পাটীগণিত (Arithmetic)

মৌলিক প্রক্রিয়া

প্রধান আলোচ্য বিষয়

রোমান গণনা পদ্ধতি:

প্রক্রিয়া চিহ্ন (Operational symbol):

ক. পাটিগণিতে প্রক্রিয়া চিহ্ন

খ. বীজগণিতে প্রক্রিয়া চিহ্ন

Key Points:

১. আন্তর্জাতিক পদ্ধতির মূল কাঠামো

২. আন্তর্জাতিক গণনা ছক (এক নজরে)

৩. দেশীয় ও আন্তর্জাতিক পদ্ধতির তুলনা

৪. উদাহরণ

C.G.S পদ্ধতি কি

C.G.S পদ্ধতির পূর্ণরুপ হল সেন্টিমিটার গ্রাম সেকেন্ড পদ্ধতি (Centimetre  Gram Second System )।  ইহা মেট্রিক পদ্ধতির প্রথম অভিযোজন। এ পদ্ধতিতে-

• দৈর্ঘ্যের একক : সেন্টিমিটার (Centimetre)
• ভরের একক : গ্রাম ( Gram )
• সময়ের একক : সেকেন্ড (Second) ।

M.K.S পদ্ধতির পূর্ণরুপ হল মিটার কিলোগ্রাম সেকেন্ড পদ্ধতি  ( Metre Kilogram Second System )। এ পদ্ধতিতে --

• দৈর্ঘ্যের একক : মিটার ( Metre) 
• ভরের একক :  পাউন্ড ( Pound )
• সময়ের একক : সেকেন্ড (Second)। 

F.P.S  পদ্ধতি কি? 

উত্তর: F.P.S  পদ্ধতির পূর্ণরুপ হল ফুট পাউণ্ড সেকেন্ড পদ্ধতি (Foot Pound Second System )  এ পদ্ধতিতে --

• দৈর্ঘ্যের একক  : ফুট ( Foot)
• ভরের একক :   পাউন্ড (Pound)
• সময়ের একক : সেকেন্ড (Second)

S.I পদ্ধতি

১৯৬০ সাল থেকে দুনিয়া জোড়া বিভিন্ন রাশির একই রকম একক চালু করার সিদ্ধান্ত হয় । এককের এই পদ্ধতিকে বলা হয় আন্তর্জাতিক পদ্ধতি ( International Systems of Units) বা সংক্ষেপে এস, আই (S.I)  ১৯৮২ সাল থেকে বাংলাদেশের সর্বত্র দৈর্ঘ্য মাপার জন্য এবং ওজন নির্ণয়ের জন্য আন্তর্জাতিক পদ্ধতি গ্রহণ করা হয়েছে।

পরিমাপ

প্রাত্যহিক জীবনে ব্যবহৃত বিভিন্ন প্রকার ভােগ্যপণ্য ও অন্যান্য দ্রব্যের আকার, আকৃতি ও ধরনের ওপর এ পরিমাপ পদ্ধতি নির্ভর করে। দৈর্ঘ্য মাপার জন্য, ওজন পরিমাপ করার জন্য ও তরল পদার্থের আয়তন বের করার জন্য ভিন্ন ভিন্ন পরিমাপ পদ্ধতি রয়েছে। ক্ষেত্রফল ও ঘনফল নির্ণয়ের জন্য দৈর্ঘ্য পরিমাপ দ্বারা তৈরি পরিমাপ পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়। আবার জনসংখ্যা, পশুপাখি, গাছপালা, নদীনালা, ঘরবাড়ি, যানবাহন ইত্যাদির সংখ্যাও আমাদের জানার প্রয়ােজন হয়। গণনা করে এগুলাে পরিমাপ করা হয়।

পরিমাপ ও এককের পূর্ণতার ধারণা

যেকোনাে গণনায় বা পরিমাপে একক প্রয়ােজন। গণনার জন্য একক হচ্ছে প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যা ১।  দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যকে ১ একক ধরা হয়। অনুরূপভাবে, ওজন পরিমাপের জন্য নির্দিষ্ট কোনাে ওজনকে একক ধরা হয়, যাকে ওজনের একক বলে । আবার তরল পদার্থের আয়তন পরিমাপের এককও অনুরূপভাবে বের করা যায়। ক্ষেত্রফল পরিমাপের ক্ষেত্রে ১ একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গাকার ক্ষেত্রকে একক ধরা হয়। একে ১ বর্গ একক বলে । জ্রপ ১ একক দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট একটি ঘনকের ঘনফলকে ১ ঘন একক বলে। সকলক্ষেত্রেই এককের মাধ্যমে গণনায় বা পরিমাপে সম্পূর্ণ পরিমাপের ধারণা লাভ করা যায় । কিন্তু পরিমাপের জন্য বিভিন্ন দেশে বিভিন্ন একক রয়েছে।

মেট্রিক পদ্ধতিতে পরিমাপ

বিভিন্ন দেশে পরিমাপের জন্য বিভিন্ন পরিমাপ পদ্ধতি প্রচলিত থাকায় আন্তর্জাতিক ব্যবসাবাণিজ্যে ও আদানপ্রদানে অসুবিধা হয়। তাই ব্যবসাবাণিজ্যে ও আদানপ্রদানের ক্ষেত্রে পরিমাপ করার জন্য আন্তর্জাতিক রীতি তথা মেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহৃত হয়। এ পরিমাপের বৈশিষ্ট্য হলাে এটা দশগুণােত্তর । দশমিক ভগ্নাংশের দ্বারা এ পদ্ধতিতে পরিমাপ সহজে প্রকাশ করা যায়। অষ্টাদশ শতাব্দীতে ফ্রান্সে প্রথম এ পদ্ধতির প্রবর্তন করা হয় । বাংলাদেশে ১লা জুলাই, ১৯৮২ সাল থেকে এ মেট্রিক পদ্ধতি চালু করা হয়। এখন দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল, ওজন ও তরল পদার্থের আয়তন প্রতিটি পরিমাপেই এ পদ্ধতি পুরােপুরি প্রচলিত রয়েছে ।

দৈর্ঘ্য পরিমাপের একক মিটার। পৃথিবীর উত্তর মেরু থেকে ফ্রান্সের রাজধানী প্যারিসের দ্রাঘিমা রেখা বরাবর বিষুবরেখা পর্যন্ত দৈর্ঘ্যের কোটি ভাগের এক ভাগকে এক মিটার হিসেবে গণ্য করা হয় । পরবর্তীতে প্যারিস মিউজিয়ামে রক্ষিত এক খণ্ড ‘প্লাটিনামের রড’-এর দৈর্ঘ্য এক মিটার হিসেবে স্বীকৃত হয়েছে। এ দৈর্ঘ্যকেই একক হিসেবে ধরে রৈখিক পরিমাপ করা হয়। দৈর্ঘ্যের পরিমাপ ছােট হলে সেন্টিমিটারে এবং বড় হলে কিলােমিটারে প্রকাশ করা হয়। দৈর্ঘ্যের একক মিটার থেকে মেট্রিক পদ্ধতি নামকরণ করা হয়েছে।

ওজন পরিমাপের একক গ্রাম। এটি মেট্রিক পদ্ধতির একক। কম ওজনের বস্তুকে গ্রামে এবং বেশি ওজনের বস্তুকে কিলােগ্রাম (কে.জি.)-এ প্রকাশ করা হয়।

তরল পদার্থের আয়তন পরিমাপের একক লিটার। এটি মেট্রিক পদ্ধতির একক। অল্প আয়তনের তরল পদার্থের পরিমাপে লিটার ও বেশি পরিমাপের জন্য কিলােলিটার ব্যবহার করা হয়।
মেট্রিক পদ্ধতিতে কোনাে দৈর্ঘ্যকে নিম্নতর থেকে উচ্চতর অথবা উচ্চতর থেকে নিম্নতর এককে পরিবর্তিত করতে হলে, অঙ্কগুলাে পাশাপাশি লিখে দশমিক বিন্দুটি প্রয়ােজনমতাে বামে বা ডানে সরাতে হবে।
যেমন-  ৫ কি. মি. ৪ হে. মি. ৭ ডেকা.মি. ৬ মি. ৯ ডেসি.মি. ২ সে. মি. ৩ মি. মি.
= (৫০০০০০০ + ৪০০০০০ + ৭০০০০ + ৬০০০ + ৯০০ + ২০+৩) মি.মি.
= ৫৪৭৬৯২৩ মি. মি.
= ৫৪৭৬৯২.৩ সে. মি.
= ৫৪৭৬৯.২৩ ডেসি.মি.
= ৫৪৭৬.৯২৩ মি.
= ৫৪৭.৬৯২৩ ডেকা.মি.
= ৫৪.৭৬৯২৩ হে. মি.
= ৫.৪৭৬৯২৩ কি. মি. ।

আমরা জানি, কোনাে দশমিক সংখ্যার কোনাে অঙ্কের স্থানীয় মান এর অব্যবহিত ডান অঙ্কের স্থানীয় মানের দশ গুণ এবং এর অব্যবহিত বাম অঙ্কের স্থানীয় মানের দশ ভাগের এক ভাগ। মেট্রিক পদ্ধতিতে দৈর্ঘ্য, ওজন বা আয়তন মাপার ক্রমিক এককগুলাের মধ্যেও এরূপ সম্পর্ক বিদ্যমান আছে। সুতরাং, মেট্রিক পদ্ধতিতে নিরূপিত কোনাে দৈর্ঘ্য, ওজন বা আয়তনের মাপকে দশমিকের সাহায্যে সহজেই যেকোনাে এককে প্রকাশ করা যায়।

• ১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে. মি. (প্রায়)
• ১ গজ = ০.৯১৪৪ মি.(প্রায়)
• ১ মাইল = ১.৬১ কি. মি. (প্রায়)
• ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)
• ১ কি. মি. = ০.৬২ মাইল (প্রায়)

মেট্রিক ও ব্রিটিশ পরিমাপের সম্পর্ক সঠিকভাবে নির্ণয় করা সম্ভব নয়। তাই এ সম্পর্ক আসন্নমান হিসেবে কয়েক দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নিয়ে প্রকাশ করা হয়। ছােট দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য স্কেল ব্যবহৃত হয়। বড় দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য ফিতা ব্যবহার করা হয়। ফিতা ৩০ মিটার বা ১০০ ফুট লম্বা হয়ে থাকে।

ওজন পরিমাপ

প্রত্যেক বস্তুর ওজন আছে। বিভিন্ন দেশে বিভিন্ন এককের সাহায্যে বস্তু ওজন করা হয়।

ওজন পরিমাপের মেট্রিক এককাবলি

• ১০ মিলিগ্রাম (মি. গ্রা.) = ১০ সেন্টিগ্রাম
• ১০ সেন্টিগ্রাম  = ১ ডেসিগ্রাম (সে. গ্রা.)
• ১০ ডেসিগ্রাম = ১ গ্রাম (গ্রা.)
• ১০ গ্রাম = ১ ডেকাগ্রাম (ডেকা গ্রা.)
• ১০ ডেকাগ্রাম= ১ হেক্টোগ্রাম (হে. গ্রা.)
• ১ হেক্টোগ্রাম = ১০ কিলােগ্রাম (কে. জি.)

ওজন পরিমাপের একক : গ্রাম  ১ কিলােগ্রাম বা ১ কে.জি. = ১০০০ গ্রাম

মেট্রিক পদ্ধতিতে ওজন পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত আরও দুইটি একক আছে। অধিক পরিমাণ বস্তুর ওজন পরিমাপের জন্য কুইন্টাল ও মেট্রিক টন একক দুইটি ব্যবহার করা হয়।
১০০ কিলােগ্রাম = ১ কুইন্টাল
১০০০ কিলােগ্রাম= = ১ মেট্রিক টন

তরল পদার্থের আয়তন পরিমাপ

কোনাে তরল পদার্থ যতটুকু জায়গা জুড়ে থাকে তা এর আয়তন। একটি ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে। কিন্তু কোনাে তরল পদার্থের নির্দিষ্টভাবে তা নেই। যে পাত্রে তরল পদার্থ রাখা হয় তা সেই পাত্রের আকার ধারণ করে। এ জন্য নির্দিষ্ট আয়তনের কোনাে ঘনবস্তুর আকৃতির মাপনি দ্বারা তরল পদার্থ মাপা হয়। এক্ষেত্রে আমরা সাধারণত লিটার মাপনি ব্যবহার করি। এ মাপনিগুলাে ,১/৪, ১/২, ১, ২, ৩, ৪ ইত্যাদি লিটারবিশিষ্ট এলুমিনিয়াম বা টিনের শিট দ্বারা তৈরি এক প্রকারের কোনক আকৃতির পাত্র বা সিলিন্ডার আকৃতির মগ। আবার স্বচ্ছ কাচের তৈরি ২৫, ৫০, ১০০, ২০০, ৩০০, ৫০০, ১০০০ মিলিলিটার দাগকাটা খাড়া পাত্রও ব্যবহার করা হয়। সাধারণত দুধ ও তেল মাপার ক্ষেত্রে উল্লিখিত পাত্রগুলাে ব্যবহার করা হয়।

ক্রেতা-বিক্রেতার সুবিধার্থে বর্তমানে ভােজ্যতেল বােতলজাত করে বিক্রি হচ্ছে। এ ক্ষেত্রে ১, ২, ৫ ও ৮ লিটারের বােতল বেশি ব্যবহৃত হয়। বিভিন্ন প্রকারের পানীয় সাধারণত ২৫০, ৫০০, ১০০০, ২০০০ মিলিলিটারে বােতলজাত করে বিক্রি করা হয়।

তরল পদার্থের আয়তন পরিমাপের মেট্রিক এককাবলি

• ১০ মিলিলিটার (মি. লি.)  = ১ সেন্টিলিটার (সে. লি.)
• ১০  সেন্টিলিটার (সে. লি.) = ১ ডেসিলিটার (ডেসিলি.)
• ১০ ডেসিলিটার = ১ লিটার (লি.)
• ১০ লিটার  = ১ ডেকালিটার (ডেকালি.)
• ১০ ডেকালিটার = ১ হেক্টোলিটার (হে. লি.)
• ১০ হেক্টোলিটার = ১ কিলােলিটার (কি. লি.)

ক্ষেত্রফল পরিমাপ

আয়তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পরিমাপ = দৈর্ঘ্যের পরিমাপ X প্রস্থের পরিমাপ
বর্গাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পরিমাপ = (বাহুর পরিমাপ)^২
ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের পরিমাপ = ১/২x ভূমির পরিমাপ x উচ্চতার পরিমাপ

ক্ষেত্রফল পরিমাপের একক : বর্গমিটার

ক্ষেত্রফল পরিমাপের মেট্রিক এককাবলি

• ১০০ বর্গসেন্টিমিটার (ব. সে. মি.) = =১ বর্গডেসিমিটার (ব. ডেসিমি.)
• ১০০ বর্গডেসিমিটার = ১ বর্গমিটার (ব. মি.)
• ১০০ বর্গমিটার  = ১ এয়র (বর্গডেকামিটার)
• ১০০ এয়র (বর্গডেকামিটার) =  ১ হেক্টর বা ১ বর্গহেক্টোমিটার
• ১০০ বর্গহেক্টোমিটার = ১ বর্গকিলােমিটার

ক্ষেত্রফল পরিমাপের ব্রিটিশ এককাবলি

• ১৪৪ বর্গইঞ্চি = ১ বর্গফুট।
• ৯ বর্গফুট= ১ বর্গগজ
• ৪৮৪০ বর্গগজ = ১ একর
• ১০০ শতক (ডেসিমূল) = ১ একর।

ক্ষেত্রফল পরিমাপের দেশীয় এককাবলি

• ১ বর্গহাত  = ১ গণ্ডা
• ২০ গণ্ডা = ১ ছটাক
• ১৬ ছটাক = ১ কাঠা
• ২০ কাঠা = ১ বিঘা

ক্ষেত্রফল পরিমাপে মেট্রিক ও ব্রিটিশ পদ্ধতির সম্পর্ক

• ১ বর্গসেন্টিমিটার = ০.১৬ বর্গইঞ্চি (প্রায়)
• ১ বর্গমিটার = ১০.৭৬ বর্গফুট (প্রায়)
• ১ হেক্টর = ২.৪৭ একর (প্রায়)
• ১ বর্গইঞ্চি = ৬.৪৫ বর্গসেন্টিমিটার (প্রায়)
• ১ বর্গফুট = ৯২৯ বর্গসেন্টিমিটার (প্রায়)
• ১ বর্গগজ = ০.৮৪ বর্গমিটার (প্রায়)
• ১ বর্গমাইল = ৬৪০ একর

ক্ষেত্রফল পরিমাপে মেট্রিক, ব্রিটিশ ও দেশীয় এককাবলির সম্পর্ক

• ১ বর্গহাত = ৩২৪ বর্গইঞ্চি
• ১ বর্গগজ বা ৪ গণ্ডা = ৯ বর্গফুট = ০.৮৩৬ বর্গমিটার (প্রায়)
• ১ কাঠা= ৭২০ বর্গফুট = ৮০ বর্গগজ = ৬৬.৮৯ বর্গমিটার (প্রায়)
• ১ বিঘা= ১৬০০ বর্গগজ = ১৩৩৭.৮ বর্গমিটার (প্রায়)
• ১ একর= ৩ বিঘা ৮ ছটাক = ৪০৪৬.৮৬ বর্গমিটার (প্রায়)
• ১ শতক= ৪৩৫.৬ বর্গফুট = ১০০০ বর্গকড়ি (১০০ কড়ি = ৬৬ ফুট)
• ১ বর্গমাইল = ১৯৩৬ বিঘা
• ১ বর্গমিটার = ৪.৭৮ গণ্ডা (প্রায়) = ০.২৩৯ ছটাক (প্রায়)
• ১ এয়র= ২৩.৯ ছটাক (প্রায়)|

সংখ্যা পদ্ধতি (Number System)

সংখ্যা পদ্ধতি হলো এমন একটি পদ্ধতি যার মাধ্যমে বিভিন্ন ধরনের সংখ্যা প্রকাশ, গণনা ও বিশ্লেষণ করা হয়। গণিত ও কম্পিউটার বিজ্ঞানে এটি একটি মৌলিক ধারণা।

সংখ্যা পদ্ধতির প্রধান প্রকারভেদ

• প্রাকৃতিক সংখ্যা (Natural Numbers)
• পূর্ণ সংখ্যা (Whole Numbers)
• পূর্ণসংখ্যা (Integers)
• মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers)
• অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers)
• বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)

১. প্রাকৃতিক সংখ্যা (Natural Numbers)

যে সকল সংখ্যা 1, 2, 3, 4, ... ইত্যাদি গণনার জন্য ব্যবহৃত হয় তাদের প্রাকৃতিক সংখ্যা বলে।

সেট আকারে: N = {1, 2, 3, 4, ...}

২. পূর্ণ সংখ্যা (Whole Numbers)

প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে 0 যুক্ত হলে তাকে পূর্ণ সংখ্যা বলে।

W = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

৩. পূর্ণসংখ্যা (Integers)

ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য মিলিয়ে পূর্ণসংখ্যা গঠিত।

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

৪. মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers)

যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে q ≠ 0) তাকে মূলদ সংখ্যা বলে।

$Q=\frac{p}{q}$

উদাহরণ

1/2, 3, -5, 0.75 ইত্যাদি

৫. অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers)

যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।

উদাহরণ: √2, √3, π ইত্যাদি

৬. বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)

মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা মিলিয়ে বাস্তব সংখ্যা গঠিত হয়।

R = Q ∪ Irrational Numbers

সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি (Base of Number System)

সংখ্যা প্রকাশের জন্য ব্যবহৃত অঙ্কের সংখ্যা অনুযায়ী ভিত্তি নির্ধারিত হয়।

• দশমিক পদ্ধতি (Base 10)
• বাইনারি পদ্ধতি (Base 2)
• অক্টাল পদ্ধতি (Base 8)
• হেক্সাডেসিমাল (Base 16)

১. দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি (Decimal System)

এতে 0 থেকে 9 পর্যন্ত মোট 10টি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়।

২. বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি (Binary System)

এতে শুধুমাত্র 0 এবং 1 ব্যবহৃত হয়।

৩. অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতি (Octal System)

এতে 0 থেকে 7 পর্যন্ত মোট 8টি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়।

৪. হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা পদ্ধতি

এতে 0–9 এবং A–F পর্যন্ত মোট 16টি চিহ্ন ব্যবহৃত হয়।

স্থানীয় মান (Place Value)

প্রতিটি অঙ্কের মান তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে।

উদাহরণ: 345

3 = 300, 4 = 40, 5 = 5

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• সকল প্রাকৃতিক সংখ্যা পূর্ণ সংখ্যা
• সকল পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা নয়
• π এবং √2 অমূলদ সংখ্যা
• বাস্তব সংখ্যা = মূলদ + অমূলদ

মনে রাখার কৌশল

• N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
• Binary → 2 digits (0,1)
• Decimal → 10 digits (0–9)

বিভাজ্যতার নিয়ম (Divisibility Rules)

কোনো সংখ্যা আরেকটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যাবে কিনা তা দ্রুত নির্ণয়ের নিয়মকে বিভাজ্যতার নিয়ম বলা হয়। নিচে 2 থেকে 13 পর্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিভাজ্যতার নিয়ম দেওয়া হলো।

বিভাজ্যতা নির্ণয়

২ দ্বারা বিভাজ্যতা

যে সংখ্যার শেষ অঙ্ক 0, 2, 4, 6, 8 হবে, তা 2 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 124, 560

৩ দ্বারা বিভাজ্যতা

অঙ্কগুলোর যোগফল যদি 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যাটিও 3 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 123 → 1+2+3 = 6 (3 দ্বারা বিভাজ্য)

৪ দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ দুই অঙ্ক যদি 4 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 316 → 16 ÷ 4 = 4 (হ্যাঁ)

৫ দ্বারা বিভাজ্যতা

যে সংখ্যার শেষ অঙ্ক 0 বা 5, তা 5 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 25, 120

৬ দ্বারা বিভাজ্যতা

যে সংখ্যা 2 এবং 3 উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তা 6 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 126 (জোড় এবং 1+2+6=9)

৭ দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ অঙ্কের দ্বিগুণ বাকি সংখ্যার থেকে বাদ দিলে ফল 7 দ্বারা বিভাজ্য হলে মূল সংখ্যাও বিভাজ্য।

উদাহরণ: 203 → 20 − (3×2)=14 (7 দ্বারা বিভাজ্য)

৮ দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ তিন অঙ্ক যদি 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 8 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 1000 → 000 = 0

৯ দ্বারা বিভাজ্যতা

অঙ্কগুলোর যোগফল যদি 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 9 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 729 → 7+2+9=18

১০ দ্বারা বিভাজ্যতা

যে সংখ্যার শেষ অঙ্ক 0, তা 10 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 150, 230

১১ দ্বারা বিভাজ্যতা

বিজোড় স্থানের অঙ্কের যোগফল ও জোড় স্থানের অঙ্কের যোগফলের পার্থক্য যদি 0 বা 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 121 → (1+1) − 2 = 0

১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ অঙ্ককে 4 দিয়ে গুণ করে বাকি সংখ্যার সাথে যোগ করলে ফল যদি 13 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাও বিভাজ্য।

উদাহরণ: 286 → 28 + (6×4)=28+24=52 (13 দ্বারা বিভাজ্য)

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• 2, 5, 10 → শেষ অঙ্ক দেখে
• 3, 9 → অঙ্কের যোগফল দেখে
• 4, 8 → শেষ 2 বা 3 অঙ্ক দেখে
• 6 → 2 এবং 3 উভয় শর্ত
• 11, 13 → বিশেষ নিয়ম ব্যবহার করতে হয়

মনে রাখার কৌশল

• Even → 2
• Last 0/5 → 5
• Sum rule → 3 & 9
• Last 2 digits → 4
• Last 3 digits → 8

২, ৪, ৮ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility Rules of 2, 4, 8)

বিভাজ্যতার নিয়ম ব্যবহার করে সহজেই বোঝা যায় কোনো সংখ্যা 2, 4 বা 8 দ্বারা বিভাজ্য কিনা।

২ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 2)

যে সংখ্যার এককের অঙ্ক (শেষ অঙ্ক) 0, 2, 4, 6, 8 হবে, সেই সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য।

নিয়ম: শেষ অঙ্ক জোড় সংখ্যা হতে হবে

উদাহরণ:

124 → শেষ অঙ্ক 4 (জোড়) ⇒ 2 দ্বারা বিভাজ্য
567 → শেষ অঙ্ক 7 (বিজোড়) ⇒ বিভাজ্য নয়

৪ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 4)

যদি কোনো সংখ্যার শেষ দুই অঙ্ক 4 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে পুরো সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য।

নিয়ম: শেষ ২ অঙ্ক 00 অথবা 4 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে

উদাহরণ:

316 → শেষ দুই অঙ্ক 16 (16 ÷ 4 = 4) ⇒ বিভাজ্য
725 → শেষ দুই অঙ্ক 25 (25 ÷ 4 নয়) ⇒ বিভাজ্য নয়

৮ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 8)

যদি কোনো সংখ্যার শেষ তিন অঙ্ক 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে পুরো সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য।

নিয়ম: শেষ ৩ অঙ্ক 000 বা 8 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে

উদাহরণ:

1000 → শেষ তিন অঙ্ক 000 ⇒ বিভাজ্য
1248 → শেষ তিন অঙ্ক 248 (248 ÷ 8 = 31) ⇒ বিভাজ্য
1356 → শেষ তিন অঙ্ক 356 (356 ÷ 8 নয়) ⇒ বিভাজ্য নয়

তুলনামূলক সারাংশ

• 2 → শেষ অঙ্ক জোড় (0,2,4,6,8)
• 4 → শেষ 2 অঙ্ক 4 দ্বারা বিভাজ্য
• 8 → শেষ 3 অঙ্ক 8 দ্বারা বিভাজ্য

মনে রাখার কৌশল

• 2 → Even digit rule
• 4 → Last 2 digits
• 8 → Last 3 digits

৩ ও ৯ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility Rules of 3 & 9)

৩ ও ৯ দ্বারা বিভাজ্যতা নির্ণয়ের সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল পরীক্ষা করা।

৩ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 3)

যদি কোনো সংখ্যার সব অঙ্কের যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাটিও 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

নিয়ম: অঙ্কগুলোর যোগফল 3 এর গুণিতক হতে হবে

উদাহরণ:

123 → 1 + 2 + 3 = 6 (6 ÷ 3 = 2) ⇒ বিভাজ্য
245 → 2 + 4 + 5 = 11 (11 ÷ 3 নয়) ⇒ বিভাজ্য নয়

৯ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 9)

যদি কোনো সংখ্যার সব অঙ্কের যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাটিও 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

নিয়ম: অঙ্কগুলোর যোগফল 9 এর গুণিতক হতে হবে

উদাহরণ:

729 → 7 + 2 + 9 = 18 (18 ÷ 9 = 2) ⇒ বিভাজ্য
234 → 2 + 3 + 4 = 9 ⇒ বিভাজ্য
158 → 1 + 5 + 8 = 14 ⇒ বিভাজ্য নয়

৩ ও ৯ এর সম্পর্ক

• সব ৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা অবশ্যই ৩ দ্বারা বিভাজ্য
• কিন্তু সব ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়

উদাহরণ:

18 → 1+8=9 ⇒ 3 ও 9 উভয় দ্বারা বিভাজ্য
12 → 1+2=3 ⇒ শুধু 3 দ্বারা বিভাজ্য

তুলনামূলক সারাংশ

• 3 → অঙ্কের যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য
• 9 → অঙ্কের যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য

মনে রাখার কৌশল

• Sum of digits → 3 & 9
• 9 stronger condition than 3

৬ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 6: 2 ও 3 এর সমন্বয়)

কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা নির্ণয় করার সবচেয়ে সহজ নিয়ম হলো ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্যতা একসাথে পরীক্ষা করা।

নিয়ম:

যদি কোনো সংখ্যা একই সাথে ২ দ্বারা বিভাজ্য এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

অর্থাৎ:

$6=2\times 3$

৬ দ্বারা বিভাজ্যতার শর্ত

• সংখ্যা অবশ্যই জোড় (Even) হতে হবে → 2 দ্বারা বিভাজ্যতা
• অঙ্কগুলোর যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে → 3 দ্বারা বিভাজ্যতা

উদাহরণ ১

126 সংখ্যা বিবেচনা করি:

• শেষ অঙ্ক 6 → জোড় ⇒ 2 দ্বারা বিভাজ্য
• 1 + 2 + 6 = 9 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য

অতএব, 126 সংখ্যা 6 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ ২

154 সংখ্যা বিবেচনা করি:

• শেষ অঙ্ক 4 → জোড় ⇒ 2 দ্বারা বিভাজ্য
• 1 + 5 + 4 = 10 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়

অতএব, 154 সংখ্যা 6 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

সহজ কৌশল

যদি সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য না হয়, তাহলে সেটি ৬ দ্বারা কখনোই বিভাজ্য হবে না।

মনে রাখার কৌশল

• 6 = 2 + 3 এর কম্বিনেশন
• Even + Sum rule ⇒ 6

৭, ১১, ১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility Rules of 7, 11, 13)

৭, ১১ ও ১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা নির্ণয়ের জন্য কিছু বিশেষ কৌশল ব্যবহার করা হয়। এই নিয়মগুলো সাধারণ যোগ বা শেষ অঙ্কের উপর নির্ভর করে না, বরং ধাপে ধাপে সংখ্যা পরিবর্তন করে পরীক্ষা করা হয়।

৭ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 7)

নিয়ম: শেষ অঙ্ককে 2 দ্বারা গুণ করে বাকি সংখ্যার সাথে বিয়োগ করলে যদি ফলাফল 7 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাও 7 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 203

শেষ অঙ্ক = 3
বাকি সংখ্যা = 20
3 × 2 = 6
20 − 6 = 14

14 ÷ 7 = 2 ⇒ বিভাজ্য

অর্থাৎ 203 সংখ্যা 7 দ্বারা বিভাজ্য।

১১ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 11)

নিয়ম: বিজোড় স্থানের অঙ্কের যোগফল এবং জোড় স্থানের অঙ্কের যোগফলের পার্থক্য যদি 0 বা 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 121

বিজোড় স্থান: 1 + 1 = 2
জোড় স্থান: 2
পার্থক্য: 2 − 2 = 0

অতএব, 121 সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য।

আরেকটি উদাহরণ: 2728

বিজোড় স্থান: 2 + 2 = 4
জোড় স্থান: 7 + 8 = 15
পার্থক্য: 15 − 4 = 11

11 দ্বারা বিভাজ্য ⇒ সংখ্যা বিভাজ্য

১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 13)

নিয়ম: শেষ অঙ্ককে 4 দ্বারা গুণ করে বাকি সংখ্যার সাথে যোগ করলে যদি ফলাফল 13 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাও 13 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 286

শেষ অঙ্ক = 6
বাকি সংখ্যা = 28
6 × 4 = 24
28 + 24 = 52

52 ÷ 13 = 4 ⇒ বিভাজ্য

অর্থাৎ 286 সংখ্যা 13 দ্বারা বিভাজ্য।

তুলনামূলক সারাংশ

• 7 → শেষ অঙ্ক ×2 বিয়োগ নিয়ম
• 11 → odd-even position difference
• 13 → শেষ অঙ্ক ×4 যোগ নিয়ম

মনে রাখার কৌশল

• 7 → subtract method
• 11 → alternating sum
• 13 → multiply last digit by 4

যৌগিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by Composite Numbers)

যৌগিক সংখ্যা (Composite Numbers) হলো এমন সংখ্যা যেগুলোর ১ এবং নিজ সংখ্যা ছাড়াও আরও গুণনীয়ক থাকে। যেমন: 6, 12, 15, 18, 24, 72 ইত্যাদি।

যৌগিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতা নির্ণয়ের মূল কৌশল হলো—ঐ সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনে (Prime Factorization) ভেঙে নেওয়া এবং প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের শর্ত পূরণ করা।

মূল ধারণা:

যদি কোনো সংখ্যা A, B ও C এর গুণফল হয়, তবে কোনো সংখ্যা A দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে সেটি B এবং C উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

৬ দ্বারা বিভাজ্যতা (2 × 3)

৬ = 2 × 3

অতএব, সংখ্যা 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি—
• সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য হয় (শেষ অঙ্ক জোড়)
• এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য হয় (অঙ্কের যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য)

উদাহরণ: 126

• জোড় সংখ্যা ⇒ 2 দ্বারা বিভাজ্য
• 1+2+6=9 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 6 দ্বারা বিভাজ্য

১২ দ্বারা বিভাজ্যতা (3 × 4)

১২ = 3 × 4

শর্ত:
• 3 দ্বারা বিভাজ্যতা (অঙ্কের যোগফল)
• 4 দ্বারা বিভাজ্যতা (শেষ 2 অঙ্ক)

উদাহরণ: 324

• 3+2+4=9 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য
• শেষ 2 অঙ্ক 24 ⇒ 4 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 12 দ্বারা বিভাজ্য

১৫ দ্বারা বিভাজ্যতা (3 × 5)

১৫ = 3 × 5

শর্ত:
• 3 দ্বারা বিভাজ্য (অঙ্কের যোগফল)
• 5 দ্বারা বিভাজ্য (শেষ অঙ্ক 0 বা 5)

উদাহরণ: 135

• 1+3+5=9 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য
• শেষ অঙ্ক 5 ⇒ 5 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 15 দ্বারা বিভাজ্য

১৮ দ্বারা বিভাজ্যতা (2 × 9)

১৮ = 2 × 9

শর্ত:
• সংখ্যা জোড় হতে হবে (2 দ্বারা বিভাজ্য)
• অঙ্কের যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে

উদাহরণ: 198

• শেষ অঙ্ক 8 ⇒ জোড়
• 1+9+8=18 ⇒ 9 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 18 দ্বারা বিভাজ্য

২৪ দ্বারা বিভাজ্যতা (3 × 8)

২৪ = 3 × 8

শর্ত:
• 3 দ্বারা বিভাজ্য (অঙ্কের যোগফল)
• 8 দ্বারা বিভাজ্য (শেষ 3 অঙ্ক)

উদাহরণ: 1248

• 1+2+4+8=15 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য
• শেষ 3 অঙ্ক 248 ⇒ 8 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 24 দ্বারা বিভাজ্য

৭২ দ্বারা বিভাজ্যতা (8 × 9)

৭২ = 8 × 9

শর্ত:
• 8 দ্বারা বিভাজ্যতা (শেষ 3 অঙ্ক)
• 9 দ্বারা বিভাজ্যতা (অঙ্কের যোগফল)

উদাহরণ: 648

• 6+4+8=18 ⇒ 9 দ্বারা বিভাজ্য
• শেষ 3 অঙ্ক 648 ⇒ 8 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 72 দ্বারা বিভাজ্য

সারসংক্ষেপ

• 6 = 2 × 3
• 12 = 3 × 4
• 15 = 3 × 5
• 18 = 2 × 9
• 24 = 3 × 8
• 72 = 8 × 9

মনে রাখার কৌশল

যৌগিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতা সবসময় “Prime factor rule” অনুসরণ করে:
⇒ প্রতিটি মৌলিক শর্ত আলাদাভাবে পূরণ করতে হবে।

ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষের সম্পর্ক (Dividend, Divisor, Quotient & Remainder Relation)

কোনো সংখ্যা আরেকটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে চারটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ পাওয়া যায়—ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল এবং ভাগশেষ।

মূল ধারণা

যখন একটি সংখ্যা (ভাজ্য) কে অন্য একটি সংখ্যা (ভাজক) দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন একটি পূর্ণ ভাগফল এবং কিছু অংশ অবশিষ্ট থাকে, যাকে ভাগশেষ বলা হয়।

গাণিতিক সম্পর্ক

$\mathrm{Dividend}=\mathrm{Divisor}\times \mathrm{Quotient}+\mathrm{Remainder}$

সংক্ষেপে সূত্র:

$A=B\times Q+R$

এখানে,
A = ভাজ্য (Dividend)
B = ভাজক (Divisor)
Q = ভাগফল (Quotient)
R = ভাগশেষ (Remainder)

ভাগশেষের শর্ত

ভাগশেষ সর্বদা ভাজকের চেয়ে ছোট হবে:

$R<B$

উদাহরণ

ধরা যাক, 29 কে 5 দ্বারা ভাগ করা হলো।

29 ÷ 5 = 5 (ভাগফল) এবং 4 (ভাগশেষ)

অতএব,

$29=5\times 5+4$

আরেকটি উদাহরণ

47 কে 6 দ্বারা ভাগ করলে:

47 ÷ 6 = 7, ভাগশেষ 5

$47=6\times 7+5$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• ভাগশেষ কখনোই ভাজকের সমান বা বড় হতে পারে না
• ভাগফল পূর্ণ সংখ্যা হয় (সাধারণ ভাগে)
• এই সূত্র সব ধরনের ভাগের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য

মনে রাখার কৌশল

Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
⇒ ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ

ভাগশেষ নির্ণয় (Finding Remainder)

ভাগশেষ নির্ণয় বলতে বোঝায় কোনো সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকে তা বের করা। এটি গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, বিশেষ করে বিভাজ্যতা ও সংখ্যাতত্ত্বে।

মূল সূত্র

$A=B\times Q+R$

এখানে,
A = ভাজ্য (Dividend)
B = ভাজক (Divisor)
Q = ভাগফল (Quotient)
R = ভাগশেষ (Remainder)

ভাগশেষ নির্ণয়ের প্রধান পদ্ধতি

১. সরাসরি ভাগ (Direct Division Method)

সংখ্যাটিকে ভাজক দ্বারা ভাগ করে সরাসরি ভাগশেষ বের করা হয়।

উদাহরণ: 29 ÷ 5

5 × 5 = 25
29 − 25 = 4

অতএব, ভাগশেষ = 4

২. সূত্র ব্যবহার করে (Formula Method)

যদি ভাগফল জানা থাকে:

$R=A-(B\times Q)$

উদাহরণ:

A = 47, B = 6, Q = 7

R = 47 − (6 × 7) = 47 − 42 = 5

৩. ছোট ভাগের দ্রুত কৌশল (Short Trick Method)

• ভাজকের কাছাকাছি গুণফল বের করে বিয়োগ করতে হবে
• অবশিষ্ট অংশই ভাগশেষ

উদাহরণ: 83 ÷ 7

7 × 11 = 77
83 − 77 = 6

অতএব, ভাগশেষ = 6

৪. বিভাজ্যতা ব্যবহার করে (Using Divisibility)

যদি সংখ্যা সম্পূর্ণভাবে বিভাজ্য হয়, তবে ভাগশেষ = 0

উদাহরণ:

72 ÷ 8 = 9, ভাগশেষ 0

গুরুত্বপূর্ণ শর্ত

• ভাগশেষ সর্বদা ভাজকের চেয়ে ছোট হবে

$R<B$

উদাহরণসমূহ

• 25 ÷ 4 → ভাগশেষ 1
• 50 ÷ 6 → ভাগশেষ 2
• 100 ÷ 9 → ভাগশেষ 1

মনে রাখার কৌশল

• ভাগশেষ = অবশিষ্ট অংশ
• R = A − B×Q
• ভাগশেষ কখনোই ভাজকের সমান বা বেশি হতে পারে না

সংখ্যার ইতিহাস মানব সভ্যতার ইতিহাসের মতই প্রাচীন। পরিমাণকে প্রতীক দিয়ে সংখ্যা আকারে প্রকাশ করার পদ্ধতি থেকে গণিতের উৎপত্তি। গ্রিক দার্শনিক এরিস্টটলের মতে, প্রাচীন মিশরের পুরোহিত সম্প্রদায়ের অনুশীলনের মাধ্যমে গণিতের আনুষ্ঠানিক অভিষেক ঘটে। তাই বলা যায় সংখ্যাভিত্তিক গণিতের সৃষ্টি যীশুখ্রিস্টের জন্মের প্রায় দুই হাজার বছর পূর্বে। এরপর নানা জাতি ও সভ্যতার হাত ঘুরে সংখ্যা ও সংখ্যারীতি অধুনা একটি সার্বজনীন রূপ ধারণ করেছে।
স্বাভাবিক সংখ্যার গণনার প্রয়োজনে প্রাচীন ভারতবর্ষের গণিতবিদগণ সর্বপ্রথম শূন্য ও দশভিত্তিক স্থানীয়মান পদ্ধতির প্রচলন করেন, যা সংখ্যা বর্ণনায় একটি মাইলফলক হিসেবে বিবেচিত হয়। পরে ভারতীয় ও চীনা গণিতবিদগণ শূন্য, ঋণাত্মক, বাস্তব, পূর্ণ ও ভগ্নাংশের ধারণার বিস্তৃতি ঘটান যা মধ্যযুগে আরবীয় গণিতবিদগণ ভিত্তি হিসেবে গ্রহণ করেন। দশমিক ভগ্নাংশের সাহায্যে সংখ্যা প্রকাশের কৃতিত্ব মধ্যপ্রাচ্যের মুসলিম গণিতবিদদের বলে মনে করা হয়। আবার তাঁরাই একাদশ শতাব্দীতে সর্বপ্রথম বীজগণিতীয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হিসেবে বর্গমূল আকারে অমূলদ সংখ্যার প্রবর্তন করেন। ইতিহাসবিদদের ধারণা খ্রিস্টপূর্ব ৫০০ অব্দের কাছাকাছি গ্রিক দার্শনিকরাও জ্যামিতিক অঙ্কনের প্রয়োজনে অমূলদ সংখ্যা, বিশেষ করে দুই-এর বর্গমূলের প্রয়োজনীয়তা অনুভব করেছিলেন। ঊনবিংশ শতাব্দীতে ইউরোপীয় গণিতবিদগণ বাস্তব সংখ্যাকে প্রণালীবদ্ধ করে পূর্ণতা দান করেন। দৈনন্দিন প্রয়োজনে বাস্তব সংখ্যা সম্বন্ধে শিক্ষার্থীদের সুস্পষ্ট জ্ঞান থাকা প্রয়োজন। এ অধ্যায়ে বাস্তব সংখ্যা বিষয়ে সামগ্রিক আলোচনা করা হয়েছে।

বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস (Classification of Real Numbers)

বাস্তব সংখ্যা (Real Number) হলো এমন সব সংখ্যা যেগুলোকে সংখ্যা রেখায় প্রকাশ করা যায়। বাস্তব সংখ্যাকে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে কয়েকটি শ্রেণিতে ভাগ করা হয়।

বাস্তব সংখ্যার প্রকারভেদ

• স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number)
• পূর্ণ সংখ্যা (Integer)
• মূলদ সংখ্যা (Rational Number)
• অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)
• বাস্তব সংখ্যা (Real Number)

শ্রেণিবিন্যাস চিত্র

উদাহরণ

মনে রাখার উপায়

• সকল স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণ সংখ্যা
• সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যা
• সকল মূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যা

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number): 1, 2, 3, 4, ... ইত্যাদি স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা । 2, 3, 5, 7, ... ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা এবং 4, 6, 8, 9, ... ইত্যাদি যৌগিক সংখ্যা । দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার গ.সা.গু. 1 হলে এদেরকে পরস্পরের সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন 6 ও 35 পরস্পরের সহমৌলিক।

গণনার জন্য ব্যবহৃত ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলা হয়। সাধারণভাবে ১ থেকে শুরু করে ধারাবাহিকভাবে বৃদ্ধি পাওয়া সংখ্যাগুলোই স্বাভাবিক সংখ্যা।

উদাহরণ

$1,2,3,4,5,...$

প্রকাশ

স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য

• স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো সবসময় ধনাত্মক হয়।
• এতে ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা থাকে না।
• ০ সাধারণত স্বাভাবিক সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত নয়।
• স্বাভাবিক সংখ্যার কোনো শেষ নেই।

মনে রাখার উপায়

গণনা করার জন্য যেসব সংখ্যা ব্যবহার করা হয়, সেগুলোই স্বাভাবিক সংখ্যা।

যেমন: ১টি বই, ২টি কলম, ৩টি খাতা ইত্যাদি।

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number): যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার মাত্র দুটি গুণনীয়ক থাকে— ১ এবং সংখ্যাটি নিজে, তাদের মৌলিক সংখ্যা বলা হয়।

উদাহরণ

$2,3,5,7,11,13,...$

প্রকাশ

মৌলিক সংখ্যার কোনো নির্দিষ্ট প্রতীক নেই, তবে সাধারণত Prime Number হিসেবে প্রকাশ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য

• মৌলিক সংখ্যার গুণনীয়ক মাত্র দুটি।
• ১ মৌলিক সংখ্যা নয়।
• ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
• ২ ছাড়া সকল মৌলিক সংখ্যা বিজোড়।

মনে রাখার উপায়

যে সংখ্যাকে শুধু ১ এবং নিজে ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, সেটিই মৌলিক সংখ্যা।

যেমন: ৫ কে শুধু ১ ও ৫ দিয়ে ভাগ করা যায়।

Key Notes:

১-১০ পর্যন্ত মোট ৪ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7

১-২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-২০ পর্যন্ত মোট ৮ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

১-৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-৩০ পর্যন্ত মোট ১০ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

১-৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-৪০ পর্যন্ত মোট ১২ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37

১-৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-৫০ পর্যন্ত মোট ১৫ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-১০০ পর্যন্ত মোট ২৫ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

১-২০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-২০০ পর্যন্ত মোট ৪৬ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

যৌগিক সংখ্যা (Composite Number)

যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার দুইয়ের বেশি গুণনীয়ক থাকে, তাদের যৌগিক সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ, যে সংখ্যাকে ১ এবং নিজে ছাড়া অন্য সংখ্যা দিয়েও নিঃশেষে ভাগ করা যায়, সেটিই যৌগিক সংখ্যা।

উদাহরণ

$4,6,8,9,10,12,...$

বৈশিষ্ট্য

• যৌগিক সংখ্যার গুণনীয়ক দুইয়ের বেশি হয়।
• ৪ হলো ক্ষুদ্রতম যৌগিক সংখ্যা।
• সব জোড় সংখ্যা যৌগিক, তবে ২ ব্যতিক্রম।
• ১ যৌগিক সংখ্যা নয়।

মনে রাখার উপায়

যে সংখ্যাকে ১ এবং নিজে ছাড়া অন্য সংখ্যা দিয়েও ভাগ করা যায়, সেটিই যৌগিক সংখ্যা। উদাহরণ: ৬ কে ১, ২, ৩ ও ৬ দিয়ে ভাগ করা যায়, তাই ৬ একটি যৌগিক সংখ্যা।

১-১০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ৪ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9

১-২০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ১১ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20

১-৩০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ১৯ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30

১-৪০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ২৭ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40

১-৫০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ৩৪ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50

১-১০০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ৭৪ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100

সহমৌলিক সংখ্যা (Coprime / Relatively Prime Number)

দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার গ.সা.গু. 1 হলে এদেরকে পরস্পরের সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন 6 ও 35 পরস্পরের সহমৌলিক।

যে দুটি বা ততোধিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক থাকে না, তাদেরকে সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ, দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু (GCD) যদি ১ হয়, তাহলে তারা সহমৌলিক সংখ্যা।

গাণিতিক শর্ত

$\mathrm{GCD}(a,b)=1$

উদাহরণ

(8, 15), (7, 9), (5, 12), (4, 9)

ব্যাখ্যা

• 8 এর গুণনীয়ক: 1, 2, 4, 8
• 15 এর গুণনীয়ক: 1, 3, 5, 15

এখানে সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১, তাই 8 ও 15 সহমৌলিক সংখ্যা।

বৈশিষ্ট্য

• সহমৌলিক সংখ্যা সবসময় জোড়া আকারে থাকে।
• এদের মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ থাকে।
• এরা মৌলিক বা যৌগিক হতে পারে, কিন্তু শর্ত হলো GCD = 1 হতে হবে।

মনে রাখার উপায়

যে দুটি সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, সেটাই সহমৌলিক সংখ্যা।

উদাহরণ: 9 ও 16 → সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১, তাই সহমৌলিক।

পূর্ণসংখ্যা (Integer) : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা ।

প্রকাশ

পূর্ণসংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য

• পূর্ণসংখ্যায় ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় সংখ্যা থাকে।
• শূন্য (0) একটি পূর্ণসংখ্যা।
• এতে কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা থাকে না।
• এটি অসীম সংখ্যার সমষ্টি।

মনে রাখার উপায়

স্বাভাবিক সংখ্যা + শূন্য + স্বাভাবিক সংখ্যার ঋণাত্মক মান = পূর্ণসংখ্যা।

যেমন: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

জোড় সংখ্যা (Even Number)

যে সকল পূর্ণসংখ্যা 2 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য, তাদেরকে জোড় সংখ্যা (Even Number) বলা হয়।

সংজ্ঞা

যদি কোনো সংখ্যা n হয় এবং n কে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হয়, তবে n একটি জোড় সংখ্যা।

$n=2k$

এখানে k একটি পূর্ণ সংখ্যা।

জোড় সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

• প্রতিটি জোড় সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য
• জোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক হয় 0, 2, 4, 6, 8
• দুইটি জোড় সংখ্যার যোগফল জোড় হয়
• দুইটি জোড় সংখ্যার গুণফলও জোড় হয়

উদাহরণ

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ইত্যাদি

উদাহরণ বিশ্লেষণ

• 24 → শেষ অঙ্ক 4 ⇒ জোড় সংখ্যা
• 58 → শেষ অঙ্ক 8 ⇒ জোড় সংখ্যা
• 103 → শেষ অঙ্ক 3 ⇒ জোড় সংখ্যা নয় (বিজোড়)

জোড় সংখ্যার সূত্র আকার

$2k$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• শূন্য (0) একটি জোড় সংখ্যা
• সব জোড় সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য
• জোড় + জোড় = জোড়
• জোড় × জোড় = জোড়

মনে রাখার কৌশল

• শেষ অঙ্ক 0,2,4,6,8 ⇒ জোড় সংখ্যা
• Even = 2 এর গুণিতক

বিজোড় সংখ্যা (Odd Number)

যে সকল পূর্ণসংখ্যা 2 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়, তাদেরকে বিজোড় সংখ্যা (Odd Number) বলা হয়।

সংজ্ঞা

যদি কোনো সংখ্যা n কে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 1 হয়, তবে n একটি বিজোড় সংখ্যা।

$n=2k+1$

এখানে k একটি পূর্ণ সংখ্যা।

বিজোড় সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

• প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়
• বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক হয় 1, 3, 5, 7, 9
• বিজোড় + বিজোড় = জোড়
• বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়

উদাহরণ

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 ইত্যাদি

উদাহরণ বিশ্লেষণ

• 25 → শেষ অঙ্ক 5 ⇒ বিজোড় সংখ্যা
• 41 → শেষ অঙ্ক 1 ⇒ বিজোড় সংখ্যা
• 68 → শেষ অঙ্ক 8 ⇒ বিজোড় নয় (জোড়)

বিজোড় সংখ্যার সূত্র আকার

$2k+1$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• 1 একটি বিজোড় সংখ্যা
• প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 1 হয়
• বিজোড় + বিজোড় = জোড়
• বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়

মনে রাখার কৌশল

• শেষ অঙ্ক 1,3,5,7,9 ⇒ বিজোড় সংখ্যা
• Odd = Not divisible by 2

ধনাত্মক সংখ্যা (Positive Number) : শূন্য থেকে বড় সকল বাস্তব সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, $2, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \sqrt{2}, 0.415, 0.\stackrel{.}{6}\stackrel{.}{2}, 4.120345061...$ ইত্যাদি ধনাত্মক সংখ্যা।

অর্থাৎ, সংখ্যা রেখায় যেসব সংখ্যা শূন্যের ডান পাশে অবস্থান করে, সেগুলোই ধনাত্মক সংখ্যা।

গাণিতিক প্রকাশ

$x>0$

উদাহরণ

$1,2,3,4,5,\frac{1}{2},\sqrt{3}$

বৈশিষ্ট্য

• ধনাত্মক সংখ্যা সবসময় শূন্যের চেয়ে বড়।
• এগুলো পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
• সংখ্যা রেখায় শূন্যের ডান পাশে অবস্থান করে।
• এগুলো অসীম সংখ্যক হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

যে সকল সংখ্যার আগে “+” চিহ্ন থাকে বা কোনো ঋণাত্মক চিহ্ন (-) থাকে না, সেগুলো ধনাত্মক সংখ্যা। অর্থাৎ “zero এর ডান পাশে থাকা সব সংখ্যা = ধনাত্মক সংখ্যা”।

ঋণাত্মক সংখ্যা (Negative Number) : শূন্য থেকে ছোট সকল বাস্তব সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, $-2, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -\sqrt{2}, -0.415, -0.\stackrel{.}{6}\stackrel{.}{2}, -4.120345061...$ ইত্যাদি ঋণাত্মক সংখ্যা।

অর্থাৎ, সংখ্যা রেখায় যেসব সংখ্যা শূন্যের বাম পাশে অবস্থান করে, সেগুলোই ঋণাত্মক সংখ্যা।

গাণিতিক প্রকাশ

$x<0$

উদাহরণ

$-1,-2,-3,-4,-5,-\frac{1}{2},-\sqrt{3}$

বৈশিষ্ট্য

• ঋণাত্মক সংখ্যা সবসময় শূন্যের চেয়ে ছোট।
• এগুলোর আগে অবশ্যই “-” চিহ্ন থাকে।
• সংখ্যা রেখায় শূন্যের বাম পাশে অবস্থান করে।
• এগুলো পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

যে সকল সংখ্যার আগে “-” চিহ্ন থাকে এবং মান শূন্যের চেয়ে ছোট, সেগুলো ঋণাত্মক সংখ্যা। অর্থাৎ “zero এর বাম পাশে থাকা সব সংখ্যা = ঋণাত্মক সংখ্যা”।

অঋণাত্মক সংখ্যা (Non-negative Number) : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, $0, 3, \frac{1}{2}, 0.612, 1.\stackrel{.}{3},2.120345...$ ইত্যাদি অঋণাত্মক সংখ্যা।

যে সকল সংখ্যা শূন্য (0) অথবা শূন্যের চেয়ে বড়, তাদের অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ, যেসব সংখ্যা ঋণাত্মক নয়, সেগুলোই অঋণাত্মক সংখ্যা।

গাণিতিক প্রকাশ

$x\ge 0$

উদাহরণ

$0,1,2,3,\frac{1}{2},\sqrt{5}$

বৈশিষ্ট্য

• অঋণাত্মক সংখ্যা কখনো শূন্যের ছোট হয় না।
• শূন্য (0) একটি অঋণাত্মক সংখ্যা।
• সকল ধনাত্মক সংখ্যা অঋণাত্মক সংখ্যা।
• এগুলো পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

যে সকল সংখ্যা 0 অথবা 0 এর চেয়ে বড়, সেগুলোই অঋণাত্মক সংখ্যা। অর্থাৎ “minus (-) চিহ্ন নেই বা শূন্য আছে = অঋণাত্মক সংখ্যা”।

মূলদ সংখ্যা (Rational Number) : $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$ আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 । যেমন = $\frac{3}{1}=3, \frac{11}{2}=5.5, \frac{5}{3}=1.666...$ ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা। যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়। সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

সাধারণ রূপ

$\frac{p}{q}$

যেখানে, p = লব (পূর্ণ সংখ্যা) q = হর (পূর্ণ সংখ্যা, q ≠ 0)

উদাহরণ

$\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{1},-\frac{7}{3},0$

বৈশিষ্ট্য

• মূলদ সংখ্যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়।
• পূর্ণসংখ্যা সবই মূলদ সংখ্যা (যেমন: 5 = 5/1)।
• এর দশমিক রূপ হয় সসীম বা পুনরাবৃত্ত (repeating)।
• হর কখনো শূন্য হতে পারে না।

মনে রাখার উপায়

যে সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত (p/q) আকারে লেখা যায়, সেটিই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ “fraction আকারে লেখা যায় = rational number”।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number) : যে সংখ্যাকে $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন √2 = 1.414213..., √3 = 1.732.... $\frac{\surd 5}{2}$ 1.118..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা। কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না ।

ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number) : $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$ আকারের কোনো সংখ্যাকে (সাধারণ) ভগ্নাংশ সংখ্যা বা সংক্ষেপে ভগ্নাংশ বলা হয়, যেখানে q ≠ 0, 9 ≠ 1 এবং q দ্বারা p নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। যেমন $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{-5}{3}, \frac{4}{6}$ ইত্যাদি (সাধারণ) ভগ্নাংশ সংখ্যা। কোনো (সাধারণ) ভগ্নাংশ $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$এর ক্ষেত্রে p < q হলে ভগ্নাংশটিকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং p > q হলে ভগ্নাংশটিকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, ...$ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং $\frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, ...$ ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper Fraction)

যে ভগ্নাংশের লব (Numerator) হর (Denominator) এর সমান বা বড় হয়, তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। এ ধরনের ভগ্নাংশের মান সাধারণত ১ এর সমান বা ১ এর বেশি হয়।

গাণিতিক শর্ত

$p\ge q$

যেখানে, p = লব, q = হর (q ≠ 0)

উদাহরণ

$\frac{5}{4},\frac{7}{3},\frac{9}{2},\frac{6}{6}$

বৈশিষ্ট্য

• লব হরের সমান বা বড় হয়।
• এদের মান সাধারণত ১ বা ১ এর বেশি হয়।
• এগুলোকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করা যায়।
• এগুলো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

যে ভগ্নাংশে “লব ≥ হর”, সেটিই অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। অর্থাৎ অংশটি সম্পূর্ণের সমান বা তার চেয়ে বড়।

প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper Fraction)

যে ভগ্নাংশের লব (Numerator) সর্বদা হর (Denominator) অপেক্ষা ছোট থাকে, তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। অর্থাৎ, ভগ্নাংশটির মান সবসময় ১ এর চেয়ে ছোট হয়।

গাণিতিক শর্ত

$p<q$

যেখানে, p = লব, q = হর (q ≠ 0)

উদাহরণ

$\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{7}{9},\frac{4}{11}$

বৈশিষ্ট্য

• লব সবসময় হরের চেয়ে ছোট হয়।
• প্রকৃত ভগ্নাংশের মান সবসময় ১ এর চেয়ে ছোট।
• এগুলো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে।
• দশমিক আকারে প্রকাশ করলে মান 1 এর কম থাকে।

মনে রাখার উপায়

যে ভগ্নাংশে “লব < হর”, সেটিই প্রকৃত ভগ্নাংশ। অর্থাৎ অংশটি সম্পূর্ণর চেয়ে ছোট।

মিশ্র ভগ্নাংশ (Mixed Number)

যে ভগ্নাংশে একটি পূর্ণসংখ্যা (Whole Number) এবং একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper Fraction) একসাথে থাকে তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ (Mixed Number) বলা হয়।

সংজ্ঞা

মিশ্র ভগ্নাংশ = পূর্ণসংখ্যা + ভগ্নাংশ

উদাহরণ

2 ¹/₃, 5 ²/₇, 8 ³/₄

গঠন

মিশ্র ভগ্নাংশ সাধারণত এইভাবে লেখা হয়:

পূর্ণসংখ্যা + ভগ্নাংশ অংশ

যেমন:
3 ¹/₂ = 3 + 1/2

অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর

মিশ্র ভগ্নাংশকে improper fraction-এ রূপান্তরের নিয়ম:

ভাজক × পূর্ণসংখ্যা + লব = নতুন লব

$\frac{b\times a+c}{b}$

উদাহরণ

2 ¹/₃ কে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর:

= (3 × 2 + 1) / 3
= 7/3

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ থেকে মিশ্র ভগ্নাংশ

লবকে হর দিয়ে ভাগ করলে:

ভাগফল = পূর্ণসংখ্যা
ভাগশেষ = নতুন লব

উদাহরণ

7/3 = 7 ÷ 3
= 2 remainder 1

অতএব = 2 ¹/₃

মিশ্র ভগ্নাংশের বৈশিষ্ট্য

• এতে পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশ অংশ থাকে
• এটি সবসময় অপ্রকৃত ভগ্নাংশ থেকে তৈরি হয়
• দৈনন্দিন গণনায় বেশি ব্যবহার হয়

মনে রাখার কৌশল

• Mixed = Whole + Fraction
• improper ↔ mixed রূপান্তর সম্ভব

যে সকল গণিতের সমস্যা নির্দিষ্ট কোনো একটি অধ্যায়ের মধ্যে সীমাবদ্ধ না থেকে একাধিক অধ্যায়ের ধারণা একসাথে ব্যবহার করে সমাধান করতে হয়, সেগুলোকে বিবিধ (Miscellaneous) সমস্যা বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

বিবিধ সমস্যায় সময়, কাজ, গতি, শতকরা, লাভ-ক্ষতি, অনুপাত, বয়স, পঞ্জিকা ইত্যাদি বিভিন্ন অধ্যায়ের সূত্র একসাথে ব্যবহার করা হয়।

গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য

• একাধিক অধ্যায়ের ধারণা একত্রে ব্যবহার করা হয়
• প্রশ্নের ধরন নির্দিষ্ট থাকে না
• বিশ্লেষণ ও যুক্তি প্রয়োগ গুরুত্বপূর্ণ
• ধাপে ধাপে সমাধান করতে হয়

সমাধানের সাধারণ ধাপ

বিবিধ সমস্যার সমাধানে সাধারণত নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করা হয়:

• প্রশ্ন ভালোভাবে পড়ে তথ্য সংগ্রহ করা
• প্রয়োজনীয় সূত্র নির্ধারণ করা
• ধাপে ধাপে হিসাব করা
• শেষে উত্তর যাচাই করা

ব্যবহৃত বিষয়সমূহ

বিবিধ সমস্যায় সাধারণত নিচের বিষয়গুলো বেশি ব্যবহৃত হয়:

• সময় ও কাজ
• গতি ও দূরত্ব
• শতকরা ও লাভ-ক্ষতি
• অনুপাত ও সমানুপাত
• বয়স সংক্রান্ত সমস্যা
• পঞ্জিকা ও ক্যালেন্ডার

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

বিবিধ অংকে একাধিক সূত্র একসাথে প্রয়োগ করতে হয়, তাই প্রতিটি ধাপ ভালোভাবে বিশ্লেষণ করা জরুরি।

উদাহরণ ধারণা

একটি সমস্যা যেখানে বলা হলো—একজন ব্যক্তি ২০% লাভে পণ্য বিক্রি করল এবং একই সাথে সময় অনুযায়ী ছাড়ও দিল, এখানে লাভ-ক্ষতি ও শতকরা দুইটি বিষয় একসাথে ব্যবহার করতে হবে।

মনে রাখার উপায়

যখন কোনো অংক একাধিক টপিকের সমন্বয়ে তৈরি হয়, তখন সেটি বিবিধ (Miscellaneous) সমস্যা। এই ধরনের অংকে ধাপে ধাপে চিন্তা করাই সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা (Decimal Fractional Number) : মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যাকে দশমিক দিয়ে প্রকাশ করা হলে একে দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন, 3 = 3.0, $\frac{5}{2}=2.5$, $\frac{10}{3}=3.3333...$ √3 = 1.732… ইত্যাদি দশমিক ভগ্নাংশ। দশমিক বিন্দুর পর অঙ্ক সংখ্যা সসীম হলে, এদেরকে সসীম দশমিক ভগ্নাংশ এবং অঙ্ক সংখ্যা অসীম হলে, এদেরকে অসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয় । যেমন, 0.52, 3.4152 ইত্যাদি সসীম দশমিক ভগ্নাংশ এবং $\frac{4}{3}$= 1.333..., √5 =2.123512367..., ইত্যাদি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ। আবার, অসীম দশমিক ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে দশমিক বিন্দুর পর কিছু অঙ্কের পূনরাবৃত্তি হলে, তাদেরকে অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ এবং অঙ্কগুলোর পুনরাবৃত্তি না হলে 122 এদের অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন, $\frac{122}{99}=1.2323..., 5.1\stackrel{.}{6}5\stackrel{.}{4}$ ইত্যাদি অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ এবং $0.523050056..., 2.12340314...$ ইত্যাদি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ।

সসীম দশমিক ভগ্নাংশ (Terminating Decimal Fraction)

যে সকল দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর পর অঙ্কের সংখ্যা নির্দিষ্ট এবং শেষ হয়ে যায়, তাদের সসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। অর্থাৎ, দশমিকের পর আর কোনো অঙ্ক অসীমভাবে চলতে থাকে না।

উদাহরণ

$0.5,1.25,3.75,2.4$

ভগ্নাংশ রূপে প্রকাশ

$\frac{1}{2}=0.5,\frac{5}{4}=1.25$

বৈশিষ্ট্য

• দশমিকের পর নির্দিষ্ট সংখ্যক অঙ্ক থাকে।
• এটি কখনো অসীমভাবে চলতে থাকে না।
• সব সসীম দশমিক ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
• হরের মৌলিক গুণনীয়ক শুধু 2 ও 5 থাকলে সাধারণত সসীম দশমিক পাওয়া যায়।

মনে রাখার উপায়

যে দশমিক ভগ্নাংশ শেষ হয়ে যায়, সেটিই সসীম দশমিক ভগ্নাংশ। অর্থাৎ “শেষ আছে = সসীম”।

অসীম দশমিক ভগ্নাংশ (Non-terminating Decimal Fraction)

যে সকল দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর পর অঙ্ক কখনো শেষ হয় না এবং অসীমভাবে চলতে থাকে, তাদের অসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।

অসীম দশমিক ভগ্নাংশ দুই ধরনের হতে পারে—

• আবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ (Recurring Decimal)
• অনাবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ (Non-recurring Decimal)

১. আবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ

যে দশমিক ভগ্নাংশে কিছু অঙ্ক নির্দিষ্ট নিয়মে বারবার পুনরাবৃত্তি হয়, তাকে আবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।

উদাহরণ

$\mathrm{0.333...},\mathrm{0.666...},\mathrm{1.272727...}$

২. অনাবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ

যে দশমিক ভগ্নাংশে কোনো অঙ্ক পুনরাবৃত্তি হয় না এবং অসীমভাবে চলতে থাকে, তাকে অনাবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।

উদাহরণ

$\sqrt{2}=\mathrm{1.41421356...},\pi =\mathrm{3.14159265...}$

বৈশিষ্ট্য

• দশমিকের পর সংখ্যা কখনো শেষ হয় না।
• আবর্ত হলে কিছু অঙ্ক বারবার পুনরাবৃত্তি হয়।
• অনাবর্ত হলে কোনো পুনরাবৃত্তি থাকে না।
• অনাবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ অমূলদ সংখ্যা হয়।

মনে রাখার উপায়

যে দশমিক ভগ্নাংশ শেষ হয় না, সেটিই অসীম দশমিক ভগ্নাংশ। যদি পুনরাবৃত্তি থাকে → আবর্ত না থাকলে → অনাবর্ত

ঐকিক নিয়ম (Unitary Methods):

একটি জিনিসের দাম, ওজন, পরিমাণ ইত্যাদি বের করে নির্দিষ্ট সংখ্যক এই জাতীয় জিনিসের দাম, ওজন, পরিমাণ ইত্যাদি বের করার নিয়মকে ঐকিক নিয়ম বলে।

কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যক বস্তুর মান বা পরিমাণ জানা থাকলে, সেখান থেকে প্রথমে ১টি বস্তুর মান নির্ণয় করে পরে প্রয়োজনীয় সংখ্যক বস্তুর মান নির্ণয় করার পদ্ধতিকে ঐকিক নিয়ম বলা হয়।

সমস্যা সমাধান-

সমাধানের জন্য বাক্যটিকে এমনভাবে সাজাতে হবে যেন তাদের মধ্যে যে জিনিসটি দেওয়া আছে তা বাম দিকে এবং যা চাওয়া হচ্ছে তা ডানদিকে লেখা হয়। গুণ ও ভাগের কাজ সবশেষে করা সুবিধাজনক।

সমাধানের নিয়ম:

সময় ও কাজ বিষয়ক সমস্যায় দুই বা তিনটি ভিন্ন জাতীয় রাশি যুক্ত থাকে। ঐ গুলো হলো:

ক) সময়ের পরিমাণ

খ) কাজের পরিমাণ

গ) কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা

নিয়ম: ১) কাজের পরিমাণ অপরিবর্তিত রেখে-

ক) কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা কমালে কাজের সময় বাড়বে। এক্ষেত্রে গুণ করতে হয়।

খ) কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা বাড়ালে কাজের সময় কমবে। এক্ষেত্রে ভাগ করতে হয়।

নিয়ম: ২) কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা অপরিবর্তিত রেখে-

ক) কাজের পরিমাণ কমালে সময়ের পরিমাণ কম হয়। এক্ষেত্রে ভাগ করতে হয়।

খ) কাজের পরিমাণ বাড়ালে সময়ের পরিমাণ বেশি হয়। এক্ষেত্রে গুণ করতে হয়।

নিয়ম: ৩) কাজের সময় অপরিবর্তিত রেখে-

ক) কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা কমালে কাজের পরিমাণ কম হয়। এক্ষেত্রে ভাগ করতে হয়।

খ) কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা বাড়ালে কাজের পরিমাণ বেশি হয়। এক্ষেত্রে গুণ করতে হয়।

সাধারণ ধাপ

• প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যার ১টির মান নির্ণয় করতে হবে।
• তারপর প্রয়োজনীয় সংখ্যার মান নির্ণয় করতে হবে।

উদাহরণ

৫টি কলমের দাম ১০০ টাকা হলে, ১টি কলমের দাম কত?

৫টি কলমের দাম = ১০০ টাকা

১টি কলমের দাম = ১০০ ÷ ৫ = ২০ টাকা

অতএব, ১টি কলমের দাম ২০ টাকা।

আরেকটি উদাহরণ

৮ জন শ্রমিক ১ দিনে ৪০ মিটার রাস্তা তৈরি করলে, ১ জন শ্রমিক ১ দিনে কত মিটার রাস্তা তৈরি করবে?

৮ জন শ্রমিকের কাজ = ৪০ মিটার

১ জন শ্রমিকের কাজ = ৪০ ÷ ৮ = ৫ মিটার

অতএব, ১ জন শ্রমিক ১ দিনে ৫ মিটার রাস্তা তৈরি করবে।

বৈশিষ্ট্য

• এটি গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি।
• ব্যবসা-বাণিজ্য ও দৈনন্দিন জীবনে ব্যাপক ব্যবহার রয়েছে।
• এখানে প্রথমে এককের মান নির্ণয় করা হয়।
• অনুপাত ও সমানুপাতের সাথে এর সম্পর্ক রয়েছে।

মনে রাখার উপায়

“অনেকের মান জানা → ১টির মান বের করা → প্রয়োজনীয় মান নির্ণয় করা” — এটাই ঐকিক নিয়ম।

মনে করি, ১০টি বলপেনের দাম ৫০ টাকা। তাহলে, আমরা সহজেই বলতে পারি, ১টি বলপেনের দাম $\frac{৫০}{১০}$ টাকা বা ৫ টাকা।

এখন ১টি বলপেনের দাম থেকে যেকোনো সংখ্যক বলপেনের দাম নির্ণয় করা যায়। যেমন, ৮টি বলপেনের দাম (৫$\times$৮) টাকা বা ৪০ টাকা।

অতএব, ঐকিক নিয়মের সাহায্যে আমরা ১টি জিনিসের দাম, ওজন, পরিমাণ নির্ণয় করে নির্দিষ্ট সংখ্যক জিনিসের দাম, ওজন, পরিমাণ নির্ণয় করতে পারি। নিচের কয়েকটি উদাহরণ লক্ষ করি।

উদাহরণ ১৩। ৭ ডজন পেন্সিলের দাম ১৪৪২ টাকা হলে, ১ ডজন পেন্সিলের দাম কত?

সমাধান:

৭ ডজন পেন্সিলের দাম ১৪৪২ টাকা

$\therefore$১ “ ” " $\frac{১৪৪২ }{৭}$ টাকা বা ২০৬ টাকা

$\therefore$ ১ ডজন পেন্সিলের দাম ২০৬ টাকা।

লক্ষ করি, ১ ডজন পেন্সিলের দাম বের করতে ৭ দ্বারা ১৪৪২ টাকাকে ভাগ করতে হয়েছে ।

উদাহরণ ১৪। ১০ জন লোক একটি কাজ ৯ দিনে করতে পারে। ৫ জন লোক উক্ত কাজ কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:

১০ জন লোকে কাজটি করতে পারে ৯ দিনে

$\therefore$১ “ ” “ ” " ৯ × ১০ দিনে বা ৯০ দিনে।

এক্ষেত্রে, কাজটি এক জন লোককে করতে হলে ১০ গুণ সময় লাগবে। অর্থাৎ ১ জন লোক ঐ কাজটি ৯০ দিনে করতে পারে। এখন ঐ কাজ ৫ জন লোকে করলে তাদের সময় ১ জন লোকের সময়ের চেয়ে কম হবে। অর্থাৎ ৫ জন লোকের কাজটি করতে সময় লাগে $\frac{৯০}{৫}$ দিন বা ১৮ দিন। এখানে একজন লোকের কাজটি করতে যে সময় লাগে সেই সময়কে ৫ দ্বারা ভাগ করে ৫ জন লোকের সময় নির্ণয় করা হয়েছে।

উদাহরণ ১৫। একটি ছাত্রাবাসে ৫০ জন ছাত্রের জন্য ৪ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। ঐ পরিমাণ খাদ্যে ২০ জন ছাত্রের কতদিন চলবে?

সমাধান:

৫০ জন ছাত্রের খাদ্য আছে ৪ দিনের

$\therefore$১ “ ” “ ” ৫০$\times$৪ দিনের বা ২০০ দিনের

$\therefore$২০ “ ” “ ” $\frac{৫০\times ৪ }{২০}$দিনের বা ১০ দিনের

এখানে আমরা দেখতে পাই, যে পরিমাণ খাদ্যে ৫০ জনের ৪ দিন চলে, সেই পরিমাণ খাদ্যে ১ জনের ২০০ দিন চলে। আবার ঐ পরিমাণ খাদ্যে ২০ জন ছাত্রের ১০ দিন চলে। তা হলে দেখা যাচ্ছে যে, লোক সংখ্যা কমলে দিন বাড়ে আবার লোক সংখ্যা বাড়লে দিন কমে।

উদাহরণ ১৬। ২০ জন শ্রমিক একটি পুকুর ১৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন শ্রমিক ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে?

সমাধান:

১৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে ২০ জন

$\therefore$ ১ “ ” “ ” “ ” ২০$\times$১৫ জন

$\therefore$২০ “ ” “ ” “ ” $\frac{১৫\times ২০ }{২০}$বা ১৫ জন।

নির্ণেয় লোক সংখ্যা ১৫ জন।

উদাহরণ ১৭। শফিক দৈনিক ১০ ঘণ্টা করে হেঁটে ১২ দিনে ৪৮০ কি.মি. অতিক্রম করে। দৈনিক ১০ ঘণ্টা করে হেঁটে সে কত দিনে ৩৬০ কি.মি. অতিক্রম করতে পারবে?

সমাধান:

শফিক দৈনিক ১০ ঘণ্টা করে হেঁটে,

৪৮০ কি.মি. অতিক্রম করে ১২ দিনে

১ কি. মি. “ ” $\frac{১২ }{৪৮০}$দিনে

৩৬০ কি.মি “ ” $\frac{১২ \times ৩৬০ }{৪৮০}$দিনে বা ৯ দিনে

নির্ণেয় সময় ৯ দিন

উদাহরণ ১৮। একটি কাজ ক ১২ দিনে ও খ ২০ দিনে করতে পারে। ক ও খ একত্রে ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:

ক ১২ দিনে করতে পারে কাজটি

$\therefore$ক ১ " " " কাজটির $\frac{১ }{১২}$ অংশ

আবার,

খ ২০ দিনে করতে পারে কাজটি

খ ১ “ ” " কাজটির $\frac{১}{২০}$ অংশ

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজটির

$\left(\frac{১}{১২}+\frac{১}{২০}\right)$

= $\frac{৫+৩ }{৬০}$অংশ

= $\frac{৮}{৬০}$ অংশ

= $\frac{২}{১৫}$ অংশ

ক ও খ একত্রে কাজটির $\frac{২}{১৫}$ অংশ করতে পারে ১ দিনে

ক ও খ “ ” সম্পূর্ণ অংশ “ ” $১÷\frac{২}{১৫}$ বা $১\times \frac{১৫}{২}$দিনে

=$\frac{১৫ }{২}$ দিনে বা $৭\frac{১}{২}$

নির্ণেয় সময় $৭\frac{১}{২}$ দিন

উদাহরণ ১৯। ৪০ কেজি চালে ৫ সদস্য বিশিষ্ট একটি পরিবারের ২০ দিন চললে, ৭০ কেজি চালে একই পরিবারের কত দিন চলবে?

সমাধান:

৪০ কেজি চালে চলে ২০ দিন

১ “ ” " $\frac{২০ }{৪০}$ দিন

৭০ “ ” " $\frac{২০\times ৭০}{৪০}$ দিন বা ৩৫ দিন

নির্ণেয় সময় ৩৫ দিন।

উদাহরণ ২০। একজন ঠিকাদার ১০০ কিলোমিটার রাস্তা ২০ দিনে সম্পন্ন করে দেওয়ার জন্য চুক্তি করলেন। ২৫০ জন শ্রমিক নিয়োগ করে ১০ দিনে রাস্তার ৬২.৫০% সম্পন্ন করলেন।

(ক) প্রথম রাশি দ্বিতীয় রাশির ৬২.৫০% হলে, দ্বিতীয় রাশি:প্রথম রাশি = কত?
(খ) যদি ১০০ জন শ্রমিক নিয়োগ করা হতো তাহলে ১৫ দিনে কত কি:মি রাস্তা তৈরি করা যেত?
(গ) দেখাও যে, কাজটি নির্দিষ্ট সময়ের ৪ দিন আগেই সম্পন্ন হবে।

সমাধান :

(ক) এখানে, ৬২.৫০% =

অর্থাৎ,

১ম রাশি, ২য় রাশির $\frac{৫}{৮}$ অংশ

১ম রাশি ৫ হলে, ২য় রাশি ৮

২ য় রাশি : ১ম রাশি = ৮ : ৫

(খ) এখানে, ১০০ কি.মি. এর ৬২.৫০%

$=\frac{১০০\times ৬২.৫০ }{১০০}$কি.মি

= ৬২.৫০ কি.মি

$\therefore$২৫০ জন শ্রমিক ১০ দিনে সম্পন্ন করে ৬২.৫০ কি.মি. রাস্তা

$\therefore$১ জন শ্রমিক ১০ দিনে সম্পন্ন করে $\frac{৬২.৫০ }{২৫০}$কি.মি. রাস্তা

$\therefore$১ জন শ্রমিক ১ দিনে সম্পন্ন করে $\frac{৬২.৫০ }{২৫০ \times ১০}$কি.মি. রাস্তা

$\therefore$১০০ জন শ্রমিক ১৫ দিনে সম্পন্ন করে $\frac{৬২.৫০ \times ১০০\times ১৫ }{২৫০ \times ১০}$কি.মি. রাস্তা

= $\frac{৯৩৭৫০ }{২৫০০}$কি.মি.

= ৩৭.৫০ কি.মি

১০০ জন শ্রমিক নিয়োগ করলে ১৫ দিনে ৩৭.৫০ কি.মি রাস্তা তৈরি করা যেত।

(গ) 'খ' হতে পাই, ১০০ কি.মি. এর ৬২.৫০% = ৬২.৫০ কি.মি.।

২৫০ জন শ্রমিক ১০ দিনে তৈরি করে ৬২.৫০ কি.মি. রাস্তা

অবশিষ্ট থাকে (১০০-৬২.৫০) কি.মি. রাস্তা

= ৩৭.৫০ কি.মি. রাস্তা

অবশিষ্ট সময় থাকে (২০-১০) দিন বা, ১০ দিন

২৫০ জন শ্রমিক ৬২.৫০ কি.মি. রাস্তা তৈরি করে ১০ দিনে

২৫০ জন শ্রমিক ১ কি.মি. রাস্তা তৈরি করে $\frac{১০ }{৬২.৫০}$দিনে

২৫০ জন শ্রমিক ৩৭.৫ কি.মি. রাস্তা তৈরি করে $\frac{১০\times ৩৭.৫০ }{৬২.৫০}$দিনে

$=\frac{৩৭৫০}{৬২৫}$দিনে

= ৬

কাজটি নির্দিষ্ট সমেয়ের (১০-৬) দিন বা, ৪ দিন পূর্বে সম্পন্ন হবে।

(দেখানো হলো)

ল.সা.গু ও গ.সা.গু (L.C.M and H.C.F)

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) এবং সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাকে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) বলা হয়।

ল.সা.গু (L.C.M - Least Common Multiple)

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট গুণিতককে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু বলা হয়।

উদাহরণ

6 এর গুণিতক: 6, 12, 18, 24, 30...

8 এর গুণিতক: 8, 16, 24, 32...

এখানে 6 ও 8 এর সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম হলো 24।

অতএব, 6 ও 8 এর ল.সা.গু = 24

গ.সা.গু (H.C.F - Highest Common Factor)

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়ককে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু বলা হয়।

উদাহরণ

12 এর গুণনীয়ক: 1, 2, 3, 4, 6, 12

18 এর গুণনীয়ক: 1, 2, 3, 6, 9, 18

এখানে সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে বৃহত্তম হলো 6।

অতএব, 12 ও 18 এর গ.সা.গু = 6

ল.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি

• গুণিতক লেখার পদ্ধতি
• মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
• ভাগ পদ্ধতি

গ.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি

• গুণনীয়ক লেখার পদ্ধতি
• মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
• ভাগ পদ্ধতি

ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর সম্পর্ক

ল.সা.গু $\times$ গ.সা.গু = সংখ্যাদ্বয়েরগুণফল

বৈশিষ্ট্য

• ল.সা.গু সবসময় প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সমান বা বড় হয়।
• গ.সা.গু সবসময় প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সমান বা ছোট হয়।
• মৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু সাধারণত 1 হয়।
• দুটি সহমৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু = 1

মনে রাখার উপায়

ল.সা.গু → ছোট সাধারণ গুণিতক গ.সা.গু → বড় সাধারণ গুণনীয়ক

গুণনীয়ক (Factors)

যে সকল সংখ্যা কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করতে পারে, তাদেরকে সেই সংখ্যার গুণনীয়ক (Factors) বলা হয়।

সংজ্ঞা

যদি a × b = n হয়, তবে a এবং b উভয়ই n এর গুণনীয়ক।

উদাহরণ

12 এর গুণনীয়ক নির্ণয় করি:

12 = 1 × 12
12 = 2 × 6
12 = 3 × 4

অতএব, 12 এর গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 12

গুণনীয়কের বৈশিষ্ট্য

• গুণনীয়ক সর্বদা ধনাত্মক হয়
• প্রতিটি সংখ্যার অন্তত ২টি গুণনীয়ক থাকে (1 এবং নিজে)
• গুণনীয়ক সংখ্যা সীমিত

গুণনীয়ক নির্ণয়ের পদ্ধতি

১. ভাগ পদ্ধতি

যে সকল সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হয়, সেগুলো গুণনীয়ক।

উদাহরণ: 12 ÷ 3 = 4 ⇒ 3 গুণনীয়ক

২. গুণফল পদ্ধতি

যে দুইটি সংখ্যার গুণফল মূল সংখ্যা হয়, তারা গুণনীয়ক।

উদাহরণ:

2 × 6 = 12 ⇒ 2 এবং 6 গুণনীয়ক

গুণনীয়কের প্রকারভেদ

• সাধারণ গুণনীয়ক
• মৌলিক গুণনীয়ক (Prime Factors)

মৌলিক গুণনীয়ক

যে গুণনীয়কগুলো শুধুমাত্র 1 এবং নিজে দ্বারা বিভাজ্য, তাদের মৌলিক গুণনীয়ক বলা হয়।

উদাহরণ: 12 = 2 × 2 × 3

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• 1 সব সংখ্যার গুণনীয়ক
• প্রতিটি সংখ্যার সর্বোচ্চ গুণনীয়ক = নিজ সংখ্যা
• গুণনীয়ক সংখ্যা গুণিতকের চেয়ে কম হয়

মনে রাখার কৌশল

• Factor = exact divisor
• যেসব সংখ্যা ভাগ করলে remainder 0 → গুণনীয়ক

x, y ও z তিনটি রাশি। ধরি,

এখানে একটি ভাগ প্রক্রিয়া দেখানো হয়েছে। x কে ভাগ করা হয়েছে, তাই x ভাজ্য। আবার, y দ্বারা ভাগ করা হয়েছে, ফলে y ভাজক এবং এ হলো ভাগফল।

যেমন, 10$÷$2 = 5

এখানে,

10 $\to$ ভাজ্য

2 $\to$ ভাজক

5$\to$ভাগফল

এক্ষেত্রে 10,2 এর একটি গুণিতক। আবার 10,5 এরও একটি গুণিতক। অপরদিকে 2 এবং 5 উভয় 10 এর উৎপাদক।

গুণিতক (Multiples)

কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যাকে 1, 2, 3, 4, ... ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে ফলাফল পাওয়া যায়, তাকে সেই সংখ্যার গুণিতক (Multiples) বলা হয়।

সংজ্ঞা

যদি n একটি সংখ্যা হয়, তবে n × 1, n × 2, n × 3, n × 4, ... এগুলো n এর গুণিতক।

উদাহরণ

5 এর গুণিতক:

5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25

অতএব, 5 এর গুণিতক = 5, 10, 15, 20, 25, ...

গুণিতকের বৈশিষ্ট্য

• গুণিতক সংখ্যা অসীম (infinite)
• প্রতিটি সংখ্যার অসংখ্য গুণিতক থাকে
• গুণিতক সর্বদা সংখ্যাটির চেয়ে সমান বা বড় হয় (শূন্য বাদে)
• 0 সব সংখ্যার গুণিতক (কারণ n × 0 = 0)

গুণনীয়ক ও গুণিতকের পার্থক্য

• গুণনীয়ক = যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায়
• গুণিতক = যে সংখ্যা গুণ করে পাওয়া যায়

উদাহরণ:

12 এর ক্ষেত্রে:
গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 12
গুণিতক = 12, 24, 36, 48, ...

গুণিতক নির্ণয়ের কৌশল

যেকোনো সংখ্যা n হলে তার গুণিতক পাওয়া যায়:

n × 1, n × 2, n × 3, ...

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• গুণিতক কখনো শেষ হয় না
• গুণিতক সবসময় সংখ্যাটির গুণফল
• প্রতিটি সংখ্যার অসংখ্য গুণিতক থাকে

মনে রাখার কৌশল

• Multiple = repeated addition / multiplication
• Factors → divide
• Multiples → multiply

প্রদত্ত রাশিগুলোর কয়েকটি সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক থাকলে, তার মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়কটিকে প্রদত্ত রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বলা হয়।

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ককে সংক্ষেপে গ.সা.গু. (H.C.F.) লেখা হয়।

৪৮ ও ৭২ এর গ.সা.গু. নির্ণয় করি-

সাধারণ গুণনীয়কের সাহায্যে

সংখ্যা দুটির সাধারণ গুণনীয়কগুলো লিখি।

৪৮ এর সকল গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৪৮

৭২ এর সকল গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২

সংখ্যা দুটির সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে ২৪ সবচেয়ে বড় বা গরিষ্ঠ।

সুতরাং ৪৮ ও ৭২ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. হলো ২৪।

মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে

সংখ্যা দুটির মৌলিক গুণনীয়কগুলো বের করি।

৪৮ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক: ২$\times$২$\times$২$\times$২$\times$৩

৭২ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক: ২$\times$২$\times$২$\times$৩$\times$৩

সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলোর গুণফল = ২$\times$২$\times$২$\times$৩ = ২৪

সুতরাং ৪৮ ও ৭২ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. হলো ২৪।

ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়া (ভাগ পদ্ধতি)

৪৮) ৭২ (১

৪৮
২৪) ৪৮ (২

৪৮

০

∴ ৭২ ও ৪৮ এর গ.সা.গু. শেষ ভাজক ২৪।

জ্ঞাতব্য

• একাধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড়টি তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক।
• একাধিক সংখ্যার গ.সা.গু. এদের সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলোর গুণফল।
• সংখ্যাগুলোর কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক না থাকলে তাদের গ.সা.গু. ১।
• গুণনীয়কের অপর নাম উৎপাদক।

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (Least Common Multiple)

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট গুণিতককে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু বলা হয়।

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতককে তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বলা হয়। লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতককে সংক্ষেপে ল.সা.গু. (L.C.M.) লেখা হয়।

সংক্ষিপ্ত রূপ

ল.সা.গু = L.C.M (Least Common Multiple)

২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি-

প্রথম পদ্ধতি: সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণিতক বের করি।

২৪ এর গুণিতক: ২৪, ৪৮, ৭২, ৯৬, ১২০, ১৪৪, ১৬৮, ১৯২, ২১৬, ২৪০, ………

৩৬ এর গুণিতক: ৩৬, ৭২, ১০৮, ১৪৪, ১৮০, ২১৬, ২৫২, ২৮৮, ………

সংখ্যা দুটির সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ৭২ সবচেয়ে ছোট বা লঘিষ্ঠ

সুতরাং ২৪, ৩৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু. হলো ৭২।

দ্বিতীয় পদ্ধতি: সংখ্যাগুলোর মৌলিক গুণনীয়ক বের করি।

২৪ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক: ২$\times$২$\times$২$\times$৩

৩৬ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক: ২ $\times$ ২ $\times$ ৩$\times$৩

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদকে ২ আছে সর্বাধিক তিনবার, ৩ দুইবার। কাজেই ২ তিনবার, ৩ দুইবার নিয়ে ধারাবাহিক গুণফল বের করলে ল.সা.গু. পাওয়া যায়।

∴ ২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. ২$\times$২$\times$২$\times$৩$\times$৩ = ৭২।

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি:

২ \২৪, ৩৬

২\১২, ১৮

৩\৬, ৯,

২, ৩

∴ ২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. = ২$\times$২$\times$৩$\times$২$\times$৩=৭২।

একইভাবে তিন বা ততোধিক সংখ্যার ল.সা.গু. বের করা যায়।

জ্ঞাতব্য

• একাধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোটটি তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক।
• সংখ্যাগুলোর কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক না থাকলে তাদের ল.সা.গু. হবে সংখ্যাগুলোর গুণফল।
• কোনো একটি সংখ্যার গুণিতক অনির্দিষ্ট।

উদাহরণ

6 এর গুণিতক: 6, 12, 18, 24, 30...

8 এর গুণিতক: 8, 16, 24, 32...

এখানে 6 ও 8 এর সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম হলো 24।

অতএব, 6 ও 8 এর ল.সা.গু = 24

ল.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি

• গুণিতক লেখার পদ্ধতি
• মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
• ভাগ পদ্ধতি

মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতির উদাহরণ

12 = 2 × 2 × 3

18 = 2 × 3 × 3

এখানে সকল মৌলিক গুণনীয়কের সর্বোচ্চ ঘাত নিয়ে পাই:

ল.সা.গু = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

বৈশিষ্ট্য

• ল.সা.গু সবসময় প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সমান বা বড় হয়।
• ল.সা.গু একটি সাধারণ গুণিতক।
• দুটি সহমৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল।
• ল.সা.গু দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন গণনায় ব্যবহৃত হয়।

মনে রাখার উপায়

সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাই লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু)।

গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর মধ্যে সম্পর্ক

দুইটি সংখ্যার গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.) এর মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক রয়েছে।

সূত্র

গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর মধ্যে সম্পর্ক

দুইটি সংখ্যার গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.) এর মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক রয়েছে।

সূত্র

গ.সা.গু. $\times$ল.সা.গু = সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল

সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. = সংখ্যাগুলোর অনুপাতের $\times$গুণফল গ.সা.গু.

সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু. = ল.সা.গু./অনুপাত রাশিদ্বয়ের গুণফল

যেমন- দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩: ৫ এবং গ.সা.গু. ৭ হলে-

সংখ্যাদুটি যথাক্রমে (৩$\times$৭) ও (৫ $\times$ ৭) বা ২১ ও ৩৫।

সংখ্যা দুটির ল.সা.গু, ৩৫$\times$ ৭ = ১০৫।

অর্থাৎ

$\mathrm{HCF}\times \mathrm{LCM}$ = প্রথম সংখ্যা $\times$দ্বিতীয় সংখ্যা

উদাহরণ

12 ও 18 এর ক্ষেত্রে,

12 এর গ.সা.গু = 6

12 ও 18 এর ল.সা.গু = 36

এখন,

6 × 36 = 216

এবং,

12 × 18 = 216

অতএব,

গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল

বৈশিষ্ট্য

• এই সম্পর্ক শুধুমাত্র দুইটি সংখ্যার ক্ষেত্রে সরাসরি প্রযোজ্য।
• গ.সা.গু ছোট সংখ্যা এবং ল.সা.গু বড় সংখ্যা হয়।
• দুটি সহমৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু = 1 হয়।
• সহমৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল।

মনে রাখার উপায়

“গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল”

এটি গ.সা.গু ও ল.সা.গু অধ্যায়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্র।

অর্থাৎ

$HCM\times LCM$= প্রথম সংখ্যা $\times$দ্বিতীয় সংখ্যা

উদাহরণ

12 ও 18 এর ক্ষেত্রে,

12 এর গ.সা.গু = 6

12 ও 18 এর ল.সা.গু = 36

এখন,

6 × 36 = 216

এবং,

12 × 18 = 216

অতএব,

গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল

বৈশিষ্ট্য

• এই সম্পর্ক শুধুমাত্র দুইটি সংখ্যার ক্ষেত্রে সরাসরি প্রযোজ্য।
• গ.সা.গু ছোট সংখ্যা এবং ল.সা.গু বড় সংখ্যা হয়।
• দুটি সহমৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু = 1 হয়।
• সহমৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল।

মনে রাখার উপায়

“গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল”

এটি গ.সা.গু ও ল.সা.গু অধ্যায়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্র।

ভগ্নাংশের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু.

ভগ্নাংশের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.) নির্ণয়ের জন্য লব ও হরের গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. ব্যবহার করা হয়।

ভগ্নাংশের গ.সা.গু. নির্ণয়ের সূত্র

লবগুলোর গ.সা.গু./হরগুলোর ল.সা.গু.

ভগ্নাংশের ল.সা.গু. নির্ণয়ের সূত্র

লবগুলোর ল.সা.গু./হরগুলোর গ.সা.গু.

উদাহরণ

নির্ণয় কর:

$\frac{2}{3},\frac{4}{9}$

গ.সা.গু.

2 ও 4 এর গ.সা.গু. = 2

3 ও 9 এর ল.সা.গু. = 9

অতএব,

$\frac{2}{9}$

ল.সা.গু.

2 ও 4 এর ল.সা.গু. = 4

3 ও 9 এর গ.সা.গু. = 3

অতএব,

$\frac{4}{3}$

বৈশিষ্ট্য

• ভগ্নাংশের গ.সা.গু. নির্ণয়ে লবের গ.সা.গু. এবং হরের ল.সা.গু. নেওয়া হয়।
• ভগ্নাংশের ল.সা.গু. নির্ণয়ে লবের ল.সা.গু. এবং হরের গ.সা.গু. নেওয়া হয়।
• সরল ভগ্নাংশে রূপান্তর করলে হিসাব সহজ হয়।

মনে রাখার উপায়

গ.সা.গু. → “লবের গ.সা.গু. / হরের ল.সা.গু.”

ল.সা.গু. → “লবের ল.সা.গু. / হরের গ.সা.গু.”

সরলীকরণ (Simplification)

গাণিতিক রাশি বা সমস্যাকে সহজ ও সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করার প্রক্রিয়াকে সরলীকরণ বলা হয়। অর্থাৎ, বিভিন্ন গাণিতিক নিয়ম ব্যবহার করে জটিল হিসাবকে সহজভাবে নির্ণয় করাই সরলীকরণ।

সরলীকরণে ব্যবহৃত মৌলিক নিয়ম

• প্রথমে বন্ধনীর কাজ করতে হয়।
• তারপর সূচকের কাজ করতে হয়।
• এরপর গুণ ও ভাগ করতে হয়।
• সবশেষে যোগ ও বিয়োগ করতে হয়।

BODMAS নিয়ম

B → Bracket (বন্ধনী) O → Order / Of (সূচক) D → Division (ভাগ) M → Multiplication (গুণ) A → Addition (যোগ) S → Subtraction (বিয়োগ)

উদাহরণ ১

নির্ণয় কর:

$8+2\times 5$

প্রথমে গুণ করতে হবে:

2 × 5 = 10

তারপর,

8 + 10 = 18

অতএব, উত্তর = 18

উদাহরণ ২

নির্ণয় কর:

$(12-4)÷2$

প্রথমে বন্ধনীর কাজ:

12 − 4 = 8

তারপর,

8 ÷ 2 = 4

অতএব, উত্তর = 4

বৈশিষ্ট্য

• সরলীকরণে নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করতে হয়।
• BODMAS নিয়ম খুব গুরুত্বপূর্ণ।
• সঠিক ক্রম অনুসরণ না করলে ভুল উত্তর আসতে পারে।
• প্রায় সব ধরনের গণিতে সরলীকরণ ব্যবহৃত হয়।

মনে রাখার উপায়

“বন্ধনী → সূচক → ভাগ → গুণ → যোগ → বিয়োগ”

অর্থাৎ BODMAS নিয়ম অনুসরণ করলেই সরলীকরণ সহজ হয়।

বর্গ ও বর্গমূল (Square & Square Root)

কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায়, তাকে ঐ সংখ্যার বর্গ (Square) বলা হয়। আর যে সংখ্যাকে নিজে দ্বারা গুণ করলে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পাওয়া যায়, তাকে ঐ সংখ্যার বর্গমূল (Square Root) বলা হয়।

বর্গ (Square)

যদি কোনো সংখ্যা a হয়, তাহলে তার বর্গ হবে:

$a^2=a\times a$

উদাহরণ

বর্গমূল (Square Root)

যে সংখ্যাকে নিজে দ্বারা গুণ করলে প্রদত্ত সংখ্যা পাওয়া যায়, তাকে ঐ সংখ্যার বর্গমূল বলে।

$\sqrt{a}=b⟺b^2=a$

উদাহরণ

১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যার বর্গ

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100
11² = 121
12² = 144
13² = 169
14² = 196
15² = 225
16² = 256
17² = 289
18² = 324
19² = 361
20² = 400

১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যার বর্গমূল

√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10
√121 = 11
√144 = 12
√169 = 13
√196 = 14
√225 = 15
√256 = 16
√289 = 17
√324 = 18
√361 = 19
√400 = 20

বৈশিষ্ট্য

• ধনাত্মক সংখ্যার বর্গ সবসময় ধনাত্মক হয়।
• ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গও ধনাত্মক হয়।
• পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল পূর্ণসংখ্যা হয়।
• বর্গমূল চিহ্ন হলো √

মনে রাখার উপায়

কোনো সংখ্যা × একই সংখ্যা = বর্গ আর যে সংখ্যা নিজে দ্বারা গুণ করলে মূল সংখ্যা পাওয়া যায় = বর্গমূল

গড় (Average)

একজাতীয় কতিপয় রাশির সমষ্টিকে উক্ত রাশিগুলোর মোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগফল পাওয়া যায়, তাকে ঐ রাশিগুলোর গড় বলে।

কয়েকটি সংখ্যার যোগফলকে মোট সংখ্যার সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে গড় বা Average বলা হয়। গড় একটি প্রতিনিধিত্বমূলক মান, যা একটি দলের সাধারণ মান নির্দেশ করে।

আরো সহজভাবে বলা যায় যে, গড় হচ্ছে কয়েকটি ছোট বড় বা অসমান সংখ্যা' বা রাশির মধ্যবিন্দু।

০১ঃ সাধারন গড়

• সূত্র ০১. গড় বের করার সূত্রঃ-= (রাশিগুলোর যোগফল বা সমষ্টি/রাশিগুলোর সংখ্যা)
• সূত্র-২ঃ রাশিগুলোর সমষ্টি = (রাশিগুলোর গড় $\times$রাশিগুলোর সংখ্যা)

০২: সংখ্যার গড়

০৩ : ধারাবাহিক সংখ্যার গড়

• মনে রাখুন:
  যে কোন ধারাবাহিক সংখ্যার মোট সংখ্যা বেজোড় হলে তাদের মাঝখানের রাশিটি-ই হচ্ছে তাদের গড়।
• আবার ধারাবাহিক সংখ্যার মোট সংখ্যা জোড় হলে তাদের প্রথম ও শেষ রাশির গড় ই হচ্ছে তাদের গড়।
• ধারাবাহিক সংখ্যার গড় দেয়া থাকলে তাকে মাঝখানে বসিয়ে দুপাশে সমান সংখ্যক সংখ্যা বসাতে হয়।

০৪: বয়সের গড় (পিতা, মাতা ও পুত্র সহ)

• যত জন লোকই থাক:
  ৫ বছর পরের গড় বয়স হলে গড় ও ৫ বছর বেড়ে যাবে। তেমনি ৫বছর আগের গড় বয়সও ৫ বছর কম ছিল। অর্থাৎ বয়সের কম বেশির সাথে গড় বয়সের কম বেশি সমান হারে হয়।
• কিন্তু ৫ বছর পর সমষ্টি বলা হলে যতজনের কথা বলা হবে ততজনের ই ৫ করে বাড়বে। আবার পূর্বের বয়সের কথা বলা হলে সবারই ৫ বছর করে কমবে।
• আগে বা পরের গড় বয়স বের করা: এরুপ ক্ষেত্রে বুঝতে হবে যে দুজন এর ই বয়স বেড়েছে। অর্থাৎ যদি বলা হয় যে দুটি শিশুর বয়সের সমষ্টি ১০ বছর। ৩ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি কত হবে। তখন ১০+৩ লেখা যাবে না। কেননা এক্ষেত্রে দুজনেরই বয়স বেড়েছে। তাই ৩ বছর পর তাদের মোট বয়স বাড়বে ৩+৩=৬ বছর। তাই, তখন তাদের মোট বয়স হবে ১০+৬=১৬ বছর। কিন্তু যদি বলা হয় গড় কত হয়েছে? তাহলে গড় হবে ১০+৩ = ১৩ বছর।

৫: ক্রিকেটের গড়

• মনে রাখবেন, এক ইনিংস বলতে বোঝায় একটি ম্যাচে একবার ব্যাটিং বা বোলিং করা।
  
• ধরুণ, একজন ব্যাটসম্যান ১টি ম্যাচে ৫০ রান এবং তার পরের ম্যাচে ৩০ রান করল। তাহলে তার দুই ম্যাচে বা দুই ইনিংসের গড় রান হলো ৫০+৩০=৮০÷২=৪০ রান।
• আবার বোলারের ক্ষেত্রে যদি কোন বোলার এক ম্যাচে ৩৬ রান দিয়ে ৪ উইকেট পায় তাহলে তার উইকেট প্রতি গড় রান হবে ৩৬÷৪ = ৯রান

গড় নির্ণয়ের সূত্র

$\text{Average}=\frac{\text{Sum of observations}}{\text{Number of observations}}$

উদাহরণ ১

5, 10, 15 এর গড় নির্ণয় কর।

সংখ্যাগুলোর যোগফল = 5 + 10 + 15 = 30

সংখ্যার সংখ্যা = 3

গড় =

$\frac{30}{3}$

= 10

অতএব, গড় = 10

উদাহরণ ২

একজন ছাত্র ৫টি পরীক্ষায় যথাক্রমে 60, 70, 80, 90 ও 100 নম্বর পেয়েছে। তার গড় নম্বর নির্ণয় কর।

মোট নম্বর =

60 + 70 + 80 + 90 + 100 = 400

পরীক্ষার সংখ্যা = 5

গড় =

$\frac{400}{5}$

= 80

অতএব, গড় নম্বর = 80

বৈশিষ্ট্য

• গড় একটি কেন্দ্রীয় মান নির্দেশ করে।
• সব তথ্যের যোগফল ব্যবহার করা হয়।
• পরিসংখ্যানে গড় খুব গুরুত্বপূর্ণ।
• গড় ধনাত্মক, ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

“সব সংখ্যার যোগফল ÷ মোট সংখ্যার সংখ্যা = গড়”

অনুপাত

এখানে ৪ টি বৃত্তের মধ্যে প্রথম বৃত্তটির দ্বিগুণ হচ্ছে পরের বৃত্তটি এবং ৪গুণ হচ্ছে তৃতীয় বৃত্তটি আবার শেষের বৃত্তটি হচ্ছে ৮গুণ। তাহলে প্রথম বৃত্ত ও শেষের বৃত্তের তুলনা হচ্ছে ২ : ১৬ যাকে ১ : ৮ ও লেখা যায়। আবার ২য় বৃত্ত : ৪র্থ বৃত্ত = ৪ : ১৬ বা ১ : ৪ অর্থাৎ ৪ গুণ বড়।

সুতরাং আমরা বলতে পারি অনুপাত হচ্ছে এক বা একাধিক রাশির তুলনা যাকে (:) চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয় যা একটি ভগ্নাংশকে নির্দেশ করে। যেমন: ৩ : ৭ = $\frac{৩}{৭}$

• অনুপাত হচ্ছে একটি ভগ্নাংশ যাতে প্রথম রাশি লব এবং দ্বিতীয় রাশি হর।
• অনুপাতকে সবসময় ক্ষুদ্রতম আকারে প্রকাশ করতে হয়। অর্থাৎ ১০ : ৪ না লিখে ৫ : ২
• অনুপাতের তুলনার যে রাশি প্রথমে তার মান ও প্রথমেই বসাতে হয়। যেমন: A : B = 5 : 2 হলে B : A = 2 : 5 লেখা যায়, কিন্তু A : B = 5 : 2 এবং B : A = 5 : 2 একই না।

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় যা অনেকে গুলিয়ে ফেলে, রিমির বয়স ১৫, রিনির বয়স ১২ তাই রিমিঃরিনি = ১৫ : ১২= ৫ : ৪ এরকম অংকে খেয়াল রাখতে হবে কে বড় আর কে ছোট এবং কার নাম প্রথমে আছে আর কার নাম পরে আছে।। আবার যদি বলে রিনি ও রিমির বয়সের অনুপাত কত তখন ৫ : ৪ না লিখে ৪ : ৫ লিখতে হবে। অর্থাৎ যার নাম আগে তার বয়সও আগে লিখতে হবে।

দৈনন্দিন জীবনে আমরা প্রায়শই একই ধরনের দুইটি জিনিস তুলনা করে থাকি। যেমন, নাবিলের উচ্চতা ১৫০ সে.মি. ও তার বোনের উচ্চতা ১৪০ সে.মি. হলে, আমরা বলতে পারি, নাবিলের উচ্চতা তার বোনের চেয়ে (১৫০ : ১৪০) সে.মি. বা ১০ সে.মি. বেশি।
এভাবে পার্থক্য বের করেও তুলনা করা যায়।

আবার, আমরা যদি দুইটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের তুলনা করতে চাই তাহলে ক্ষেত্রফলের পার্থক্য দিয়ে তুলনা সঠিক হয় না। বরং একটি বর্গক্ষেত্র অপরটির তুলনায় কতগুণ বড় বা ছোট তা থেকে ক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সঠিক তুলনা করা যায়। একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে অপরটির ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করে এই তুলনা করা হয়। এই ভাগের মাধ্যমে তুলনাকে অনুপাত বলা হয়। চিহ্নটি অনুপাতের গাণিতিক প্রতীক।

যেমন, বর্গক্ষেত্র দুইটির ক্ষেত্রফল ৪ বর্গ সে.মি. ও ৯ বর্গ সে.মি. হলে, তাদের অনুপাত হবে $\frac{8}{৯}=৪ :৯$ বা $\frac{৯}{৪}=৯ :৪$ অনুপাত একটি ভগ্নাংশ।

নিচের উদাহরণগুলো লক্ষ করি:

(ক) আয়তাকার চিত্রটির সমান ৭ ভাগের ২ ভাগ সাদা ও ৫ ভাগ কালো। সাদা ও কালো রং করা অংশের পরিমাণের অনুপাত ২: ৫। ২:৫ অনুপাতের ২ হলো পূর্ব রাশি এবং ৫ হলো উত্তর রাশি।

(খ) শওকতের ওজন ৩০ কেজি এবং তার পিতার ওজন ৬০ কেজি। শওকতের চেয়ে তার পিতার ওজন কতগুণ বেশি?

পিতা ও শওকতের ওজনের অনুপাত = $\frac{৬০ }{৩০}=\frac{২}{১}$ [লব ও হরকে ৩০ দ্বারা ভাগ করে]

= ২ : ১

এখানে পিতার ওজন শওকতের ওজনের চেয়ে $\frac{২}{১}$ বা ২ গুণ বেশি।

(গ) একটি শ্রেণিতে ছাত্র ও ছাত্রী সংখ্যা যথাক্রমে ৫০ জন ও ৪০ জন।

এখানে ছাত্র ও ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত = $\frac{৫০}{৪০}=\frac{৫}{৪}$ [লব ও হরকে ১০ দ্বারা ভাগ করে]

= ৫ : ৪

একটি শিশুর বয়সের সাথে অন্য একটি শিশুর ওজন কি তুলনা করা যাবে? তা কখনোই করা যাবে না। তুলনার বিষয় দুইটি সমজাতীয় হতে হবে। আবার মনে করি, একটি শিশুর বয়স ৬ বছর এবং অন্য একটি শিশুর বয়স ৯ বছর ৬ মাস। সমজাতীয় হলেও এ ক্ষেত্রে দুইজনের বয়স সরাসরি তুলনা করা যাবে না। তুলনার বিষয় দুইটি একই একক বিশিষ্ট হতে হবে। এক্ষেত্রে দুইজনের বয়সকেই বছরে অথবা মাসে রূপান্তর করে নিতে হবে। এখানে, ৬ বছর ৬ $\times$ ১২ মাস ৭২ মাস ( ১ বছর = ১২ মাস) এবং ৯ বছর ৬ মাস = (৯ $\times$ ১২ ৬) মাস = ১১৪ মাস।

শিশু দুইটির বয়সের অনুপাত ৭২: ১১৪ বা ১২: ১৯।

মনে করি, ভাইয়ের বয়স ৩ বছর ও বোনের বয়স ৬ মাস। তাদের বয়সের অনুপাত বের করতে হবে।
ভাইয়ের বয়স ৩ বছর = ৩৬ মাস [$\because$ ১ বছর = ১২ মাস]

$\therefore$ ভাই ও বোনের বয়সের অনুপাত = $\frac{৩৬}{৬}$বা $\frac{৬}{১}$ [লব ও হরকে ৬ দ্বারা ভাগ করে]

• লক্ষ করি, ভিন্ন ভিন্ন এককে তুলনা করা যায় না। তুলনা করতে হলে এককগুলোকে এক জাতীয় করতে হবে। যেমন উপরের উদাহরণটিতে বছরকে মাসে রূপান্তর করা হয়েছে।

সমানুপাত

মনে করি, সোহাগ কোনো দোকান থেকে ১০ টাকা দিয়ে একটি চিপসের প্যাকেট এবং ২৫ টাকা দিয়ে ১ কেজি লবণ কিনল। এখানে লবণ ও চিপস্ এর দামের অনুপাত= ২৫ : ১০ বা ৫ : ২।

আবার, সোহাগদের শ্রেণিতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা ৭০। এদের মধ্যে ছাত্র ৫০জন এবং ছাত্রী ২০জন। এখানে ছাত্র ও ছাত্রীসংখ্যার অনুপাত= ৫০ : ২০ বা ৫ : ২। উভয়ক্ষেত্রে অনুপাত দুটি সমান।

অতএব, আমরা বলতে পারি, ২৫ : ১০ = ৫০ : ২০। এই অনুপাতে ৪টি রাশি আছে। এই ৪টি রাশির একটি সমানুপাত তৈরি করেছে।

এর মধ্যে ১ম রাশি ২৫, ২য় রাশি ১০, ৩য় রাশি ৫০ এবং ৪র্থ রাশি ২০ হিসেবে বিবেচনা করলে আমরা লিখতে পারি,

সমানুপাতের ১ম ও ২য় রাশি সমজাতীয় এবং ৩য় ও ৪র্থ রাশি সমজাতীয় হবে।
অর্থাৎ ৪ টি রাশি সমজাতীয় হওয়ার প্রয়োজন নেই। প্রত্যেক অনুপাতের রাশি দুইটি সমজাতীয় হলেই সমানুপাত তৈরি হয়।

সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি এবং ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে। সমানুপাতে '=' চিহ্নের
পরিবর্তে '::' চিহ্নও ব্যবহার করা হয়। অতএব আমরা লিখতে পারি,

বা, ১ম রাশি/২য় রাশি = ৩য় রাশি/৪র্থ রাশি

বা, ১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

ত্রৈরাশিক

আমরা জানি, ১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

মনে করি,

১ম, ২য় ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯, ১৮, ২০।

তবে ৯ $\times$ ৪র্থ রাশি = ১৮ $\times$ ২০

$\therefore$ ৪র্থ রাশি = $\frac{{}^{২}\cancel{১৮} \times ২০ }{\cancel{{৯}_{১}}}= ৪০$

$\therefore$ ৪র্থ রাশি = ৪০

লক্ষ করি

• সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি বলে।
• সমানুপাতের ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে।

উদাহরণ ২। ৩, ৬,৭ এর ৪র্থ সমানুপাতী নির্ণয় কর।

সমাধান : এখানে ১ম রাশি ৩, ২য় রাশি ৬, ৩য় রাশি ৭

আমরা জানি,

১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

৩ $\times$ ৪র্থ রাশি = ৬ $\times$ ৭

বা, ৪র্থ রাশি = $\frac{{}^{২}\cancel{৬}\times ৭}{{\cancel{৩}}_{১}}$

বা, ১৪

নির্ণেয় ৪র্থ সমানুপাতিক ১৪

উদাহরণ ৩। ৮, ৭ এবং ১৪ এর ৩য় রাশি নির্ণয় কর।

সমাধান: এখানে ১ম রাশি ৮, ২য় রাশি ৭ এবং ৪র্থ রাশি ১৪

আমরা জানি,

১ম রাশি $\times$ ৪র্থ রাশি = ২য় রাশি $\times$ ৩য় রাশি

বা, ৮ $\times$ ১৪ = ৭ $\times$ ৩য় রাশি

$\therefore$৩য় রাশি = $\frac{৮\times {\cancel{১৪}}^{২}}{\cancel{{৭}_{১}}}$

= ১৬

ক্রমিক সমানুপাত

মনে করি, ৫ টাকা, ১০ টাকা ও ২০ টাকা এই তিনটি রাশি দ্বারা ৫: ১০ এবং ১০: ২০ এই দুটি অনুপাত নেওয়া হলো। এখানে, ৫: ১০: ১০: ২০। এ ধরনের সমানুপাতকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। ৫ টাকা, ১০ টাকা ও ২০ টাকাকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে।

ক : খ : : খ গ সমানুপাতটির তিনটি রাশি ক, খ, গ ক্রমিক সমানুপাতী হলে $\frac{ক }{খ}=\frac{খ}{গ}$ বাক $\times$ গ = (খ)^২ হবে।

অর্থাৎ, ১ম ও ৩য় রাশির গুণফল দ্বিতীয় রাশির বর্গের সমান।

লক্ষ করি:

• ২য় রাশিকে ১ম ও ৩য় রাশির মধ্য সমানুপাতী বা মধ্য রাশি বলে।
• ক্রমিক সমানুপাতের তিনটি রাশিই সমজাতীয়।

উদাহরণ ৪। একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৪ ও ১৬ হলে, মধ্য সমানুপাতী ও ক্রমিক সমানুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান: আমরা জানি, ১ম রাশি $\times$ ৩য় রাশি = (২য় রাশি)^২

এখানে, ১ম রাশি = ৪ এবং ৩য় রাশি = ১৬

$\therefore$ ৪ $\times$ ১৬ = (মধ্য রাশি)^২

অথবা, (মধ্য রাশি)^২ = ৬৪

মধ্য রাশি = $\sqrt{৬৪}=৮$

নির্ণেয় ক্রমিক সমানুপাত ৪ : ৮ :: ৮ : ১৬ এবং নির্ণেয় মধ্য সমানুপাতী ৮

উদাহরণ ৫। ৫টি খাতার দাম ২০০ টাকা হলে, ৭টি খাতার দাম কত?

সমাধান: এখানে খাতার সংখ্যা বাড়লে দামও বাড়বে।
অর্থাৎ, খাতার সংখ্যার অনুপাত= খাতার দামের অনুপাত

৫ : ৭ = ২০০ টাকা : ৭টি খাতার দাম

বা, $\frac{৫ }{৭}$ = ২০০ টাকা/ ৭টি খাতার দাম

বা, ৭টি খাতার দাম = ৭ $\times$ ২০০ টাকা / ৫ = ২৮০ টাকা।

উদাহরণ ৬। ১২জন লোক একটি কাজ ৯ দিনে করতে পারে। একই হারে কাজ করলে ১৮জনে কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান: লক্ষ করি, লোকসংখ্যা বাড়লে সময় কম লাগবে, আবার লোকসংখ্যা কমলে সময় বেশি লাগবে। লোকসংখ্যার সরল অনুপাত সময়ের ব্যস্ত অনুপাতের সমান হবে।

১২ : ১৮ = নির্ণেয় সময় : ৯ দিন

বা, $\frac{{}^{২}\cancel{১২}}{\cancel{১{৮}_{৩}}}$= নির্ণেয় সময় / ৯ দিন

বা নির্ণেয় সময় = $\frac{২{\times }^{৩}\cancel{৯} }{\cancel{{৩}_{১}}}$দিন = ৬ দিন

সমানুপাতিক ভাগ

মনে করি, ৫০০ টাকা ৩ : ২ অনুপাতে বণ্টন করতে হবে।

এখানে ৩ : ২ অনুপাতের পূর্বরাশি ও উত্তর রাশির যোগফল = ৩+২ = ৫

১ম ভাগ = ৫০০ টাকার $\frac{৩}{৫}$ অংশ = ৩০০ টাকা

এবং ২য় ভাগ = ৫০০ টাকার $\frac{২}{৫}$ অংশ = ২০০ টাকা।

অতএব,

এভাবে উপরের পদ্ধতিতে একটি রাশিকে বিভিন্ন ভাগে বিভক্ত করা যায়।

উদাহরণ ৭। ২০ মিটার কাপড়কে তিন ভাইবোন অমিত, সুমিত ও চৈতির মধ্যে ৫: ৩ : ২ অনুপাতে ভাগ করলে প্রত্যেকের কাপড়ের পরিমাণ কত?

সমাধান: কাপড়ের পরিমাণ = ২০ মিটার

প্রদত্ত অনুপাত = ৫ : ৩ : ২

অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৫+৩+২ = ১০

অমিতের অংশ = ২০ মিটারের $\frac{৫ }{১০}$অংশ = ১০ মিটার

সুমিতের অংশ = ২০ মিটারের $\frac{৩ }{১০}$ অংশ = ৬ মিটার

এবং চৈতির অংশ = ২০ মিটারের $\frac{২}{১০}$অংশ = ৪ মিটার

অমিত, সুমিত ও চৈতির কাপড়ের পরিমাণ যথাক্রমে ১০ মিটার, ৬ মিটার ও ৪ মিটার।

উদাহরণ ৮। পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩। তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫ : ৪। পনিরের আয় ১২০ টাকা হলে, রবিনের আয় কত?

সমাধান: পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪ : ৩ = $\frac{৪}{৩}$ = $\frac{৪\times ৫ }{৩\times ৫}$= $\frac{২০ }{১৫}$= ২০ : ১৫

তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত $\frac{৫}{৪}$ = $\frac{৫\times ৩ }{৪\times ৩}$= $\frac{১৫ }{১২}$= ১৫ : ১২

পনিরের আয়: তপনের আয় রবিনের আয় = ২০ : ১৫ : ১২

পনিরের আয়: রবিনের আয় = ২০ : ১২

বা, পনিরের আয় / রবিনের আয় = $\frac{২০ }{১২}$

বা, রবিনের আয় = পনিরের আয় $\times$ ১২ / ২০ টাকা

= $\frac{{}^{৬}\cancel{১২০}\times ১২ }{\cancel{২{০}_{১}}}$ টাকা বা ৭২ টাকা।

$\therefore$ রবিনের আয় ৭২ টাকা

এলিগেশন (Rule of Alligation)

ভিন্ন ভিন্ন দামের বা মানের দুই বা ততোধিক বস্তুকে মিশ্রিত করলে মিশ্রণের গড় দাম বা গড় মান নির্ণয় এবং নির্দিষ্ট গড় দামে মিশ্রণের অনুপাত বের করার পদ্ধতিকে এলিগেশন বলা হয়।

এলিগেশনের মূল ধারণা

কম দামের বস্তু ও বেশি দামের বস্তুকে এমনভাবে মেশানো হয় যাতে নির্দিষ্ট গড় দাম পাওয়া যায়।

এলিগেশনের সূত্র

$\text{Ratio}=(\text{Higher Price}-\text{Mean Price}):(\text{Mean Price}-\text{Lower Price})$

চিত্র আকারে

উচ্চ দাম → গড় দাম → নিম্ন দাম

পার্থক্যের অনুপাতই মিশ্রণের অনুপাত।

উদাহরণ

৩০ টাকা কেজি ও ৫০ টাকা কেজি দামের চাল মিশিয়ে ৪০ টাকা কেজি দামের মিশ্রণ তৈরি করতে হবে। কী অনুপাতে মেশাতে হবে?

উচ্চ দাম = 50

গড় দাম = 40

নিম্ন দাম = 30

অনুপাত =

= 10 : 10

= 1 : 1

অতএব, চাল দুটি ১ : ১ অনুপাতে মেশাতে হবে।

বৈশিষ্ট্য

• এটি মিশ্রণ সম্পর্কিত সমস্যায় ব্যবহৃত হয়।
• দাম, মান বা ঘনত্ব নির্ণয়ে গুরুত্বপূর্ণ।
• এখানে গড় মান সর্বদা দুই মানের মাঝামাঝি হয়।
• অনুপাত নির্ণয়ে পার্থক্য ব্যবহার করা হয়।

মনে রাখার উপায়

“বড় দাম − গড় দাম : গড় দাম − ছোট দাম”

এটাই এলিগেশনের মূল সূত্র।

মিশ্রণ (Mixture) :

একাধিক জিনিস মিশিয়ে মিশ্রণ তৈরি করা হয়। যে জিনিসগুলো দিয়ে মিশ্রণ তৈরি করা হয়, তাদেরকে মিশ্রণের উপাদান বলে। যেকোন আনুপাতিক হারে উপাদান মিশিয়ে মিশ্রণ তৈরি করা

যেতে পারে।

যেমন, ১০ লিটার দুধের সাথে ৪ লিটার পানি মিশিয়ে মিশ্রণ তৈরি করা যায়। এই মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত = ১০ লিটার ঃ ৪ লিটার = ১০ঃ৪ =৫ঃ২ ।

দুই বা ততোধিক ভিন্ন পদার্থকে একত্রে মিশিয়ে যে নতুন পদার্থ তৈরি করা হয়, তাকে মিশ্রণ (Mixture) বলে। মিশ্রণে উপাদানগুলোর নিজস্ব ধর্ম সাধারণত অক্ষুণ্ণ থাকে।

মিশ্রণের প্রকারভেদ

মিশ্রণ প্রধানত দুই প্রকার:

• সমজাতীয় মিশ্রণ (Homogeneous Mixture)
• অসমজাতীয় মিশ্রণ (Heterogeneous Mixture)

গাণিতিক ধারণা (মিশ্রণের অনুপাত)

মিশ্রণ সংক্রান্ত সমস্যায় সাধারণত পরিমাণ ও অনুপাত ব্যবহার করা হয়। যেমন:

মোটপরিমাণ = উপাদান 1 + উপাদান 2

যদি দুইটি দ্রবণের ঘনত্ব ও পরিমাণ ভিন্ন হয়, তবে গড় ঘনত্ব নির্ণয় করা হয়:

$C=\frac{C_1{V}_1+C_2{V}_2}{V_1+V_2}$

উদাহরণ

দুটি দ্রবণ মিশিয়ে নতুন দ্রবণ তৈরি করা হয়। যদি প্রথম দ্রবণের ঘনত্ব বেশি এবং দ্বিতীয়টির কম হয়, তবে মিশ্রণের ঘনত্ব মাঝামাঝি হবে।

মিশ্রণ সমস্যা সমাধানে সাধারণত অনুপাত, গড় ও সমীকরণ ব্যবহার করা হয়।

অংশীদারী কারবার(Partnership business)

দুই বা ততোধিক ব্যক্তি একত্রে একটি কারবারের মালিক হলে, ঐ কারবারকে অংশীদারী কারবার বলা হয়। ঐ ব্যক্তিদের প্রত্যেকে কারবারের অংশীদার।  অংশীদারগণ আলোচনার মাধ্যমে কারবারের লাভ বা ক্ষতির অংশ বন্টনের চুক্তি করেন। চুক্তিতে লাভ-ক্ষতি বন্টন সম্পর্কে কিছু বলা না থাকলে কারবারের লাভ বা ক্ষতি তাদের মূলধনেরঅনুপাতে বণ্টন করা হয়।

যেমন, একটি ব্যবসায় ক,খ ও গ যথাক্রমে ২০০, ৩০০ এবং ৪০০ টাকা বিনিয়োগ করলে ক, খ ও গ এর প্রাপ্ত লাভের অনুপাত হবে ২০০ঃ ৩০০ঃ৪০০ বা ২ঃ৩ঃ৪।

যখন দুই বা ততোধিক ব্যক্তি একটি চুক্তির ভিত্তিতে নির্দিষ্ট মূলধন ও চুক্তিকৃত শর্ত অনুযায়ী ব্যবসা পরিচালনা করে এবং লাভ-ক্ষতি ভাগ করে নেয়, তখন তাকে অংশীদারি কারবার (Partnership Business) বলা হয়।

অংশীদারি কারবারের ধারণা

অংশীদারি কারবারে প্রতিটি সদস্যকে অংশীদার বলা হয়। অংশীদাররা একসাথে ব্যবসা পরিচালনা করে এবং নির্ধারিত অনুপাতে লাভ ও ক্ষতি ভাগ করে নেয়।

এই ধরনের ব্যবসা সাধারণত পারস্পরিক বিশ্বাস, চুক্তি এবং যৌথ সিদ্ধান্তের উপর ভিত্তি করে পরিচালিত হয়।

গাণিতিক ধারণা (লাভ বণ্টন)

অংশীদারি কারবারে লাভ বণ্টনের ক্ষেত্রে সাধারণত মূলধন ও সময়ের অনুপাত ব্যবহার করা হয়।

যদি অংশীদারদের মূলধন ভিন্ন হয়, তবে লাভ বণ্টনের অনুপাত হবে:

$P_1:P_2=C_1:C_2$

এখানে, C₁ ও C₂ হলো দুই অংশীদারের মূলধন।

যদি সময় ভিন্ন হয়

যখন মূলধন ও সময় উভয়ই বিবেচনা করা হয়, তখন লাভ বণ্টনের সূত্র:

$P_1:P_2=C_1{T}_1:C_2{T}_2$

এখানে, T₁ ও T₂ হলো অংশীদারদের বিনিয়োগের সময়কাল।

বৈশিষ্ট্য

• অন্তত দুইজন ব্যক্তি অংশগ্রহণ করে।
• লিখিত বা মৌখিক চুক্তির মাধ্যমে ব্যবসা পরিচালিত হয়।
• লাভ-ক্ষতি নির্ধারিত অনুপাতে ভাগ করা হয়।
• সকল অংশীদার যৌথভাবে সিদ্ধান্ত গ্রহণ করে।

উদাহরণ

দুই বন্ধু ৫০,০০০ টাকা ও ৩০,০০০ টাকা মূলধন দিয়ে ব্যবসা শুরু করলো। তাদের লাভ নির্ধারিত অনুপাতে ভাগ হবে 5:3।

মনে রাখার উপায়

যেখানে দুই বা ততোধিক ব্যক্তি চুক্তি অনুযায়ী ব্যবসা করে এবং লাভ-ক্ষতি ভাগ করে নেয়, সেটাই অংশীদারি কারবার।

সময় ও কাজ Time and work

সমস্যা সমাধানের নিয়ম: সময় ও কাজ বিষয়ক সমস্যায় দুই বা তিনটি ভিন্ন জাতীয় রাশি যুক্ত থাকে। ঐ গুলো হলঃ ক) সময়ের পরিমাণ খ) কাজের পরিমাণ গ) কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা

নিয়ম: (I) কাজের পরিমাণ অপরিবর্তিত রেখে-

1. কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা কমালে কাজের সময় বাড়বে। এ ক্ষেত্রে গুণ করতে হয়।
2. কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা বাড়ালে কাজের সময় কমবে। এক্ষেত্রে ভাগ করতে হবে।

নিয়ম (II) কাজ সম্পাদনকারীর সংখ্যা অপরিবর্তিত রেখে-

1. কাজের পরিমাণ কমালে সময়ের পরিমাণ কম হয়। এক্ষেত্রে ভাগ করতে হয়।
2. কাজের পরিমাণ বাড়ালে সময়ের পরিমাণ বেশি হয়। এক্ষেত্রে গুণ করতে হয়।

যে গাণিতিক অধ্যায়ে কোনো নির্দিষ্ট কাজ সম্পন্ন করতে ব্যক্তি বা যন্ত্র কত সময় নেয় এবং তাদের কাজের হার কীভাবে নির্ণয় করা যায় তা আলোচনা করা হয়, তাকে সময় ও কাজ (Time and Work) বলে।

কাজের মৌলিক ধারণা

কোনো কাজ সম্পূর্ণ করতে মোট কাজের পরিমাণ সাধারণত ১ ধরা হয়। একজন ব্যক্তি যত বেশি দক্ষ, সে তত দ্রুত কাজ শেষ করতে পারে।

মৌলিক সূত্র

$W=P\times T$

এখানে,
W = কাজ (Work)
P = কর্মদক্ষতা (Power / Efficiency)
T = সময় (Time)

একজন ব্যক্তির কাজের হার

যদি একজন ব্যক্তি একটি কাজ T দিনে শেষ করে, তবে তার ১ দিনের কাজ হবে:

$\frac{1}{T}$

দুইজন একসাথে কাজ করলে

দুইজন ব্যক্তির কাজের হার যোগ করে মোট কাজের হার নির্ণয় করা হয়।

$\frac{1}{T_1}+\frac{1}{T_2}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• কাজের পরিমাণ সাধারণত ১ ধরা হয়।
• সময় যত কম, দক্ষতা তত বেশি।
• একাধিক ব্যক্তি একসাথে কাজ করলে সময় কমে যায়।
• এটি বাস্তব জীবনের শ্রম ও উৎপাদন ব্যবস্থায় ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ

একজন ব্যক্তি একটি কাজ ১২ দিনে শেষ করে। তাহলে ১ দিনে সে কাজের 1/12 অংশ করতে পারবে।

অন্য একজন ব্যক্তি একই কাজ ১৮ দিনে শেষ করে। একসাথে কাজ করলে তারা দ্রুত কাজ সম্পন্ন করতে পারবে।

মনে রাখার উপায়

যে যত দক্ষ, সে তত দ্রুত কাজ শেষ করে এবং তার কাজের হার তত বেশি হয়।

সময় ও কাজ (Time and Work) – যৌথ কাজের অংক

যখন দুই বা ততোধিক ব্যক্তি একসাথে কোনো কাজ সম্পন্ন করে, তখন তাদের কাজের হার যোগ করে মোট সময় নির্ণয় করা হয়। এই ধরনের অংকে সাধারণত “এক দিনে কাজের অংশ” ব্যবহার করা হয়।

প্রদত্ত তথ্য

ধরি,
ক ব্যক্তি একটি কাজ ১০ দিনে শেষ করতে পারে
খ ব্যক্তি একই কাজ ১৫ দিনে শেষ করতে পারে

ধাপ ১: এক দিনের কাজ নির্ণয়

ক ব্যক্তির ১ দিনের কাজ:

$\frac{1}{10}$

খ ব্যক্তির ১ দিনের কাজ:

$\frac{1}{15}$

ধাপ ২: একসাথে ১ দিনের কাজ

$\frac{1}{10}+\frac{1}{15}$

LCM = 30 ধরে,

$\frac{3}{30}+\frac{2}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$

ধাপ ৩: মোট সময় নির্ণয়

যদি ১ দিনে কাজের অংশ হয় 1/6, তাহলে সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে সময় লাগবে:

$6\mathrm{দিন}$

উত্তর

ক ও খ একসাথে কাজটি ৬ দিনে শেষ করতে পারবে।

এই ধরনের অংকের শর্ট নিয়ম

• প্রথমে প্রতিজনের ১ দিনের কাজ বের করতে হবে।
• তারপর সব কাজের হার যোগ করতে হবে।
• মোট কাজ = ১ ধরে সময় নির্ণয় করতে হবে।

মনে রাখার টিপস

যৌথ কাজের ক্ষেত্রে “দ্রুততার যোগফল = মোট কাজের গতি বৃদ্ধি” — তাই সময় কমে যায়।

নল ও চৌবাচ্চা (Pipes and Cistern)

নল ও চৌবাচ্চা অধ্যায়ে পানির ট্যাংক (চৌবাচ্চা) ভরাট করা বা খালি করার সময় নলগুলোর কাজের হার নিয়ে আলোচনা করা হয়। এটি মূলত “সময় ও কাজ” অধ্যায়ের একটি বিশেষ প্রয়োগ।

১: দুজন কাজ করলে বা দুটি নল থাকলে

• (১-ক) দু জন ব্যক্তি অথবা দুটি নলের একত্রে কাজ:
  • শর্টকাট: Single + Single = Together = $\frac{A\times B}{A+B}$ days.
• (১-খ) দুজনের একসাথে কাজ একজনের কাজ:
  • একটি নল দ্বারা পানি ঢুকলে এবং আরেকটি দিয়ে বের হলে অথবা দুজনের কাজ থেকে একজনের কাজ বিয়োগ করলে অন্যজনকে কতদিন লাগবে তা বের হবে।
  • এ ধরনের অংক খুব দ্রুত করতে চাইলে এই সূত্রটি প্রয়োগ করুন: শর্টকাট: Together - Single = Single = $\frac{A\times B}{Big - small}$
  • সূত্রের ব্যাখ্যা: উপরে দুজনের একাকী কাজ করার দিন গুণ করতে হবে এবং নিচে বড় সংখ্যাটি থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ করুন।

২: দু'য়ের অধিক নল থাকলে বা দু' জনের বেশী কাজ করলে

• দুজনের থেকে অধিক মানুষ কাজ করলে অথবা দুটি নলের থেকে বেশি নল থাকলে উপরের দুটি নিয়মের মতই সমাধান করতে হয়। তবে এক্ষেত্রে শর্টকার্ট সুত্রের থেকে বুঝে বুঝে কম লিখে সমাধান করলেই সময় কম লাগবে।
  • Shortcut: তিনজন কাজ করলে = $\frac{ABC}{AB+BC+CA}$

৩ঃ পূর্ণ অংশ না থেকে ভগ্নাংশ দেয়া থাকলে

• যে ভগ্নাংশেরই কাজের সময় বের করতে বলা হোক না কেন, প্রথমে ১ অংশ কাজ করতে কত সময় লাগবে তা বের করার পর বাকী অংশের হিসেব করতে হবে। মনে রাখবেন, ১ অংশ কাজ করার সময় $\times$ ভগ্নাংশ = ঐ ভগ্নাংশ কাজ করার সময়।

মৌলিক ধারণা

যদি একটি নল চৌবাচ্চা ভরাট করে, তবে সেটিকে Inlet pipe বলা হয়। আর যদি একটি নল চৌবাচ্চা খালি করে, তবে সেটিকে Outlet pipe বলা হয়।

ভরাট করার নলের কাজকে ধনাত্মক (+) এবং খালি করার নলের কাজকে ঋণাত্মক (−) ধরা হয়।

মৌলিক সূত্র

নল ও চৌবাচ্চার সমস্যায় এক দিনে মোট কাজ নির্ণয় করা হয়:

মোটকাজ = ভরাটেরহার - খালিকরারহার

একটি নল যদি x দিনে ভরে

তাহলে ১ দিনে সেই নলের কাজ হবে:

$\frac{1}{x}$

ভরাট ও খালি নল একসাথে কাজ করলে

যদি একটি নল x দিনে ভরে এবং আরেকটি নল y দিনে খালি করে, তবে মোট কাজের হার হবে:

$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$

মোট সময় নির্ণয়

মোট সময় = ১ ÷ মোট কাজের হার

সময় $=\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• ভরাট নল → ধনাত্মক কাজ (+)
• খালি নল → ঋণাত্মক কাজ (−)
• যত বেশি নল খালি করে, তত সময় বেশি লাগে
• LCM ব্যবহার করলে হিসাব সহজ হয়

উদাহরণ

একটি নল একটি চৌবাচ্চা ১০ ঘণ্টায় ভরে। আরেকটি নল ১৫ ঘণ্টায় খালি করে। তাহলে একসাথে কাজ করলে চৌবাচ্চা ভরবে ধীরে বা কখনো খালি থাকতে পারে, যা কাজের হারের উপর নির্ভর করে।

মনে রাখার উপায়

যে নল পানি দেয় সেটি +, যে নল পানি বের করে সেটি −। মোট কাজ = (ভরাট − খালি)।

নৌকা ও স্রোত (Boat and Stream)

স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ হল নৌকার প্রকৃত গতিবেগ। স্রোতস্বিনী নদীর স্রোতের অনুকূলে বা প্রতিকূলে নৌকা যে গতিবেগে চলে, তাকে নৌকার কার্যকরী গতিবেগ বলা হয়।

স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতিবেগ + স্রোতের গতিবেগ

নৌকা ও স্রোত অধ্যায়ে পানির স্রোতের কারণে নৌকার গতি বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়—এ ধরনের গাণিতিক সমস্যা আলোচনা করা হয়। এটি মূলত গতি, সময় ও দূরত্ব (Speed, Time and Distance) অধ্যায়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ।

মৌলিক ধারণা

যখন নৌকা পানির স্রোতের সাথে চলে, তখন তার গতি বৃদ্ধি পায়। আর যখন স্রোতের বিপরীতে চলে, তখন তার গতি কমে যায়।

গাণিতিক সংজ্ঞা

নৌকার গতি এবং স্রোতের গতি ব্যবহার করে দুই ধরনের গতি নির্ণয় করা হয়:

১. নিম্ন স্রোত (Downstream)

স্রোতের সাথে নৌকার গতি:

$\mathrm{Downstream}=\mathrm{Boat\; speed}+\mathrm{Stream\; speed}$

২. উর্ধ্ব স্রোত (Upstream)

স্রোতের বিপরীতে নৌকার গতি:

$\mathrm{Upstream}=\mathrm{Boat\; speed}-\mathrm{Stream\; speed}$

মৌলিক সূত্র

যদি নৌকার গতি = b এবং স্রোতের গতি = s হয়, তবে:

$\mathrm{Downstream\; speed}=b+s$$\mathrm{Upstream\; speed}=b-s$

গতি নির্ণয়ের সূত্র

নৌকার নিজস্ব গতি এবং স্রোতের গতি বের করা যায়:

$\mathrm{Boat\; speed}=\frac{\mathrm{Downstream}+\mathrm{Upstream}}{2}$$\mathrm{Stream\; speed}=\frac{\mathrm{Downstream}-\mathrm{Upstream}}{2}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• স্রোতের সাথে গেলে গতি বেশি হয়
• স্রোতের বিপরীতে গেলে গতি কমে
• গতি = দূরত্ব ÷ সময়
• Downstream > Upstream সবসময় সত্য

উদাহরণ

একটি নৌকা স্থির পানিতে ২০ কিমি/ঘণ্টা বেগে চলে এবং স্রোতের বেগ ৫ কিমি/ঘণ্টা।

তাহলে, Downstream = 20 + 5 = 25 কিমি/ঘণ্টা
Upstream = 20 - 5 = 15 কিমি/ঘণ্টা

মনে রাখার উপায়

স্রোতের সাথে গেলে যোগ (+), স্রোতের বিপরীতে গেলে বিয়োগ (−)।

অনুকূল ও প্রতিকূল বেগ (Relative Velocity: Favorable & Opposite Direction)

যখন কোনো বস্তু চলমান অবস্থায় থাকে এবং তার গতি আরেকটি বস্তুর তুলনায় নির্ণয় করা হয়, তখন তাকে আপেক্ষিক বেগ (Relative Velocity) বলা হয়। এর দুটি প্রধান অবস্থা হলো—অনুকূল বেগ এবং প্রতিকূল বেগ।

১. অনুকূল বেগ (Favorable / Same Direction Velocity)

যখন দুটি বস্তু একই দিকে চলতে থাকে, তখন তাদের আপেক্ষিক বেগকে অনুকূল বেগ বলা হয়।

নিয়ম:

$V=V1-V2$

এখানে, V₁ > V₂ হলে আপেক্ষিক বেগ ধনাত্মক হয়।

উদাহরণ:

একটি গাড়ি 60 km/h বেগে এবং অন্যটি 40 km/h বেগে একই দিকে চলছে।

আপেক্ষিক বেগ = 60 − 40 = 20 km/h

২. প্রতিকূল বেগ (Opposite Direction Velocity)

যখন দুটি বস্তু বিপরীত দিকে চলে, তখন তাদের আপেক্ষিক বেগকে প্রতিকূল বেগ বলা হয়।

নিয়ম:

$V=V1+V2$

উদাহরণ:

একটি ট্রেন 50 km/h এবং অন্যটি 30 km/h বেগে বিপরীত দিকে চলছে।

আপেক্ষিক বেগ = 50 + 30 = 80 km/h

তুলনামূলক পার্থক্য

• অনুকূল বেগ → একই দিকে চলাচল → বিয়োগ হয়
• প্রতিকূল বেগ → বিপরীত দিকে চলাচল → যোগ হয়

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• আপেক্ষিক বেগ নির্ভর করে দিকের উপর
• একই দিকে হলে গতি কম মনে হয়
• বিপরীত দিকে হলে গতি বেশি মনে হয়

মনে রাখার কৌশল

• Same direction → subtraction
• Opposite direction → addition

স্থির পানি ও স্রোতের বেগ (Speed in Still Water & Stream)

নৌকা বা জাহাজ যখন নদীতে চলে, তখন পানির স্রোতের কারণে তার বেগ পরিবর্তিত হয়। এই অবস্থায় দুই ধরনের বেগ গুরুত্বপূর্ণ—স্থির পানির বেগ এবং স্রোতের বেগ।

১. স্থির পানির বেগ (Speed in Still Water)

যখন পানি সম্পূর্ণ স্থির থাকে, তখন নৌকা যে বেগে চলে তাকে স্থির পানির বেগ বলা হয়।

ধরা যাক:

নৌকার নিজস্ব বেগ = u

২. স্রোতের বেগ (Speed of Stream)

নদীর পানির প্রবাহের বেগকে স্রোতের বেগ বলা হয়।

ধরা যাক:

স্রোতের বেগ = v

৩. অনুকূল স্রোত (Downstream)

যখন নৌকা স্রোতের দিকেই চলে, তখন তার বেগ বেড়ে যায়।

নিয়ম:

$\mathrm{Downstream}=u+v$

উদাহরণ:

u = 10 km/h, v = 3 km/h
Downstream = 10 + 3 = 13 km/h

৪. প্রতিকূল স্রোত (Upstream)

যখন নৌকা স্রোতের বিপরীত দিকে চলে, তখন তার বেগ কমে যায়।

নিয়ম:

$\mathrm{Upstream}=u-v$

উদাহরণ:

u = 10 km/h, v = 3 km/h
Upstream = 10 − 3 = 7 km/h

৫. গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

• নৌকার বেগ (u) = (Downstream + Upstream) ÷ 2
• স্রোতের বেগ (v) = (Downstream − Upstream) ÷ 2

উদাহরণ:

Downstream = 14 km/h, Upstream = 10 km/h

u = (14 + 10)/2 = 12 km/h
v = (14 − 10)/2 = 2 km/h

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• Downstream → গতি বাড়ে (যোগ)
• Upstream → গতি কমে (বিয়োগ)
• স্থির পানি = নৌকার নিজস্ব বেগ

মনে রাখার কৌশল

• Downstream = u + v
• Upstream = u − v
• Flow সহ → যোগ, Flow বিপরীত → বিয়োগ

ট্রেন ও গতিবেগ (Train and Speed)

ট্রেন ও গতিবেগ অধ্যায়ে ট্রেনের গতি, দৈর্ঘ্য, সময় এবং অতিক্রম করার বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা আলোচনা করা হয়। এটি গতি, সময় ও দূরত্ব (Speed, Time and Distance) অধ্যায়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ।

মৌলিক ধারণা

কোনো ট্রেন যখন একটি খুঁটি, প্ল্যাটফর্ম বা অন্য ট্রেন অতিক্রম করে, তখন ট্রেনের দৈর্ঘ্য এবং গতিবেগ গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

মৌলিক সূত্র

গতি, সময় ও দূরত্বের মধ্যে সম্পর্ক:

$S=\frac{D}{T}$

এখানে,
S = গতিবেগ (Speed)
D = দূরত্ব (Distance)
T = সময় (Time)

ট্রেন খুঁটি অতিক্রম করলে

যদি একটি ট্রেন একটি খুঁটি অতিক্রম করে, তবে অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে শুধুমাত্র ট্রেনের দৈর্ঘ্য।

$\mathrm{Distance}=\mathrm{Length\; of\; train}$

ট্রেন প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করলে

যদি একটি ট্রেন একটি প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে, তবে মোট দূরত্ব হবে:

$\mathrm{Total\; distance}=\mathrm{Train\; length}+\mathrm{Platform\; length}$

দুইটি ট্রেন বিপরীত দিকে চললে

দুইটি ট্রেন বিপরীত দিকে চললে আপেক্ষিক গতিবেগ হবে:

$\mathrm{RelativeSpeed}=S_1+S_2$

এখানে,
S₁ = প্রথম ট্রেনের গতি
S₂ = দ্বিতীয় ট্রেনের গতি

একই দিকে চললে

একই দিকে চললে আপেক্ষিক গতিবেগ হবে:

$\mathrm{RelativeSpeed}=S_1-S_2$

এখানে,
S₁ = প্রথম ট্রেনের গতি
S₂ = দ্বিতীয় ট্রেনের গতি

একক রূপান্তর

কিলোমিটার/ঘণ্টা থেকে মিটার/সেকেন্ডে রূপান্তর:

$\mathrm{m/s}=\mathrm{km/h}\times \frac{5}{18}$

মিটার/সেকেন্ড থেকে কিলোমিটার/ঘণ্টায় রূপান্তর:

$\mathrm{km/h}=\mathrm{m/s}\times \frac{18}{5}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• খুঁটি অতিক্রমে দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য
• প্ল্যাটফর্ম অতিক্রমে দূরত্ব = ট্রেন + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
• বিপরীত দিকে চললে গতি যোগ হয়
• একই দিকে চললে গতি বিয়োগ হয়

উদাহরণ

একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য ১২০ মিটার এবং গতিবেগ ৬০ কিমি/ঘণ্টা। যদি ট্রেনটি একটি খুঁটি অতিক্রম করে, তবে সময় নির্ণয়ে প্রথমে গতিবেগকে m/s এ রূপান্তর করতে হবে।

মনে রাখার উপায়

ট্রেন অতিক্রমের অংকে সবসময় “মোট দূরত্ব” এবং “আপেক্ষিক গতি” সঠিকভাবে নির্ণয় করতে হবে।

দৈর্ঘ্য ও খুঁটি/সেতু অতিক্রম (Length & Crossing Pole/Bridge)

এই ধরনের অঙ্কে সাধারণত কোনো বস্তু (যেমন: ট্রেন, গাড়ি, নৌকা) একটি স্থির বস্তু (যেমন: খুঁটি, সেতু, গাছ) অথবা আরেকটি চলমান বস্তু অতিক্রম করতে কত সময় লাগে তা নির্ণয় করা হয়।

মূল ধারণা

সময় = দূরত্ব ÷ বেগ

১. খুঁটি অতিক্রম (Crossing a Pole)

যখন কোনো ট্রেন বা বস্তু একটি খুঁটি অতিক্রম করে, তখন অতিক্রম করার দূরত্ব হবে শুধু বস্তুটির দৈর্ঘ্য।

সূত্র:

$\mathrm{Time}=\frac{\mathrm{Length\; of\; train}}{\mathrm{Speed}}$

উদাহরণ:

একটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য 100 m, বেগ 20 m/s

সময় = 100 ÷ 20 = 5 সেকেন্ড

২. সেতু অতিক্রম (Crossing a Bridge)

যখন ট্রেন একটি সেতু অতিক্রম করে, তখন অতিক্রম করার দূরত্ব হবে—

ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য

সূত্র:

$\mathrm{Time}=\frac{\mathrm{Train\; length}+\mathrm{Bridge\; length}}{\mathrm{Speed}}$

উদাহরণ:

ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 120 m
সেতুর দৈর্ঘ্য = 180 m
বেগ = 30 m/s

সময় = (120 + 180) ÷ 30 = 300 ÷ 30 = 10 সেকেন্ড

৩. দুটি চলমান বস্তু অতিক্রম (Two Moving Objects)

যদি দুটি বস্তু বিপরীত দিকে চলে, তবে আপেক্ষিক বেগ যোগ হয়।

সূত্র:

সময় = (দুই বস্তুর মোট দৈর্ঘ্য) ÷ (আপেক্ষিক বেগ)

উদাহরণ:

দুটি ট্রেনের দৈর্ঘ্য 100 m এবং 80 m
বেগ 20 m/s এবং 15 m/s (বিপরীত দিক)

আপেক্ষিক বেগ = 20 + 15 = 35 m/s
সময় = (100 + 80) ÷ 35 = 180 ÷ 35 ≈ 5.14 সেকেন্ড

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• খুঁটি → শুধু বস্তুটির দৈর্ঘ্য
• সেতু → বস্তু + সেতুর দৈর্ঘ্য
• বিপরীত গতি → বেগ যোগ হয়

মনে রাখার কৌশল

• Pole → Only train length
• Bridge → Train + Bridge length
• Opposite motion → Add speed

আপেক্ষিক গতিবেগ (Relative Velocity)

আপেক্ষিক গতিবেগ হলো একটি বস্তুর বেগ অন্য একটি বস্তুর তুলনায় কত তা নির্দেশ করে। অর্থাৎ, একটি বস্তু থেকে অন্য বস্তুকে পর্যবেক্ষণ করলে যে বেগ পাওয়া যায়, সেটিই আপেক্ষিক গতিবেগ।

মূল ধারণা

ধরা যাক দুটি বস্তু A এবং B চলছে। A-এর তুলনায় B-এর বেগকে বলা হয় B-এর আপেক্ষিক বেগ (relative velocity of B with respect to A)।

সূত্র

আপেক্ষিক বেগ নির্ভর করে দিকের উপর।

১. একই দিকে চললে (Same Direction)

$V=V1-V2$

যেখানে V₁ > V₂ হলে আপেক্ষিক বেগ ধনাত্মক হয়।

উদাহরণ:

একটি গাড়ি 60 km/h এবং আরেকটি 40 km/h বেগে একই দিকে চলছে।
আপেক্ষিক বেগ = 60 − 40 = 20 km/h

২. বিপরীত দিকে চললে (Opposite Direction)

$V=V1+V2$

উদাহরণ:

দুটি ট্রেন 50 km/h এবং 30 km/h বেগে বিপরীত দিকে চলছে।
আপেক্ষিক বেগ = 50 + 30 = 80 km/h

৩. স্থির পর্যবেক্ষকের ক্ষেত্রে

যদি একটি বস্তু স্থির থাকে, তবে আপেক্ষিক বেগ = চলমান বস্তুর বেগ।

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• একই দিকে → বিয়োগ হয়
• বিপরীত দিকে → যোগ হয়
• আপেক্ষিক বেগ শুধু দিকের উপর নির্ভর করে

মনে রাখার কৌশল

• Same direction → subtract
• Opposite direction → add

শতকরা (Percentage)

কোনো সংখ্যাকে ১০০ এর ভগ্নাংশ হিসেবে প্রকাশ করাকে শতকরা (Percentage) বলা হয়। শতকরা অর্থ “প্রতি শতকে” বা “প্রতি ১০০ এ”।

শতকরা চিহ্ন

শতকরা প্রকাশ করতে % চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

যদি কোনো সংখ্যা x% হয়, তবে তা বোঝায়:

$x\%=\frac{x}{100}$

শতকরা নির্ণয়ের সূত্র

$\mathrm{Percentage}=\frac{\mathrm{Part}}{\mathrm{Total}}\times 100$

এখানে,
Part = প্রাপ্ত অংশ
Total = মোট পরিমাণ

ভগ্নাংশকে শতকরায় রূপান্তর

ভগ্নাংশকে শতকরায় প্রকাশ করতে ১০০ দ্বারা গুণ করতে হয়।

$\frac{a}{b}\times 100\%$

দশমিককে শতকরায় রূপান্তর

দশমিক সংখ্যাকে শতকরায় প্রকাশ করতে ১০০ দ্বারা গুণ করতে হয়।

$\mathrm{Decimal}\times 100\%$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• শতকরা মান সবসময় ১০০ এর ভিত্তিতে প্রকাশ করা হয়।
• ভগ্নাংশ, দশমিক ও অনুপাতকে শতকরায় রূপান্তর করা যায়।
• লাভ-ক্ষতি, সুদ, ছাড় ইত্যাদিতে শতকরা ব্যবহৃত হয়।
• % চিহ্ন শতকরা নির্দেশ করে।

উদাহরণ

যদি একটি পরীক্ষায় ৮০ নম্বর পাওয়া যায় এবং মোট নম্বর ১০০ হয়, তবে শতকরা নম্বর হবে:

$\frac{80}{100}\times 100=80\%$

মনে রাখার উপায়

“শতকরা” মানে প্রতি ১০০ এ কত — এই ধারণা মনে রাখলেই শতকরা সহজে বোঝা যায়।

দেখা যাচ্ছে যে, শতকরা এবং অনুপাত দুইটিই ভগ্নাংশ। তবে শতকরার ক্ষেত্রে ভগ্নাংশের হর ১০০। অনুপাতের ক্ষেত্রে লব ও হর যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে। প্রয়োজনে শতকরাকে অনুপাতে ও অনুপাতকে শতকরায় প্রকাশ করা যায়।

যেমন, ৭ টাকা ও ১০ টাকার অনুপাত = $\frac{৭}{১০}$ টাকা = $\frac{৭}{১০}$ = $\frac{৭০ }{১০০}$ বা ৭০%। এখানে ৭ টাকা ১০ টাকার $\frac{৭}{১০}$ অংশ বা $\frac{৭}{১০}$গুণ যা ৭০% এর সমান।

অন্যদিকে, শতকরা ৩ বা ৩% হলো $\frac{৩}{১০০}$ বা ৩ : ১০০। অর্থাৎ, একটি অনুপাতকে শতকরায় প্রকাশ করা যায়।

উদাহরণ ৭। অনুপাত ও দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর:

(ক) ১৫%
(খ) ৩২%
(গ) ২৫%
(ঘ) ৫৫%
(ঙ) $৮\frac{১}{১০}\%$

সমাধান:
(ক) ১৫% = $\frac{১৫ }{১০০}= \frac{৩}{১৫}== ৩ : ২০$= .১৫

$\therefore$ ১৫% = ৩ : ২০ = .১৫

(খ) ৩২% = $\frac{\cancel{৩২}}{\cancel{১০০}}$= $\frac{৮}{২৫}$ = ৮ : ২৫ = .৩২

$\therefore$ ৩২% = ৮ : ২৫ = .৩২

(গ) ২৫% = $\frac{২৫ }{১০০}$= $\frac{১}{৪}$ = ১ : ৪ = .২৫

$\therefore$ ২৫% = ১ : ৪ = ২৫

(ঘ) ৫৫% = $\frac{৫৫ }{১০০}$= $\frac{১১ }{২০}$= ১১ : ২০ = .৫৫

$\therefore$৫৫% = ১১ : ২০ = .৫৫

(ঙ) $৮\frac{১}{১০}\%=\frac{৮১}{১০}\%=\frac{৮১}{১০}\times \frac{১}{১০০}=\frac{৮১}{১০০০}= ৮১ : ১০০০ = ০.০৮১$

$\therefore$ $৮\frac{১}{১০}\%= ৮১ : ১০০০ = .০৮১$

উদাহরণ ৮। নিম্নের ভগ্নাংশগুলোকে শতকরায় প্রকাশ কর:

(ক) $\frac{১}{৪}$ (খ) $\frac{৩}{২০}$ (গ) $\frac{৭}{১৫}$ (ঘ) $\frac{8 }{২৫}$ (ঙ) $\frac{৬}{১৩}$

সমাধান: (ক) $\frac{১ }{৪}$ = $\frac{১\times ১০০}{৪\times ১০০ }=\frac{২৫ }{১০০}= ২৫\%$

(খ) $\frac{৩ }{২০}=\frac{৩\times ১০০ }{২০\times ১০০ }=\frac{১৫ }{১০০ }=১৫\%$

(গ) $\frac{৭}{১৫}= \frac{৭\times ১০০ }{১৫\times ১০০ }=\frac{১৪০ }{৩}\times \frac{১ }{১০০}=\frac{১৪০ }{৩}\%=৪৬\frac{২}{৩}\%$

(ঘ) $\frac{8 }{২৫}= \frac{৪\times ১০০ }{২৫\times ১০০ }=\frac{১৬ }{১০০ }=১৬\%$

(ঙ) $\frac{৩ }{১৩}= \frac{৩ \times ১০০ }{১৩ \times ১০০ }=\frac{৩০০}{১৩ }\times \frac{১}{১০০} = \frac{৩০০ }{১৩}\% = ২৩\frac{১}{১৩}\%$

উদাহরণ ৯। একটি রাশি অপর একটি রাশির ৫০%। রাশি দুইটির অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান: ৫০% = $\frac{৫০}{১০০০}$ = অর্থাৎ, একটি রাশি ৫০ হলে, অপর রাশিটি হবে ১০০ ৫০ এবং ১০০ এর অনুপাত হলো ৫০ : ১০০ = ১ : ২

নির্ণেয় রাশি দুইটির অনুপাত = ১ : ২

উদাহরণ ১০। দুইটি রাশির যোগফল ২৪০। তাদের অনুপাত ১: ৩ হলে, রাশি দুইটি নির্ণয় কর। ১ম রাশি ২য় রাশির শতকরা কত অংশ?

সমাধান: রাশি দুইটির যোগফল = ২৪০

তাদের অনুপাত = ১ : ৩

অনুপাতের রাশি দুইটির যোগফল = ১ + ৩ = ৪

$\therefore$১ম রাশি = ২৪০ এর $\frac{১}{৪}$অংশ = ৬০

$\therefore$ ২য় রাশি = ২৪০ এর $\frac{৩}{৪}$ অংশ = ১৮০

আবার, রাশি দুইটির অনুপাত = ১ : ৩

১ম রাশি, ২য় রাশির $\frac{১}{৩}$ = $\frac{১\times ১০০০}{৩\times ১০০০}$ = $\frac{১০০}{৩}$% $=৩৩\frac{১}{৩}\%$

উদাহরণ ১১। মনিরা বার্ষিক পরীক্ষায় ৮০% নম্বর পেয়েছে। পরীক্ষায় মোট নম্বর ৮০০ হলে, মনিরা পরীক্ষায় মোট কত নম্বর পেয়েছে?

সমাধান : মনিরার প্রাপ্ত নম্বর = ৮০০ এর ৮০% =৮০০ এর $\frac{৮০ }{১০০}$ = ৬৪০