকোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার সমষ্টি থেকে ঘটনা দুইটি একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতার বিয়োগফলের সমান।

P(A U B)= P(A) + P(B) -P(A $\cap$ B)

পূরক সূত্র: যেকোনো দৈব পরীক্ষণে একটি ঘটনা ঘটা ও না ঘটার সম্ভাব্যতার সমষ্টি 1 (এক)।

P(A) + P(A^c) = 1 বা P(A^c) = 1 - P(A)

গুণন সূত্র:

(ক) দুইটি স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে-

দুইটি স্বাধীন ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা, এদের পৃথক পৃথক ঘটার সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান।

A ও B দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে,

P(A $\cap$ B) বা P(AB) =P(A).P(B)

(খ) দুইটি অধীন ঘটনার ক্ষেত্রে-

দুইটি অধীন ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা, এদের যেকোনো একটির শর্তহীন সম্ভাব্যতা এবং অপরটির শর্তাধীন সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান।

A ও B দুইটি অধীন ঘটনা হলে,

P(A $\cap$ B)= P(A) ,P(B|A)

অথবা P(A $\cap$ B)= P(B) ,P(A|B)

সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান 0।
কোনো কিছু ঘটার যদি সম্ভাবনা থাকে, তবে তা নিশ্চিত নয়, তবে ঐ ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 0 থেকে 1 এর মধ্যে।

Content added By

Najjar Hossain Raju

বিন্যাস ও সমাবেশ (Permutation & Combination)

গুণন বিধি

যদি একটি কাজ p সংখ্যক বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায় এবং এই উপায়গুলোর কোনো একটি উপায়ে কাজটি সম্পাদিত হওয়ার পর যদি দ্বিতীয় একটি কাজ ৭ সংখ্যক বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায়, তাহলে কাজ দুইটি একত্রে p $\times$ q সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে। এটাই গণনার গুণন বিধি।

যেমন- গাবতলী থেকে ফার্মগেট দুইভাবে (হেঁটে, সিএনজি যোগে) যাওয়া যায় এবং ফার্মগেট হতে মতিঝিল তিনভাবে (বাসে, রিক্সায়, সাইকেলে) যাওয়া যায় তাহলে গাবতলী হতে মতিঝিল কতভাবে যাওয়া যায়?

গাবতলী থেকে মতিঝিল যাওয়ার উপায়-

হেঁটে - বাসে

সিএনজি - বাসে

হেঁটে - রিক্সায়

সিএনজি - রিক্সায়

হেঁটে - সাইকেলে

সিএনজি - সাইকেলে

মোট উপায় = 6 = 2 $\times$ 3 = গাবতলী থেকে ফার্মগেট যাওয়ার উপায় ফার্মগেট থেকে মতিঝিল যাওয়ার উপায়

যোজন বিধি

যদি একটি কাজ p সংখ্যক বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায় এবং আরেকটি কাজ স্বাধীনভাবে ৭ সংখ্যক বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায় তাহলে কাজ দুইটি একত্রে p + q সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায়।

যেমন- গাবতলী থেকে মতিঝিল যাওয়ার মধ্যে তিনটি পরিবেশ বান্ধব উপায় (হেঁটে, রিক্সায়, সাইকেলে) এবং দুইটি পরিবেশ বান্ধব নয় এমন উপায় (সিএনজি, বাসে) রয়েছে।

যানবহনের পরিবেশ বিবেচনায়, গাবতলী থেকে মতিঝিল যাওয়ার মোট উপায় = 3 + 2 = 5.

বিন্যাস ও সমাবেশের সংজ্ঞা

কতকগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি প্রতিবারে নিয়ে যতভাবে সাজানো যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস (Permutation) বলে।

কতকগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি প্রতিবার নিয়ে যতগুলি দল গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমাবেশ (Combination) বলে। দল বিধায় সমাবেশে অন্তর্ভুক্ত বস্তুগুলির ক্রম উপেক্ষা করা হয়।

উদাহরণ: ধরা যাক a, b, c, তিনটি বিভিন্ন অক্ষর দেয়া আছে। এদের দুই দুইটিকে একবারে নিয়ে সাজালে আমরা পাই, ab, ba, ac, ca, bc, cb। এদের প্রত্যেকটি তিনটি বিভিন্ন অক্ষরের প্রতিবারে দুইটি করে নিয়ে প্রাপ্ত এক একটি বিন্যাস। অতএব তিনটি বিভিন্ন বস্তুর দুইটিকে প্রতিবারে নিয়ে সাজালে বিন্যাসের সংখ্যা হয় 6.

ঐ অক্ষর তিনটি থেকে দুইটি করে নিয়ে (অক্ষরগুলির সাজানোর ক্রম উপেক্ষা করে) দল গঠন করলে আমরা তিনটি দল পাই, যথা ab বা ba, ac বা ca, bc বা cb. অতএব তিনটি বিভিন্ন জিনিসের প্রতিবার দুইটি করে নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশের সংখ্যা হয় 3.

সবগুলি ভিন্ন এরূপ বস্তুর বিন্যাস

1-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে। সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত বিন্যাস সংখ্যা

ⁿP_r P(n,r)

(n ও ধনাত্মক সংখ্যা এবং n $\geq$ r )

ⁿP_r = n(n-1) (n-2) .... (n -r + 1) …………. (1)

যথা:

${}^{6}P_{6} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

${}^{6}P_{5} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2$

${}^{6}P_{4} = 6 \times 5 \times 4 \times 3$

${}^{6}P_{3} = 6 \times 5 \times 4$

${}^{6}P_{2} = 6 \times 5$

${}^{6}P_{1} = 6$

উদাহরণ: 2, 3, 4, 5, 6, 7 ও ৪ এই অঙ্কগুলির প্রত্যেকটিকে প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে চার অঙ্কের কতগুলি পৃথক সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?

যেহেতু অঙ্কগুলি পরস্পর পৃথক

অতএব, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা

${}^{7}P_{4} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

অনুসিদ্ধান্ত

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর সবকয়টিকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা (1) নং সূত্রে r = n বসিয়ে নির্ণয় করা যায়।

অতএব,

${}^{n}P_{n}$ = n (n - 1) (n-2)... n সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত।

= n (n - 1) (n-2) ……………… 3.2.1

n =1.2.3........... (n - 2)(n - 1)

= n!

সাংকেতিক চিহ্ন 'n!' কে '⌊n' আকারেও লেখা হয় এবং পড়া হয় ফ্যাক্টোরিয়াল n এবং এটি প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ক্রমিক গুণফল প্রকাশ করে।

সুতরাং n! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ....... 3. 2. 1

n! = n * (n - 1)! = n(n - 1) (n - 2)! ইত্যাদি।

${}^{n}P_{n}$ = n(n - 1)(n - 2) ...... (n - r + 1)

= n(n-1)(n-2)........ (n - r + 1) * (n - r)! /(n-r)! [লব ও হরকে (n - r)! দ্বারা গুণ করে]

$= \frac{n!}{(n - r)!}$ ……………. (2)

সূত্র (2)-এ, r = n বসালে পাই-

${}^{n}P_{n} = \frac{n!}{(n - n)!} = \frac{n!}{0!}$

কিন্তু ${}^{n}P_{n} = n!$

অতএব, সূত্র (2) কে r = n এর জন্য বলবৎ রাখতে হলে 0! কে 1 এর সমান ধরতে হবে।

আবার (2)-এ, r = 0 বসালে পাই-

${}^{n}P_{0} = \frac{n!}{(n - 0)!} = \frac{n!}{n!} = 1$

মন্তব্য: 0! = 1 একটি আলাদা সংজ্ঞা বা রীতি (convention)।

সবগুলি ভিন্ন নহে এরূপ বস্তুর বিন্যাস

n- সংখ্যক বস্তুর সব কটি একবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের p-সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, q-সংখ্যক দ্বিতীয় প্রকার, r সংখ্যক তৃতীয় প্রকার এবং বাকী বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন।

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা $= \frac{n!}{p! q! r!}$

উদাহরণ: 'committee' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একবারে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

'committee' শব্দটিতে মোট ৭টি অক্ষর আছে, যাদের মধ্যে 2টি m, 2টি t, 2টি e, বাকি সব ভিন্ন ভিন্ন। সুতরাং সবগুলি অক্ষর একবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা

$= \frac{9!}{2! \times 2! \times 2!}$

$= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2}{2 \times 2 \times 2}$

= 45360

বস্তু সমূহের পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে, এরূপ ক্ষেত্রে বিন্যাস

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর । সংখ্যক একবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন যেকোনো বিন্যাসের প্রত্যেকটি বস্তু r সংখ্যকবার পুনরাবৃত্ত হতে পারে।

11 সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু দ্বারা । সংখ্যক শূন্য স্থান যত রকমভাবে পূরণ করা যাবে তাই নির্ণেয় বিন্যাসের সংখ্যার সমান।

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = n^r.

উদাহরণ: 1, 2, 3, 4, 5 অঙ্কগুলির প্রত্যেকটিকে যেকোনো সংখ্যক বার নিয়ে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?

প্রদত্ত ১টি অঙ্ক হতে 3টি করে নিয়ে সংখ্যা গঠনের উপায় = 5³ = 125.

Content added || updated By

Najjar Hossain Raju

বিন্যাস (Permutation)

কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি অথবা নির্দিষ্ট কয়েকটি প্রতিবারে নিয়ে যত ভাবে বিন্যস্ত করা বা সাজানো যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস বলে ।

উদাহরণ: মনে করি A, B, C, তিনটি বর্ণ। একসাথে সবকটি বর্ণ নিয়ে সাজানো যায়। ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA মোট ৬ ভাবে। যাদের প্রতিটিকে এক একটি বিন্যাস বলে ।

সুতরাং উপরোক্ত উদাহরণ থেকে বুঝা যায় সবকটি ঘটনাই এক একটি বিন্যাস বা সাজানোর ব্যবস্থা তাহলে মোট সাজানোর ব্যবস্থা হলো ৬ টি।

উদাহরণ: মনে করি A,B,C তিনটি বর্ণ। একসাথে দুইটি বর্ণ করে নিয়ে সাজানো যায়। AB, BA, AC, CA, BC, CB .

বাস্তবে প্রয়োগ :

ছাত্র-ছাত্রীদের রোল নম্বর, গাড়ীর লাইসেন্স, মোবাইল নম্বর, ভোটার আইডি কার্ডের নম্বর ০ থেকে ৯ পর্যন্ত ১০ টি ডিজিট নিয়েই কোটি কোটি সংখ্যা বানানো হয়, যার একটির সাথে অন্য কোনটির মিল নেই। এগুলো সবগুলোই বিন্যাসের নিয়ম অনুসারে তৈরী করা হয়।

বিন্যাসের সুত্র

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রতিবারে r সংখ্যক বস্তু নিয়ে মোট সাজানোর ব্যবস্থা বের করার সূত্র হলো:

$n_{P_{r}} = \frac{n!}{(n - r)!}$ [ এখানে n = মোট উপাদান , r = মোট উপাদানের মধ্যে যতটি উপাদান নিয়ে বিন্যাস করতে হয়। ]

সুত্রের ব্যাখ্যা: এখানে n! অর্থ হলো n এর সাথে তার নিচের সকল ক্রমিক সংখ্যার গুণফল। যেমন: ধরি n এর মান 5 এবং r এর মান 2। তাহলে মানগুলো বসিয়ে সুত্রটি নিম্নোক্ত নিয়মে ব্যবহার করতে হবে,

$5_{P_{2}} = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5×4×3×2×1}{3×2×1}$

অথবা

5!
3!

= $\frac{5!}{3!} = \frac{5×4×3!}{3!}$ [ এখন উপরের ও নিচের 3! কে কেটে দিলে শুধু 5×4 = 20 থাকে ।

বি:দ্র: এক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে ঘটনাবলি পুণরাবৃত্তি হয় না ।

Factorial (!) কী ও কেন?

Factorial (!) হচ্ছে কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণন বিধি যা ১ করে কমে ক্রমান্বয়ে গুণ হয়ে ১ পর্যন্ত হবে। যেমন, ২! = ২×১, ৩! = ৩×২×১, ৪! = ৪×৩×২×১ এবং ৫ ! = (৫×৪×৩×২×১) = ১২০; ইত্যাদি।

অবশ্যই মনে রাখুন: 0! = 1 (কারণ বড় সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়ালকে ঐ সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে তার আগের সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়াল আসে। যেমন: ৬! = ৭২০ তাই ৭২০÷৬ = ১২০ হলো ৫! এর মান। তাই ১! = ১ এর ১ কে ১ দিয়ে ভাগ করলে আবার ১ ই হয় যা ১ এর পূর্ববর্তী সংখ্যা ০! এর মান। সুতরাং ০! = ১ লিখা হয়।)

এখানে ১ করে কমে যায় কেন?

ধরুন, আপনার হাতে তিনটি হ্যাঙ্গার আছে । যেখানে আপনি তিনটি ভিন্ন শার্ট সাজিয়ে রাখবেন ।

$\Rightarrow$ প্রথম হ্যাঙ্গারটিতে তিনটি শার্টের যে কোন একটি ঝোলানো যাবে ৩ ভাবে, অর্থাৎ এখানে অপশন আছে ৩টি।

$\Rightarrow$ দ্বিতীয় হ্যাঙ্গারটিতে অবশিষ্ট দুটি শার্টের মধ্য থেকে একটিকে ঝোলানোর অপশন আছে দুটি অর্থাৎ দুভাবে। (কারণ আগে একটি চলে গেছে)

$\Rightarrow$ সর্বশেষ হ্যাঙ্গারটিতে মাত্র একটি শার্ট একভাবেই ঝোলানোর উপায় আছে ।

অর্থাৎ একটি করে নেয়ার পর একটি করে অপশন কমতে থাকে বলে এই নিয়মটি লিখতে হয় ৩×২×১ = ৬ ভাবে। যাকে ফ্যাক্টোরিয়াল আকারে লিখলে লিখতে হবে ৩! ।

পুণরাবৃত্তি না করার বিন্যাস

যদি একটি উপাদানকে একের অধিকবার ব্যাবহার করা না যায় তাহলে নিম্নোক্ত কয়েকটি নিয়মে বিন্যাস করতে হয়:

যখন সব উপাদান ভিন্ন:
যখন সব উপাদান ভিন্ন তখন Permutation, দুটি বিষয়ের উপর নির্ভর করে। ১. এর উপাদান সংখ্যা ও ২. কতটি উপাদান নিতে হবে। এক্ষেত্রে উপাদান সংখ্যা n(মোট উপাদানকে n দ্বারা প্রকাশ করা হয়) এবং r সংখ্যক উপাদান নিতে হলে, বিন্যাস সংখ্যা $n p_{r}$ $n p_{r}$ $n p_{r}$ P rP r, যা ব্যাখ্যা করে দাঁড়ায় n, 1 করে কমে r ধাপ পর্যন্ত।

Formula of Permutation
$n_{P_{r}} = \frac{n!}{(n - r)!}$ [ এখানে n = মোট উপাদান , r = মোট উপাদানের মধ্যে যতটি উপাদান নিয়ে বিন্যাস করতে হয়। ]

পুণরাবৃত্তির বিন্যাস

উপরের প্রশ্নগুলোতে যে কোন সংখ্যা বা অক্ষর শুধুমাত্র ১ বার ব্যবহার করা হয়েছে। অর্থাৎ একই সংখ্যা বা অক্ষর একাধিকবার ব্যবহৃত হয় নি।
যেমন: ১ ও ২ কে একবার মাত্র ব্যবহার করে, দু ' অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়? এরকম প্রশ্নের উত্তর ২! বা ২টি যথা: ১২ এবং ২১ কিন্তু এই একই প্রশ্নে repetition allowed বা পুণরাবৃত্তি করা গেলে ১ ও ২ কে ব্যবহার করে ২ অঙ্কের সংখ্যা বানানো যাবে = ২^২ = ৪ টি । যথা: ১২, ২১, এর সাথে ১১ এবং ২২ [ অর্থাৎ একই সংখ্যাকে একাধিকবার ব্যাবহার করা যাবে। ]

Formula of Repetition = n^r [ এখানে n হচ্ছে মোট উপাদান এবং r = যতবার নিতে হবে। ]

পূনরাবৃত্তি করে A, B, C তিনটি উপাদান থেকে কয়ভাবে ২টি উপাদান নেয়া যাবে? এখানে, সকল বিন্যাস হবে এরূপ, AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC, 9টি। কেননা প্রতি ক্ষেত্রেই প্রতি ধাপে আগের সব options থেকে যায়। এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা n^r=3²=9 । অর্থাৎ এক বর্ণ রিপিট করা গেলে এভাবে।

Content added By

Najjar Hossain Raju

সমাবেশ (Combination)

কতকগুলো ব্স্তু থেকে প্রতিবারে কয়েকটি বা সবগুলোকে প্রতিবার নিয়ে যতগুলো দল গঠন করা যায় তাকে সমাবেশ বলে।

সমাবেশ হলো কয়েকটি উপাদান থেকে প্রত্যেকবার নির্দিষ্ট কিছু উপাদান নিয়ে এক একটি দল গঠন করা। এখানে ধারাবাহিকতা পরিবর্তন হলেও দলের সংখ্যা একই থাকবে।

সমাবেশের সূত্র: $n_{c_{r}} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ n! r!(n-r)! [বিন্যাসের সূত্রের মতই শুধু অতিরিক্ত হিসেবে হরের সাথে r! গুণ করতে হবে।]

বিন্যাস বনাম সমাবেশ (Permutation Vs Combination)

Combination এর ক্ষেত্রে Order (ধারাবাহিকতা) কোন Factor নয়। কিন্তু Permutation এর ক্ষেত্রে ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ এবং Order এর পরিবর্তন হলে সংখ্যারও পরিবর্তন হবে। যেমন: বিভিন্ন পরীক্ষার প্রশ্নে যখন এই দুটি অধ্যায় থেকে প্রশ্ন আসবে তখন লিখে দেয়া থাকবে না কোনটি বিন্যস এবং কোনটি সমাবেশ হবে। ভালোভাবে পার্থক্য না জানলে একটার জায়গায় অন্যটির উত্তর বের করে ফেলতে পারেন। তাই এদের মধ্যকার পার্থক্যগুলো নিচে ছক আকারে তুলে ধরা হল।

বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যকার মৌলিক পার্থক্য

(বিন্যাস) Permutation	(সমাবেশ) Combination
বিন্যাস হলো সাজানোর ধরণ অর্থাৎ কত ভাবে সাজানো যায় তা বের করা, এখানে ধারাবাহিকতা পরিবর্তন হলে নতুন বিন্যাস হয়।	আর সমাবেশ হলো বাছাই করা, কয়েকজন থেকে বাছাই করার সময় কে আগে আসলো কে পরে আসলো তা দেখার প্রয়োজন নেই অর্থাৎ এখানে ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ নয়।
বিন্যাসের সুত্র: $n_{P_{r}} = \frac{n!}{(n - r)!}$	সমাবেশের সূত্র: $n_{c_{r}} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ [বিন্যাসের সূত্রের মতই শুধু অতিরিক্ত হিসেবে হরের সাথে r! গুণ করতে হবে।]
বিন্যাসের উত্তর বড় হয়।	সমাবেশের উত্তর ছোট হয়।
রাকিব সামনে এবং রহিম পেছনে দাঁড়ানো অথবা রহিম সামনে রাকিব পেছনে দাঁড়ানো বোঝাতে দুটি ভিন্ন দাঁড়ানোর পদ্ধতি। অর্থাৎ সিরিয়াল পরিবর্তন হলে নতুন বিন্যাস হয়।	সমাবেশের ক্ষেত্রে বাংলাদেশ- ভারত আর ভারত বাংলাদেশ এর খেলা অর্থ দুটি খেলা না বরং একটি খেলা।
উদাহরণ: AB, BA, দুটি ভিন্ন বিন্যাস।	উদাহরণ: AB, BA উভয় মিলে একটি ই সমাবেশ।
বিন্যাস হয়: (i) অক্ষর সাজানোর প্রশ্নগুলোতে: যেমন: DHAKA (ii) সংখ্যা তৈরী করার প্রশ্নগুলোতে । যেমন: ১২৩,৩২১ (iii) যে কোন কিছুকে সাজাতে বলা হলে বিন্যাস করতে হয়।	সমাবেশ হয়: (i) হ্যান্ডশেক (ii) খেলা (iii) দল (iv) কমিটি (v) যে কোন কিছু বাছাই করার প্রশ্নগুলোতে সমাবেশের সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।

করমর্দন ও খেলার সংখ্যা

এই পদ্ধতিতে আমার শিখবো হ্যান্ডশেক সংখ্যা বের করা এবং কিভাবে কয়েকজন খেলোয়াড়ের ভেতর থেকে কতভাবে একটি ক্রিকেট, ফুটবল,বাস্কেটবল অথবা যে কোন দল গঠন করা যায়। সাথে সাথে কিভাবে এবং কতভাবে একটি দলের অধিনায়ক অথবা সহ অধিনায়ক নির্বাচিত করা যায় । দল গঠনের সময় বিভিন্ন খেলোয়াড়ের নাম আগে অথবা পরে যখনই বলা হোক না কেন তারা একটি দলই বোঝাবে, তাই দল গঠনের অংক গুলো সমাবেশের সুত্রানুযায়ী করতে হয়।

কখন গুণ (×) আর কখন যোগ (+)

যখন একটির সাথে অন্যটি নির্ভরশীল থাকে তখন গুণ করতে হবে। (প্রশ্নে “এবং” থাকলে ‘গুণ” )

যেমন: মোট ৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ৫ জন সদস্য নিয়ে একটি কলেজের কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে ২ জন মহিলা থাকবে ।

এখানে শুধু মহিলা বা শুধু পুরুষ নিয়ে কমিটি হবে না বরং পুরুষ ও মহিলা উভয়ে মিলে কমিটি হবে। অর্থাৎ একটার সাথে আরেকটা নির্ভরশীল । তাই এক্ষেত্রে গুণ করতে হবে $5_{c_{3}} \times 4_{c_{3}}$ = 10×6 = 60

কিন্তু একটির উপর আরেকটি নির্ভরশীল না হলে যোগ করতে হবে। (প্রশ্নে “অথবা” থাকলে 'যোগ' )

যেমন: একটি কলেজের কমিটি তৈরী করার উপায় আছে ২০টি আরেকটি ভিন্ন কলেজের কমিটি তৈরী করার উপায় আছে ১০টি। এখানে একটি কলেজের সাথে অন্য কলেজের কমিটির কোন নির্ভরশীলতা নেই, তাই এক্ষেত্রে মোট কমিটি সংখ্যা 20+10 = 30টি

বহুপদী (Polynomials)

যে বীজগাণিতিক রাশিতে চলকের ঘাত শূন্য বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় এবং বিভিন্ন পদ যোগ বা বিয়োগ আকারে থাকে তাকে বহুপদী (Polynomial) বলা হয়।

বহুপদীর সাধারণ রূপ

$a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n}$

এখানে,

a₀, a₁, ... , aₙ ধ্রুবক
x হলো চলক
n হলো বহুপদীর ঘাত এবং n ≥ 0

বহুপদীর উদাহরণ

$3 x^{2} + 5 x - 7$

এটি একটি বহুপদী।

বহুপদীর প্রকারভেদ

১. পদের সংখ্যা অনুযায়ী

একপদী (Monomial): একটি পদ থাকে

$5 x^{2}$

দ্বিপদী (Binomial): দুটি পদ থাকে

$x^{2} + 3 x$

ত্রিপদী (Trinomial): তিনটি পদ থাকে

$x^{2} + 2 x + 1$

২. ঘাত অনুযায়ী

রৈখিক বহুপদী (Linear Polynomial): ঘাত ১

$2 x + 5$

দ্বিঘাত বহুপদী (Quadratic Polynomial): ঘাত ২

$x^{2} + 4 x + 3$

ত্রিঘাত বহুপদী (Cubic Polynomial): ঘাত ৩

$x^{3} + 2 x^{2} - x$

বহুপদীর ঘাত

বহুপদীতে চলকের সর্বোচ্চ ঘাতকে বহুপদীর ঘাত বলা হয়।

যেমন,

$4 x^{5} + 3 x^{2} - 7$

এখানে বহুপদীর ঘাত = 5

বহুপদীর সহগ

চলকের সাথে যুক্ত সংখ্যাকে সহগ বলা হয়।

যেমন,

$7 x^{3}$

এখানে x³ এর সহগ = 7

বহুপদীর মান নির্ণয়

চলকের স্থানে নির্দিষ্ট মান বসিয়ে বহুপদীর মান নির্ণয় করা হয়।

যেমন,

$P (x) = x^{2} + 2 x + 1$

যদি x = 2 হয়,

$P (2) = 2^{2} + 2 \times 2 + 1 = 9$

বহুপদীর শূন্যক (Zero of Polynomial)

যে মানের জন্য বহুপদীর মান শূন্য হয় তাকে বহুপদীর শূন্যক বলা হয়।

যদি,

$P (x) = x^{2} - 4$

তবে,

$x^{2} - 4 = 0$

অর্থাৎ,

$x = 2, - 2$

এখানে 2 এবং -2 হলো বহুপদীর শূন্যক।

বহুপদীর ব্যবহার

সমীকরণ গঠন ও সমাধান
গ্রাফ অঙ্কন
পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশল
ব্যবসা ও অর্থনীতি
কম্পিউটার প্রোগ্রামিং

মনে রাখার উপায়

চলকের ঘাত যদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় এবং রাশিটি যোগ-বিয়োগ আকারে থাকে, তবে সেটি বহুপদী।

Content added By

Najjar Hossain Raju

মূল ও সহগ সম্পর্ক

মূল ও সহগ সম্পর্ক (Relation Between Roots and Coefficients)

বহুপদী সমীকরণের মূল এবং সহগের মধ্যে নির্দিষ্ট সম্পর্ককে মূল ও সহগ সম্পর্ক বলা হয়। এই সম্পর্কের মাধ্যমে সমীকরণের মূল নির্ণয়, নতুন সমীকরণ গঠন এবং বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধান করা যায়।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

যেখানে a ≠ 0 এবং সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β।

মূলদ্বয়ের যোগফল

$α + β = \frac{- b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$α β = \frac{c}{a}$

মূল দ্বারা সমীকরণ গঠন

যদি মূলদ্বয় α এবং β হয়, তবে সমীকরণ হবে:

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

উদাহরণ

সমীকরণ:

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

এখানে,

$α + β = \frac{5}{2}$

এবং

$α β = \frac{3}{2}$

ত্রিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

সাধারণ ত্রিঘাত সমীকরণ:

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$

সমীকরণের মূলত্রয় α, β ও γ হলে,

মূলত্রয়ের যোগফল

$α + β + γ = \frac{- b}{a}$

দুইটি মূলের গুণফলের সমষ্টি

$αβ + βγ + γα = \frac{c}{a}$

মূলত্রয়ের গুণফল

$αβγ = \frac{- d}{a}$

n ঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

যদি,

$a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n} = 0$

এবং মূলগুলো α₁, α₂, ..., αₙ হয়, তবে

সমস্ত মূলের যোগফল

$\sum α_{1} = \frac{- a_{1}}{a_{0}}$

দুইটি মূলের গুণফলের সমষ্টি

$\sum α_{1} α_{2} = \frac{a_{2}}{a_{0}}$

সব মূলের গুণফল

$α_{1} α_{2} ... α_{n} = {(- 1)}^{n} \times \frac{a_{n}}{a_{0}}$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

মূলের যোগফল সবসময় x এর সহগের বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয়
মূলের গুণফল ধ্রুবক পদের সাথে সম্পর্কিত
মূল জানা থাকলে সহজেই সমীকরণ গঠন করা যায়
সহগ জানা থাকলে মূলের বিভিন্ন সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়

মনে রাখার উপায়

দ্বিঘাত সমীকরণে:

$α + β = \frac{- b}{a}$

এবং

$α β = \frac{c}{a}$

— এই দুটি সূত্র সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

Content added By

Najjar Hossain Raju

ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য (Remainder & Factor Theorem)

ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য (Remainder & Factor Theorem)

বহুপদীকে কোনো রাশি দ্বারা ভাগ করলে যে অবশিষ্ট অংশ থাকে তাকে ভাগশেষ বলা হয়। ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্যের মাধ্যমে সহজেই কোনো বহুপদীর ভাগশেষ এবং উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem)

যদি কোনো বহুপদী

$f (x)$

কে

$x - a$

দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে

$f (a)$

অর্থাৎ,

$ভাগশেষ = f (a)$

উদাহরণ

যদি,

$f (x) = x^{2} + 3 x + 2$

এবং বহুপদীটিকে

$x - 1$

দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে:

$f (1) = 1^{2} + 3 (1) + 2 = 6$

অতএব ভাগশেষ = 6

উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem)

যদি কোনো বহুপদী

$f (x)$

এর জন্য

$f (a) = 0$

হয়, তবে

$x - a$

হবে বহুপদীটির একটি উৎপাদক।

অর্থাৎ,

$f (a) = 0 \Rightarrow (x - a) একটি উৎপাদক$

উদাহরণ

যদি,

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

তবে,

$f (2) = 2^{2} - 5 (2) + 6 = 0$

অতএব,

$x - 2$

হবে বহুপদীটির একটি উৎপাদক।

ভাগ অ্যালগরিদম (Division Algorithm)

যদি কোনো বহুপদী

$f (x)$

কে

$g (x)$

দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে

$f (x) = g (x) q (x) + r (x)$

যেখানে,

q(x) = ভাগফল
r(x) = ভাগশেষ
ভাগশেষের ঘাত ভাজকের ঘাত অপেক্ষা ছোট হবে

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

ভাগশেষ নির্ণয়ে x এর স্থানে a বসানো হয়
ভাগশেষ শূন্য হলে ভাজকটি উৎপাদক হয়
উৎপাদক উপপাদ্য ভাগশেষ উপপাদ্যের বিশেষ রূপ
বহুপদী বিশ্লেষণে এই উপপাদ্য খুব গুরুত্বপূর্ণ

মনে রাখার উপায়

ভাগশেষ = f(a) এবং f(a) = 0 হলে (x − a) হবে উৎপাদক।

Content added By

Najjar Hossain Raju

স্থানাংক জ্যামিতি

স্থানাংক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

জ্যামিতির যে শাখায় বিন্দুর অবস্থান সংখ্যা বা স্থানাংকের সাহায্যে নির্ণয় করা হয় তাকে স্থানাংক জ্যামিতি বলে। এখানে জ্যামিতিক চিত্রকে বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ করা হয়।

কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা (Cartesian Coordinate System)

দুটি পরস্পর লম্ব সংখ্যারেখার সাহায্যে সমতলে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করা হয়। অনুভূমিক রেখাকে x-অক্ষ এবং উল্লম্ব রেখাকে y-অক্ষ বলা হয়।

x-অক্ষ ও y-অক্ষের ছেদবিন্দুকে মূলবিন্দু (Origin) বলা হয়।

$O (0, 0)$

স্থানাংক (Coordinates)

সমতলে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশকারী সংখ্যাজোড়কে স্থানাংক বলে।

যদি কোনো বিন্দু P এর স্থানাংক হয়:

$P (x, y)$

তবে x কে ভুজ (Abscissa) এবং y কে কোটি (Ordinate) বলা হয়।

চতুর্ভাগ (Quadrants)

x-অক্ষ ও y-অক্ষ সমতলকে চারটি ভাগে বিভক্ত করে, যেগুলোকে চতুর্ভাগ বলে।

১ম চতুর্ভাগে x ও y উভয়ই ধনাত্মক
২য় চতুর্ভাগে x ঋণাত্মক এবং y ধনাত্মক
৩য় চতুর্ভাগে x ও y উভয়ই ঋণাত্মক
৪র্থ চতুর্ভাগে x ধনাত্মক এবং y ঋণাত্মক

দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব

যদি দুটি বিন্দু হয়:

$A (x_{1}, y_{1})$

এবং

$B (x_{2}, y_{2})$

তবে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব:

$D = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

মধ্যবিন্দু সূত্র (Midpoint Formula)

দুটি বিন্দুর মধ্যবিন্দু:

$M = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

বিভাগ সূত্র (Section Formula)

যদি কোনো বিন্দু দুটি বিন্দুকে m : n অনুপাতে বিভক্ত করে, তবে বিভাজক বিন্দুর স্থানাংক:

$(\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n})$

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

তিনটি বিন্দু

$A (x_{1}, y_{1})$

$B (x_{2}, y_{2})$

এবং

$C (x_{3}, y_{3})$

দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:

$A = \frac{1}{2} | x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2}) |$

সরলরেখার ঢাল (Slope of a Straight Line)

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখার ঢাল:

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

সরলরেখার সমীকরণ

ঢাল m এবং একটি বিন্দু

$(x_{1}, y_{1})$

দেওয়া থাকলে সরলরেখার সমীকরণ:

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

মূলবিন্দুর স্থানাংক সবসময় (0,0)
x-অক্ষের উপর সব বিন্দুর y = 0
y-অক্ষের উপর সব বিন্দুর x = 0
দূরত্ব সূত্র পিথাগোরাসের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে গঠিত
ঢাল ধনাত্মক হলে রেখা উপরের দিকে ওঠে এবং ঋণাত্মক হলে নিচের দিকে নামে

মনে রাখার উপায়

স্থানাংক জ্যামিতিতে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্রগুলো হলো:

দূরত্ব সূত্র
মধ্যবিন্দু সূত্র
ঢাল সূত্র
সরলরেখার সমীকরণ

Content added By

Najjar Hossain Raju

বিন্দুর দূরত্ব ও ঢাল নির্ণয়

বিন্দুর দূরত্ব ও ঢাল নির্ণয় (Distance and Slope of a Point)

স্থানাংক জ্যামিতিতে দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব এবং সরলরেখার ঢাল নির্ণয় একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। দুটি বিন্দুর অবস্থান জানা থাকলে সহজেই তাদের মধ্যকার দূরত্ব ও রেখার ঢাল নির্ণয় করা যায়।

বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয়

ধরা যাক, দুটি বিন্দু

$A (x_{1}, y_{1})$

এবং

$B (x_{2}, y_{2})$

তাহলে A ও B বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে,

$D = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

দূরত্ব সূত্রের ব্যাখ্যা

এটি মূলত পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রয়োগ। দুটি বিন্দুর অনুভূমিক পার্থক্য এবং উল্লম্ব পার্থক্য ব্যবহার করে অতিভুজের মান নির্ণয় করা হয়।

উদাহরণ

দুটি বিন্দু A(2, 3) এবং B(6, 7) হলে,

$D = \sqrt{{(6 - 2)}^{2} + {(7 - 3)}^{2}}$

অর্থাৎ,

$D = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$

সরলরেখার ঢাল (Slope)

কোনো সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তার ট্যানজেন্টকে রেখার ঢাল বলা হয়।

যদি দুটি বিন্দু হয়

$(x_{1}, y_{1})$

এবং

$(x_{2}, y_{2})$

তাহলে রেখার ঢাল,

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

ঢালের প্রকৃতি

m > 0 হলে রেখা ঊর্ধ্বমুখী হয়
m < 0 হলে রেখা নিম্নমুখী হয়
m = 0 হলে রেখা x-অক্ষের সমান্তরাল হয়
ঢাল অসংজ্ঞায়িত হলে রেখা y-অক্ষের সমান্তরাল হয়

উদাহরণ

দুটি বিন্দু A(1, 2) এবং B(5, 10) হলে,

$m = \frac{10 - 2}{5 - 1}$

অর্থাৎ,

$m = \frac{8}{4} = 2$

বিশেষ ক্ষেত্র

যদি দুটি বিন্দুর y স্থানাংক সমান হয়, তবে রেখাটি অনুভূমিক হবে
যদি দুটি বিন্দুর x স্থানাংক সমান হয়, তবে রেখাটি উল্লম্ব হবে
সমান ঢালবিশিষ্ট দুইটি রেখা পরস্পর সমান্তরাল হয়
দুইটি রেখার ঢালের গুণফল −1 হলে রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হয়

সমান্তরাল রেখার শর্ত

$m_{1} = m_{2}$

লম্ব রেখার শর্ত

$m_{1} m_{2} = - 1$

মনে রাখার উপায়

দূরত্ব সূত্রে “বিয়োগ → বর্গ → যোগ → বর্গমূল” এবং ঢাল সূত্রে “উল্লম্ব পরিবর্তন ÷ অনুভূমিক পরিবর্তন” ব্যবহার করা হয়।

Content added By

Najjar Hossain Raju

সরলরেখার সমীকরণ

সরলরেখার সমীকরণ (Equation of Straight Line)

স্থানাংক জ্যামিতিতে কোনো সরলরেখার অবস্থানকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করার জন্য যে সমীকরণ ব্যবহৃত হয় তাকে সরলরেখার সমীকরণ বলা হয়।

সরলরেখার সাধারণ রূপ

$a x + b y + c = 0$

এখানে a, b এবং c ধ্রুবক এবং a ও b একসাথে শূন্য হবে না।

ঢাল-ছেদ রূপ (Slope-Intercept Form)

যদি কোনো সরলরেখার ঢাল m এবং y-অক্ষকে c বিন্দুতে ছেদ করে, তবে রেখার সমীকরণ হবে:

$y = m x + c$

এখানে,

m = রেখার ঢাল
c = y-অক্ষে ছেদক

উদাহরণ

যদি রেখার ঢাল 2 এবং y-অক্ষে ছেদক 3 হয়, তবে সমীকরণ:

$y = 2 x + 3$

এক বিন্দু ও ঢাল দ্বারা সরলরেখার সমীকরণ

যদি কোনো রেখা

$(x_{1}, y_{1})$

বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং রেখার ঢাল m হয়, তবে সমীকরণ:

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

উদাহরণ

রেখাটি যদি (2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং ঢাল 4 হয়, তবে

$y - 3 = 4 (x - 2)$

দুই বিন্দু দ্বারা সরলরেখার সমীকরণ

যদি একটি রেখা

$(x_{1}, y_{1})$

এবং

$(x_{2}, y_{2})$

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে, তবে সমীকরণ:

$\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

উদাহরণ

রেখাটি যদি (1, 2) এবং (3, 6) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তবে

$\frac{y - 2}{6 - 2} = \frac{x - 1}{3 - 1}$

অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা

x-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

যদি কোনো রেখা x-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে y এর মান ধ্রুবক হবে।

$y = k$

y-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

যদি কোনো রেখা y-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে x এর মান ধ্রুবক হবে।

$x = k$

ছেদক রূপ (Intercept Form)

যদি কোনো রেখা x-অক্ষকে a এককে এবং y-অক্ষকে b এককে ছেদ করে, তবে সমীকরণ:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

লম্ব রেখার শর্ত

দুটি রেখার ঢালের গুণফল −1 হলে রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হয়।

$m_{1} m_{2} = - 1$

সমান্তরাল রেখার শর্ত

দুটি রেখার ঢাল সমান হলে রেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হয়।

$m_{1} = m_{2}$

বিশেষ তথ্য

ঢাল ধনাত্মক হলে রেখা ঊর্ধ্বমুখী হয়
ঢাল ঋণাত্মক হলে রেখা নিম্নমুখী হয়
ঢাল শূন্য হলে রেখা অনুভূমিক হয়
ঢাল অসংজ্ঞায়িত হলে রেখা উল্লম্ব হয়

মনে রাখার উপায়

সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত সূত্র হলো:

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

এটিকে Point-Slope Form বলা হয়।

Content added By

Najjar Hossain Raju

ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrix & Determinant)

ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক (Matrix & Determinant)

ম্যাট্রিক্স হলো সংখ্যা, চলক বা প্রতীকের একটি সুশৃঙ্খল আয়তাকার বিন্যাস যা সারি (Row) এবং স্তম্ভ (Column) দ্বারা গঠিত। গণিত, পদার্থবিজ্ঞান, কম্পিউটার বিজ্ঞান, অর্থনীতি ও প্রকৌশলে ম্যাট্রিক্স ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা

যদি m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক স্তম্ভবিশিষ্ট কোনো আয়তাকার বিন্যাস থাকে, তবে তাকে m × n মাত্রার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

ম্যাট্রিক্সের সাধারণ রূপ

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & ... & a_{m n} \end{matrix}]$

এখানে,

m = সারির সংখ্যা
n = স্তম্ভের সংখ্যা
a_ij = i তম সারি ও j তম স্তম্ভের উপাদান

উদাহরণ

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$

এটি একটি 2 × 2 মাত্রার ম্যাট্রিক্স।

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ

১. সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি সারি থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}]$

২. স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স (Column Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি স্তম্ভ থাকে তাকে স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}]$

৩. বর্গ ম্যাট্রিক্স (Square Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে সারি ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

৪. শূন্য ম্যাট্রিক্স (Zero Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদান শূন্য তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে।

৫. কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix)

যে বর্গ ম্যাট্রিক্সে প্রধান কর্ণ ছাড়া অন্য সব উপাদান শূন্য হয় তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।

৬. একক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)

যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের প্রতিটি উপাদান 1 হয় তাকে একক ম্যাট্রিক্স বলে।

$I = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

ম্যাট্রিক্সের সমতা

দুটি ম্যাট্রিক্স সমান হবে যদি তাদের সমমাত্রা হয় এবং অনুরূপ উপাদানগুলো সমান হয়।

ম্যাট্রিক্সের যোগ

সমমাত্রার দুটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ উপাদান যোগ করে ম্যাট্রিক্সের যোগ করা হয়।

উদাহরণ

$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 5 \end{matrix}]$

ফলাফল,

$[\begin{matrix} 3 & 3 \\ 3 & 9 \end{matrix}]$

ম্যাট্রিক্সের গুণ

যদি প্রথম ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান হয় তবে গুণ সম্ভব।

যদি,

$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$

এবং

$B = [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}]$

তবে,

$AB = [\begin{matrix} a e + b g & a f + b h \\ c e + d g & c f + d h \end{matrix}]$

ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ

কোনো ম্যাট্রিক্সের সারিকে স্তম্ভ এবং স্তম্ভকে সারিতে রূপান্তর করলে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সকে ট্রান্সপোজ বলে।

যদি A এর ট্রান্সপোজ হয়,

$A^{T}$

নির্ণায়ক (Determinant)

বর্গ ম্যাট্রিক্সের সাথে সম্পর্কিত একটি সংখ্যামানকে নির্ণায়ক বলা হয়।

2 × 2 নির্ণায়ক

$| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$

উদাহরণ

$| \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix} | = (2 \times 4) - (3 \times 1) = 5$

3 × 3 নির্ণায়ক

3 × 3 নির্ণায়ক সাধারণত সারুসের সূত্র বা কোফ্যাক্টর পদ্ধতিতে নির্ণয় করা হয়।

কোফ্যাক্টর (Cofactor)

কোনো উপাদানের মাইনরের সাথে উপযুক্ত চিহ্ন যুক্ত করলে কোফ্যাক্টর পাওয়া যায়।

মাইনর (Minor)

কোনো উপাদানের সারি ও স্তম্ভ বাদ দিলে যে নির্ণায়ক পাওয়া যায় তাকে ঐ উপাদানের মাইনর বলে।

ম্যাট্রিক্সের বিপরীত (Inverse Matrix)

যদি কোনো ম্যাট্রিক্স A এর জন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় যাতে,

$A A^{- 1} = I$

তবে,

$A^{- 1}$

কে A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে।

2 × 2 ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয়

যদি,

$A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$

এবং

$|A| = a d - b c \neq 0$

তবে,

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$

ক্র্যামারের সূত্র (Cramer’s Rule)

নির্ণায়কের সাহায্যে সরল সমীকরণ সমাধানের একটি গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি হলো ক্র্যামারের সূত্র।

মনে রাখার উপায়

Matrix = সারি + স্তম্ভের বিন্যাস
Determinant শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য নির্ণয় করা যায়
|A| = ad − bc হলো 2 × 2 নির্ণায়কের মূল সূত্র
det(A) = 0 হলে ম্যাট্রিক্সের বিপরীত থাকে না

Content added By

Najjar Hossain Raju

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও যোগ-গুণ

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও যোগ-গুণ (Types, Addition & Multiplication of Matrix)

ম্যাট্রিক্স হলো সারি (Row) ও স্তম্ভ (Column) আকারে সাজানো সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাস। সাধারণত ম্যাট্রিক্সকে বড় হাতের ইংরেজি অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় যেমন A, B, C ইত্যাদি।

ম্যাট্রিক্সের সাধারণ রূপ

$A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}]$

এখানে, a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂ হলো ম্যাট্রিক্সের উপাদান।

ম্যাট্রিক্সের ক্রম (Order of Matrix)

কোনো ম্যাট্রিক্সে যতগুলো সারি ও স্তম্ভ থাকে তাকে ম্যাট্রিক্সের ক্রম বলে।

যদি m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক স্তম্ভ থাকে তবে ম্যাট্রিক্সের ক্রম হবে:

$m \times n$

উদাহরণ

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}]$

এখানে সারি = 2 এবং স্তম্ভ = 3 অতএব, ম্যাট্রিক্সটির ক্রম 2 × 3

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ

১. সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি সারি থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix}]$

২. স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স (Column Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে মাত্র একটি স্তম্ভ থাকে তাকে স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}]$

৩. বর্গ ম্যাট্রিক্স (Square Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সে সারি ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$

৪. শূন্য ম্যাট্রিক্স (Null Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদান শূন্য তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

৫. কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix)

যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণ ছাড়া বাকি সব উপাদান শূন্য তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}]$

৬. একক ম্যাট্রিক্স (Identity Matrix)

যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের সব উপাদান 1 হয় তাকে একক ম্যাট্রিক্স বলে।

$I = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

৭. স্কেলার ম্যাট্রিক্স (Scalar Matrix)

যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের সব উপাদান সমান তাকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে।

$[\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}]$

৮. সমমিত ম্যাট্রিক্স (Symmetric Matrix)

যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ সেই ম্যাট্রিক্সের সমান হয় তবে তাকে সমমিত ম্যাট্রিক্স বলে।

$A = A^{T}$

ম্যাট্রিক্সের যোগ (Addition of Matrix)

সমান ক্রমের দুটি ম্যাট্রিক্সের সমস্থানিক উপাদান যোগ করে ম্যাট্রিক্সের যোগ করা হয়।

শর্ত

দুটি ম্যাট্রিক্সের ক্রম অবশ্যই সমান হতে হবে।

সূত্র

$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

উদাহরণ

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$

এবং

$B = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}]$

তাহলে,

$A + B = [\begin{matrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{matrix}]$

ম্যাট্রিক্সের বিয়োগ (Subtraction of Matrix)

সমস্থানিক উপাদান বিয়োগ করে ম্যাট্রিক্সের বিয়োগ করা হয়।

$(A - B)_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$

স্কেলার গুণ (Scalar Multiplication)

কোনো সংখ্যাকে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানের সাথে গুণ করলে স্কেলার গুণ পাওয়া যায়।

সূত্র

$k A = [\begin{matrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{matrix}]$

ম্যাট্রিক্সের গুণ (Multiplication of Matrix)

ম্যাট্রিক্স গুণের জন্য প্রথম ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হতে হবে।

শর্ত

$A = m \times n, B = n \times p$

তাহলে,

$A B = m \times p$

উদাহরণ

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}]$

এবং

$B = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}]$

তাহলে,

$A B = [\begin{matrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{matrix}]$

অর্থাৎ,

$A B = [\begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix}]$

মনে রাখার উপায়

যোগ ও বিয়োগের জন্য দুই ম্যাট্রিক্সের ক্রম সমান হতে হবে
গুণের জন্য প্রথমটির স্তম্ভ সংখ্যা = দ্বিতীয়টির সারি সংখ্যা
একক ম্যাট্রিক্সের কাজ সংখ্যার 1 এর মতো
শূন্য ম্যাট্রিক্সের কাজ সংখ্যার 0 এর মতো

Content added By

Najjar Hossain Raju

নির্ণায়কের মান নির্ণয় ও ক্র্যামারের নিয়ম

নির্ণায়কের মান নির্ণয় ও ক্র্যামারের নিয়ম (Determinant Evaluation & Cramer’s Rule)

নির্ণায়ক (Determinant) হলো একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স থেকে প্রাপ্ত একটি সাংখ্যিক মান, যা সমীকরণ সমাধান, জ্যামিতি ও বীজগণিতে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে।

২×২ নির্ণায়ক (2×2 Determinant)

যদি,

$A = |\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$

তাহলে নির্ণায়কের মান হবে:

$|A| = a d - b c$

উদাহরণ

$|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{matrix}| = 2 \times 5 - 3 \times 4 = 10 - 12 = - 2$

৩×৩ নির্ণায়ক (3×3 Determinant)

যদি,

$|\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix}|$

তাহলে বিস্তার হবে:

$|A| = a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - eg)$

উদাহরণ

এই পদ্ধতিতে সারি বা স্তম্ভ ধরে বিস্তার করে নির্ণায়ক নির্ণয় করা হয়।

নির্ণায়কের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

যদি দুইটি সারি বা স্তম্ভ সমান হয়, নির্ণায়ক = 0
কোনো সারি বা স্তম্ভ শূন্য হলে নির্ণায়ক = 0
সারি বা স্তম্ভ বিনিময় করলে নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তন হয়
একটি সারি/স্তম্ভকে k দ্বারা গুণ করলে নির্ণায়ক k গুণ হয়

ক্র্যামারের নিয়ম (Cramer’s Rule)

ক্র্যামারের নিয়ম ব্যবহার করে দুই বা তিন চলকের সরল সমীকরণ সমাধান করা যায়।

দুই চলকের সমীকরণ

ধরা যাক,

$a_{1} x + b_{1} y = c_{1}$ $a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$

প্রধান নির্ণায়ক

$D = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}|$

x নির্ণয়

$D_{x} = |\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}|$ $x = \frac{D_{x}}{D}$

y নির্ণয়

$D_{y} = |\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}|$ $y = \frac{D_{y}}{D}$

ক্র্যামারের শর্ত

যদি D ≠ 0 হয়, তবে সমীকরণদ্বয়ের একক সমাধান থাকবে।

মনে রাখার উপায়

D = মূল নির্ণায়ক
Dₓ = x-এর জন্য কলাম প্রতিস্থাপন
Dᵧ = y-এর জন্য কলাম প্রতিস্থাপন

Content added By

Najjar Hossain Raju

পাটীগণিত (Arithmetic) জ্যামিতি (geometry) বিবিধ মানসিক দক্ষতা (Miscellaneous)

বীজগণিত (Algebra)

বীজগাণিতিক রাশি

বীজগণিতীয় রাশির গুণ

চিহ্নযুক্ত রাশির গুণ

একপদী রাশিকে একপদী রাশি দ্বারা গুণ

বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem)

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.)

গ.সা.গু. নির্ণয়ের নিয়ম

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.)

ল.সা.গু. নির্ণয়ের নিয়ম

সূচকের সূত্রাবলি (Index Laws)

শূন্য ও ঋণাত্মক সূচক (Zero and Negative Indices)

n তম মূল (n th Root)

লগারিদমের সূত্রাবলি (Laws of Logarithms)

সংখ্যার বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ (Scientific or Standard Form of Numbers)

লগারিদম পদ্ধতি (Logarithmic Method)

সাধারণ লগের পূর্ণক (Characteristics of Common Log)

সাধারণ লগের অংশক (Mantissa of Common Log)

অসীম সেট (Infinite Set)

ফাঁকা সেট (Empty Set)

ভেনচিত্র (Venn-Diagram)

প্রকৃত উপসেট (Proper subset)

সরল সমীকরণ

(১) পক্ষান্তরবিধি

(২) বর্জনবিধি

(৩) আড়গুণনবিধি

(৪) প্রতিসাম্যবিধি

স্থানাঙ্কের ধারণা

বিন্দু পাতন

লেখচিত্রে সমীকরণের সমাধান

(১) প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

(২) অপনয়ন পদ্ধতি

বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সহসমীকরণ গঠন ও সমাধান

ধারার বিভিন্ন সূত্র

ধারাবাহিক অনুপাত (Continued Ratio)

All Notifications

Promotion

Hi, আমি SATT AI!