সংখ্যা পদ্ধতি (Number System)

সংখ্যা পদ্ধতি (Number System)

সংখ্যা পদ্ধতি হলো এমন একটি পদ্ধতি যার মাধ্যমে বিভিন্ন ধরনের সংখ্যা প্রকাশ, গণনা ও বিশ্লেষণ করা হয়। গণিত ও কম্পিউটার বিজ্ঞানে এটি একটি মৌলিক ধারণা।

সংখ্যা পদ্ধতির প্রধান প্রকারভেদ

• প্রাকৃতিক সংখ্যা (Natural Numbers)
• পূর্ণ সংখ্যা (Whole Numbers)
• পূর্ণসংখ্যা (Integers)
• মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers)
• অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers)
• বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)

১. প্রাকৃতিক সংখ্যা (Natural Numbers)

যে সকল সংখ্যা 1, 2, 3, 4, ... ইত্যাদি গণনার জন্য ব্যবহৃত হয় তাদের প্রাকৃতিক সংখ্যা বলে।

সেট আকারে: N = {1, 2, 3, 4, ...}

২. পূর্ণ সংখ্যা (Whole Numbers)

প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে 0 যুক্ত হলে তাকে পূর্ণ সংখ্যা বলে।

W = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

৩. পূর্ণসংখ্যা (Integers)

ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য মিলিয়ে পূর্ণসংখ্যা গঠিত।

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

৪. মূলদ সংখ্যা (Rational Numbers)

যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় (যেখানে q ≠ 0) তাকে মূলদ সংখ্যা বলে।

$Q=\frac{p}{q}$

উদাহরণ

1/2, 3, -5, 0.75 ইত্যাদি

৫. অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers)

যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে।

উদাহরণ: √2, √3, π ইত্যাদি

৬. বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers)

মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা মিলিয়ে বাস্তব সংখ্যা গঠিত হয়।

R = Q ∪ Irrational Numbers

সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি (Base of Number System)

সংখ্যা প্রকাশের জন্য ব্যবহৃত অঙ্কের সংখ্যা অনুযায়ী ভিত্তি নির্ধারিত হয়।

• দশমিক পদ্ধতি (Base 10)
• বাইনারি পদ্ধতি (Base 2)
• অক্টাল পদ্ধতি (Base 8)
• হেক্সাডেসিমাল (Base 16)

১. দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি (Decimal System)

এতে 0 থেকে 9 পর্যন্ত মোট 10টি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়।

২. বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি (Binary System)

এতে শুধুমাত্র 0 এবং 1 ব্যবহৃত হয়।

৩. অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতি (Octal System)

এতে 0 থেকে 7 পর্যন্ত মোট 8টি অঙ্ক ব্যবহৃত হয়।

৪. হেক্সাডেসিমাল সংখ্যা পদ্ধতি

এতে 0–9 এবং A–F পর্যন্ত মোট 16টি চিহ্ন ব্যবহৃত হয়।

স্থানীয় মান (Place Value)

প্রতিটি অঙ্কের মান তার অবস্থানের উপর নির্ভর করে।

উদাহরণ: 345

3 = 300, 4 = 40, 5 = 5

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• সকল প্রাকৃতিক সংখ্যা পূর্ণ সংখ্যা
• সকল পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা নয়
• π এবং √2 অমূলদ সংখ্যা
• বাস্তব সংখ্যা = মূলদ + অমূলদ

মনে রাখার কৌশল

• N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
• Binary → 2 digits (0,1)
• Decimal → 10 digits (0–9)

বিভাজ্যতার নিয়ম (Divisibility Rules)

কোনো সংখ্যা আরেকটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যাবে কিনা তা দ্রুত নির্ণয়ের নিয়মকে বিভাজ্যতার নিয়ম বলা হয়। নিচে 2 থেকে 13 পর্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিভাজ্যতার নিয়ম দেওয়া হলো।

বিভাজ্যতা নির্ণয়

২ দ্বারা বিভাজ্যতা

যে সংখ্যার শেষ অঙ্ক 0, 2, 4, 6, 8 হবে, তা 2 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 124, 560

৩ দ্বারা বিভাজ্যতা

অঙ্কগুলোর যোগফল যদি 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যাটিও 3 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 123 → 1+2+3 = 6 (3 দ্বারা বিভাজ্য)

৪ দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ দুই অঙ্ক যদি 4 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 316 → 16 ÷ 4 = 4 (হ্যাঁ)

৫ দ্বারা বিভাজ্যতা

যে সংখ্যার শেষ অঙ্ক 0 বা 5, তা 5 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 25, 120

৬ দ্বারা বিভাজ্যতা

যে সংখ্যা 2 এবং 3 উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তা 6 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 126 (জোড় এবং 1+2+6=9)

৭ দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ অঙ্কের দ্বিগুণ বাকি সংখ্যার থেকে বাদ দিলে ফল 7 দ্বারা বিভাজ্য হলে মূল সংখ্যাও বিভাজ্য।

উদাহরণ: 203 → 20 − (3×2)=14 (7 দ্বারা বিভাজ্য)

৮ দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ তিন অঙ্ক যদি 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 8 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 1000 → 000 = 0

৯ দ্বারা বিভাজ্যতা

অঙ্কগুলোর যোগফল যদি 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 9 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 729 → 7+2+9=18

১০ দ্বারা বিভাজ্যতা

যে সংখ্যার শেষ অঙ্ক 0, তা 10 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 150, 230

১১ দ্বারা বিভাজ্যতা

বিজোড় স্থানের অঙ্কের যোগফল ও জোড় স্থানের অঙ্কের যোগফলের পার্থক্য যদি 0 বা 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 121 → (1+1) − 2 = 0

১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা

শেষ অঙ্ককে 4 দিয়ে গুণ করে বাকি সংখ্যার সাথে যোগ করলে ফল যদি 13 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাও বিভাজ্য।

উদাহরণ: 286 → 28 + (6×4)=28+24=52 (13 দ্বারা বিভাজ্য)

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• 2, 5, 10 → শেষ অঙ্ক দেখে
• 3, 9 → অঙ্কের যোগফল দেখে
• 4, 8 → শেষ 2 বা 3 অঙ্ক দেখে
• 6 → 2 এবং 3 উভয় শর্ত
• 11, 13 → বিশেষ নিয়ম ব্যবহার করতে হয়

মনে রাখার কৌশল

• Even → 2
• Last 0/5 → 5
• Sum rule → 3 & 9
• Last 2 digits → 4
• Last 3 digits → 8

২, ৪, ৮ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility Rules of 2, 4, 8)

বিভাজ্যতার নিয়ম ব্যবহার করে সহজেই বোঝা যায় কোনো সংখ্যা 2, 4 বা 8 দ্বারা বিভাজ্য কিনা।

২ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 2)

যে সংখ্যার এককের অঙ্ক (শেষ অঙ্ক) 0, 2, 4, 6, 8 হবে, সেই সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য।

নিয়ম: শেষ অঙ্ক জোড় সংখ্যা হতে হবে

উদাহরণ:

124 → শেষ অঙ্ক 4 (জোড়) ⇒ 2 দ্বারা বিভাজ্য
567 → শেষ অঙ্ক 7 (বিজোড়) ⇒ বিভাজ্য নয়

৪ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 4)

যদি কোনো সংখ্যার শেষ দুই অঙ্ক 4 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে পুরো সংখ্যাটি 4 দ্বারা বিভাজ্য।

নিয়ম: শেষ ২ অঙ্ক 00 অথবা 4 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে

উদাহরণ:

316 → শেষ দুই অঙ্ক 16 (16 ÷ 4 = 4) ⇒ বিভাজ্য
725 → শেষ দুই অঙ্ক 25 (25 ÷ 4 নয়) ⇒ বিভাজ্য নয়

৮ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 8)

যদি কোনো সংখ্যার শেষ তিন অঙ্ক 8 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে পুরো সংখ্যাটি 8 দ্বারা বিভাজ্য।

নিয়ম: শেষ ৩ অঙ্ক 000 বা 8 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে

উদাহরণ:

1000 → শেষ তিন অঙ্ক 000 ⇒ বিভাজ্য
1248 → শেষ তিন অঙ্ক 248 (248 ÷ 8 = 31) ⇒ বিভাজ্য
1356 → শেষ তিন অঙ্ক 356 (356 ÷ 8 নয়) ⇒ বিভাজ্য নয়

তুলনামূলক সারাংশ

• 2 → শেষ অঙ্ক জোড় (0,2,4,6,8)
• 4 → শেষ 2 অঙ্ক 4 দ্বারা বিভাজ্য
• 8 → শেষ 3 অঙ্ক 8 দ্বারা বিভাজ্য

মনে রাখার কৌশল

• 2 → Even digit rule
• 4 → Last 2 digits
• 8 → Last 3 digits

৩ ও ৯ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility Rules of 3 & 9)

৩ ও ৯ দ্বারা বিভাজ্যতা নির্ণয়ের সবচেয়ে সহজ উপায় হলো সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল পরীক্ষা করা।

৩ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 3)

যদি কোনো সংখ্যার সব অঙ্কের যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাটিও 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

নিয়ম: অঙ্কগুলোর যোগফল 3 এর গুণিতক হতে হবে

উদাহরণ:

123 → 1 + 2 + 3 = 6 (6 ÷ 3 = 2) ⇒ বিভাজ্য
245 → 2 + 4 + 5 = 11 (11 ÷ 3 নয়) ⇒ বিভাজ্য নয়

৯ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 9)

যদি কোনো সংখ্যার সব অঙ্কের যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাটিও 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

নিয়ম: অঙ্কগুলোর যোগফল 9 এর গুণিতক হতে হবে

উদাহরণ:

729 → 7 + 2 + 9 = 18 (18 ÷ 9 = 2) ⇒ বিভাজ্য
234 → 2 + 3 + 4 = 9 ⇒ বিভাজ্য
158 → 1 + 5 + 8 = 14 ⇒ বিভাজ্য নয়

৩ ও ৯ এর সম্পর্ক

• সব ৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা অবশ্যই ৩ দ্বারা বিভাজ্য
• কিন্তু সব ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য নয়

উদাহরণ:

18 → 1+8=9 ⇒ 3 ও 9 উভয় দ্বারা বিভাজ্য
12 → 1+2=3 ⇒ শুধু 3 দ্বারা বিভাজ্য

তুলনামূলক সারাংশ

• 3 → অঙ্কের যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য
• 9 → অঙ্কের যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য

মনে রাখার কৌশল

• Sum of digits → 3 & 9
• 9 stronger condition than 3

৬ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 6: 2 ও 3 এর সমন্বয়)

কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা নির্ণয় করার সবচেয়ে সহজ নিয়ম হলো ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্যতা একসাথে পরীক্ষা করা।

নিয়ম:

যদি কোনো সংখ্যা একই সাথে ২ দ্বারা বিভাজ্য এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

অর্থাৎ:

$6=2\times 3$

৬ দ্বারা বিভাজ্যতার শর্ত

• সংখ্যা অবশ্যই জোড় (Even) হতে হবে → 2 দ্বারা বিভাজ্যতা
• অঙ্কগুলোর যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে → 3 দ্বারা বিভাজ্যতা

উদাহরণ ১

126 সংখ্যা বিবেচনা করি:

• শেষ অঙ্ক 6 → জোড় ⇒ 2 দ্বারা বিভাজ্য
• 1 + 2 + 6 = 9 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য

অতএব, 126 সংখ্যা 6 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ ২

154 সংখ্যা বিবেচনা করি:

• শেষ অঙ্ক 4 → জোড় ⇒ 2 দ্বারা বিভাজ্য
• 1 + 5 + 4 = 10 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য নয়

অতএব, 154 সংখ্যা 6 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

সহজ কৌশল

যদি সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য না হয়, তাহলে সেটি ৬ দ্বারা কখনোই বিভাজ্য হবে না।

মনে রাখার কৌশল

• 6 = 2 + 3 এর কম্বিনেশন
• Even + Sum rule ⇒ 6

৭, ১১, ১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility Rules of 7, 11, 13)

৭, ১১ ও ১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা নির্ণয়ের জন্য কিছু বিশেষ কৌশল ব্যবহার করা হয়। এই নিয়মগুলো সাধারণ যোগ বা শেষ অঙ্কের উপর নির্ভর করে না, বরং ধাপে ধাপে সংখ্যা পরিবর্তন করে পরীক্ষা করা হয়।

৭ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 7)

নিয়ম: শেষ অঙ্ককে 2 দ্বারা গুণ করে বাকি সংখ্যার সাথে বিয়োগ করলে যদি ফলাফল 7 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাও 7 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 203

শেষ অঙ্ক = 3
বাকি সংখ্যা = 20
3 × 2 = 6
20 − 6 = 14

14 ÷ 7 = 2 ⇒ বিভাজ্য

অর্থাৎ 203 সংখ্যা 7 দ্বারা বিভাজ্য।

১১ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 11)

নিয়ম: বিজোড় স্থানের অঙ্কের যোগফল এবং জোড় স্থানের অঙ্কের যোগফলের পার্থক্য যদি 0 বা 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 121

বিজোড় স্থান: 1 + 1 = 2
জোড় স্থান: 2
পার্থক্য: 2 − 2 = 0

অতএব, 121 সংখ্যা 11 দ্বারা বিভাজ্য।

আরেকটি উদাহরণ: 2728

বিজোড় স্থান: 2 + 2 = 4
জোড় স্থান: 7 + 8 = 15
পার্থক্য: 15 − 4 = 11

11 দ্বারা বিভাজ্য ⇒ সংখ্যা বিভাজ্য

১৩ দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by 13)

নিয়ম: শেষ অঙ্ককে 4 দ্বারা গুণ করে বাকি সংখ্যার সাথে যোগ করলে যদি ফলাফল 13 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে মূল সংখ্যাও 13 দ্বারা বিভাজ্য।

উদাহরণ: 286

শেষ অঙ্ক = 6
বাকি সংখ্যা = 28
6 × 4 = 24
28 + 24 = 52

52 ÷ 13 = 4 ⇒ বিভাজ্য

অর্থাৎ 286 সংখ্যা 13 দ্বারা বিভাজ্য।

তুলনামূলক সারাংশ

• 7 → শেষ অঙ্ক ×2 বিয়োগ নিয়ম
• 11 → odd-even position difference
• 13 → শেষ অঙ্ক ×4 যোগ নিয়ম

মনে রাখার কৌশল

• 7 → subtract method
• 11 → alternating sum
• 13 → multiply last digit by 4

যৌগিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতা (Divisibility by Composite Numbers)

যৌগিক সংখ্যা (Composite Numbers) হলো এমন সংখ্যা যেগুলোর ১ এবং নিজ সংখ্যা ছাড়াও আরও গুণনীয়ক থাকে। যেমন: 6, 12, 15, 18, 24, 72 ইত্যাদি।

যৌগিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতা নির্ণয়ের মূল কৌশল হলো—ঐ সংখ্যাটিকে মৌলিক গুণনে (Prime Factorization) ভেঙে নেওয়া এবং প্রতিটি মৌলিক গুণনীয়কের শর্ত পূরণ করা।

মূল ধারণা:

যদি কোনো সংখ্যা A, B ও C এর গুণফল হয়, তবে কোনো সংখ্যা A দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে সেটি B এবং C উভয় দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

৬ দ্বারা বিভাজ্যতা (2 × 3)

৬ = 2 × 3

অতএব, সংখ্যা 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি—
• সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য হয় (শেষ অঙ্ক জোড়)
• এবং 3 দ্বারা বিভাজ্য হয় (অঙ্কের যোগফল 3 দ্বারা বিভাজ্য)

উদাহরণ: 126

• জোড় সংখ্যা ⇒ 2 দ্বারা বিভাজ্য
• 1+2+6=9 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 6 দ্বারা বিভাজ্য

১২ দ্বারা বিভাজ্যতা (3 × 4)

১২ = 3 × 4

শর্ত:
• 3 দ্বারা বিভাজ্যতা (অঙ্কের যোগফল)
• 4 দ্বারা বিভাজ্যতা (শেষ 2 অঙ্ক)

উদাহরণ: 324

• 3+2+4=9 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য
• শেষ 2 অঙ্ক 24 ⇒ 4 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 12 দ্বারা বিভাজ্য

১৫ দ্বারা বিভাজ্যতা (3 × 5)

১৫ = 3 × 5

শর্ত:
• 3 দ্বারা বিভাজ্য (অঙ্কের যোগফল)
• 5 দ্বারা বিভাজ্য (শেষ অঙ্ক 0 বা 5)

উদাহরণ: 135

• 1+3+5=9 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য
• শেষ অঙ্ক 5 ⇒ 5 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 15 দ্বারা বিভাজ্য

১৮ দ্বারা বিভাজ্যতা (2 × 9)

১৮ = 2 × 9

শর্ত:
• সংখ্যা জোড় হতে হবে (2 দ্বারা বিভাজ্য)
• অঙ্কের যোগফল 9 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে

উদাহরণ: 198

• শেষ অঙ্ক 8 ⇒ জোড়
• 1+9+8=18 ⇒ 9 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 18 দ্বারা বিভাজ্য

২৪ দ্বারা বিভাজ্যতা (3 × 8)

২৪ = 3 × 8

শর্ত:
• 3 দ্বারা বিভাজ্য (অঙ্কের যোগফল)
• 8 দ্বারা বিভাজ্য (শেষ 3 অঙ্ক)

উদাহরণ: 1248

• 1+2+4+8=15 ⇒ 3 দ্বারা বিভাজ্য
• শেষ 3 অঙ্ক 248 ⇒ 8 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 24 দ্বারা বিভাজ্য

৭২ দ্বারা বিভাজ্যতা (8 × 9)

৭২ = 8 × 9

শর্ত:
• 8 দ্বারা বিভাজ্যতা (শেষ 3 অঙ্ক)
• 9 দ্বারা বিভাজ্যতা (অঙ্কের যোগফল)

উদাহরণ: 648

• 6+4+8=18 ⇒ 9 দ্বারা বিভাজ্য
• শেষ 3 অঙ্ক 648 ⇒ 8 দ্বারা বিভাজ্য
⇒ 72 দ্বারা বিভাজ্য

সারসংক্ষেপ

• 6 = 2 × 3
• 12 = 3 × 4
• 15 = 3 × 5
• 18 = 2 × 9
• 24 = 3 × 8
• 72 = 8 × 9

মনে রাখার কৌশল

যৌগিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্যতা সবসময় “Prime factor rule” অনুসরণ করে:
⇒ প্রতিটি মৌলিক শর্ত আলাদাভাবে পূরণ করতে হবে।

ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল ও ভাগশেষের সম্পর্ক (Dividend, Divisor, Quotient & Remainder Relation)

কোনো সংখ্যা আরেকটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে চারটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ পাওয়া যায়—ভাজ্য, ভাজক, ভাগফল এবং ভাগশেষ।

মূল ধারণা

যখন একটি সংখ্যা (ভাজ্য) কে অন্য একটি সংখ্যা (ভাজক) দ্বারা ভাগ করা হয়, তখন একটি পূর্ণ ভাগফল এবং কিছু অংশ অবশিষ্ট থাকে, যাকে ভাগশেষ বলা হয়।

গাণিতিক সম্পর্ক

$\mathrm{Dividend}=\mathrm{Divisor}\times \mathrm{Quotient}+\mathrm{Remainder}$

সংক্ষেপে সূত্র:

$A=B\times Q+R$

এখানে,
A = ভাজ্য (Dividend)
B = ভাজক (Divisor)
Q = ভাগফল (Quotient)
R = ভাগশেষ (Remainder)

ভাগশেষের শর্ত

ভাগশেষ সর্বদা ভাজকের চেয়ে ছোট হবে:

$R<B$

উদাহরণ

ধরা যাক, 29 কে 5 দ্বারা ভাগ করা হলো।

29 ÷ 5 = 5 (ভাগফল) এবং 4 (ভাগশেষ)

অতএব,

$29=5\times 5+4$

আরেকটি উদাহরণ

47 কে 6 দ্বারা ভাগ করলে:

47 ÷ 6 = 7, ভাগশেষ 5

$47=6\times 7+5$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• ভাগশেষ কখনোই ভাজকের সমান বা বড় হতে পারে না
• ভাগফল পূর্ণ সংখ্যা হয় (সাধারণ ভাগে)
• এই সূত্র সব ধরনের ভাগের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য

মনে রাখার কৌশল

Dividend = Divisor × Quotient + Remainder
⇒ ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ

ভাগশেষ নির্ণয় (Finding Remainder)

ভাগশেষ নির্ণয় বলতে বোঝায় কোনো সংখ্যা অন্য একটি সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে কত অবশিষ্ট থাকে তা বের করা। এটি গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা, বিশেষ করে বিভাজ্যতা ও সংখ্যাতত্ত্বে।

মূল সূত্র

$A=B\times Q+R$

এখানে,
A = ভাজ্য (Dividend)
B = ভাজক (Divisor)
Q = ভাগফল (Quotient)
R = ভাগশেষ (Remainder)

ভাগশেষ নির্ণয়ের প্রধান পদ্ধতি

১. সরাসরি ভাগ (Direct Division Method)

সংখ্যাটিকে ভাজক দ্বারা ভাগ করে সরাসরি ভাগশেষ বের করা হয়।

উদাহরণ: 29 ÷ 5

5 × 5 = 25
29 − 25 = 4

অতএব, ভাগশেষ = 4

২. সূত্র ব্যবহার করে (Formula Method)

যদি ভাগফল জানা থাকে:

$R=A-(B\times Q)$

উদাহরণ:

A = 47, B = 6, Q = 7

R = 47 − (6 × 7) = 47 − 42 = 5

৩. ছোট ভাগের দ্রুত কৌশল (Short Trick Method)

• ভাজকের কাছাকাছি গুণফল বের করে বিয়োগ করতে হবে
• অবশিষ্ট অংশই ভাগশেষ

উদাহরণ: 83 ÷ 7

7 × 11 = 77
83 − 77 = 6

অতএব, ভাগশেষ = 6

৪. বিভাজ্যতা ব্যবহার করে (Using Divisibility)

যদি সংখ্যা সম্পূর্ণভাবে বিভাজ্য হয়, তবে ভাগশেষ = 0

উদাহরণ:

72 ÷ 8 = 9, ভাগশেষ 0

গুরুত্বপূর্ণ শর্ত

• ভাগশেষ সর্বদা ভাজকের চেয়ে ছোট হবে

$R<B$

উদাহরণসমূহ

• 25 ÷ 4 → ভাগশেষ 1
• 50 ÷ 6 → ভাগশেষ 2
• 100 ÷ 9 → ভাগশেষ 1

মনে রাখার কৌশল

• ভাগশেষ = অবশিষ্ট অংশ
• R = A − B×Q
• ভাগশেষ কখনোই ভাজকের সমান বা বেশি হতে পারে না

সংখ্যার ইতিহাস মানব সভ্যতার ইতিহাসের মতই প্রাচীন। পরিমাণকে প্রতীক দিয়ে সংখ্যা আকারে প্রকাশ করার পদ্ধতি থেকে গণিতের উৎপত্তি। গ্রিক দার্শনিক এরিস্টটলের মতে, প্রাচীন মিশরের পুরোহিত সম্প্রদায়ের অনুশীলনের মাধ্যমে গণিতের আনুষ্ঠানিক অভিষেক ঘটে। তাই বলা যায় সংখ্যাভিত্তিক গণিতের সৃষ্টি যীশুখ্রিস্টের জন্মের প্রায় দুই হাজার বছর পূর্বে। এরপর নানা জাতি ও সভ্যতার হাত ঘুরে সংখ্যা ও সংখ্যারীতি অধুনা একটি সার্বজনীন রূপ ধারণ করেছে।
স্বাভাবিক সংখ্যার গণনার প্রয়োজনে প্রাচীন ভারতবর্ষের গণিতবিদগণ সর্বপ্রথম শূন্য ও দশভিত্তিক স্থানীয়মান পদ্ধতির প্রচলন করেন, যা সংখ্যা বর্ণনায় একটি মাইলফলক হিসেবে বিবেচিত হয়। পরে ভারতীয় ও চীনা গণিতবিদগণ শূন্য, ঋণাত্মক, বাস্তব, পূর্ণ ও ভগ্নাংশের ধারণার বিস্তৃতি ঘটান যা মধ্যযুগে আরবীয় গণিতবিদগণ ভিত্তি হিসেবে গ্রহণ করেন। দশমিক ভগ্নাংশের সাহায্যে সংখ্যা প্রকাশের কৃতিত্ব মধ্যপ্রাচ্যের মুসলিম গণিতবিদদের বলে মনে করা হয়। আবার তাঁরাই একাদশ শতাব্দীতে সর্বপ্রথম বীজগণিতীয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হিসেবে বর্গমূল আকারে অমূলদ সংখ্যার প্রবর্তন করেন। ইতিহাসবিদদের ধারণা খ্রিস্টপূর্ব ৫০০ অব্দের কাছাকাছি গ্রিক দার্শনিকরাও জ্যামিতিক অঙ্কনের প্রয়োজনে অমূলদ সংখ্যা, বিশেষ করে দুই-এর বর্গমূলের প্রয়োজনীয়তা অনুভব করেছিলেন। ঊনবিংশ শতাব্দীতে ইউরোপীয় গণিতবিদগণ বাস্তব সংখ্যাকে প্রণালীবদ্ধ করে পূর্ণতা দান করেন। দৈনন্দিন প্রয়োজনে বাস্তব সংখ্যা সম্বন্ধে শিক্ষার্থীদের সুস্পষ্ট জ্ঞান থাকা প্রয়োজন। এ অধ্যায়ে বাস্তব সংখ্যা বিষয়ে সামগ্রিক আলোচনা করা হয়েছে।

বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস (Classification of Real Numbers)

বাস্তব সংখ্যা (Real Number) হলো এমন সব সংখ্যা যেগুলোকে সংখ্যা রেখায় প্রকাশ করা যায়। বাস্তব সংখ্যাকে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে কয়েকটি শ্রেণিতে ভাগ করা হয়।

বাস্তব সংখ্যার প্রকারভেদ

• স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number)
• পূর্ণ সংখ্যা (Integer)
• মূলদ সংখ্যা (Rational Number)
• অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)
• বাস্তব সংখ্যা (Real Number)

শ্রেণিবিন্যাস চিত্র

উদাহরণ

মনে রাখার উপায়

• সকল স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণ সংখ্যা
• সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যা
• সকল মূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যা

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number): 1, 2, 3, 4, ... ইত্যাদি স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা । 2, 3, 5, 7, ... ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা এবং 4, 6, 8, 9, ... ইত্যাদি যৌগিক সংখ্যা । দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার গ.সা.গু. 1 হলে এদেরকে পরস্পরের সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন 6 ও 35 পরস্পরের সহমৌলিক।

গণনার জন্য ব্যবহৃত ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলা হয়। সাধারণভাবে ১ থেকে শুরু করে ধারাবাহিকভাবে বৃদ্ধি পাওয়া সংখ্যাগুলোই স্বাভাবিক সংখ্যা।

উদাহরণ

$1,2,3,4,5,...$

প্রকাশ

স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য

• স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো সবসময় ধনাত্মক হয়।
• এতে ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা থাকে না।
• ০ সাধারণত স্বাভাবিক সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত নয়।
• স্বাভাবিক সংখ্যার কোনো শেষ নেই।

মনে রাখার উপায়

গণনা করার জন্য যেসব সংখ্যা ব্যবহার করা হয়, সেগুলোই স্বাভাবিক সংখ্যা।

যেমন: ১টি বই, ২টি কলম, ৩টি খাতা ইত্যাদি।

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number): যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার মাত্র দুটি গুণনীয়ক থাকে— ১ এবং সংখ্যাটি নিজে, তাদের মৌলিক সংখ্যা বলা হয়।

উদাহরণ

$2,3,5,7,11,13,...$

প্রকাশ

মৌলিক সংখ্যার কোনো নির্দিষ্ট প্রতীক নেই, তবে সাধারণত Prime Number হিসেবে প্রকাশ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য

• মৌলিক সংখ্যার গুণনীয়ক মাত্র দুটি।
• ১ মৌলিক সংখ্যা নয়।
• ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
• ২ ছাড়া সকল মৌলিক সংখ্যা বিজোড়।

মনে রাখার উপায়

যে সংখ্যাকে শুধু ১ এবং নিজে ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, সেটিই মৌলিক সংখ্যা।

যেমন: ৫ কে শুধু ১ ও ৫ দিয়ে ভাগ করা যায়।

Key Notes:

১-১০ পর্যন্ত মোট ৪ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7

১-২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-২০ পর্যন্ত মোট ৮ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

১-৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-৩০ পর্যন্ত মোট ১০ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

১-৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-৪০ পর্যন্ত মোট ১২ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37

১-৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-৫০ পর্যন্ত মোট ১৫ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-১০০ পর্যন্ত মোট ২৫ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

১-২০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-২০০ পর্যন্ত মোট ৪৬ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

যৌগিক সংখ্যা (Composite Number)

যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার দুইয়ের বেশি গুণনীয়ক থাকে, তাদের যৌগিক সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ, যে সংখ্যাকে ১ এবং নিজে ছাড়া অন্য সংখ্যা দিয়েও নিঃশেষে ভাগ করা যায়, সেটিই যৌগিক সংখ্যা।

উদাহরণ

$4,6,8,9,10,12,...$

বৈশিষ্ট্য

• যৌগিক সংখ্যার গুণনীয়ক দুইয়ের বেশি হয়।
• ৪ হলো ক্ষুদ্রতম যৌগিক সংখ্যা।
• সব জোড় সংখ্যা যৌগিক, তবে ২ ব্যতিক্রম।
• ১ যৌগিক সংখ্যা নয়।

মনে রাখার উপায়

যে সংখ্যাকে ১ এবং নিজে ছাড়া অন্য সংখ্যা দিয়েও ভাগ করা যায়, সেটিই যৌগিক সংখ্যা। উদাহরণ: ৬ কে ১, ২, ৩ ও ৬ দিয়ে ভাগ করা যায়, তাই ৬ একটি যৌগিক সংখ্যা।

১-১০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ৪ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9

১-২০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ১১ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20

১-৩০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ১৯ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30

১-৪০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ২৭ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40

১-৫০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ৩৪ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50

১-১০০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ৭৪ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100

সহমৌলিক সংখ্যা (Coprime / Relatively Prime Number)

দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার গ.সা.গু. 1 হলে এদেরকে পরস্পরের সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন 6 ও 35 পরস্পরের সহমৌলিক।

যে দুটি বা ততোধিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক থাকে না, তাদেরকে সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ, দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু (GCD) যদি ১ হয়, তাহলে তারা সহমৌলিক সংখ্যা।

গাণিতিক শর্ত

$\mathrm{GCD}(a,b)=1$

উদাহরণ

(8, 15), (7, 9), (5, 12), (4, 9)

ব্যাখ্যা

• 8 এর গুণনীয়ক: 1, 2, 4, 8
• 15 এর গুণনীয়ক: 1, 3, 5, 15

এখানে সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১, তাই 8 ও 15 সহমৌলিক সংখ্যা।

বৈশিষ্ট্য

• সহমৌলিক সংখ্যা সবসময় জোড়া আকারে থাকে।
• এদের মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ থাকে।
• এরা মৌলিক বা যৌগিক হতে পারে, কিন্তু শর্ত হলো GCD = 1 হতে হবে।

মনে রাখার উপায়

যে দুটি সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, সেটাই সহমৌলিক সংখ্যা।

উদাহরণ: 9 ও 16 → সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১, তাই সহমৌলিক।

পূর্ণসংখ্যা (Integer) : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা ।

প্রকাশ

পূর্ণসংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য

• পূর্ণসংখ্যায় ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় সংখ্যা থাকে।
• শূন্য (0) একটি পূর্ণসংখ্যা।
• এতে কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা থাকে না।
• এটি অসীম সংখ্যার সমষ্টি।

মনে রাখার উপায়

স্বাভাবিক সংখ্যা + শূন্য + স্বাভাবিক সংখ্যার ঋণাত্মক মান = পূর্ণসংখ্যা।

যেমন: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

জোড় সংখ্যা (Even Number)

যে সকল পূর্ণসংখ্যা 2 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য, তাদেরকে জোড় সংখ্যা (Even Number) বলা হয়।

সংজ্ঞা

যদি কোনো সংখ্যা n হয় এবং n কে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হয়, তবে n একটি জোড় সংখ্যা।

$n=2k$

এখানে k একটি পূর্ণ সংখ্যা।

জোড় সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

• প্রতিটি জোড় সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য
• জোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক হয় 0, 2, 4, 6, 8
• দুইটি জোড় সংখ্যার যোগফল জোড় হয়
• দুইটি জোড় সংখ্যার গুণফলও জোড় হয়

উদাহরণ

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ইত্যাদি

উদাহরণ বিশ্লেষণ

• 24 → শেষ অঙ্ক 4 ⇒ জোড় সংখ্যা
• 58 → শেষ অঙ্ক 8 ⇒ জোড় সংখ্যা
• 103 → শেষ অঙ্ক 3 ⇒ জোড় সংখ্যা নয় (বিজোড়)

জোড় সংখ্যার সূত্র আকার

$2k$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• শূন্য (0) একটি জোড় সংখ্যা
• সব জোড় সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য
• জোড় + জোড় = জোড়
• জোড় × জোড় = জোড়

মনে রাখার কৌশল

• শেষ অঙ্ক 0,2,4,6,8 ⇒ জোড় সংখ্যা
• Even = 2 এর গুণিতক

বিজোড় সংখ্যা (Odd Number)

যে সকল পূর্ণসংখ্যা 2 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়, তাদেরকে বিজোড় সংখ্যা (Odd Number) বলা হয়।

সংজ্ঞা

যদি কোনো সংখ্যা n কে 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 1 হয়, তবে n একটি বিজোড় সংখ্যা।

$n=2k+1$

এখানে k একটি পূর্ণ সংখ্যা।

বিজোড় সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

• প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়
• বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক হয় 1, 3, 5, 7, 9
• বিজোড় + বিজোড় = জোড়
• বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়

উদাহরণ

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 ইত্যাদি

উদাহরণ বিশ্লেষণ

• 25 → শেষ অঙ্ক 5 ⇒ বিজোড় সংখ্যা
• 41 → শেষ অঙ্ক 1 ⇒ বিজোড় সংখ্যা
• 68 → শেষ অঙ্ক 8 ⇒ বিজোড় নয় (জোড়)

বিজোড় সংখ্যার সূত্র আকার

$2k+1$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• 1 একটি বিজোড় সংখ্যা
• প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 1 হয়
• বিজোড় + বিজোড় = জোড়
• বিজোড় × বিজোড় = বিজোড়

মনে রাখার কৌশল

• শেষ অঙ্ক 1,3,5,7,9 ⇒ বিজোড় সংখ্যা
• Odd = Not divisible by 2

ধনাত্মক সংখ্যা (Positive Number) : শূন্য থেকে বড় সকল বাস্তব সংখ্যাকে ধনাত্মক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, $2, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \sqrt{2}, 0.415, 0.\stackrel{.}{6}\stackrel{.}{2}, 4.120345061...$ ইত্যাদি ধনাত্মক সংখ্যা।

অর্থাৎ, সংখ্যা রেখায় যেসব সংখ্যা শূন্যের ডান পাশে অবস্থান করে, সেগুলোই ধনাত্মক সংখ্যা।

গাণিতিক প্রকাশ

$x>0$

উদাহরণ

$1,2,3,4,5,\frac{1}{2},\sqrt{3}$

বৈশিষ্ট্য

• ধনাত্মক সংখ্যা সবসময় শূন্যের চেয়ে বড়।
• এগুলো পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।
• সংখ্যা রেখায় শূন্যের ডান পাশে অবস্থান করে।
• এগুলো অসীম সংখ্যক হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

যে সকল সংখ্যার আগে “+” চিহ্ন থাকে বা কোনো ঋণাত্মক চিহ্ন (-) থাকে না, সেগুলো ধনাত্মক সংখ্যা। অর্থাৎ “zero এর ডান পাশে থাকা সব সংখ্যা = ধনাত্মক সংখ্যা”।

ঋণাত্মক সংখ্যা (Negative Number) : শূন্য থেকে ছোট সকল বাস্তব সংখ্যাকে ঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, $-2, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -\sqrt{2}, -0.415, -0.\stackrel{.}{6}\stackrel{.}{2}, -4.120345061...$ ইত্যাদি ঋণাত্মক সংখ্যা।

অর্থাৎ, সংখ্যা রেখায় যেসব সংখ্যা শূন্যের বাম পাশে অবস্থান করে, সেগুলোই ঋণাত্মক সংখ্যা।

গাণিতিক প্রকাশ

$x<0$

উদাহরণ

$-1,-2,-3,-4,-5,-\frac{1}{2},-\sqrt{3}$

বৈশিষ্ট্য

• ঋণাত্মক সংখ্যা সবসময় শূন্যের চেয়ে ছোট।
• এগুলোর আগে অবশ্যই “-” চিহ্ন থাকে।
• সংখ্যা রেখায় শূন্যের বাম পাশে অবস্থান করে।
• এগুলো পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

যে সকল সংখ্যার আগে “-” চিহ্ন থাকে এবং মান শূন্যের চেয়ে ছোট, সেগুলো ঋণাত্মক সংখ্যা। অর্থাৎ “zero এর বাম পাশে থাকা সব সংখ্যা = ঋণাত্মক সংখ্যা”।

অঋণাত্মক সংখ্যা (Non-negative Number) : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক সংখ্যাকে অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়। যেমন, $0, 3, \frac{1}{2}, 0.612, 1.\stackrel{.}{3},2.120345...$ ইত্যাদি অঋণাত্মক সংখ্যা।

যে সকল সংখ্যা শূন্য (0) অথবা শূন্যের চেয়ে বড়, তাদের অঋণাত্মক সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ, যেসব সংখ্যা ঋণাত্মক নয়, সেগুলোই অঋণাত্মক সংখ্যা।

গাণিতিক প্রকাশ

$x\ge 0$

উদাহরণ

$0,1,2,3,\frac{1}{2},\sqrt{5}$

বৈশিষ্ট্য

• অঋণাত্মক সংখ্যা কখনো শূন্যের ছোট হয় না।
• শূন্য (0) একটি অঋণাত্মক সংখ্যা।
• সকল ধনাত্মক সংখ্যা অঋণাত্মক সংখ্যা।
• এগুলো পূর্ণসংখ্যা, ভগ্নাংশ বা অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।

মনে রাখার উপায়

যে সকল সংখ্যা 0 অথবা 0 এর চেয়ে বড়, সেগুলোই অঋণাত্মক সংখ্যা। অর্থাৎ “minus (-) চিহ্ন নেই বা শূন্য আছে = অঋণাত্মক সংখ্যা”।

মূলদ সংখ্যা (Rational Number) : $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$ আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0 । যেমন = $\frac{3}{1}=3, \frac{11}{2}=5.5, \frac{5}{3}=1.666...$ ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা। যে কোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়। সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

সাধারণ রূপ

$\frac{p}{q}$

যেখানে, p = লব (পূর্ণ সংখ্যা) q = হর (পূর্ণ সংখ্যা, q ≠ 0)

উদাহরণ

$\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{1},-\frac{7}{3},0$

বৈশিষ্ট্য

• মূলদ সংখ্যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়।
• পূর্ণসংখ্যা সবই মূলদ সংখ্যা (যেমন: 5 = 5/1)।
• এর দশমিক রূপ হয় সসীম বা পুনরাবৃত্ত (repeating)।
• হর কখনো শূন্য হতে পারে না।

মনে রাখার উপায়

যে সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত (p/q) আকারে লেখা যায়, সেটিই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ “fraction আকারে লেখা যায় = rational number”।

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number) : যে সংখ্যাকে $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$ আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন √2 = 1.414213..., √3 = 1.732.... $\frac{\surd 5}{2}$ 1.118..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা। কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না ।