জ্যামিতি (geometry)

জ্যামিতি (Geometry)

জ্যামিতি গণিতের একটি শাখা যেখানে বিন্দু, রেখা, তল, কোণ, আকৃতি এবং তাদের বৈশিষ্ট্য ও পরিমাপ নিয়ে আলোচনা করা হয়।

মৌলিক ধারণা (Basic Concepts)

• বিন্দু (Point): যার কোনো দৈর্ঘ্য, প্রস্থ বা বেধ নেই, শুধু অবস্থান আছে।
• রেখা (Line): অসীম সংখ্যক বিন্দুর সমষ্টি যা দুই দিকে অসীম প্রসারিত।
• রেখাংশ (Line Segment): দুইটি বিন্দুর মধ্যে সীমাবদ্ধ রেখা।
• কিরণ (Ray): একটি বিন্দু থেকে শুরু হয়ে একদিকে অসীম বিস্তৃত রেখা।

সমতল জ্যামিতি (Plane Geometry)

সমতল জ্যামিতিতে দ্বিমাত্রিক (2D) আকৃতি যেমন ত্রিভুজ, বর্গ, বৃত্ত ইত্যাদি নিয়ে আলোচনা করা হয়।

প্রধান আকৃতি

• ত্রিভুজ (Triangle)
• চতুর্ভুজ (Quadrilateral)
• বৃত্ত (Circle)

ত্রিভুজ (Triangle)

তিনটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ আকৃতিকে ত্রিভুজ বলে।

ত্রিভুজের কোণ সমষ্টি

$A+B+C=180°$

পাইথাগোরাস উপপাদ্য

$a^2+b^2=c^2$

বৃত্ত (Circle)

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (কেন্দ্র) থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সমষ্টিকে বৃত্ত বলে।

গুরুত্বপূর্ণ অংশ

• ব্যাসার্ধ (Radius): কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্ব
• ব্যাস (Diameter): বৃত্তের মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত সর্বোচ্চ কর্ড
• পরিধি (Circumference): বৃত্তের বাইরের সীমারেখা

পরিধির সূত্র

$C=2\pi r$

ক্ষেত্রফল

$A=\pi r^2$

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

যে জ্যামিতিতে বিন্দুর অবস্থান সংখ্যা দ্বারা নির্ণয় করা হয় তাকে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি বলে।

গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

• ঢাল (Slope)
• দূরত্ব সূত্র
• মধ্যবিন্দু সূত্র

গুরুত্বপূর্ণ কথা

• জ্যামিতি বাস্তব আকার ও পরিমাপ বোঝায়
• এটি গণিতের অন্যতম মৌলিক শাখা
• ইঞ্জিনিয়ারিং ও বিজ্ঞানেও ব্যাপক ব্যবহার আছে

জ্যামিতি প্রাথমিক ধারণা (Basic Concept)

‘জ্যা’ অর্থ ভূমি, ‘মিতি’ অর্থ পরিমাপ। অর্থাৎ ভূমির পরিমাপ সংক্রান্ত আলোচনাই জ্যামিতির মূল ভিত্তি। ভূমির আকার, আকৃতি ও পরিমাপ সম্পর্কিত বিশ্লেষণ থেকেই জ্যামিতির উৎপত্তি।

খ্রিষ্টপূর্ব ৩০০ অব্দে গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিড (Euclid) তার বিখ্যাত গ্রন্থ Elements-এর ১৩টি খণ্ডে জ্যামিতির মৌলিক সংজ্ঞা, উপপাদ্য ও প্রমাণসমূহ সুসংগঠিতভাবে উপস্থাপন করেন। এই গ্রন্থের ভিত্তিতেই ইউক্লিডীয় জ্যামিতির (Euclidean Geometry) ভিত্তি স্থাপিত হয়।

ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে কিছু মৌলিক ধারণা বা স্বতঃসিদ্ধ (Axioms/Postulates) গ্রহণ করা হয় এবং সেগুলোর ওপর ভিত্তি করে যুক্তির মাধ্যমে বিভিন্ন জ্যামিতিক উপপাদ্য প্রমাণ করা হয়। এই যুক্তিনির্ভর প্রমাণ পদ্ধতিই ইউক্লিডীয় জ্যামিতির প্রধান বৈশিষ্ট্য।

বর্তমানে জ্যামিতির পরিধি বহুমাত্রিকভাবে বিস্তৃত হয়েছে। সমতল জ্যামিতির পাশাপাশি স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি এবং আধুনিক বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির ব্যাপক ব্যবহার দেখা যায়।

গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

• জ্যামিতি মূলত ভূমি ও আকারের পরিমাপ নিয়ে কাজ করে
• ইউক্লিড জ্যামিতিকে বৈজ্ঞানিক ভিত্তিতে প্রতিষ্ঠিত করেন
• স্বতঃসিদ্ধ ও যুক্তির মাধ্যমে প্রমাণ করা হয়
• আধুনিক জ্যামিতি বহু শাখায় বিস্তৃত

আমাদের চারপাশে বিস্তৃত জগত (space) সীমাহীন। এর বিভিন্ন অংশ জুড়ে রয়েছে ছোট বড় নানা রকম বস্তু। ছোট বড় বস্তু বলতে বালুকণা, আলপিন, পেন্সিল, কাগজ, বই, চেয়ার, টেবিল, ইট, পাথর, বাড়িঘর, পাহাড়, পৃথিবী, গ্রহ-নক্ষত্র সবই বুঝানো হয়। বিভিন্ন বস্তু স্থানের যে অংশ জুড়ে থাকে সে স্থানটুকুর আকার, আকৃতি, অবস্থান, বৈশিষ্ট্য প্রভৃতি থেকেই জ্যামিতিক ধ্যান-ধারণার উদ্ভব।

কোনো ঘনবস্তু (solid) যে স্থান অধিকার করে থাকে, তা তিন দিকে বিস্তৃত। এ তিন দিকের বিস্তারেই বস্তুটির তিনটি মাত্রা (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা) নির্দেশ করে। সেজন্য প্রত্যেক ঘনবস্তুই ত্রিমাত্রিক (three dimensional)। যেমন, একটি ইট বা বাক্সের তিনটি মাত্রা (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা) আছে। একটি গোলকের তিনটি মাত্রা আছে। এর তিন মাত্রার ভিন্নতা স্পষ্ট বোঝা না গেলেও একে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বিশিষ্ট খণ্ডে বিভক্ত করা যায়।

ঘনবস্তুর উপরিভাগ তল (surface) নির্দেশ করে অর্থাৎ, প্রত্যেক ঘনবস্তু এক বা একাধিক তল দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে। যেমন, একটি বাক্সের ছয়টি পৃষ্ঠ ছয়টি সমতলের প্রতিরূপ। গোলকের উপরিভাগ ও একটি তল। তবে বাক্সের পৃষ্ঠতল ও গোলকের পৃষ্ঠ তল ভিন্ন প্রকারের। প্রথমটি সমতল (plane), দ্বিতীয়টি বক্রতল (curved surface)।

তল : তল দ্বিমাত্রিক (Two-dimensional)। এর শুধু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কোনো উচ্চতা নাই। একটি বাক্সের দুইটি মাত্রা ঠিক রেখে তৃতীয় মাত্রা ক্রমশ হ্রাস করে শূন্যে পরিণত করলে, বাক্সটির পৃষ্ঠবিশেষ মাত্র অবশিষ্ট থাকে। এভাবে ঘনবস্তু থেকে তলের ধারণায় আসা যায়।

দুইটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে একটি রেখা (line) উৎপন্ন হয়। যেমন, বাক্সের দুইটি পৃষ্ঠতল বাক্সের একধারে একটি রেখায় মিলিত হয়। এই রেখা একটি সরলরেখা (straight line)। একটি লেবুকে একটি পাতলা ছুরি দিয়ে কাটলে, ছুরির সমতল যেখানে লেবুর বক্রতলকে ছেদ করে সেখানে একটি বক্ররেখা (curved line) উৎপন্ন হয়।

রেখা : রেখা একমাত্রিক (One-dimensional)। এর শুধু দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই। বাক্সের একটি পৃষ্ঠ-তলের প্রস্থ ক্রমশ হ্রাস পেয়ে সম্পূর্ণ শূন্য হলে, ঐ তলের একটি রেখা মাত্র অবশিষ্ট থাকে। এভাবে তলের ধারণা থেকে রেখার ধারণায় আসা যায়।

দুইটি রেখা পরস্পর ছেদ করলে বিন্দুর উৎপত্তি হয়। অর্থাৎ, দুইটি রেখার ছেদস্থান বিন্দু (point) দ্বারা নির্দিষ্ট হয়। বাক্সের দুইটি ধার যেমন, বাক্সের এক কোণায় একটি বিন্দুতে মিলিত হয়।

বিন্দুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, শুধু অবস্থান আছে। একটি রেখার দৈর্ঘ্য ক্রমশঃ হ্রাস পেলে অবশেষে একটি বিন্দুতে পর্যবসিত হয়। বিন্দুকে শূন্য মাত্রার সত্তা (entity) বলে গণ্য করা হয়।

উপরে তল, রেখা ও বিন্দু সম্পর্কে যে ধারণা দেওয়া হলো, তা তল, রেখা ও বিন্দুর সংজ্ঞা নয় বর্ণনা মাত্র। এই বর্ণনায় মাত্রা বলতে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা ইত্যাদি ধারণা ব্যবহার করা হয়েছে, যেগুলো সংজ্ঞায়িত নয়। ইউক্লিড তাঁর ‘Elements' গ্রন্থের প্রথম খণ্ডের শুরুতেই বিন্দু, রেখা ও তলের যে সংজ্ঞা উল্লেখ করেছেন তা-ও আধুনিক দৃষ্টিভঙ্গি অনুসারে অসম্পূর্ণ। ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ :

১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।

২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই।

৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।

৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।

৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।

৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।

৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

লক্ষ করলে দেখা যায় যে, এই বর্ণনায় অংশ, দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, সমভাবে ইত্যাদি শব্দগুলো অসংজ্ঞায়িতভাবে গ্রহণ করা হয়েছে। ধরে নেয়া হয়েছে যে, এগুলো সম্পর্কে আমাদের প্রাথমিক ধারণা রয়েছে। এসব ধারণার উপর ভিত্তি করে বিন্দু, সরলরেখা ও সমতলের ধারণা দেওয়া হয়েছে। বাস্তবিক পক্ষে, যেকোনো গাণিতিক আলোচনায় এক বা একাধিক প্রাথমিক ধারণা স্বীকার করে নিতে হয়। ইউক্লিড এগুলোকে স্বতঃসিদ্ধ (axioms) বলে আখ্যায়িত করেন। ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি স্বতঃসিদ্ধ :

১. যে সকল বস্তু একই বস্তুর সমান, সেগুলো পরস্পর সমান ।

২. সমান সমান বস্তুর সাথে সমান বস্তু যোগ করা হলে যোগফল সমান।

৩. সমান সমান বস্তু থেকে সমান বস্তু বিয়োগ করা হলে বিয়োগফল সমান।

৪. যা পরস্পরের সাথে মিলে যায়, তা পরস্পর সমান।

৫. পূর্ণ তার অংশের চেয়ে বড়।

আধুনিক জ্যামিতিতে বিন্দু, সরলরেখা ও সমতলকে প্রাথমিক ধারণা হিসাবে গ্রহণ করে এদের কিছু বৈশিষ্ট্যকে স্বীকার করে নেওয়া হয়। এই স্বীকৃত বৈশিষ্ট্যগুলোকে জ্যামিতিক স্বীকার্য (postulate) বলা হয়। বাস্তব ধারণার সঙ্গে সঙ্গতি রেখেই এই স্বীকার্যসমূহ নির্ধারণ করা হয়েছে। ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো :

স্বীকার্য ১. একটি বিন্দু থেকে অন্য একটি বিন্দু পর্যন্ত একটি সরলরেখা আঁকা যায়।

স্বীকার্য ২. খণ্ডিত রেখাকে যথেচ্ছভাবে বাড়ানো যায়।

স্বীকার্য ৩. যেকোনো কেন্দ্র ও যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকা যায়।

স্বীকার্য ৪. সকল সমকোণ পরস্পর সমান।

স্বীকার্য ৫. একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের চেয়ে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের চেয়ে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

ইউক্লিড সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্যগুলোর সাহায্যে যুক্তিমূলক নতুন প্রতিজ্ঞা প্রমাণ করেন। তিনি সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ, স্বীকার্য ও প্রমাণিত প্রতিজ্ঞার সাহায্যে আবার নতুন একটি প্রতিজ্ঞাও প্রমাণ করেন। ইউক্লিড তার ‘ইলিমেন্টস' গ্রন্থে মোট ৪৬৫টি শৃঙ্খলাবদ্ধ প্রতিজ্ঞার প্রমাণ দিয়েছেন যা আধুনিক যুক্তিমূলক জ্যামিতির ভিত্তি।

লক্ষ করি যে, ইউক্লিডের প্রথম স্বীকার্যে কিছু অসম্পূর্ণতা রয়েছে। দুইটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে যে একটি অনন্য সরলরেখা অঙ্কন করা যায় তা উপেক্ষিত হয়েছে। পঞ্চম স্বীকার্য অন্য চারটি স্বীকার্যের চেয়ে জটিল। অন্যদিকে, প্রথম থেকে চতুর্থ স্বীকার্যগুলো এতো সহজ যে এগুলো ‘স্পষ্টই সত্য' বলে প্রতীয়মান হয়। কিন্তু এগুলো প্রমাণ করা যায় না। সুতরাং, উক্তিগুলো ‘প্রমাণবিহীন সত্য বা স্বীকার্য বলে মেনে নেয়া হয়। ইউক্লিডীয় জ্যামিতির পাঁচটি স্বীকার্যের মধ্যে পঞ্চম স্বীকার্যটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং বিখ্যাত। এটিকে সমান্তরাল রেখা স্বীকার্য (Parallel Postulate) নামেও জানা যায়।

মূল বক্তব্য

যদি একটি সরলরেখা দুটি সরলরেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যে একই পাশে গঠিত অভ্যন্তরীণ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ (১৮০°)-এর কম হয়, তবে ঐ দুটি রেখা সেই পাশে অসীমভাবে প্রসারিত হলে পরস্পরকে ছেদ করবে।

গাণিতিক রূপ

$\alpha +\beta <180°\Rightarrow$রেখাদ্বয় পরস্পর ছেদ করবে

সহজভাবে ব্যাখ্যা

• যদি দুটি রেখা একটি তৃতীয় রেখা দ্বারা ছেদিত হয়
• এবং একই পাশে থাকা দুই অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল ১৮০° এর কম হয়
• তাহলে ঐ দুই রেখা পরস্পর মিলিত হবে (ছেদ করবে)

সমান্তরাল রেখার সংজ্ঞা (এর ভিত্তিতে)

যদি দুটি সরলরেখা একটি তৃতীয় রেখা দ্বারা ছেদিত হলে একই পাশে অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল ১৮০° হয়, তবে রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে।

গাণিতিক রূপ

$\alpha +\beta =180°\Rightarrow l\parallel m$

গুরুত্বপূর্ণ কথা

• এটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ স্বীকার্য
• সমান্তরাল রেখার ধারণা এই স্বীকার্যের উপর ভিত্তি করে
• অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি (Non-Euclidean Geometry) এর সূচনা এখান থেকেই

সমতল জ্যামিতি হলো জ্যামিতির একটি শাখা যেখানে দ্বিমাত্রিক (2D) আকৃতি, বিন্দু, রেখা, কোণ এবং বিভিন্ন জ্যামিতিক চিত্র নিয়ে আলোচনা করা হয়। এখানে সকল আকৃতি একটি সমতল বা পৃষ্ঠের উপর অবস্থিত থাকে।

মৌলিক ধারণা (Basic Concepts)

• বিন্দু (Point): যার কোনো দৈর্ঘ্য, প্রস্থ বা বেধ নেই, শুধুমাত্র অবস্থান আছে।
• রেখা (Line): অসীম সংখ্যক বিন্দুর সমষ্টি যা দুই দিকে অসীম প্রসারিত।
• রেখাংশ (Line Segment): দুইটি বিন্দুর মধ্যে সীমাবদ্ধ অংশ।
• কিরণ (Ray): একটি বিন্দু থেকে শুরু হয়ে একদিকে অসীম প্রসারিত রেখা।

কোণ (Angle)

দুটি রেখা একটি সাধারণ বিন্দুতে মিলিত হলে যে খোলা স্থান তৈরি হয় তাকে কোণ বলে।

কোণের পরিমাপ

• সমকোণ = 90°
• সন্নিকট কোণ = 0° থেকে 90°
• স্থূল কোণ = 90° থেকে 180°
• সরল কোণ = 180°

ত্রিভুজ (Triangle)

তিনটি রেখাংশ দ্বারা গঠিত বন্ধ আকৃতিকে ত্রিভুজ বলে।

ত্রিভুজের কোণ সমষ্টি

$A+B+C=180°$

পাইথাগোরাস উপপাদ্য

$a^2+b^2=c^2$

বৃত্ত (Circle)

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সমষ্টিকে বৃত্ত বলে।

গুরুত্বপূর্ণ অংশ

• ব্যাসার্ধ (Radius)
• ব্যাস (Diameter)
• পরিধি (Circumference)

পরিধির সূত্র

$C=2\pi r$

ক্ষেত্রফল

$A=\pi r^2$

গুরুত্বপূর্ণ কথা

• সমতল জ্যামিতি 2D আকৃতি নিয়ে কাজ করে
• এটি দৈনন্দিন জীবনের আকার ও পরিমাপ বোঝার ভিত্তি
• ত্রিভুজ, বৃত্ত, চতুর্ভুজ ইত্যাদি প্রধান বিষয়

পূর্বেই বিন্দু, সরলরেখা ও সমতল জ্যামিতির তিনটি প্রাথমিক ধারণা উল্লেখ করা হয়েছে। এদের যথাযথ সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব না হলেও এদের সম্পর্কে আমাদের বাস্তব অভিজ্ঞতাপ্রসূত ধারণা হয়েছে। বিমূর্ত জ্যামিতিক ধারণা হিসাবে স্থানকে বিন্দুসমূহের সেট ধরা হয় এবং সরলরেখা ও সমতলকে এই সার্বিক সেটের উপসেট বিবেচনা করা হয়। অর্থাৎ,

স্বীকার্য ১. জগত (space) সকল বিন্দুর সেট এবং সমতল ও সরলরেখা এই সেটের উপসেট।

এই স্বীকার্য থেকে আমরা লক্ষ করি যে, প্রত্যেক সমতল ও প্রত্যেক সরলরেখা এক একটি সেট, যার উপাদান হচ্ছে বিন্দু। জ্যামিতিক বর্ণনায় সাধারণত সেট প্রতীকের ব্যবহার পরিহার করা হয়। যেমন, কোনো বিন্দু একটি সরলরেখার (বা সমতলের) অন্তর্ভুক্ত হলে বিন্দুটি ঐ সরলরেখায় (বা সমতলে অবস্থিত অথবা, সরলরেখাটি (বা সমতলটি) ঐ বিন্দু দিয়ে যায়। একইভাবে, একটি সরলরেখা একটি সমতলের উপসেট হলে সরলরেখাটি ঐ সমতলে অবস্থিত, অথবা, সমতলটি ঐ সরলরেখা দিয়ে যায় এ রকম বাক্য দ্বারা তা বর্ণনা করা হয়।

সরলরেখা ও সমতলের বৈশিষ্ট্য হিসেবে স্বীকার করে নেওয়া হয় যে,

স্বীকার্য ২. দুইটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সরলরেখা আছে, যাতে উভয় বিন্দু অবস্থিত।

স্বীকার্য ৩. একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সমতল আছে, যাতে বিন্দু তিনটি অবস্থিত।

স্বীকার্য ৪. কোনো সমতলের দুইটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে যায় এমন সরলরেখা ঐ সমতলে অবস্থিত।

স্বীকার্য ৫.

ক) জগতে (space) একাধিক সমতল বিদ্যমান

খ) প্রত্যেক সমতলে একাধিক সরলরেখা অবস্থিত।

গ) প্রত্যেক সরলরেখার বিন্দুসমূহ এবং বাস্তব সংখ্যাসমূহকে এমনভাবে সম্পর্কিত করা যায় যেন, রেখাটির প্রত্যেক বিন্দুর সঙ্গে একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যা সংশ্লিষ্ট হয় এবং প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার সঙ্গে রেখাটির একটি অনন্য বিন্দু সংশ্লিষ্ট হয়।

মন্তব্য : স্বীকার্য ১ থেকে স্বীকার্য ৫ কে আপতন স্বীকার্য (incidence axiom) বলা হয়।

জ্যামিতিতে দূরত্বের ধারণাও একটি প্রাথমিক ধারণা। এ জন্য স্বীকার করে নেওয়া হয় যে,

স্বীকার্য ৬.

ক) P ও Q বিন্দুযুগল একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যা নির্দিষ্ট করে থাকে। সংখ্যাটিকে P বিন্দু থেকে Q বিন্দুর দূরত্ব বলা হয় এবং PQ দ্বারা সূচিত করা হয়।

খ) P ও Q ভিন্ন বিন্দু হলে PQ সংখ্যাটি ধনাত্মক। অন্যথায়, PQ = 0 ।

গ) P থেকে Q এর দূরত্ব এবং Q থেকে P এর দূরত্ব একই। অর্থাৎ PQ = QP

PQ = QP হওয়াতে এই দূরত্বকে সাধারণত P বিন্দু ও Q বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব বলা হয়। ব্যবহারিকভাবে, এই দূরত্ব পূর্ব নির্ধারিত এককের সাহায্যে পরিমাপ করা হয়।

স্বীকার্য ৫ (গ) অনুযায়ী প্রত্যেক সরলরেখায় অবস্থিত বিন্দুসমূহের সেট ও বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে এক-এক মিল স্থাপন করা যায়। এ প্রসঙ্গে স্বীকার করে নেওয়া হয় যে,

স্বীকার্য ৭. কোনো সরলরেখায় অবস্থিত বিন্দুসমূহের সেট এবং বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে এমনভাবে এক-এক মিল স্থাপন করা যায়, যেন রেখাটির যেকোনো দুইটি বিন্দু P, Q এর জন্য PQ = \a – b হয়, যেখানে মিলকরণের ফলে P ও Q এর সঙ্গে যথাক্রমে a ও b বাস্তব সংখ্যা সংশ্লিষ্ট হয়।

এই স্বীকার্যে বর্ণিত মিলকরণ করা হলে, রেখাটি একটি সংখ্যারেখায় পরিণত হয়েছে বলা হয়। সংখ্যারেখায় P বিন্দুর সঙ্গে a সংখ্যাটি সংশ্লিষ্ট হলে P কে a এর লেখবিন্দু এবং a কে P এর স্থানাঙ্ক বলা হয়। কোনো সরলরেখাকে সংখ্যারেখায় পরিণত করার জন্য প্রথমে রেখাটির একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক 0 এবং অপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক 1 ধরে নেওয়া হয়। এতে রেখাটিতে একটি একক দূরত্ব এবং একটি ধনাত্মক দিক নির্দিষ্ট হয়। এ জন্য স্বীকার করে নেওয়া হয় যে,

স্বীকার্য ৮. যেকোনো সরলরেখা AB কে এমনভাবে সংখ্যারেখায় পরিণত করা যায় যে, A এর স্থানাঙ্ক 0 এবং B এর স্থানাঙ্ক ধনাত্মক হয়।

মন্তব্য : স্বীকার্য ৬ কে দূরত্ব স্বীকার্য, স্বীকার্য ৭ কে রুলার স্বীকার্য এবং স্বীকার্য ৮ কে রুলার স্থাপন স্বীকার্য বলা হয়।

জ্যামিতিক বর্ণনাকে স্পষ্ট করার জন্য চিত্র ব্যবহার করা হয়। কাগজের ওপর পেন্সিল বা কলমের সূক্ষ্ম ফোঁটা দিয়ে বিন্দুর প্রতিরূপ আঁকা হয়। সোজা রুলার বরাবর দাগ টেনে সরলরেখার প্রতিরূপ আঁকা হয় । সরলরেখার চিত্রে দুই দিকে তীরচিহ্ন দিয়ে বোঝানো হয় যে, রেখাটি উভয়দিকে সীমাহীনভাবে বিস্তৃত। স্বীকার্য ২ অনুযায়ী দুইটি ভিন্ন বিন্দু A ও B একটি অনন্য সরলরেখা নির্দিষ্ট করে যাতে বিন্দু দুইটি অবস্থিত হয়। এই রেখাকে AB রেখা বা BA রেখা বলা হয়। স্বীকার্য ৫ (গ) অনুযায়ী এরূপ প্রত্যেক সরলরেখা অসংখ্য বিন্দু ধারণ করে।

স্বীকার্য (৫) (ক) অনুযায়ী জগতে একাধিক সমতল বিদ্যমান। এরূপ প্রত্যেক সমতলে অসংখ্য সরলরেখা রয়েছে। জ্যামিতির যে শাখায় একই সমতলে অবস্থিত বিন্দু, রেখা এবং এদের সঙ্গে সম্পর্কিত বিভিন্ন জ্যামিতিক সত্তা সম্পর্কে আলোচনা করা হয়, তাকে সমতল জ্যামিতি (plane geometry) বলা হয়। এ পুস্তকে সমতল জ্যামিতিই আমাদের মূল বিবেচ্য বিষয়। সুতরাং, বিশেষ কোনো উল্লেখ না থাকলে বুঝতে হবে যে, আলোচ্য সকল বিন্দু, রেখা ইত্যাদি একই সমতলে অবস্থিত। এরূপ একটি নির্দিষ্ট সমতলই আলোচনার সার্বিক সেট। এছাড়া শুধু রেখা উল্লেখ করলে আমরা সরলরেখাই বুঝাবো।

যেকোনো গাণিতিক তত্ত্বে কতিপয় প্রাথমিক ধারণা, সংজ্ঞা এবং স্বীকার্যের উপর ভিত্তি করে ধাপে ধাপে ঐ তত্ত্ব সম্পর্কিত বিভিন্ন উক্তি যৌক্তিকভাবে প্রমাণ করা হয়। এরূপ উক্তিকে সাধারণত প্রতিজ্ঞা বলা হয়। প্রতিজ্ঞার যৌক্তিকতা প্রমাণের জন্য যুক্তিবিদ্যার কিছু নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। যেমন :

১. আরোহ পদ্ধতি (Mathematical Induction)

২. অবরোহ পদ্ধতি ((Mathematical Deduction)

৩. বিরোধ পদ্ধতি (Proof by contradiction) ইত্যাদি।

বিরোধ পদ্ধতি (Proof by contradiction)

দার্শনিক এরিস্টটল যুক্তিমূলক প্রমাণের এ পদ্ধতিটির সূচনা করেন। এ পদ্ধতির ভিত্তি হলো :

১. একই গুণকে একই সময় স্বীকার ও অস্বীকার করা যায় না।

২. একই জিনিসের দুইটি পরস্পরবিরোধী গুণ থাকতে পারে না।

৩. যা পরস্পরবিরোধী তা অচিন্ত্যনীয়

৪. কোনো বস্তু এক সময়ে যে গুণের অধিকারী হয়, সেই বস্তু সেই একই সময়ে সেই গুণের অনধিকারী হতে পারে না।

জ্যামিতিতে কতকগুলো প্রতিজ্ঞাকে বিশেষ গুরুত্ব দিয়ে উপপাদ্য হিসেবে গ্রহণ করা হয় এবং অন্যান্য প্রতিজ্ঞা প্রমাণে ক্রম অনুযায়ী এদের ব্যবহার করা হয়। জ্যামিতিক প্রমাণে বিভিন্ন তথ্য চিত্রের সাহায্যে বর্ণনা করা হয়। তবে প্রমাণ অবশ্যই যুক্তিনির্ভর হতে হবে।

জ্যামিতিক প্রতিজ্ঞার বর্ণনায় সাধারণ নির্বচন (general enunciation) অথবা বিশেষ নির্বচন (particular enunciation) ব্যবহার করা হয়। সাধারণ নির্বচন হচ্ছে চিত্রনিরপেক্ষ বর্ণনা আর বিশেষ নির্বচন হচ্ছে চিত্রনির্ভর বর্ণনা। কোনো প্রতিজ্ঞার সাধারণ নির্বচন দেওয়া থাকলে প্রতিজ্ঞার বিষয়বস্তু বিশেষ নির্বচনের মাধ্যমে নির্দিষ্ট করা হয়। এ জন্য প্রয়োজনীয় চিত্র অঙ্কন করতে হয়। জ্যামিতিক উপপাদ্যের প্রমাণে সাধারণত নিম্নোক্ত ধাপগুলো থাকে :

১. সাধারণ নির্বচন

২. চিত্র ও বিশেষ নির্বচন

৩. প্রয়োজনীয় অঙ্কনের বর্ণনা এবং

৪. প্রমাণের যৌক্তিক ধাপগুলোর বর্ণনা।

যদি কোনো প্রতিজ্ঞা সরাসরিভাবে একটি উপপাদ্যের সিদ্ধান্ত থেকে প্রমাণিত হয়, তবে একে অনেক সময় ঐ উপপাদ্যের অনুসিদ্ধান্ত (corollary) হিসেবে উল্লেখ করা যায়। বিভিন্ন প্রতিজ্ঞা প্রমাণ করা ছাড়াও জ্যামিতিতে বিভিন্ন চিত্র অঙ্কন করার প্রস্তাবনা বিবেচনা করা হয়। এগুলোকে সম্পাদ্য বলা হয় । সম্পাদ্যে চিত্র অঙ্কন করে চিত্রাঙ্কনের বর্ণনা ও যৌক্তিকতা উল্লেখ করতে হয়।

জ্যামিতিক প্রমাণ হলো এমন একটি যুক্তিনির্ভর প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে কোনো জ্যামিতিক উপপাদ্য বা সম্পর্ককে স্বতঃসিদ্ধ, সংজ্ঞা এবং পূর্বে প্রমাণিত উপপাদ্যের সাহায্যে ধাপে ধাপে সত্য প্রমাণ করা হয়।

প্রমাণের মূল ভিত্তি

• স্বতঃসিদ্ধ (Axioms/Postulates)
• সংজ্ঞা (Definitions)
• পূর্বে প্রমাণিত উপপাদ্য (Theorems)

জ্যামিতিক প্রমাণের ধাপ

• প্রদত্ত (Given): যেসব তথ্য সমস্যায় দেওয়া থাকে
• প্রমাণ করতে হবে (To Prove): যা সত্য প্রমাণ করতে হবে
• নির্মাণ (Construction): প্রয়োজন হলে অতিরিক্ত রেখা বা বিন্দু যোগ করা
• প্রমাণ (Proof): যুক্তির মাধ্যমে ধাপে ধাপে সমাধান

উদাহরণ

প্রমাণ করতে হবে যে, একটি ত্রিভুজের কোণসমষ্টি ১৮০°।

প্রদত্ত: একটি ত্রিভুজ ABC

প্রমাণ করতে হবে:

$A+B+C=180°$

প্রমাণের ধারণা

একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান্তরাল রেখা অঙ্কন করে সংশ্লিষ্ট কোণগুলোর সমতা ব্যবহার করে প্রমাণ করা হয় যে তিনটি কোণের যোগফল ১৮০°।

গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যসমূহ

• ত্রিভুজের কোণসমষ্টি উপপাদ্য
• সমান্তরাল রেখার কোণ উপপাদ্য
• সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তিকোণ সমান
• বৃত্তের স্পর্শক সম্পর্কিত উপপাদ্য

গুরুত্বপূর্ণ কথা

• জ্যামিতিক প্রমাণ সম্পূর্ণ যুক্তিনির্ভর
• প্রতিটি ধাপ পূর্ববর্তী সত্যের উপর নির্ভর করে
• এটি গণিতের যুক্তি দক্ষতা বৃদ্ধি করে

রেখা, রশ্মি, রেখাংশ (Line, Ray, Line Segment)

জ্যামিতিতে বিন্দু ও রেখা হলো মৌলিক ধারণা। এগুলোর উপর ভিত্তি করেই সমগ্র জ্যামিতিক গঠন তৈরি হয়।

১. রেখা (Line)

যে জ্যামিতিক আকৃতি উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত এবং যার কোনো শুরু বা শেষ নেই তাকে রেখা বলে।

বৈশিষ্ট্য:

• উভয় দিকে অসীম বিস্তৃত
• দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করা যায় না
• দুটি বিন্দু দ্বারা একটি রেখা নির্ধারিত হয়

AB → একটি রেখা

২. রশ্মি (Ray)

যে রেখার একটি নির্দিষ্ট শুরু বিন্দু থাকে কিন্তু একদিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে তাকে রশ্মি বলে।

বৈশিষ্ট্য:

• একটি প্রারম্ভিক বিন্দু থাকে
• একদিকে অসীম বিস্তৃত
• দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করা যায় না

AB → রশ্মি (A থেকে শুরু)

৩. রেখাংশ (Line Segment)

যে রেখার দুটি প্রান্তবিন্দু থাকে তাকে রেখাংশ বলে। এটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট।

বৈশিষ্ট্য:

• দুটি প্রান্তবিন্দু থাকে
• নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য থাকে
• পরিমাপ করা যায়

AB - রেখাংশ

তুলনামূলক পার্থক্য

• রেখা: দুই দিকে অসীম
• রশ্মি: এক দিকে অসীম
• রেখাংশ: সীমাবদ্ধ ও নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য

মনে রাখার সহজ উপায়

• Line = দুই দিকে চলতে থাকে
• Ray = এক দিকেই চলে
• Segment = শুরু ও শেষ আছে

সমতলীয় জ্যামিতির স্বীকার্য অনুযায়ী সমতলে সরলরেখা বিদ্যমান যার প্রতিটি বিন্দু সমতলে অবস্থিত। মনে করি, সমতলে AB একটি সরলরেখা এবং রেখাটির উপর অবস্থিত একটি বিন্দু C। C বিন্দুকে A ও B বিন্দুর অন্তবর্তী বলা হয় যদি A, C ও B একই সরলরেখার ভিন্ন ভিন্ন বিন্দু হয় এবং AC + CB = AB হয়। A, C ও B বিন্দু তিনটিকে সমরেখ বিন্দুও বলা হয়। A ও B এবং এদের অন্তবর্তী সকল বিন্দুর সেটকে A ও B বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বা সংক্ষেপে AB রেখাংশ বলা হয় । A ও B বিন্দুর অন্তবর্তী প্রত্যেক বিন্দুকে রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়। আবার, C বিন্দু এবং C বিন্দু থেকে AB সরলরেখা বরাবর কোন একদিকে অসীম পর্যন্ত বিন্দুর সেটকে রশ্মি বলা হয়। C বিন্দু AB সরলরেখাকে CA ও CB রশ্মিতে বিভক্ত করে।

একই সমতলে দুইটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু একই হলে কোণ তৈরি হয়। রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু এবং এদের সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলে। চিত্রে, OP ও OQ রশ্মিদ্বয় এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু O তে ∠POQ উৎপন্ন করেছে। O বিন্দুটি ∠POQ এর শীর্ষবিন্দু। OP এর যে পার্শ্বে Q আছে সেই পার্শ্বে এবং OQ এর যে পার্শ্বে P আছে সেই পার্শ্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সেটকে ∠POQ এর অভ্যন্তর বলা হয়। কোণটির অভ্যন্তরে অথবা কোনো বাহুতে অবস্থিত নয় এমন সকল বিন্দুর সেটকে এর বহির্ভাগ বলা হয়।

কোণ (Angle)

যখন একটি বিন্দুতে দুটি রশ্মি মিলিত হয়, তখন তাদের মধ্যবর্তী স্থানকে কোণ বলা হয়।

এই সাধারণ বিন্দুটিকে শীর্ষবিন্দু (Vertex) এবং রশ্মি দুটিকে কোণের বাহু (Arms) বলা হয়।

কোণের গঠন

$\text{∠AOB}$

এখানে O হলো শীর্ষবিন্দু এবং OA ও OB হলো দুটি বাহু।

কোণের পরিমাপ

কোণ পরিমাপের একক হলো ডিগ্রি (°)। একটি পূর্ণ বৃত্তে মোট কোণ = 360°

$360°$

কোণের প্রকারভেদ

১. সূক্ষ্ম কোণ (Acute Angle)

যে কোণ 0° এর বেশি কিন্তু 90° এর কম।

$0°<\theta <90°$

২. সমকোণ (Right Angle)

যে কোণ 90° এর সমান।

$\theta =90°$

৩. স্থূল কোণ (Obtuse Angle)

যে কোণ 90° এর বেশি কিন্তু 180° এর কম।

$90°<\theta <180°$

৪. সরল কোণ (Straight Angle)

যে কোণ 180° এর সমান।

$\theta =180°$

৫. পূর্ণ কোণ (Complete Angle)

যে কোণ 360° এর সমান।

$\theta =360°$

কোণ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

• কোণ পরিমাপ করা হয় প্রট্রাক্টরের সাহায্যে
• দুটি রেখা বা রশ্মির মিলনেই কোণ তৈরি হয়
• জ্যামিতির অনেক উপপাদ্যের ভিত্তি হলো কোণ

মনে রাখার সহজ উপায়

• 90° = সমকোণ
• 180° = সরল কোণ
• 360° = পূর্ণ কোণ

দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরল কোণ বলে। পাশের চিত্রে, AB রশ্মির প্রান্তবিন্দু A থেকে AB এর বিপরীত দিকে AC রশ্মি আঁকা হয়েছে। AC ও AB রশ্মিদ্বয় এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু A তে ∠BAC উৎপন্ন করেছে। ∠BAC কে সরল কোণ বলে। সরল কোণের পরিমাপ দুই সমকোণ বা 180°।

যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও এদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পাশে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। পাশের চিত্রে, A বিন্দুটি ∠BAC ও ∠CAD এর শীর্ষবিন্দু। A বিন্দুতে ∠BAC ও ∠CAD উৎপন্নকারী রশ্মিগুলোর মধ্যে AC সাধারণ রশ্মি। কোণ দুইটি সাধারণ রশ্মি AC এর বিপরীত পাশে অবস্থিত। ∠BAC এবং ∠CAD পরস্পর সন্নিহিত কোণ।

যদি একই রেখার উপর অবস্থিত দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সমকোণ বা 90°। সমকোণের বাহু দুইটি পরস্পরের উপর লম্ব। পাশের চিত্রে, BD রেখার A বিন্দুতে AC রশ্মি দ্বারা ∠BAC ও ∠DAC দুইটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। A বিন্দু কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু। ∠BAC ও ∠DAC উৎপন্নকারী বাহুগুলোর মধ্যে AC সাধারণ বাহু। কোণ দুইটি সাধারণ বাহু AC এর দুই পাশে অবস্থিত। ∠BAC এবং ∠DAC পরস্পর সমান হলে, এদের প্রত্যেকটিকে সমকোণ বলে। AC ও BD বাহুদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।

এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। চিত্রে ∠AOC সূক্ষ্মকোণ এবং ∠AOD স্থূলকোণ। এখানে ∠AOB এক সমকোণ।

দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ।

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ। পাশের চিত্রে, ∠AOB একটি সমকোণ। OC রশ্মি কোণটির বাহুদ্বয়ের অভ্যন্তরে অবস্থিত। এর ফলে ∠AOC এবং ∠COB এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির পরিমাপের যোগফল ∠AOB এর পরিমাপের সমান, অর্থাৎ এক সমকোণ। ∠AOC এবং ∠COB পরস্পর পূরক কোণ।

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ হলে কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ। পাশের চিত্রে, O, AB সরলরেখার অন্তঃস্থ একটি বিন্দু। OC একটি রশ্মি যা OA রশ্মি ও OB রশ্মি থেকে ভিন্ন। এর ফলে ∠AOC এবং ∠COB এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির পরিমাপের যোগফল ∠AOB কোণের পরিমাপের সমান, অর্থাৎ দুই সমকোণ, কেননা ∠AOB একটি সরলকোণ। ∠AOC এবং ∠COB পরস্পর সম্পূরক কোণ।

চিত্রে: ∠ABD ও ∠CBD পরস্পর সম্পূরক কোণ $\because$ ∠ABD + ∠CBD = ১৮০°

কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ তৈরি করে তা ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ। চিত্রে OA ও OB পরস্পর বিপরীত রশ্মি। আবার OC ও OD পরস্পর বিপরীত রশ্মি। ∠BOD ও ∠AOC পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।

আবার ∠BOC ও ∠DOA একটি অপরটির বিপ্রতীপ কোণ। দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়।

সমান্তরাল সরলরেখা (Parallel Straight Lines)

যে দুটি বা একাধিক সরলরেখা একই সমতলে অবস্থান করে এবং কখনোই পরস্পরকে ছেদ করে না, তাদেরকে সমান্তরাল সরলরেখা বলা হয়।

চিহ্ন

সমান্তরাল রেখা বোঝাতে প্রতীক ব্যবহার করা হয়:

$\text{AB}\parallel \text{CD}$

সংজ্ঞা

যদি দুটি রেখা একই সমতলে থেকে একে অপরকে কখনো ছেদ না করে, তবে তারা সমান্তরাল।

সমান্তরাল রেখার বৈশিষ্ট্য

• একই সমতলে অবস্থান করে
• কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না
• দূরত্ব সর্বদা সমান থাকে

সমান্তরাল রেখা ও ছেদকের সম্পর্ক

যদি একটি সরলরেখা দুইটি সমান্তরাল রেখাকে ছেদ করে, তবে বিভিন্ন ধরনের কোণ সৃষ্টি হয়:

• সমসঙ্গত কোণ (Corresponding angles)
• অন্তঃস্থ বিপ্রতীপ কোণ (Alternate interior angles)
• অন্তঃস্থ একই পার্শ্বের কোণ (Co-interior angles)

গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য

১. সমসঙ্গত কোণ উপপাদ্য

যদি একটি ছেদক দুইটি সমান্তরাল রেখাকে ছেদ করে, তবে সমসঙ্গত কোণ দুটি সমান হয়।

$\mathrm{\angle 1}=\mathrm{\angle 2}$

২. অন্তঃস্থ বিপ্রতীপ কোণ উপপাদ্য

সমান্তরাল রেখার ক্ষেত্রে বিপরীত পাশে অবস্থিত অন্তঃস্থ কোণ দুটি সমান হয়।

$\mathrm{\angle 3}=\mathrm{\angle 4}$

৩. অন্তঃস্থ একই পার্শ্বের কোণ

সমান্তরাল রেখার ক্ষেত্রে একই পাশে অবস্থিত অন্তঃস্থ কোণগুলোর যোগফল 180° হয়।

$\mathrm{\angle A}+\mathrm{\angle B}=180°$

উদাহরণ

যদি AB ∥ CD এবং একটি ছেদক তাদের ছেদ করে, তবে সংশ্লিষ্ট কোণসমূহ সমান হবে।

মনে রাখার সহজ নিয়ম

• Corresponding = সমান
• Alternate = সমান
• Co-interior = 180°

গুরুত্ব

• জ্যামিতিক প্রমাণে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ
• ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত
• ইঞ্জিনিয়ারিং ও নকশায় ব্যবহৃত হয়

ত্রিভুজ (Triangle)

তিনটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র একটি ত্রিভুজ। রেখাংশগুলোকে ত্রিভুজের বাহু বলে। যেকোনো দুইটি বাহুর সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়। ত্রিভুজের যেকোনো দুইটি বাহু শীর্ষবিন্দুতে কোণ উৎপন্ন করে। ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তিনটি কোণ রয়েছে।

বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার: সমবাহু, সমদ্বিবাহু ও বিষমবাহু।

আবার কোণভেদেও ত্রিভুজ তিন প্রকার: সূক্ষ্মকোণী, স্থূলকোণী ও সমকোণী ।

ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে। ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।

ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে। আবার, যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব- স্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।

পাশের চিত্রে ABC একটি ত্রিভুজ। A, B, C এর তিনটি শীর্ষবিন্দু। AB, BC, CA এর তিনটি বাহু এবং ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB এর তিনটি কোণ। AB, BC, CA বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল ত্রিভুজটির পরিসীমা।

ত্রিভুজের প্রকারভেদ (Types of Triangle)

ত্রিভুজ হলো এমন একটি জ্যামিতিক আকৃতি যার তিনটি বাহু, তিনটি কোণ এবং তিনটি শীর্ষবিন্দু থাকে।

ত্রিভুজকে প্রধানত দুইভাবে শ্রেণিবিভাগ করা যায়: বাহুর ভিত্তিতে এবং কোণের ভিত্তিতে।

১. বাহুর ভিত্তিতে ত্রিভুজের প্রকারভেদ

সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle)

যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই সমান, তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে।

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$

বৈশিষ্ট্য:

• প্রতিটি কোণ 60°
• তিন বাহুই সমান

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle)

যে ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে।

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$

বৈশিষ্ট্য:

• দুটি বাহু সমান
• ভিত্তিকোণ দুটি সমান

বিষমবাহু ত্রিভুজ (Scalene Triangle)

যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই ভিন্ন, তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।

$\mathrm{AB}\ne \mathrm{BC}\ne \mathrm{CA}$

বৈশিষ্ট্য:

• সব বাহু ভিন্ন
• সব কোণ ভিন্ন

২. কোণের ভিত্তিতে ত্রিভুজের প্রকারভেদ

সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ (Acute-angled Triangle)

যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই 90° এর কম, তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।

$\mathrm{\angle A}<90°,\mathrm{\angle B}<90°,\mathrm{\angle C}<90°$

সমকোণী ত্রিভুজ (Right-angled Triangle)

যে ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হয়, তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

$\mathrm{\angle A}=90°$

বৈশিষ্ট্য:

• পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রযোজ্য
• একটি অতিভুজ থাকে

স্থূলকোণী ত্রিভুজ (Obtuse-angled Triangle)

যে ত্রিভুজের একটি কোণ 90° এর বেশি, তাকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে।

$\mathrm{\angle A}>90°$

মনে রাখার সহজ উপায়

• 3 সমান বাহু → সমবাহু
• 2 সমান বাহু → সমদ্বিবাহু
• সব ভিন্ন → বিষমবাহু
• 1টি 90° → সমকোণী

যে ত্রিভুজের তিনটি বাহু সমান তা সমবাহু ত্রিভুজ। পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজের AB = BC = CA। অর্থাৎ বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য সমান। ABC ত্রিভুজটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ।

যে ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান তা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজের AB = AC ≠ BC। অর্থাৎ দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, যাদের কোনোটিই তৃতীয় বাহুর সমান নয়। ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

বিষমবাহু ত্রিভুজ (Scalene triangle)

যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর অসমান তা বিষমবাহু ত্রিভুজ। পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজের AB, BC, CA বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য পরস্পর অসমান। ABC ত্রিভুজটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।

যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পরস্পর অসমান, তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলে।

$\mathrm{AB}\ne \mathrm{BC}\ne \mathrm{CA}$

সংজ্ঞা

যে ত্রিভুজের কোনো দুটি বাহু সমান নয় এবং কোনো দুটি কোণও সমান নয়, তাকে বিষমবাহু ত্রিভুজ বলা হয়।

বৈশিষ্ট্য

• তিনটি বাহুই ভিন্ন দৈর্ঘ্যের
• তিনটি কোণও ভিন্ন হয়
• কোনো সমমিতি থাকে না

কোণ সম্পর্ক

যে কোনো ত্রিভুজের মতোই বিষমবাহু ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল 180°।

$A+B+C=180°$

উদাহরণ ১

ধরা যাক একটি ত্রিভুজের বাহুগুলো হলো:

$\mathrm{AB}=5\text{cm},\mathrm{BC}=6\text{cm},\mathrm{CA}=7\text{cm}$

যেহেতু তিনটি বাহুই ভিন্ন, তাই এটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।

উদাহরণ ২

ধরা যাক একটি ত্রিভুজের বাহুগুলো হলো:

$\mathrm{AB}=3\text{cm},\mathrm{BC}=4\text{cm},\mathrm{CA}=5\text{cm}$

এটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ এবং একই সাথে এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ (পিথাগোরাস অনুযায়ী)।

যে ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ সূক্ষ্মকোণ, তা সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ। ABC ত্রিভুজে ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA কোণ তিনটির প্রত্যেকে সূক্ষ্মকোণ। অর্থাৎ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ 90° অপেক্ষা কম। AABC একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

এককথায়ঃ যে ত্রিভুজের তিনটি কোণই 90° এর চেয়ে ছোট, তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।

$\mathrm{\angle A}<90°,\mathrm{\angle B}<90°,\mathrm{\angle C}<90°$

সংজ্ঞা

যে ত্রিভুজের প্রতিটি কোণই সূক্ষ্ম (90° এর কম), তাকে সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ বলে।

বৈশিষ্ট্য

• তিনটি কোণই 90° এর কম
• সব কোণের যোগফল 180°
• ত্রিভুজের আকৃতি তুলনামূলকভাবে “নোকালো” বা তীক্ষ্ণ হয়

$A+B+C=180°$

উদাহরণ ১

ধরা যাক একটি ত্রিভুজের কোণগুলো হলো:

$\mathrm{\angle A}=50°,\mathrm{\angle B}=60°,\mathrm{\angle C}=70°$

সবগুলো কোণ 90° এর কম, তাই এটি একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

উদাহরণ ২

আরেকটি ত্রিভুজের কোণ:

$\mathrm{\angle A}=40°,\mathrm{\angle B}=65°,\mathrm{\angle C}=75°$

এটিও একটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ।

মনে রাখার সহজ উপায়

• সব কোণ < 90° → সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
• সব কোণ “ছোট ও তীক্ষ্ণ” হয়

যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ, তা সমকোণী ত্রিভুজ। DEF ত্রিভুজে ∠DFE সমকোণ, অপর কোণ দুইটি ∠DEF ও ∠EDF প্রত্যেকে সূক্ষ্মকোণ। ∠DER একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

যে ত্রিভুজের একটি কোণ 90° হয়, তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।

$\mathrm{\angle A}=90°$

সংজ্ঞা

যে ত্রিভুজে একটি কোণ সমকোণ (90°) থাকে এবং বাকি দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ হয়, তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।

বৈশিষ্ট্য

• একটি কোণ 90° হয়
• 90° কোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ (Hypotenuse) বলে
• অতিভুজ সর্বদা সবচেয়ে বড় বাহু হয়
• বাকি দুই বাহুকে ভূমি (Base) ও লম্ব (Perpendicular) বলা হয়

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

$c^2=a^2+b^2$

এখানে, c = অতিভুজ, a = লম্ব, b = ভূমি

উদাহরণ ১

যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজে,

$a=3\text{cm},b=4\text{cm}$

তবে অতিভুজ হবে:

$c^2=3^2+4^2$$=9+16=25$$c=5$

যে ত্রিভুজের একটি কোণ স্থূলকোণ, তা স্থূলকোণী ত্রিভুজ। GHK ত্রিভুজে ∠GKH একটি স্থূলকোণ, অপর কোণ দুইটি ∠GHK ও ∠HGK প্রত্যেকে সূক্ষ্মকোণ। ∠GHK একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ।

যে ত্রিভুজের একটি কোণ 90° এর চেয়ে বড় (অর্থাৎ স্থূলকোণ) হয়, তাকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।

$\mathrm{\angle A}>90°$

সংজ্ঞা

যে ত্রিভুজে একটি কোণ 90° এর বেশি এবং বাকি দুটি কোণ 90° এর কম থাকে, তাকে স্থূলকোণী ত্রিভুজ বলে।

বৈশিষ্ট্য

• একটি কোণ 90° এর বেশি হয়
• বাকি দুই কোণ সূক্ষ্মকোণ হয়
• সব কোণের যোগফল 180°

$A+B+C=180°$

উদাহরণ ১

ধরা যাক একটি ত্রিভুজের কোণগুলো হলো:

$\mathrm{\angle A}=100°,\mathrm{\angle B}=40°,\mathrm{\angle C}=40°$

এখানে একটি কোণ 90° এর বেশি, তাই এটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ।

উদাহরণ ২

আরেকটি ত্রিভুজের কোণ:

$\mathrm{\angle A}=120°,\mathrm{\angle B}=30°,\mathrm{\angle C}=30°$

এটিও একটি স্থূলকোণী ত্রিভুজ।

কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তা ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ । এই কোণের সন্নিহিত কোণটি ছাড়া ত্রিভুজের অপর দুইটি কোণকে এই বহিঃস্থ কোণের বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ বলে।

উপরের চিত্রে, ∠ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। ∠ACD ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ। ∠ABC, ∠BAC ও ∠ACB ত্রিভুজটির তিনটি অন্তঃস্থ কোণ। ∠ACB কে ∠ACD এর প্রেক্ষিতে সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণ বলা হয়। ∠ABC ও ∠BAC এর প্রত্যেককে ∠ACD এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ বলা হয়।

একটি ত্রিভুজকে অপর একটি ত্রিভুজের উপর স্থাপন করলে যদি ত্রিভুজ দুইটি সর্বতোভাবে মিলে যায়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয় । সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও অনুরূপ কোণগুলো সমান।

উপরের চিত্রে ∆ABC ও ∆DEF সর্বসম। ∆ABC ও ∆DEF সর্বসম হলে এবং A, B, C শীর্ষ যথাক্রমে D, E, F শীর্ষের উপর পতিত হলে AB = DE, AC = DF, BC = EF এবং ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F হবে। ∠ABC ও ∠DEF সর্বসম বোঝাতে ∠ABC ≅ ∠DEF লেখা হয়।

দুইটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য সমান হলে রেখাংশ দুইটি সর্বসম। আবার বিপরীতভাবে, দুইটি রেখাংশ সর্বসম হলে এদের দৈর্ঘ্য সমান।

দুইটি কোণের পরিমাপ সমান হলে কোণ দুইটি সর্বসম। আবার বিপরীতভাবে, দুইটি কোণ সর্বসম হলে এদের পরিমাপও সমান।

বাহু ও কোণের সর্বসমতা (Congruence of Sides and Angles)

যখন দুইটি জ্যামিতিক আকৃতির বাহু ও কোণ পরস্পরের সমান হয় এবং একটিকে অন্যটির উপর সম্পূর্ণভাবে স্থাপন করা যায়, তখন তাদের সর্বসম বলা হয়।

সর্বসমতার চিহ্ন

$\cong$

যেমন,

$\mathrm{△ABC}\cong \mathrm{△DEF}$

অর্থাৎ △ABC এবং △DEF সর্বসম।

বাহুর সর্বসমতা

যদি দুইটি ত্রিভুজের সংশ্লিষ্ট বাহুগুলো সমান হয়, তবে বাহুগুলো সর্বসম হবে।

উদাহরণ

$\mathrm{AB}=\mathrm{DE}$
$\mathrm{BC}=\mathrm{EF}$
$\mathrm{CA}=\mathrm{FD}$

তাহলে সংশ্লিষ্ট বাহুগুলো সর্বসম।

কোণের সর্বসমতা

যদি দুইটি কোণের পরিমাপ সমান হয়, তবে কোণ দুটি সর্বসম হবে।

উদাহরণ

$\mathrm{\angle A}=\mathrm{\angle D}$
$\mathrm{\angle B}=\mathrm{\angle E}$
$\mathrm{\angle C}=\mathrm{\angle F}$

তাহলে সংশ্লিষ্ট কোণগুলো সর্বসম।

ত্রিভুজের সর্বসমতার শর্তসমূহ

১. বাহু-বাহু-বাহু (SSS)

যদি দুইটি ত্রিভুজের তিনটি সংশ্লিষ্ট বাহু সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে।

উদাহরণ:

$\mathrm{AB}=\mathrm{DE},\mathrm{BC}=\mathrm{EF},\mathrm{CA}=\mathrm{FD}$

তাহলে,

$\mathrm{△ABC}\cong \mathrm{△DEF}$

২. বাহু-কোণ-বাহু (SAS)

যদি দুইটি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে।

৩. কোণ-বাহু-কোণ (ASA)

যদি দুইটি কোণ এবং তাদের মধ্যবর্তী বাহু সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে।

৪. সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে RHS

যদি দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ এবং একটি বাহু সমান হয়, তবে তারা সর্বসম হবে।

বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• স্থাপত্য ও নকশা তৈরিতে
• জ্যামিতিক প্রমাণে
• ইঞ্জিনিয়ারিং ডিজাইনে

মনে রাখার সহজ উপায়

• সব সমান → সর্বসম
• SSS → তিন বাহু সমান
• SAS → দুই বাহু ও মাঝের কোণ সমান
• ASA → দুই কোণ ও মাঝের বাহু সমান

ত্রিভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems Related to Triangle)

ত্রিভুজের বাহু, কোণ ও বিভিন্ন সম্পর্ক নিয়ে যেসব গাণিতিক সত্য প্রমাণিত হয়েছে, সেগুলোকে ত্রিভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য বলা হয়।

১. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°

যে কোনো ত্রিভুজের অন্তঃকোণ তিনটির সমষ্টি সর্বদা 180°।

$\mathrm{\angle A}+\mathrm{\angle B}+\mathrm{\angle C}=180°$

উদাহরণ

যদি একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ 50° এবং 60° হয়, তবে তৃতীয় কোণ হবে:

$180°-50°-60°=70°$

২. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়

ত্রিভুজ গঠনের জন্য যেকোনো দুই বাহুর যোগফল অবশ্যই তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

$a+b>c$

উদাহরণ

যদি তিনটি বাহু 3 cm, 4 cm ও 5 cm হয়:

$3+4>5$

অতএব ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

৩. বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তর হয়

ত্রিভুজে যে বাহু সবচেয়ে বড়, তার বিপরীত কোণও সবচেয়ে বড় হবে।

উদাহরণ

যদি,

$\mathrm{AB}>\mathrm{BC}$

তবে,

$\mathrm{\angle C}>\mathrm{\angle A}$

৪. সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান

যদি ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান হয়, তবে ঐ বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণও সমান হবে।

উদাহরণ

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$

তাহলে,

$\mathrm{\angle B}=\mathrm{\angle C}$

৫. সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান

যদি দুইটি কোণ সমান হয়, তবে তাদের বিপরীত বাহুও সমান হবে।

উদাহরণ

$\mathrm{\angle B}=\mathrm{\angle C}$

তাহলে,

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$

৬. বহিঃকোণ উপপাদ্য

ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণ তার বিপরীত দুই অন্তঃকোণের সমষ্টির সমান।

$\mathrm{\angle ACD}=\mathrm{\angle A}+\mathrm{\angle B}$

উদাহরণ

যদি ∠A = 50° এবং ∠B = 60° হয়,

$\mathrm{\angle ACD}=50°+60°=110°$

৭. পিথাগোরাসের উপপাদ্য

সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

$c^2=a^2+b^2$

উদাহরণ

যদি a = 3 cm এবং b = 4 cm হয়,

$c^2=9+16=25$

অতএব,

$c=5$

মনে রাখার সহজ উপায়

• তিন কোণের যোগফল = 180°
• বড় বাহু ↔ বড় কোণ
• সমান বাহু ↔ সমান কোণ
• বহিঃকোণ = বিপরীত দুই অন্তঃকোণের যোগফল

উপপাদ্য ১. একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে অপর একটি রশ্মি মিলিত হলে, যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এদের সমষ্টি দুই সমকোণ।

প্রমাণ : মনে করি, AB সরলরেখাটির O বিন্দুতে OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়েছে। ফলে ZAOC ও LCOB দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হল। AB রেখার উপর DO লম্ব আঁকি। সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি

= ∠AOC + ∠COB = ∠AOD + ∠DOC + ∠COB

= ∠AOD + ∠DOB = 2 সমকোণ।

উপপাদ্য ২. দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে, উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

মনে করি, AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে O বিন্দুতে ∠AOC, ∠COB, ∠BOD, ∠AOD কোণ উৎপন্ন হয়েছে।

∠AOC বিপ্রতীপ ∠BOD এবং ∠COB = বিপ্রতীপ ∠AOD I

উপপাদ্য ৩. দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন

ক) প্রত্যেক অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হবে।

খ) প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।

গ) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক।

চিত্রে, AB || CD এবং PQ ছেদক এদের যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।

সুতরাং,

ক) ∠PEB = অনুরূপ ∠EFD [সংজ্ঞানুসারে]

খ) ∠AEF = একান্তর ∠EFD

গ)∠BEF + ∠EFD = দুই সমকোণ

উপপাদ্য ৪. দুইটি সরলরেখা অপর একটি সরলরেখাকে ছেদ করলে যদি

ক) অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান হয়, অথবা

খ) একান্তর কোণগুলো পরস্পর সমান হয়, অথবা

গ) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের যোগফল দুই সমকোণের সমান হয়, তবে ঐ সরলরেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।

চিত্রে, AB ও CD রেখাদ্বয়কে PQ রেখা যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং

ক) ∠PEB = অনুরূপ ∠EFD অথবা,

খ) ∠AEF একান্তর ∠EFD অথবা,

গ) ∠BEF + ∠EFD দুই সমকোণ।

সুতরাং, AB ও CD রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।

অনুসিদ্ধান্ত ১. যেসব সরলরেখা একই সরলরেখার সমান্তরাল সেগুলো পরস্পর সমান্তরাল।

উপপাদ্য ৫. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান।

মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। ত্রিভুজটির ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = দুই সমকোণ।

C বিন্দু দিয়ে CE আঁকি যাতে AB || CE হয়। এবার ∠ABC ∠ECD [অনুরূপ কোণ বলে]

এবং ∠BAC = ∠ACE [একান্তর কোণ বলে]

$\therefore$ ∠ABC + ∠BAC = ∠ECD + ∠ACE = ∠ACD

∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠ACD + ∠ACB দুই সমকোণ

অনুসিদ্ধান্ত ২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

অনুসিদ্ধান্ত ৩. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।

অনুসিদ্ধান্ত ৪. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক।

উপপাদ্য ৬. (বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য)

যদি দুইটি ত্রিভুজের একটির দুই বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমান হয় এবং বাহু দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ দুইটি পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম।

মনে করি, ∆ABC ও ∆DEF এ AB = DE, BC = EF এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ABC অন্তর্ভুক্ত ∠DEF ।

তাহলে, ∆ABC ≅ ∆DEF |

উপপাদ্য ৭. যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান হবে।

মনে করি, ABC ত্রিভুজে AB AC ।

তাহলে, ∠ABC = ∠ACB

উপপাদ্য ৮. যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত বাহু দুইটিও পরস্পর সমান হবে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC ত্রিভুজে ∠ABC = ∠ACB

প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC ।

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. যদি AB = AC হয়, তবে (i) AB > AC অথবা (i) AB < AC হবে।

মনে করি, (i) AB > AC AB থেকে AC এর সমান AD কেটে নিই। এখন, ADC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু। সুতরাং

∠ADC = ∠ACD [$\therefore$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান]

∆DBC এর বহিঃস্থ কোণ ∠ADC > ∠ABC [$\therefore$ বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর]

$\therefore$ ∠ACD > ∠ABC । সুতরাং, ∠ACB > ∠ABC, কিন্তু তা প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ ২. অনুরূপভাবে, (ii) AB < AC হলে দেখানো যায় যে

∠ABC > ∠ACB, কিন্তু তাও প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ ৩. সুতরাং, AB > AC অথবা AB < AC হতে পারে না।

$\therefore$ AB = AC (প্রমাণিত)

উপপাদ্য ৯. (বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য)

যদি একটি ত্রিভুজের তিন বাহু অপর একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হবে।

মনে করি, ∆ABC এবং ∆DEF এ AB = DE, AC = DF এবং BC = EF তাহলে, AABC = ADEF |

উপপাদ্য ১০. (কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য)

যদি একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও এদের সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে অপর একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও তাদের সংলগ্ন বাহুর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হবে।

মনে করি, ∆ABC এবং ∆DEF-এ ∠B = ∠E, ∠C = ∠F এবং কোণদ্বয়ের সংলগ্ন BC বাহু = অনুরূপ EF বাহু। তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম, অর্থাৎ ∆ABC ≅ ∆DEF

উপপাদ্য ১১. (অতিভুজ-বাহু উপপাদ্য)

দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজদ্বয় সমান হলে এবং একটির এক বাহু অপরটির অপর এক বাহুর সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় সৰ্বসম।

∆ABC এবং ∆DEF সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ে অতিভুজ AC অতিভুজ DF এবং AB = DE । তাহলে, = ∆ABC = ∆DEF

উপপাদ্য ১২. কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

মনে করি, ∆ABC এ AC > AB । সুতরাং ∠ABC > ∠ACB

উপপাদ্য ১৩. কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ∠ABC এর ∠ABC > ∠ACB । প্রমাণ করতে হবে যে, AC > AB

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. যদি AC বাহু AB বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর না হয়, তবে (i) AC = AB অথবা (ii) AC < AB হবে।

(i) যদি AC = AB হয়, তবে ∠ABC ∠ACB [$\because$সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণদ্বয় সমান]

কিন্তু শর্তানুযায়ী ∠ABC > ∠ACB, তা প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ii) আবার, যদি AC < AB হয়, তবে ∠ABC < ∠ACB হবে। [$\because$ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর]

কিন্তু তাও প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ ২. সুতরাং, AC বাহু AB এর সমান বা AB থেকে ক্ষুদ্রতর হতে পারে না।

$\therefore$ AC > AB (প্রমাণিত)।

উপপাদ্য ১৪. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। ধরি, BC ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু। তাহলে, AB + AC > BC ।

অনুসিদ্ধান্ত ৫. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। ∆ABC এর যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। তাহলে, AB – AC < BC।

উপপাদ্য ১৫. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু। তাহলে, প্রমাণ করতে হবে যে DE || BC এবং $DE=\frac{1}{2}BC$ ।

অঙ্কন: D ও E যোগ করে বর্ধিত করি যেন EF = DE হয়। C, F যোগ করি।

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. ∆ADE ও ∆CEF এর মধ্যে, AE = EC [দেওয়া আছে]

DE = EF [অঙ্কনানুসারে]

অন্তর্ভূক্ত ∠AED অন্তর্ভূক্ত ∠CEF [বিপ্রতীপ কোণ]

$\therefore$ ∆ADE ≅ ∆CEF [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

$\therefore$ ∠ADE = ∠EFC [একান্তর কোণ]

$\therefore$ AD || CF

আবার, BD = AD = CF এবং BD || CF ।

সুতরাং BDFC একটি সামান্তরিক।

$\therefore$ DF || BC বা DE || BC ।

ধাপ ২. আবার, DF = BC বা DE + EF = BC

বা DE + DE BC বা 2DE = BC বা $DE=\frac{1}{2}BC$

$\therefore$ DE || BC এবং $DE=\frac{1}{2}BC$ (প্রমাণিত)।

উপপাদ্য ১৬. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean Theorem)

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC সমকোণ এবং AC অতিভুজ। তাহলে, $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রয়োগ (Application of Pythagoras Theorem)

পিথাগোরাসের উপপাদ্য জ্যামিতির একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম, যা সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর সম্পর্ক নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।

উপপাদ্য

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

$c^2=a^2+b^2$

এখানে, c = অতিভুজ, a ও b = অপর দুই বাহু।

প্রয়োগের ক্ষেত্রসমূহ

• দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়
• ভূমির ঢাল বা উচ্চতা নির্ণয়
• ইঞ্জিনিয়ারিং ও স্থাপত্যে পরিমাপ
• মানচিত্র ও নেভিগেশনে ব্যবহার

১. সরাসরি বাহু নির্ণয়

যদি দুইটি বাহু জানা থাকে, তবে তৃতীয় বাহু নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ:

যদি a = 3 এবং b = 4 হয়, তবে

$c^2=3^2+4^2$$=9+16=25$$c=5$

২. দূরত্ব নির্ণয় (Coordinate Geometry)

দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়।

ধরি, দুটি বিন্দু

$A(x_1,y_1)$
$B(x_2,y_2)$

দূরত্ব সূত্র

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$(y₂-y₁) 2

৩. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ

• সিঁড়ির দৈর্ঘ্য নির্ণয়
• ভবনের উচ্চতা নির্ণয়
• রাস্তার ঢাল নির্ণয়
• ড্রোন বা বিমানের দূরত্ব নির্ধারণ

গুরুত্বপূর্ণ কথা

• শুধুমাত্র সমকোণী ত্রিভুজে প্রযোজ্য
• সব সময় অতিভুজ সবচেয়ে বড় বাহু
• গণিত ও প্রকৌশলে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

উদাহরণ ১. ∆ABC এর AB AC, BA কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন AD = AC হয়। C, D যোগ করা হল।

ক) উদ্দীপকের ভিত্তিতে চিত্র আঁক।

খ) প্রমাণ কর যে, BC + CD > 2AC

গ) প্রমাণ কর যে, ∠BCD = এক সমকোণ।

সমাধান :

ক)

খ) দেওয়া আছে AB = AC এবং অঙ্কন অনুসারে AC = AD

∆BCD এ

BC + CD > BD [ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, BC + CD > AB + AD

বা, BC + CD > AD + AD

বা, BC + CD > 2AD

$\therefore$ BC + CD > 2AC [$\because$ AB = AC = AD]

গ) দেওয়া আছে AB = AC সুতরাং ∠ABC = ∠ACB

অর্থাৎ ∠DBC = ∠ACB

অঙ্কন অনুসারে AC = AD সুতরাং ∠ADC = ∠ACD

অর্থাৎ ∠BDC = ∠ACD

∆BCD এ

∠BDC + ∠DBC + ∠BCD = দুই সমকোণ [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই কোণের সমান]

বা, ∠ACD + ∠ACB + ∠BCD = দুই সমকোণ

বা, ∠BCD + ∠BCD = দুই সমকোণ

$\therefore$ ∠BCD = এক সমকোণ।

উদাহরণ ২. PQR একটি ত্রিভুজ। PA, QB ও RC তিনটি মধ্যমা O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে চিত্র আঁক।

খ) প্রমাণ কর যে, PQ + PR > QO + RO

গ) প্রমাণ কর যে, PA + QB + RC < PQ + QR + PR

সমাধান :

ক)

খ) চিত্র ‘ক’ থেকে প্রমাণ করতে হবে যে, PQ + PR > QO + RO

প্রমাণ : ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার ৩য় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর

∆PQB এ PQ + PB > QB

আবার ∆BOR এ BR + BO > RO

$\therefore$ PQ + PB + BR + BO > QB + RO

বা, PQ + PR+ BO > QO + OB + RO

$\therefore$ PQ + PR > QO + RO

গ) অঙ্কন : PA কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন PA = AD হয়। Q, D যোগ করি।

প্ৰমাণ :

∆QAD এবং ∆PAR এ

QA = AR, AD = PA

এবং অন্তর্ভুক্ত ∠QAD = অন্তর্ভুক্ত ∠PAR

$\therefore$ ∆QAD = ∆PAR এবং QD = PR

এখন, ∆PQD এ PQ + QD > PD

বা, PQ + PR > 2PA [$\because$ A, PD এর মধ্যবিন্দু]

একইভাবে, PQ + QR > 2QB এবং PR + QR > 2RC

$\therefore$ PQ + PR + PQ + QR + PR + QR > 2PA + 2QB + 2RC

বা, 2PQ + 2QR + 2PR > 2PA + 2QB + 2RC

বা, PQ + QR + PR > PA + QB + RC

$\therefore$ PA + QB + RC < PQ + QR + PR

চারটি রেখাংশ দ্বারা আবদ্ধ চিত্র একটি চতুর্ভুজ। চিত্র দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রটি একটি চতুর্ভুজক্ষেত্র।

চতুর্ভুজের চারটি বাহু আছে। যে চারটি রেখাংশ দ্বারা ক্ষেত্রটি আবদ্ধ হয়, এ চারটি রেখাংশই চতুর্ভুজের বাহু।

A, B, C ও D বিন্দু চারটির যেকোনো তিনটি সমরেখ নয়। AB, BC, CD ও DA রেখাংশ চারটি সংযোগে ABCD চতুর্ভুজ গঠিত হয়েছে। AB, BC, CD ও DA চতুর্ভুজটির চারটি বাহু। A, B, C ও D চারটি কৌণিক বিন্দু বা শীর্ষবিন্দু ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA ও ∠DAB চতুর্ভুজের চারটি কোণ। A ও B শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে C ও D শীর্ষের বিপরীত শীর্ষবিন্দু। AB ও CD পরস্পর বিপরীত বাহু এবং AD ও BC পরস্পর বিপরীত বাহু। এক শীর্ষবিন্দুতে যে দুইটি বাহু মিলিত হয়, এরা সন্নিহিত বাহু। যেমন, AB ও BC বাহু দুইটি সন্নিহিত বাহু। AC ও BD রেখাংশদ্বয় ABCD চতুর্ভুজের দুইটি কর্ণ। চতুর্ভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে এর পরিসীমা বলে। ABCD চতুর্ভুজের পরিসীমা (AB + BC + CD + DA) এর দৈর্ঘ্যের সমান। চতুর্ভুজকে অনেক সময় ‘☐’ প্রতীক দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

চতুর্ভুজের প্রকারভেদ (Types of Quadrilaterals)

চারটি বাহু ও চারটি কোণ দ্বারা গঠিত বন্ধ জ্যামিতিক আকৃতিকে চতুর্ভুজ (Quadrilateral) বলে। একটি চতুর্ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণসমূহের সমষ্টি সর্বদা ৩৬০°।

চতুর্ভুজের সাধারণ বৈশিষ্ট্য

• চারটি বাহু থাকে
• চারটি কোণ থাকে
• দুটি কর্ণ থাকে
• অভ্যন্তরীণ কোণসমূহের সমষ্টি = ৩৬০°

১. সামান্তরিক (Parallelogram)

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল ও সমান, তাকে সামান্তরিক বলে।

বৈশিষ্ট্য

• বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল
• বিপরীত কোণ সমান
• কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

উদাহরণ: আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, রম্বস

২. আয়তক্ষেত্র (Rectangle)

যে সামান্তরিকের চারটি কোণই সমকোণ (৯০°), তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

বৈশিষ্ট্য

• সব কোণ ৯০°
• বিপরীত বাহু সমান
• কর্ণদ্বয় সমান
• কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

উদাহরণ: বইয়ের পৃষ্ঠা, দরজার আকৃতি

৩. বর্গক্ষেত্র (Square)

যে আয়তক্ষেত্রের চারটি বাহুই সমান, তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

বৈশিষ্ট্য

• চারটি বাহু সমান
• চারটি কোণই ৯০°
• কর্ণদ্বয় সমান
• কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং লম্বভাবে ছেদ করে

উদাহরণ: দাবার ঘর, টাইলস

৪. রম্বস (Rhombus)

যে সামান্তরিকের চারটি বাহুই সমান কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নাও হতে পারে, তাকে রম্বস বলে।

বৈশিষ্ট্য

• চারটি বাহু সমান
• বিপরীত কোণ সমান
• কর্ণদ্বয় লম্বভাবে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

উদাহরণ: ঘুড়ির বিশেষ আকৃতি

৫. ট্রাপিজিয়াম (Trapezium)

যে চতুর্ভুজের কেবল একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

বৈশিষ্ট্য

• একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল
• অন্য দুই বাহু অসমান্তরাল

উদাহরণ: সেতুর পার্শ্ব নকশা

৬. সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম (Isosceles Trapezium)

যে ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বলে।

বৈশিষ্ট্য

• অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান
• ভিত্তিকোণসমূহ সমান
• কর্ণদ্বয় সমান

৭. ঘুড়ি (Kite)

যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান, তাকে ঘুড়ি বলে।

বৈশিষ্ট্য

• দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান
• একজোড়া বিপরীত কোণ সমান
• একটি কর্ণ অপর কর্ণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

উদাহরণ: খেলনার ঘুড়ি

চতুর্ভুজের কোণসমষ্টি

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360°$

উদাহরণ

একটি চতুর্ভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে ৮০°, ৯০° ও ১০০° হলে চতুর্থ কোণ নির্ণয় করি।

$x=360°-(80°+90°+100°)$$x=90°$

মনে রাখার উপায়

• সব বর্গক্ষেত্র আয়তক্ষেত্র এবং রম্বস
• সব আয়তক্ষেত্র সামান্তরিক
• সব রম্বস সামান্তরিক
• সব সামান্তরিক চতুর্ভুজ, কিন্তু সব চতুর্ভুজ সামান্তরিক নয়

সামান্তরিক : যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল, তা সামান্তরিক। সামান্তরিকের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে সামান্তরিকক্ষেত্র বলে।

সামান্তরিক (Parallelogram)

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল ও সমান হয় তাকে সামান্তরিক বলে।

চিত্রের ধারণা

ধরি, ABCD একটি সামান্তরিক।

তাহলে,

• AB ∥ CD
• BC ∥ AD
• AB = CD
• BC = AD

সামান্তরিকের বৈশিষ্ট্য

• বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল হয়
• বিপরীত কোণসমূহ সমান হয়
• সন্নিহিত দুই কোণের সমষ্টি 180°
• কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
• প্রতিটি কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে

কোণের সম্পর্ক

যদি,

$\angle A=70°$

তবে,

$\angle C=70°$

এবং,

$\angle B=\angle D=110°$

কারণ সন্নিহিত দুই কোণের সমষ্টি 180°।

কর্ণের বৈশিষ্ট্য

যদি AC ও BD কর্ণ দুটি O বিন্দুতে ছেদ করে, তবে

$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}$

এবং

$\mathrm{BO}=\mathrm{OD}$

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল =

ভূমি $\times$ উচ্চতা

অর্থাৎ,

$A=bh$

যেখানে,

• b = ভূমির দৈর্ঘ্য
• h = উচ্চতা

উদাহরণ

একটি সামান্তরিকের ভূমি 12 সেমি এবং উচ্চতা 8 সেমি হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

$A=bh$

এখানে,

$b=12$

এবং

$h=8$

সুতরাং,

$A=12\times 8=96$

অতএব, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি।

সামান্তরিক নির্ণয়ের শর্ত

• যদি একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল হয়, তবে সেটি সামান্তরিক
• যদি কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তবে সেটি সামান্তরিক
• যদি বিপরীত কোণসমূহ সমান হয়, তবে সেটি সামান্তরিক

বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• বিল্ডিং ডিজাইন ও স্থাপত্যে
• টাইলস ও মেঝের নকশায়
• জ্যামিতিক অঙ্কন ও প্রকৌশলে
• বিভিন্ন যান্ত্রিক কাঠামো তৈরিতে

আয়ত : যে সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ, তাই আয়ত। আয়তের চারটি কোণ সমকোণ। আয়তের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে আয়তক্ষেত্র বলে।

আয়ত (Rectangle)

যে চতুর্ভুজের চারটি কোণই সমকোণ এবং বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল তাকে আয়ত বলে।

চিত্রের ধারণা

ধরি, ABCD একটি আয়ত।

তাহলে,

• AB ∥ CD
• BC ∥ AD
• AB = CD
• BC = AD
• প্রতিটি কোণ 90°

আয়তের বৈশিষ্ট্য

• চারটি কোণই সমকোণ হয়
• বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল হয়
• কর্ণদ্বয় সমান হয়
• কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
• প্রতিটি কর্ণ আয়তকে দুটি সর্বসম সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে

কর্ণের সম্পর্ক

যদি AC ও BD আয়তের দুটি কর্ণ হয়, তবে

$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$

এবং কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করলে,

$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}$

এবং

$\mathrm{BO}=\mathrm{OD}$

আয়তের পরিসীমা

আয়তের পরিসীমা =

২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

অর্থাৎ,

$P=2(l+w)$

আয়তের ক্ষেত্রফল

আয়তের ক্ষেত্রফল =

দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

অর্থাৎ,

$A=lw$

যেখানে,

• l = দৈর্ঘ্য
• w = প্রস্থ

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাহায্যে কর্ণ নির্ণয়

আয়তের কর্ণ নির্ণয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়।

$d^2=l^2+w^2$

অতএব,

$d=\sqrt{l^2+w^2}$

উদাহরণ ১

একটি আয়তের দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং প্রস্থ 6 সেমি হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

$A=lw$

এখানে,

$l=10$

এবং

$w=6$

সুতরাং,

$A=10\times 6=60$

অতএব, ক্ষেত্রফল 60 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি আয়তের দৈর্ঘ্য 8 সেমি এবং প্রস্থ 6 সেমি হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

$d^2=8^2+6^2$$d^2=64+36=100$

অতএব,

$d=10$

সুতরাং কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সেমি।

আয়ত নির্ণয়ের শর্ত

• যদি একটি সামান্তরিকের একটি কোণ 90° হয়, তবে সেটি আয়ত
• যদি একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সমান হয়, তবে সেটি আয়ত
• যদি চারটি কোণই সমকোণ হয়, তবে সেটি আয়ত

বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• দরজা, জানালা ও বইয়ের আকৃতি
• টেবিল, মোবাইল ও টিভি স্ক্রিন ডিজাইন
• স্থাপত্য ও প্রকৌশল কাজে
• জমির নকশা ও কক্ষ পরিকল্পনায়

রম্বস : রম্বস এমন একটি সামান্তরিক যার সন্নিহিত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান। অর্থাৎ, রম্বসের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল এবং চারটি বাহু সমান। রম্বসের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে রম্বসক্ষেত্র বলে।

যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই সমান এবং বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল, তাকে রম্বস বলে।

রম্বসকে সমবাহু সামান্তরিকও বলা হয়।

চিত্রের ধারণা

ধরি, ABCD একটি রম্বস।

তাহলে,

• AB = BC = CD = DA
• AB ∥ CD
• BC ∥ AD

রম্বসের বৈশিষ্ট্য

• চারটি বাহুই সমান হয়
• বিপরীত বাহুদ্বয় সমান্তরাল হয়
• বিপরীত কোণসমূহ সমান হয়
• সন্নিহিত দুই কোণের সমষ্টি 180°
• কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
• কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্বভাবে ছেদ করে
• প্রতিটি কর্ণ বিপরীত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

কর্ণের বৈশিষ্ট্য

যদি AC ও BD রম্বসের দুটি কর্ণ হয় এবং তারা O বিন্দুতে ছেদ করে, তবে

$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}$

এবং

$\mathrm{BO}=\mathrm{OD}$

আবার,

$\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$

অর্থাৎ কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।

রম্বসের পরিসীমা

রম্বসের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,

$P=4a$

যেখানে,

• P = পরিসীমা
• a = এক বাহুর দৈর্ঘ্য

রম্বসের ক্ষেত্রফল

রম্বসের কর্ণদ্বয় d₁ এবং d₂ হলে,

$A=\frac{d_1\times d_2}{2}$

অর্থাৎ,

ক্ষেত্রফল = ½ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ব্যবহার

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই এক বাহু নির্ণয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা যায়।

যদি বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে

$a^2={\left(\frac{d_1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d_2}{2}\right)}^2$

উদাহরণ ১

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 12 সেমি ও 16 সেমি হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

$A=\frac{12\times 16}{2}$$A=\frac{192}{2}=96$

অতএব, রম্বসটির ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি রম্বসের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সেমি এবং একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে অপর কর্ণ নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, অপর কর্ণ = d

তাহলে,

${\mathrm{13}}^2={\left(\frac{10}{2}\right)}^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2$$169=25+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2$${\left(\frac{d}{2}\right)}^2=144$$\frac{d}{2}=12$

অতএব,

$d=24$

সুতরাং অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 সেমি।

রম্বস নির্ণয়ের শর্ত

• যদি একটি সামান্তরিকের চারটি বাহুই সমান হয়, তবে সেটি রম্বস
• যদি একটি সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব হয়, তবে সেটি রম্বস
• যদি একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুই সমান হয়, তবে সেটি রম্বস

বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• ঘুড়ির আকৃতি তৈরিতে
• টাইলস ও নকশা ডিজাইনে
• স্থাপত্য ও অলংকরণে
• জ্যামিতিক ডিজাইন ও কারুকাজে

বর্গ : বর্গ এমন একটি আয়ত যার সন্নিহিত বাহুগুলো সমান। অর্থাৎ, বর্গ এমন একটি সামান্তরিক যার প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ এবং বাহুগুলো সমান। বর্গের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে বর্গক্ষেত্র বলে।

বর্গ (Square)

যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং চারটি কোণই সমকোণ (90°), তাকে বর্গ বলে।

অর্থাৎ, বর্গ হলো এমন একটি চতুর্ভুজ যার সকল বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ 90°।

চিত্রের ধারণা

ধরি, ABCD একটি বর্গ।

তাহলে,

• AB = BC = CD = DA
• ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
• AB ∥ CD এবং BC ∥ AD

বর্গের বৈশিষ্ট্য

• চারটি বাহুই সমান হয়
• চারটি কোণই সমকোণ হয়
• বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হয়
• কর্ণদ্বয় সমান হয়
• কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
• কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব হয়
• প্রতিটি কর্ণ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

কর্ণের বৈশিষ্ট্য

যদি AC ও BD বর্গের দুটি কর্ণ হয় এবং তারা O বিন্দুতে ছেদ করে, তবে

$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$

এবং

$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}$

এবং

$\mathrm{BO}=\mathrm{OD}$

আবার,

$\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$

অর্থাৎ কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।

বর্গের পরিসীমা

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,

$P=4a$

যেখানে,

• P = পরিসীমা
• a = এক বাহুর দৈর্ঘ্য

বর্গের ক্ষেত্রফল

বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে,

$A=a^2$

অর্থাৎ,

ক্ষেত্রফল = বাহু × বাহু

কর্ণের দৈর্ঘ্য

যদি বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a হয়, তবে কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে:

$d=a\sqrt{2}$

এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাওয়া যায়।

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ব্যবহার

বর্গের কর্ণ নির্ণয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়।

যদি এক বাহু a হয়, তবে

$d^2=a^2+a^2$

অর্থাৎ,

$d^2=2a^2$

সুতরাং,

$d=a\sqrt{2}$

উদাহরণ ১

একটি বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি হলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

$A=8^2$$A=64$

অতএব, বর্গটির ক্ষেত্রফল 64 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

$d=10\sqrt{2}$

অতএব, কর্ণের দৈর্ঘ্য

$10\sqrt{2}$ সেমি

বর্গ নির্ণয়ের শর্ত

• যদি একটি আয়তের চারটি বাহুই সমান হয়, তবে সেটি বর্গ
• যদি একটি রম্বসের একটি কোণ 90° হয়, তবে সেটি বর্গ
• যদি একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং চারটি কোণ সমকোণ হয়, তবে সেটি বর্গ

বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• ফ্লোর টাইলস তৈরিতে
• দাবার বোর্ডে
• জানালা ও ফ্রেম ডিজাইনে
• স্থাপত্য ও নির্মাণ কাজে
• জ্যামিতিক নকশা ও গ্রাফিক্সে

ট্রাপিজিয়াম : যে চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল, একে ট্রাপিজিয়াম বলা হয়। ট্রাপিজিয়ামের সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্র বলে।

যে চতুর্ভুজের কেবলমাত্র এক জোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

সমান্তরাল বাহুদ্বয়কে ট্রাপিজিয়ামের ভূমি (Base) বলা হয় এবং অপর দুইটি অসমান্তরাল বাহুকে বাহু (Leg) বলা হয়।

চিত্রের ধারণা

ধরি, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যেখানে,

$\mathrm{AB}\parallel \mathrm{CD}$

এখানে AB এবং CD হলো সমান্তরাল বাহু।

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য

• মাত্র এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল হয়
• অসমান্তরাল বাহুদ্বয়কে বাহু বলা হয়
• সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বকে উচ্চতা বলে
• সন্নিহিত দুই কোণের সমষ্টি 180° হতে পারে
• এটি একটি চতুর্ভুজ হওয়ায় চারটি বাহু ও চারটি কোণ থাকে

ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা

সমান্তরাল দুই বাহুর মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্বকে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা বলা হয়।

ধরি, উচ্চতা h।

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল

যদি সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য a ও b এবং উচ্চতা h হয়, তবে ক্ষেত্রফল:

$A=\frac{(a+b)h}{2}$

অর্থাৎ,

ক্ষেত্রফল = ½ × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল) × উচ্চতা

ট্রাপিজিয়ামের পরিসীমা

চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b, c, d হলে,

$P=a+b+c+d$

সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম (Isosceles Trapezium)

যে ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বলে।

সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য

• অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হয়
• ভূমিসংলগ্ন কোণসমূহ সমান হয়
• কর্ণদ্বয় সমান হয়

মধ্যরেখা (Median)

ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যোগকারী রেখাংশকে মধ্যরেখা বলে।

মধ্যরেখার দৈর্ঘ্য:

$M=\frac{a+b}{2}$

উদাহরণ ১

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 10 সেমি ও 14 সেমি এবং উচ্চতা 8 সেমি হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

$A=\frac{(10+14)\times 8}{2}$$A=\frac{24}{2}\times 8$$A=12\times 8=96$

অতএব, ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 12 সেমি ও 18 সেমি। মধ্যরেখার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান:

$M=\frac{12+18}{2}$$M=\frac{30}{2}=15$

অতএব, মধ্যরেখার দৈর্ঘ্য 15 সেমি।

ট্রাপিজিয়াম নির্ণয়ের শর্ত

• যদি একটি চতুর্ভুজের কেবল এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল হয়, তবে সেটি ট্রাপিজিয়াম
• যদি অসমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হয়, তবে সেটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম

বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• সেতু ও রাস্তার নকশায়
• টেবিল ও কাঠামো ডিজাইনে
• স্থাপত্য নির্মাণে
• জ্যামিতিক নকশা ও কারুকাজে

ঘুড়ি : যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান, একে ঘুড়ি বলা হয়।

ঘুড়ি (Kite)

যে চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান হয়, তাকে ঘুড়ি বলে।

অর্থাৎ, একটি চতুর্ভুজে যদি

$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$

এবং

$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$

হয়, তবে ABCD একটি ঘুড়ি।

চিত্রের ধারণা

ধরি, ABCD একটি ঘুড়ি।

এখানে,

• AB = AD
• BC = CD

অর্থাৎ দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান।

ঘুড়ির বৈশিষ্ট্য

• দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান হয়
• এক জোড়া বিপরীত কোণ সমান হয়
• কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব হয়
• একটি কর্ণ অপর কর্ণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
• একটি কর্ণ কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

কর্ণের বৈশিষ্ট্য

ধরি, AC ও BD হলো ঘুড়ির কর্ণ এবং তারা O বিন্দুতে ছেদ করে।

তাহলে,

$\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$

অর্থাৎ কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।

আবার,

$\mathrm{BO}=\mathrm{OD}$

অর্থাৎ একটি কর্ণ অপর কর্ণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

ঘুড়ির ক্ষেত্রফল

যদি কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য d₁ এবং d₂ হয়, তবে ক্ষেত্রফল:

$A=\frac{d_1\times d_2}{2}$

অর্থাৎ,

ক্ষেত্রফল = ½ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল

ঘুড়ির পরিসীমা

যদি সমান দুই জোড়া বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a ও b হয়, তবে পরিসীমা:

$P=2(a+b)$

ঘুড়ির কোণের বৈশিষ্ট্য

ঘুড়ির এক জোড়া বিপরীত কোণ সমান হয়।

যেমন,

$\angle B=\angle D$

উদাহরণ ১

একটি ঘুড়ির কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 12 সেমি ও 16 সেমি হলে ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

$A=\frac{12\times 16}{2}$$A=\frac{192}{2}=96$

অতএব, ঘুড়িটির ক্ষেত্রফল 96 বর্গ সেমি।

উদাহরণ ২

একটি ঘুড়ির সমান দুই জোড়া বাহুর দৈর্ঘ্য 8 সেমি ও 5 সেমি হলে পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধান:

$P=2(8+5)$$P=2\times 13=26$

অতএব, ঘুড়িটির পরিসীমা 26 সেমি।

ঘুড়ি নির্ণয়ের শর্ত

• দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান হলে চতুর্ভুজটি ঘুড়ি হবে
• কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব হলে ঘুড়ির বৈশিষ্ট্য পাওয়া যায়
• একটি কর্ণ অপর কর্ণকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে ঘুড়ি গঠিত হতে পারে

বাস্তব জীবনে ব্যবহার

• ঘুড়ি তৈরিতে
• জ্যামিতিক নকশায়
• স্থাপত্য ও ডিজাইনে
• কারুকাজ ও অলংকরণে
• পতাকা ও সাজসজ্জার নকশায়

চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Quadrilaterals)

চতুর্ভুজ হলো চার বাহুবিশিষ্ট একটি বন্ধ সমতল জ্যামিতিক আকার। চতুর্ভুজের বিভিন্ন প্রকার ও তাদের বৈশিষ্ট্যের ওপর ভিত্তি করে কিছু গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য রয়েছে, যেগুলো জ্যামিতি সমাধানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

১. চতুর্ভুজের কোণসমষ্টি উপপাদ্য

যে কোনো চতুর্ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি সর্বদা 360°।

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360°$

উপপাদ্য ব্যাখ্যা

যে কোনো চতুর্ভুজকে একটি কর্ণ দ্বারা দুইটি ত্রিভুজে ভাগ করা যায়। প্রতিটি ত্রিভুজের কোণসমষ্টি 180° হওয়ায় মোট কোণসমষ্টি হয় 360°।

২. সামান্তরিকের বিপরীত বাহু উপপাদ্য

যদি কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল হয়, তবে সেটি সামান্তরিক।

$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}\parallel \mathrm{AB}\parallel \mathrm{CD}$

৩. সামান্তরিকের কর্ণ উপপাদ্য

সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}$

এবং

$\mathrm{BO}=\mathrm{OD}$

৪. আয়ত উপপাদ্য

যদি কোনো সামান্তরিকের একটি কোণ 90° হয়, তবে সেটি আয়ত এবং এর কর্ণদ্বয় সমান হয়।

$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$

৫. রম্বস উপপাদ্য

যদি কোনো সামান্তরিকের চারটি বাহু সমান হয়, তবে সেটি রম্বস এবং এর কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।

$\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$

৬. বর্গ উপপাদ্য

যদি কোনো চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং চারটি কোণ 90° হয়, তবে সেটি বর্গ। এর কর্ণদ্বয় সমান ও পরস্পরের উপর লম্ব।

$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}\perp \mathrm{BD}$

৭. ট্রাপিজিয়াম উপপাদ্য

যদি কোনো চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল হয়, তবে সেটি ট্রাপিজিয়াম।

মধ্যরেখা উপপাদ্য

ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোগকারী রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তার দৈর্ঘ্য হয় তাদের গড়।

$M=\frac{a+b}{2}$

৮. ঘুড়ি উপপাদ্য

যদি কোনো চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান হয়, তবে সেটি ঘুড়ি এবং এর কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব হয়।

$\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$

গুরুত্বপূর্ণ সংক্ষিপ্ত নিয়ম

• সামান্তরিক → বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল
• আয়ত → কর্ণ সমান
• রম্বস → কর্ণ পরস্পর লম্ব
• বর্গ → কর্ণ সমান ও লম্ব
• ট্রাপিজিয়াম → এক জোড়া বাহু সমান্তরাল
• ঘুড়ি → দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান

মনে রাখার কৌশল

চতুর্ভুজের সব ধরনের উপপাদ্য মূলত কর্ণ, বাহু ও কোণের সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে গঠিত। তাই চিত্র এঁকে কর্ণ বিশ্লেষণ করলে সমাধান সহজ হয়।

উপপাদ্য ১

চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ৷

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি চতুর্ভুজ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ∠A+ ∠B + ∠C+ ∠D = 4 সমকোণ।

অঙ্কন : A ও C যোগ করি । AC কর্ণটি চতুর্ভুজটিকে ∆ABC ও ∆ADC দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত করেছে।

প্ৰমাণ :

উপপাদ্য ২

সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ও কোণগুলো পরস্পর সমান।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক এবং

AC ও BD তার দুইটি কর্ণ । প্রমাণ করতে হবে যে,

(ক) AB বাহু = CD বাহু, AD বাহু = BC বাহু

(খ) ∠BAD = ∠BCD, ∠ABC = ∠ADC

প্ৰমাণ :

উপপাদ্য ৩

সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AO = CO, BO = DO

প্রমাণ :

উপপাদ্য ৪

আয়তের কর্ণদ্বয় সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD আয়তের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে,

(i) AC = BD

(ii) AO = CO, BO = DO

প্ৰমাণ :

উপপাদ্য ৫

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD রম্বসের

AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে,

(i) ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 1 সমকোণ

(ii) AO = CO, BO = DO

প্রমাণ :

সুতরাং ∠AOB = ∠BOC

∠AOB + ∠BOC = 1 সরলকোণ = 2 সমকোণ।

∠AOB = ∠BOC =1 সমকোণ।

অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে,

∠COD = ∠DOA = 1 সমকোণ (প্রমাণিত)

বহুভুজ (Polygon)

যে বন্ধ সমতল জ্যামিতিক আকৃতি শুধুমাত্র সরলরেখাংশ দ্বারা গঠিত এবং যার তিন বা ততোধিক বাহু থাকে, তাকে বহুভুজ বলে।

অর্থাৎ, একাধিক সরলরেখা পরপর যুক্ত হয়ে একটি বন্ধ আকৃতি তৈরি করলে সেটি বহুভুজ।

বহুভুজের উপাদান

• বাহু (Sides): বহুভুজের প্রতিটি সরলরেখাংশ
• শীর্ষবিন্দু (Vertices): যেখানে দুইটি বাহু মিলিত হয়
• কোণ (Angles): দুটি সন্নিহিত বাহুর মধ্যে গঠিত কোণ

বহুভুজের প্রকারভেদ

১. বাহুর সংখ্যার ভিত্তিতে

• ত্রিভুজ (Triangle) → 3 বাহু
• চতুর্ভুজ (Quadrilateral) → 4 বাহু
• পঞ্চভুজ (Pentagon) → 5 বাহু
• ষড়ভুজ (Hexagon) → 6 বাহু
• সপ্তভুজ (Heptagon) → 7 বাহু
• অষ্টভুজ (Octagon) → 8 বাহু

২. আকৃতির ভিত্তিতে

• নিয়মিত বহুভুজ (Regular Polygon): সব বাহু ও সব কোণ সমান
• অনিয়মিত বহুভুজ (Irregular Polygon): বাহু ও কোণ সমান নয়

নিয়মিত বহুভুজের বৈশিষ্ট্য

• সব বাহুর দৈর্ঘ্য সমান
• সব কোণের মান সমান
• কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুগুলোর দূরত্ব সমান

অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি

যদি একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হয়, তবে এর অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি:

$S=(n-2)\times 180°$

একটি কোণের মান (নিয়মিত বহুভুজ)

$\mathrm{Each\; Angle}=\frac{(n-2)\times 180°}{n}$

বহিঃকোণের সমষ্টি

যে কোনো বহুভুজের বহিঃকোণের সমষ্টি সর্বদা:

$360°$

নিয়মিত বহুভুজের বহিঃকোণ

$\mathrm{Each\; Exterior\; Angle}=\frac{360}{n}$

কর্ণের সংখ্যা

যদি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হয়, তবে কর্ণের সংখ্যা:

$D=\frac{n(n-3)}{2}$

উদাহরণ ১

একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি নির্ণয় কর।

সমাধান:

$S=(5-2)\times 180°$$S=3\times 180=540°$

উদাহরণ ২

একটি ষড়ভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয় কর।

সমাধান:

$D=\frac{6(6-3)}{2}$$D=\frac{6\times 3}{2}=9$

মনে রাখার কৌশল

• অভ্যন্তরীণ কোণ = (n−2)×180°
• বহিঃকোণ = 360° (সবসময়)
• কর্ণ = n(n−3)/2

এক টাকার একটি বাংলাদেশি মুদ্রা নিয়ে সাদা কাগজের উপর রেখে মুদ্রাটির মাঝ বরাবর বাঁ হাতের তর্জনি দিয়ে চেপে ধরি। এই অবস্থায় ডান হাতে সরু পেন্সিল নিয়ে মুদ্রাটির গাঁ ঘেষে চারদিকে ঘুরিয়ে আনি। মুদ্রাটি সরিয়ে নিলে কাগজে একটি গোলাকার আবদ্ধ বক্ররেখা দেখা যাবে। এটি একটি বৃত্ত।

নিখুঁতভাবে বৃত্ত আঁকার জন্য পেন্সিল কম্পাস ব্যবহার করা হয়। কম্পাসের কাঁটাটি কাগজের উপর চেপে ধরে অপর প্রান্তে সংযুক্ত পেন্সিলটি কাগজের উপর চারদিকে ঘুরিয়ে আনলেই একটি হয়ে থাকে, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। তাহলে বৃত্ত আঁকার সময় 'বৃত্ত আঁকা নির্দিষ্ট একটি বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুগুলোকে আঁকা হয়। এই নির্দিষ্ট বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র। কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যেকোনো বিন্দুর দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলা হয়।

বৃত্ত (Circle)

বৃত্ত হলো এমন একটি সমতলীয় জ্যামিতিক আকৃতি যেখানে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সমষ্টিকে বৃত্ত বলা হয়। নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে কেন্দ্র (Center) এবং সমান দূরত্বকে ব্যাসার্ধ (Radius) বলা হয়।

মৌলিক উপাদান (Basic Elements of a Circle)

• কেন্দ্র (Center): বৃত্তের মধ্যবিন্দু
• ব্যাসার্ধ (Radius): কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব
• ব্যাস (Diameter): কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অতিক্রমকারী জ্যা, যা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ
• জ্যা (Chord): বৃত্তের যেকোনো দুই বিন্দুকে যুক্ত করা রেখাংশ
• চাপ (Arc): বৃত্তের পরিধির একটি অংশ
• পরিধি (Circumference): বৃত্তের চারপাশের দৈর্ঘ্য

বৃত্তের সূত্র (Important Formula)

পরিধি (Circumference)

$C=2\pi r$

বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle)

$A=\pi r^2$

ব্যাসের সাথে সম্পর্ক

$d=2r$

বৃত্তের গুরুত্বপূর্ণ ধারণা (Key Concepts)

• সমান ব্যাসার্ধযুক্ত সকল বৃত্ত পরস্পর সদৃশ
• একই বৃত্তে সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে থাকে
• ব্যাস বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা

উদাহরণ

যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি হয়, তবে—

পরিধি:

$C=2\pi \times 7=14\pi$

ক্ষেত্রফল:

$A=\pi \times 7^2=49\pi$

অতএব, বৃত্ত জ্যামিতির একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারণা যা প্রকৃতি, প্রকৌশল এবং বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

পাশের চিত্রে, AB এমন একটি জ্যা, যা বৃত্তের কেন্দ্র O দিয়ে গেছে। এরূপ ক্ষেত্রে আমরা বলি, জ্যাটি বৃত্তের একটি ব্যাস। ব্যাসের দৈর্ঘ্যকেও ব্যাস বলা হয়। AB ব্যাসটি দ্বারা সৃষ্ট চাপ দুইটি সমান; এরা প্রত্যেকে একটি অর্ধবৃত্ত। বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যা, বৃত্তের একটি ব্যাস। ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা। বৃত্তের প্রত্যেক ব্যাস বৃত্তকে দুইটি অর্ধবৃত্তে বিভক্ত করে। ব্যাসের অর্ধেক দৈর্ঘ্যকে ব্যাসার্ধ বলে। ব্যাস ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলে। অর্থাৎ বৃত্তস্থিত যেকোনো বিন্দু P থেকে বৃত্ত বরাবর ঘুরে পুনরায় P বিন্দু পর্যন্ত পথের দূরত্বই পরিধি। বৃত্ত সরলরেখা নয় বলে রুলারের সাহায্যে বৃত্তের পরিধির দৈর্ঘ্য পরিমাপ করা যায় না। পরিধি মাপার একটি সহজ উপায় আছে। ছবি আকার কাগজে একটি বৃত্ত এঁকে বৃত্ত বরাবর কেটে নাও। পরিধির উপর একটি বিন্দু চিহ্নিত কর। এবার কাগজে একটি রেখাংশ আঁক এবং বৃত্তাকার কার্ডটি কাগজের উপর খাড়াভাবে রাখ যেন পরিধির চিহ্নিত বিন্দুটি রেখাংশের এক প্রান্তের সাথে মিলে যায। এখন কার্ডটি রেখাংশ বরাবর গড়িয়ে নাও যতক্ষণ-না পরিধির চিহ্নিত বিন্দুটি রেখাংশকে পুনরায় স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি চিহ্নিত কর এবং রেখাংশের প্রান্তবিন্দু থেকে এর দৈর্ঘ্য পরিমাপ কর। এই পরিমাপই পরিধির দৈর্ঘ্য। লক্ষ কর, ছোট বৃত্তের ব্যাস ছোট, পরিধিও ছোট; অন্যদিকে বড় বৃত্তের ব্যাস বড়, পরিধিও বড়।

ব্যাসার্ধ, ব্যাস, জ্যা ও পরিধি (Radius, Diameter, Chord & Circumference)

বৃত্তের বিভিন্ন মৌলিক উপাদান হলো ব্যাসার্ধ, ব্যাস, জ্যা এবং পরিধি। এগুলো বৃত্ত জ্যামিতির ভিত্তি তৈরি করে।

ব্যাসার্ধ (Radius)

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দু পর্যন্ত দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলা হয়।

$r$

• প্রতিটি বৃত্তে অসংখ্য ব্যাসার্ধ থাকে
• সব ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান

ব্যাস (Diameter)

কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে বৃত্তের দুই প্রান্তকে যুক্ত করা রেখাংশকে ব্যাস বলা হয়।

$d=2r$

• ব্যাস = ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ
• ব্যাস বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা

জ্যা (Chord)

বৃত্তের পরিধির যেকোনো দুই বিন্দুকে সংযুক্ত করা সরলরেখা অংশকে জ্যা বলা হয়।

• সব ব্যাসই জ্যা, কিন্তু সব জ্যা ব্যাস নয়
• কেন্দ্র দিয়ে না গেলে সেটি সাধারণ জ্যা

পরিধি (Circumference)

বৃত্তের চারপাশের মোট দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলা হয়।

$C=2\pi r$

অথবা,

$C=\pi d$

• এখানে π ≈ 3.1416 (প্রায়)
• পরিধি হলো বৃত্তের সীমারেখা

গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক

• ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
• পরিধি = 2πr = πd
• বড় ব্যাসার্ধ → বড় বৃত্ত → বেশি পরিধি

উদাহরণ

যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি হয়, তবে—

ব্যাস:

$d=2\times 5=10$

পরিধি:

$C=2\pi \times 5=10\pi$

অতএব, ব্যাসার্ধ, ব্যাস, জ্যা এবং পরিধি বৃত্তের মৌলিক জ্যামিতিক ধারণা যা সকল বৃত্তীয় গণনার ভিত্তি।

উপরের চিত্রে, একটি বৃত্ত দেখানো হয়েছে, যার কেন্দ্র O । বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P, Q নিয়ে এদের সংযোজক রেখাংশ PQ টানি। PQ রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। জ্যা দ্বারা বৃত্তটি দুইটি অংশে বিভক্ত হয়েছে । জ্যাটির দুই পাশের দুই অংশে বৃত্তটির উপর দুইটি বিন্দু Y, Z নিলে ঐ দুইটি অংশের নাম PYQ ও PZQ । জ্যা দ্বারা বিভক্ত বৃত্তের প্রত্যেক অংশকে বৃত্তচাপ, বা সংক্ষেপে চাপ বলে। চিত্রে, PQ জ্যা দ্বারা সৃষ্ট চাপ দুইটি হচ্ছে PYQ ও PZQ ।

বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। প্রত্যেক জ্যা বৃত্তকে দুইটি চাপে বিভক্ত করে।

বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস (Chord and Diameter of a Circle)

বৃত্ত জ্যামিতিতে জ্যা এবং ব্যাস অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ দুটি ধারণা। এগুলোর মাধ্যমে বৃত্তের আকার, কেন্দ্রের অবস্থান এবং বিভিন্ন সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়।

জ্যা (Chord)

বৃত্তের পরিধির যেকোনো দুইটি বিন্দুকে সংযোগকারী সরলরেখা অংশকে জ্যা বলা হয়।

$\mathrm{AB}$

এখানে A এবং B বৃত্তের দুটি বিন্দু এবং AB একটি জ্যা।

জ্যার বৈশিষ্ট্য

• বৃত্তে অসংখ্য জ্যা থাকতে পারে
• জ্যা কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে গেলে সেটি ব্যাস হয়
• যত জ্যা কেন্দ্রের কাছাকাছি, তত বড় হয়

ব্যাস (Diameter)

যে জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে তাকে ব্যাস বলা হয়।

$d=2r$

অর্থাৎ ব্যাস হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

ব্যাসের বৈশিষ্ট্য

• ব্যাস বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা
• প্রতিটি বৃত্তে অসংখ্য জ্যা থাকলেও ব্যাস মাত্র একটি কেন্দ্রের মাধ্যমে নির্ধারিত অবস্থানে থাকে
• ব্যাস বৃত্তকে দুইটি সমান অংশে বিভক্ত করে

জ্যা ও ব্যাসের সম্পর্ক

• সব ব্যাসই জ্যা, কিন্তু সব জ্যা ব্যাস নয়
• ব্যাস হলো বিশেষ ধরনের জ্যা যা কেন্দ্র দিয়ে যায়
• ব্যাসের দৈর্ঘ্য সর্বদা সর্বাধিক

গাণিতিক সম্পর্ক

যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হয়, তবে—

$\mathrm{Diameter}=2r$

এবং জ্যার দৈর্ঘ্য কেন্দ্র থেকে দূরত্বের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়।

উদাহরণ

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে—

ব্যাস:

$d=2\times 7=14\mathrm{cm}$

এখানে 14 সেমি হলো বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা অর্থাৎ ব্যাস।

মনে রাখার উপায়

• জ্যা = যেকোনো দুই বিন্দু যুক্ত রেখা
• ব্যাস = কেন্দ্র দিয়ে যাওয়া সর্ববৃহৎ জ্যা
• ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ

বৃত্তচাপ (Arc)

বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে। চিত্রে A ও B দুইটি বিন্দুর মাঝে বৃত্তের অংশগুলো লক্ষ করি। দেখা যায়, দুইটি অংশের একটি অংশ ছোট, অন্যটি তুলনামূলকভাবে বড় । ছোট অংশটিকে উপচাপ ও বড়টিকে অধিচাপ বলা হয়। A ও B এই চাপের প্রান্তবিন্দু এবং চাপের অন্য সকল বিন্দু তার অন্তঃস্থ বিন্দু। চাপের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু R নির্দিষ্ট করে চাপটিকে ARB চাপ বলে অভিহিত করা হয় এবং ARB প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। আবার কখনো উপচাপটি AB প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। বৃত্তের দুইটি বিন্দু A ও B বৃত্তটিকে দুইটি চাপে বিভক্ত করে। উভয় চাপের প্রান্তবিন্দু A ও B এবং প্রান্তবিন্দু ছাড়া চাপ দুইটির অন্য কোনো সাধারণ বিন্দু নেই।

কোণ কর্তৃক খণ্ডিত চাপ

একটি কোণ কোনো বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত বা ছিন্ন করে বলা হয় যদি

১. চাপটির প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু কোণটির বাহুতে অবস্থিত হয়,

২. কোণটির প্রত্যেক বাহুতে চাপটির অন্তত একটি প্রান্তবিন্দু অবস্থিত হয় এবং

৩. চাপটির অন্তঃস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু কোণটির অভ্যন্তরে থাকে। চিত্রে প্রদর্শিত কোণটি O কেন্দ্রিক বৃত্তে APB চাপ খণ্ডিত করে।

বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে এদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ বলা হয়। চিত্রে ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ। প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত করে। এই চাপ উপচাপ, অর্ধবৃত্ত অথবা অধিচাপ হতে পারে।

একটি বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে, কোণটি সেই চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং খণ্ডিত চাপের অনুবন্ধী চাপে অন্তর্লিখিত বলা হয়।

পাশের চিত্রে বৃত্তস্থ কোণটি APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং ACB চাপে অন্তর্লিখিত।

লক্ষণীয় যে, APB ও ACB একে অপরের অনুবন্ধী চাপ।

মন্তব্য : বৃত্তের কোনো চাপে অন্তর্লিখিত একটি কোণ হচ্ছে সেই কোণ যার শীর্ষবিন্দু ঐ চাপের একটি অন্তঃস্থ বিন্দু এবং যার এক একটি বাহু ঐ চাপের এক একটি প্রান্তবিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তের কোনো চাপে দণ্ডায়মান একটি বৃত্তস্থ কোণ হচ্ছে ঐ চাপের অনুবন্ধী চাপে অন্তর্লিখিত একটি কোণ।

একটি কোণের শীর্ষবিন্দু কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হলে, কোণটিকে ঐ বৃত্তের একটি কেন্দ্রস্থ কোণ বলা হয় এবং কোণটি বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে সেই চাপের ওপর তা দণ্ডায়মান বলা হয়। পাশের চিত্রের ∠AOB কোণটি একটি কেন্দ্রস্থ কোণ এবং তা APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান। প্রত্যেক কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তে একটি উপচাপ খণ্ডিত করে। চিত্রে APB একটি উপচাপ। বৃত্তের কোনো উপচাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বলতে এরূপ কোণকেই বোঝায় যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত এবং যার বাহুদ্বয় ঐ চাপের প্রান্তবিন্দু দুইটি দিয়ে যায়।

অর্ধবৃত্তের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বিবেচনার জন্য ওপরে উল্লেখিত বর্ণনা অর্থবহ নয়। অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রে কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC সরলকোণ এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC সমকোণ।

বৃত্তীয় চতুর্ভুজ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ হলো এমন চতুর্ভুজ যার চারটি শীর্ষবিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (Inscribed Quadrilaterals)

যে চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু একই বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত থাকে, তাকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (Cyclic Quadrilateral) বলা হয়।

অর্থাৎ, একটি চতুর্ভুজ যদি একটি বৃত্তের ভিতরে এমনভাবে অঙ্কিত হয় যে এর প্রতিটি কোণ বৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে সেটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

মূল বৈশিষ্ট্য

• চারটি শীর্ষবিন্দু একই বৃত্তে অবস্থিত
• বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°
• সকল কোণ বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত

বিপরীত কোণের উপপাদ্য

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি সর্বদা 180°।

$\angle A+\angle C=180°$

এবং

$\angle B+\angle D=180°$

উপপাদ্যের ব্যাখ্যা

যদি একটি চতুর্ভুজ বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত হয়, তবে প্রতিটি বিপরীত কোণ একটি সরলরেখা গঠন করে যার যোগফল 180° হয়।

কোণের সম্পর্ক

• A + C = 180°
• B + D = 180°

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের শর্ত

কোনো চতুর্ভুজ বৃত্তস্থ হবে যদি—

• তার বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180° হয়
অথবা
• চারটি শীর্ষবিন্দু একটি বৃত্তে অবস্থিত হতে পারে

উদাহরণ

একটি চতুর্ভুজে যদি ∠A = 110° এবং ∠C = 70° হয়, তবে—

$110°+70°=180°$

অতএব, এটি একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম

• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ = cyclic quadrilateral
• বিপরীত কোণ সর্বদা supplementary
• একটি বৃত্তের উপর অঙ্কিত সব চতুর্ভুজ এই নিয়ম অনুসরণ করে

মনে রাখার কৌশল

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে শুধু একটি নিয়ম মনে রাখলেই যথেষ্ট:
“বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল = 180°”

সমতলে একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার পারস্পরিক অবস্থান বিবেচনা করি। এক্ষেত্রে নিচের চিত্রের প্রদত্ত তিনটি সম্ভাবনা রয়েছে :

ক) বৃত্ত ও সরলরেখার কোনো সাধারণ বিন্দু নেই,

খ) সরলরেখাটি বৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করেছে,

গ) সরলরেখাটি বৃত্তকে একটি বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

সমতলে একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে। সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি দুইটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি ছেদক বলা হয় এবং যদি একটি ও কেবল একটি সাধারণ বিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক বলা হয়। শেষোক্ত ক্ষেত্রে, সাধারণ বিন্দুটিকে ঐ স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু বলা হয়। উপরের চিত্রে একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার পারস্পরিক অবস্থান দেখানো হয়েছে।

চিত্র-ক এ বৃত্ত ও PQ সরলরেখার কোনো সাধারণ বিন্দু নেই, চিত্র-খ এ PQ সরলরেখাটি বৃত্তকে A ও B দুইটি বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং চিত্র-গ এ PQ সরলরেখাটি বৃত্তকে A বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। PQ বৃত্তটির স্পর্শক ও A এই স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু।

মন্তব্য : বৃত্তের প্রত্যেক ছেদকের ছেদবিন্দুদ্বয়ের অন্তবর্তী সকল বিন্দু বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকে।

সাধারণ স্পর্শক (Common tangent)

একটি সরলরেখা যদি দুইটি বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে একে বৃত্ত দুইটির একটি সাধারণ স্পর্শক বলা হয়। পাশের চিত্রগুলোতে AB উভয় বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক। চিত্র-ক ও চিত্র-খ এ স্পর্শবিন্দু ভিন্ন ভিন্ন। চিত্র-গ ও চিত্র-ঘ এ স্পর্শবিন্দু একই।

দুইটি বৃত্তের কোনো সাধারণ স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু দুইটি ভিন্ন হলে স্পর্শকটিকে

ক) সরল সাধারণ স্পর্শক বলা হয় যদি বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে এবং

খ) তির্যক সাধারণ স্পর্শক বলা হয় যদি বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকে।

চিত্র-ক এ স্পর্শকটি সরল সাধারণ স্পর্শক এবং চিত্র-খ এ স্পর্শকটি তির্যক সাধারণ স্পর্শক।

দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক যদি বৃত্ত দুইটিকে একই বিন্দুতে স্পর্শ করে তবে ঐ বিন্দুতে বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে বলা হয়। এরূপ ক্ষেত্রে, বৃত্ত দুইটির অন্তঃস্পর্শ হয়েছে বলা হয় যদি কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে এবং বহিঃস্পর্শ হয়েছে বলা হয় যদি কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকে। চিত্র-গ এ বৃত্ত দুইটির অন্তঃস্পর্শ এবং চিত্র-ঘ এ বহিঃস্পর্শ হয়েছে।

স্পর্শক (Tangent) হলো বৃত্ত জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। এটি বৃত্তকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং বৃত্তের ভেতরে প্রবেশ করে না।

স্পর্শক (Tangent)

যে সরলরেখা বৃত্তকে ঠিক একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে, তাকে স্পর্শক বলা হয়। স্পর্শ করার বিন্দুটিকে স্পর্শবিন্দু (Point of Contact) বলা হয়।

স্পর্শকের বৈশিষ্ট্য

• স্পর্শক বৃত্তকে মাত্র এক বিন্দুতে স্পর্শ করে
• স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব হয়

মূল উপপাদ্য ১: স্পর্শক ও ব্যাসার্ধের সম্পর্ক

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ঐ বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।

$\mathrm{OT}\perp \mathrm{PT}$

এখানে O = কেন্দ্র, T = স্পর্শবিন্দু, PT = স্পর্শক

উপপাদ্য ২: একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের সমতা

বৃত্তের বাইরের একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুইটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$

এখানে P = বাহ্যিক বিন্দু, A ও B = স্পর্শবিন্দু

উপপাদ্য ৩: কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব

কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব সর্বদা বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

$\mathrm{OT}=r$

উপপাদ্য ৪: স্পর্শক ও জ্যা সম্পর্ক

স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ঐ বিন্দুতে অঙ্কিত জ্যার উপর অর্ধবৃত্তীয় কোণ তৈরি করে।

• স্পর্শক ও জ্যার মধ্যে কোণ বৃত্তের অভ্যন্তরীণ কোণের সমান

উপপাদ্য ৫: দুইটি স্পর্শকের মধ্যে কোণ

বাহ্যিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুইটি স্পর্শকের মধ্যে কোণ কেন্দ্রের কোণের সম্পূরক অংশের অর্ধেক।

$\mathrm{\angle APB}=180°-\mathrm{\angle AOB}$

উদাহরণ

একটি বৃত্তের কেন্দ্র O এবং বাইরের বিন্দু P থেকে দুইটি স্পর্শক PA এবং PB অঙ্কিত হলে,

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$

অর্থাৎ দুইটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।

গুরুত্বপূর্ণ সংক্ষিপ্ত নিয়ম

• স্পর্শক = এক বিন্দুতে স্পর্শ করে
• ব্যাসার্ধ ⟂ স্পর্শক
• একই বাহ্যিক বিন্দু থেকে স্পর্শক দুইটি সমান

মনে রাখার কৌশল

স্পর্শক সম্পর্কিত সব উপপাদ্যের মূল ধারণা:
“স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ সবসময় লম্ব”

উপপাদ্য ২৫. বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ওপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, PT ⊥ OP.

অঙ্কন : PT স্পর্শকের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নিই এবং O,Q যোগ করি।

প্রমাণ: যেহেতু বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক, সুতরাং ঐ P বিন্দু ব্যতীত PT এর ওপরস্থ অন্য সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকবে। সুতরাং Q বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।

$\therefore$ OQ বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ, OQ > OP এবং তা স্পর্শবিন্দু P ব্যতীত PT এর ওপরস্থ Q বিন্দুর সকল অবস্থানের জন্য সত্য।

$\therefore$ কেন্দ্র O থেকে PT স্পর্শকের ওপর OP হল ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।

সুতরাং PT ⊥ OP [কোনো সরলরেখার বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে উক্ত সরলরেখার উপর যতগুলো রেখাংশ টানা যায় তন্মধ্যে লম্ব রেখাংশটিই ক্ষুদ্রতম]

(প্রমাণিত)

অনুসিদ্ধান্ত ৮. বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

অনুসিদ্ধান্ত ৯. স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।

অনুসিদ্ধান্ত ১০. বৃত্তের কোনো বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।

উপপাদ্য ২৬. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক । প্রমাণ করতে হবে যে, PA = PB

অঙ্কন : O, A; O, B এবং O, P যোগ করি।

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. যেহেতু PA স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, সেহেতু PA ⊥ OA

$\therefore$ ∠PAO = এক সমকোণ। [$\because$ স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব]

অনুরূপে ∠PBO = এক সমকোণ।

$\therefore$ ∆PAO এবং ∆PBO উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।

ধাপ ২. এখন, ∆PAO এবং ∆PBO সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ে অতিভুজ PO = অতিভুজ PO এবং OA = OB [$\therefore$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

$\therefore$ ∆PAO ≅ ∆PBO [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]

$\therefore$ PA = PB । (প্রমাণিত)

মন্তব্য :

১. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া প্রত্যেক বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু অপর বৃত্তের বাইরে থাকবে।

২. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া ছোট বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু বড় বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকবে।

উপপাদ্য ২৭. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শ বিন্দু সমরেখ।

মনে করি, A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, A,O,B বিন্দু তিনটি সমরেখ।

অঙ্কন : যেহেতু বৃত্তদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে স্পর্শ করেছে, সুতরাং O বিন্দুতে এদের একটি সাধারণ স্পর্শক থাকবে। এখন O বিন্দুতে সাধারণ স্পর্শক POQ অঙ্কন করি এবং O, A ও O, B যোগ করি।

প্ৰমাণ :

A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং POQ স্পর্শক।

সুতরাং ∠POA = এক সমকোণ। তদ্রূপ ∠POB = এক সমকোণ

∠POA + ∠POB = এক সমকোণ + এক সমকোণ = দুই সমকোণ।

বা ∠AOB দুই সমকোণ

অর্থাৎ, ∠AOB একটি সরলকোণ।

$\therefore$ A, O, B বিন্দুত্রয় সমরেখ। (প্রমাণিত)

অনুসিদ্ধান্ত ১১. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।

অনুসিদ্ধান্ত ১২. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।

ঘড়ির পরিধি 360$°$

প্রতি 1 ঘর $=\left(\frac{360}{60}\right)°=6°$

এবং প্রতি 5 ঘর $=(5\times 6{)}^{°}={30}^{°}$ নির্দেশ করে।

ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)

ত্রিকোণমিতি হলো গণিতের একটি শাখা যেখানে ত্রিভুজের বাহু ও কোণের মধ্যে সম্পর্ক নিয়ে আলোচনা করা হয়। বিশেষ করে সমকোণী ত্রিভুজে কোণ, বাহু এবং অনুপাত নির্ণয় ত্রিকোণমিতির মূল বিষয়।

ত্রিকোণমিতির মৌলিক অনুপাত (Basic Ratios)

একটি সমকোণী ত্রিভুজে কোনো একটি কোণ θ হলে—

সাইন (Sine)

$\sin \theta =\frac{\text{লম্ব}}{\text{কর্ণ}}$

কোসাইন (Cosine)

$\cos \theta =\frac{\text{ভূমি}}{\text{কর্ণ}}$

ট্যানজেন্ট (Tangent)

$\tan \theta =\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$

রেসিপ্রোকাল অনুপাত (Reciprocal Ratios)

• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• cot θ = 1/tan θ

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচিতি (Identities)

${\sin \theta }^2+{\cos \theta }^2=1$$1+{\tan \theta }^2={\sec \theta }^2$$1+{\cot \theta }^2={\mathrm{cosec}\theta }^2$

ত্রিকোণমিতিক কোণের মান (Standard Values)

0°, 30°, 45°, 60°, 90° কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক মান গুরুত্বপূর্ণ।

• sin 30° = 1/2
• sin 45° = 1/√2
• sin 60° = √3/2
• cos 60° = 1/2
• cos 45° = 1/√2
• cos 30° = √3/2

ত্রিকোণমিতির ব্যবহার (Applications)

• উচ্চতা ও দূরত্ব নির্ণয়
• নির্মাণ ও প্রকৌশল
• নৌচালনা ও বিমান চলাচল
• পদার্থবিজ্ঞান ও তরঙ্গ বিশ্লেষণ

উদাহরণ

যদি কোনো সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4 হয়, তবে—

$\tan \theta =\frac{3}{4}$

এবং কর্ণ,

$h=\sqrt{3^2+4^2}=5$

মনে রাখার কৌশল

SOH-CAH-TOA:
• Sine = Opposite / Hypotenuse
• Cosine = Adjacent / Hypotenuse
• Tangent = Opposite / Adjacent

আমরা প্রতিনিয়ত ত্রিভুজ, বিশেষ করে সমকোণী ত্রিভুজের ব্যবহার করে থাকি। আমাদের চারিদিকের পরিবেশে নানা উদাহরণ দেখা যায় যেখানে কল্পনায় সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যায়। সেই প্রাচীন যুগে মানুষ জ্যামিতির সাহায্যে নদীর তীরে দাঁড়িয়ে নদীর প্রস্থ নির্ণয় করার কৌশল শিখেছিল। গাছে না উঠেও গাছের ছায়ার সঙ্গে লাঠির তুলনা করে নিখুঁতভাবে গাছের উচ্চতা মাপতে শিখেছিল। এই গাণিতিক কৌশল শেখানোর জন্য সৃষ্টি হয়েছে ত্রিকোণমিতি নামে গণিতের এক বিশেষ শাখা। Trigonometry শব্দটি গ্রিক শব্দ tri (অর্থ তিন), gon (অর্থ ধার) ও metron (অর্থ পরিমাপ) দ্বারা গঠিত। ত্রিকোণমিতিতে ত্রিভুজের বাহু ও কোণের মধ্যে সম্পর্ক বিষয়ে পাঠদান করা হয়। মিশর ও ব্যাবিলনীয় সভ্যতায় ত্রিকোণমিতি ব্যবহারের নিদর্শন রয়েছে। মিশরীয়রা ভূমি জরিপ ও প্রকৌশল কাজে এর বহুল ব্যবহার করত বলে ধারণা করা হয়। এর সাহায্যে জ্যোতির্বিদগণ পৃথিবী থেকে দূরবর্তী গ্রহ-নক্ষত্রের দূরত্ব নির্ণয় করতেন। অধুনা ত্রিকোণমিতির ব্যবহার গণিতের সকল শাখায়। ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান, নেভিগেশন ইত্যাদি ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির ব্যাপক ব্যবহার হয়ে থাকে। জ্যোতির্বিজ্ঞান, ক্যালকুলাসসহ গণিতের অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ শাখায় ত্রিকোণমিতির ব্যবহার রয়েছে।

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর নামকরণ

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো অতিভুজ, ভূমি ও উন্নতি নামে অভিহিত হয়। ত্রিভুজের অনুভূমিক অবস্থানের জন্য এ নামসমূহ সার্থক। আবার সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটির সাপেক্ষে অবস্থানের প্রেক্ষিতেও বাহুগুলোর নামকরণ করা হয়। যথা :

১. ‘অতিভুজ (hypotenuse)', সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু যা সমকোণের বিপরীত বাহু

২. বিপরীত বাহু (opposite side)', যা হলো প্রদত্ত কোণের সরাসরি বিপরীত দিকের বাহু

৩. ‘সন্নিহিত বাহু (adjacent side)', যা প্রদত্ত কোণ সৃষ্টিকারী একটি রেখাংশ।

জ্যামিতিক চিত্রের শীর্ষবিন্দু চিহ্নিত করার জন্য বড় হাতের বর্ণ ও বাহু নির্দেশ করতে ছোট হাতের বর্ণ ব্যবহার করা হয়। কোণ নির্দেশের জন্য প্রায়শই গ্রিক বর্ণ ব্যবহৃত হয়। গ্রিক বর্ণমালার ছয়টি বহুল ব্যবহৃত বর্ণ হলো :

প্রাচীন গ্রিসের বিখ্যাত গণিতবিদদের হাত ধরেই জ্যামিতি ও ত্রিকোণমিতিতে গ্রিক বর্ণগুলোর ব্যবহার হয়ে আসছে।

উদাহরণ ১. θ কোণের জন্য অতিভুজ, সন্নিহিত বাহু ও বিপরীত বাহু চিহ্নিত কর।

সমাধান :

উদাহরণ ২. a ও β কোণের জন্য অতিভুজ, সন্নিহিত বাহু ও বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, ∠XOA একটি সূক্ষ্মকোণ। OA বাহুতে যেকোনো একটি বিন্দু P নিই। P থেকে OX বাহু পর্যন্ত PM লম্ব টানি। ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ POM গঠিত হলো। এই ∆POM এর PM, OM ও OP বাহুগুলোর যে তিনটি অনুপাত পাওয়া যায় এদের মান OA বাহুতে নির্বাচিত P বিন্দুর অবস্থানের ওপর নির্ভর করে না।

∠XOA কোণের OA বাহুতে যেকোনো বিন্দু P ও P1 থেকে OX বাহু পর্যন্ত যথাক্রমে PM ও P1M1 লম্ব অঙ্কন করলে ∆POM ও $∆P_{1}O{M}_1$ দুইটি সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়।

এখন, ∆POM ও $∆P_{1}O{M}_1$ সদৃশ হওয়ায়,

অর্থাৎ, অনুপাতসমূহের প্রত্যেকটি ধ্রুবক। এই অনুপাতসমূহকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলে।

সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

মনে করি, ∠XOA একটি সূক্ষ্মকোণ। OA বাহুতে যেকোনো একটি বিন্দু P নিই। P থেকে OA বাহু পর্যন্ত PM লম্ব টানি। ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ POM গঠিত হলো। এই ∠POM এর PM, OM ও OP বাহুগুলোর যে ছয়টি অনুপাত পাওয়া যায় এদের ZXOA এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলা হয় এবং এদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সুনির্দিষ্ট নামে নামকরণ করা হয়।

∠XOA সাপেক্ষে সমকোণী ত্রিভুজ POM এর PM বিপরীত বাহু, OM সন্নিহিত বাহু, OP অতিভুজ। এখন ∠XOA = 6 ধরলে, θ কোণের যে ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পাওয়া যায় তা নিম্নে বর্ণনা করা হলো।

চিত্র থেকে,

লক্ষ করি, sin θ প্রতীকটি θ কোণের সাইন-এর অনুপাতকে বোঝায়; sin ও θ এর গুণফলকে নয়। θ বাদে sin আলাদা কোনো অর্থ বহন করে না। ত্রিকোণমিতিক অন্যান্য অনুপাতের ক্ষেত্রেও বিষয়টি প্রযোজ্য।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত হলো সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যে নির্দিষ্ট অনুপাত। এই অনুপাতগুলো ব্যবহার করে কোণ ও বাহুর মান নির্ণয় করা যায়।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Basic Ratios)

একটি সমকোণী ত্রিভুজে কোনো কোণ θ হলে—

সাইন (Sine)

$\sin \theta =\frac{\text{লম্ব}}{\text{কর্ণ}}$

কোসাইন (Cosine)

$\cos \theta =\frac{\text{ভূমি}}{\text{কর্ণ}}$

ট্যানজেন্ট (Tangent)

$\tan \theta =\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$

রেসিপ্রোকাল অনুপাত (Reciprocal Ratios)

• cosec θ = 1 / sin θ
• sec θ = 1 / cos θ
• cot θ = 1 / tan θ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের পারস্পরিক সম্পর্ক

১. মৌলিক পরিচিতি (Fundamental Identity)

${\sin \theta }^2+{\cos \theta }^2=1$

২. ট্যানজেন্ট ও সেক্যান্ট সম্পর্ক

$1+{\tan \theta }^2={\sec \theta }^2$

৩. কট ও কোসেক সম্পর্ক

$1+{\cot \theta }^2={\mathrm{cosec}\theta }^2$

পরিপূরক কোণের সম্পর্ক (Complementary Angles)

যদি দুটি কোণ পরিপূরক হয় (θ এবং 90° − θ), তবে—

• sin θ = cos (90° − θ)
• cos θ = sin (90° − θ)
• tan θ = cot (90° − θ)
• sec θ = cosec (90° − θ)

গুরুত্বপূর্ণ অনুপাত সম্পর্ক

• tan θ = sin θ / cos θ
• cot θ = cos θ / sin θ
• sec θ = 1 / cos θ
• cosec θ = 1 / sin θ

উদাহরণ

যদি sin θ = 3/5 হয়, তবে—

cos θ নির্ণয়:

${\sin \theta }^2+{\cos \theta }^2=1$

(3/5)² + cos²θ = 1
9/25 + cos²θ = 1
cos²θ = 16/25
cos θ = 4/5

মনে রাখার কৌশল

• sin, cos, tan = মৌলিক অনুপাত
• sec, cosec, cot = বিপরীত অনুপাত
• সব পরিচিতি sin² + cos² = 1 থেকে তৈরি

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর সম্পর্ক

মনে করি, ∠XOA = θ একটি সূক্ষ্মকোণ।

পাশের চিত্র সাপেক্ষে, সংজ্ঞানুযায়ী,

ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি

উদাহরণ ৩. $\tan A=\frac{4}{3}$ হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $\tan A=\frac{4}{3}$ ।

উদাহরণ ৪. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tan A = 1 হলে 2sin A.cos A = 1 এর সত্যতা যাচাই কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, tan A = 1

অতএব, বিপরীত বাহু = সন্নিহিত বাহু = a

উদাহরণ ৫. প্রমাণ কর যে, $\tan \theta + cot \theta = sec \theta . \cos ec \theta$

সমাধান :

বামপক্ষ = $\tan \theta + cot \theta$

$=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

উদাহরণ ১০. প্রমাণ কর : $\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}= sec A-\tan A$

সমাধান :

বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Different Angles)

ত্রিকোণমিতিতে কিছু নির্দিষ্ট কোণের (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) মান অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই মানগুলো পরীক্ষায় বারবার ব্যবহৃত হয়।

মানক কোণগুলোর ত্রিকোণমিতিক মান (Standard Values)

0° এর মান

• sin 0° = 0
• cos 0° = 1
• tan 0° = 0
• cot 0° = অনির্ধারিত
• sec 0° = 1
• cosec 0° = অনির্ধারিত

30° এর মান

• sin 30° = 1/2
• cos 30° = √3/2
• tan 30° = 1/√3
• cot 30° = √3
• sec 30° = 2/√3
• cosec 30° = 2

45° এর মান

• sin 45° = 1/√2
• cos 45° = 1/√2
• tan 45° = 1
• cot 45° = 1
• sec 45° = √2
• cosec 45° = √2

60° এর মান

• sin 60° = √3/2
• cos 60° = 1/2
• tan 60° = √3
• cot 60° = 1/√3
• sec 60° = 2
• cosec 60° = 2/√3

90° এর মান

• sin 90° = 1
• cos 90° = 0
• tan 90° = অনির্ধারিত
• cot 90° = 0
• sec 90° = অনির্ধারিত
• cosec 90° = 1

মনে রাখার সহজ কৌশল (Shortcut Method)

ত্রিকোণমিতিক মান মনে রাখার সহজ নিয়ম:

sin θ → 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1
cos θ → উল্টো ক্রমে

টেবিল আকারে সংক্ষেপ

0° → 30° → 45° → 60° → 90°

sin: 0 → 1/2 → 1/√2 → √3/2 → 1
cos: 1 → √3/2 → 1/√2 → 1/2 → 0
tan: 0 → 1/√3 → 1 → √3 → অনির্ধারিত

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• 45° এ sin = cos
• 30° ও 60° পরস্পরের পরিপূরক কোণ
• 90° এ cos শূন্য হয়, তাই tan অনির্ধারিত

মনে রাখার কৌশল

“0 থেকে 1 পর্যন্ত sin বাড়ে, আর cos কমে”

বিশেষ কিছু কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

30°, 45° ও 60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

30° ও 60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত :

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ বের করি :

45° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত :

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আমরা জানি যে, দুইটি সূক্ষ্মকোণের পরিমাপের সমষ্টি 90° হলে, এদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়। যেমন, 30° ও 60° এবং 15° ও 75° পরস্পর পূরক কোণ।

সাধারণভাবে, θ কোণ ও ( 90° – θ) কোণ পরস্পরের পূরক কোণ

উপরের সূত্রগুলো নিম্নলিখিতভাবে কথায় প্রকাশ করা যায় :

পূরক কোণের sine = কোণের cosine

পূরক কোণের cosine = কোণের sine

পূরক কোণের tangent = কোণের cotangent ইত্যাদি।

0° ও 90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আমরা সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ θ এর জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো নির্ণয় করতে শিখেছি। এবার দেখি, কোণটি ক্রমশঃ ছোট করা হলে ত্রিকোণমিতির অনুপাতগুলো কীরূপ হয়। θ কোণটি যতই ছোট হতে থাকে, বিপরীত বাহু PN এর দৈর্ঘ্য ততই ছোট হয়। P বিন্দুটি N বিন্দুর নিকটতর হয় এবং অবশেষে θ কোণটি যখন 0° এর খুব কাছে অবস্থিত হয়, OP প্রায় ON এর সাথে মিলে যায়।

θ সূক্ষ্মকোণ হলে আমরা দেখেছি

0° কোণের জন্য সম্ভাব্য ক্ষেত্রে এ সম্পর্কগুলো যাতে বজায় থাকে সে দিকে লক্ষ রেখে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

0 দ্বারা ভাগ করা যায় না বিধায় cosec 0° ও cot 0° সংজ্ঞায়িত করা যায় না।

আবার, যখন θ কোণটি 90° এর খুব কাছে, অতিভুজ OP প্রায় PN এর সমান। সুতরাং, sin θ এর মান প্রায় 1 । অন্যদিকে, θ কোণটি প্রায় 90° এর সমান হলে ON শূন্যের কাছাকাছি; cos θ এর মান প্রায় 0।

দ্রষ্টব্য : ব্যবহারের সুবিধার্থে 0, 30, 45, 60° ও 90° কোণগুলোর ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান নিচের ছকে দেখানো হলো :

লক্ষ করি : নির্ধারিত কয়েকটি কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক মানসমূহ মনে রাখার সহজ উপায়।

উদাহরণ ১৩. মান নির্ণয় কর :

সমাধান :

সমাধান :

অতি প্রাচীন কাল থেকেই দূরবর্তী কোনো বস্তুর দূরত্ব ও উচ্চতা নির্ণয় করতে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ করা হয়। বর্তমান যুগে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ব্যবহার বেড়ে যাওয়ায় এর গুরুত্ব অপরিসীম। যে সব পাহাড়, পর্বত, টাওয়ার, গাছের উচ্চতা এবং নদ-নদীর প্রস্থ সহজে মাপা যায় না সে সব ক্ষেত্রে উচ্চতা ও প্রস্থ ত্রিকোণমিতির সাহায্যে নির্ণয় করা যায়। এক্ষেত্রে সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান জেনে রাখা প্রয়োজন।

ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা এবং উল্লম্বতল (Horizontal Line, Vertical Line and Vertical Plane)

ভূ-রেখা হচ্ছে ভূমি তলে অবস্থিত যে কোনো সরলরেখা। ভূ-রেখাকে শয়নরেখাও বলা হয়। ঊর্ধ্বরেখা হচ্ছে ভূমি তলের উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখা। একে উল্লম্ব রেখাও বলে।

ভূমি তলের উপর লম্বভাবে অবস্থিত পরস্পরচ্ছেদী ভূ-রেখা ও ঊর্ধ্বরেখা একটি তল নির্দিষ্ট করে। এ তলকে উল্লম্ব তল বলে।

চিত্রে ভূমি তলের কোনো স্থান C থেকে CB দূরত্বে AB উচ্চতা বিশিষ্ট একটি গাছ লম্ব অবস্থায় দন্ডায়মান। এখানে CB রেখা হচ্ছে ভূ-রেখা, BA রেখা হচ্ছে ঊর্ধ্বরেখা এবং ABC তলটি ভূমির উপর লম্ব যা উল্লম্বতল।

উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ (Angle of Elevation and Angle of Depression)

চিত্রটি লক্ষ করি, ভূমির সমান্তরাল AB একটি সরলরেখা। A, O, B, P, Q বিন্দুগুলো একই উল্লম্বতলে অবস্থিত। AB সরলরেখার উপরের P বিন্দুটি AB রেখার সাথে ∠POB উৎপন্ন করে। এখানে, O বিন্দুর সাপেক্ষে P বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠POB ।

সুতরাং ভূভঙ্গের উপরের কোন বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলা হয়।

Q বিন্দু ভূ-রেখার সমান্তরাল AB রেখার নিচের দিকে অবস্থিত। এখানে, O বিন্দুর সাপেক্ষে Q বিন্দুর অবনতি কোণ হচ্ছে ∠QOB। সুতরাং ভুতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোন বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলা হয়।

১. 30° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি > লম্ব হবে।

২. 45° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি = লম্ব হবে।

৩. 60° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি << লম্ব হবে।

উদাহরণ ১. একটি টাওয়ারের পাদদেশ থেকে 75 মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি 30° হলে, টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, টাওয়ারের উচ্চতা AB = h মিটার, টাওয়ারের পাদদেশ থেকে BC = 75 মিটার দূরে ভূতল C বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষ A বিন্দুর উন্নতি ∠ACB = 30°

উদাহরণ ২. একটি গাছের উচ্চতা 105 মিটার। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ 60° তৈরি করলে, গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান :

উদাহরণ ৩. 18 মিটার লম্বা একটি মই একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে ভূমির সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করে। দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, দেওয়ালটির উচ্চতা AB = h মিটার, মইটির দৈর্ঘ্য AC = 18 মিটার এবং ভূমির সঙ্গে ∠ACB = 45° উৎপন্ন করে।

সুতরাং দেওয়ালটির উচ্চতা 12.73 মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৪. ঝড়ে একটি গাছ হেলে পড়লো। গাছের গোড়া থেকে 7 মিটার উচ্চতায় একটি খুঁটি ঠেস দিয়ে গাছটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে খুঁটিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য BC : = মিটার, গাছের গোড়া থেকে AB 7 মিটার উচ্চতায় খুঁটিটি ঠেস দিয়ে আছে এবং অবনতি ∠DBC = 30°

$\therefore$ ∠ACB = ∠DBC = 30° [একান্তর কোণ বলে]

সমকোণী ∠ABC থেকে পাই,

$\therefore$ BC = 14

$\therefore$ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য 14 মিটার।

উদাহরণ ৫. ভূতলস্থ কোনো স্থানে একটি দালানের ছাদের একটি বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° । ঐ স্থান থেকে 42 মিটার পিছিয়ে গেলে দালানের ঐ বিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হয়। দালানের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, দালানের উচ্চতা AB = h মিটার এবং শীর্ষের উন্নতি ∠ACB = 60° এবং C স্থান থেকে CD = 42 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি ∠ADB = 45° হয়।

ধরি, BC = x মিটার।

$\therefore$ h = 99.373 (প্রায়)

$\therefore$ দালানটির উচ্চতা 99.37 মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৬. একটি খুঁটি এমন ভাবে ভেঙে গেল যে, তার অবিচ্ছিন্ন ভাঙা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য AB = h মিটার, খুঁটিটি BC = x মিটার উচ্চতায় ভেঙে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে ∠BCD = 30° উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে BD = 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে।

এখানে, CD = AC = AB – BC = (h – x) মিটার

△BCD থেকে পাই,

বা, h – x = 20 বা, h = 20 + x বা, h = $20+10\sqrt{3}$ [x এর মান বসিয়ে]

$\therefore$ h = 37.321 (প্রায়)