রেখা, রশ্মি, রেখাংশ (Line, Ray, Line Segment)
জ্যামিতিতে বিন্দু ও রেখা হলো মৌলিক ধারণা। এগুলোর উপর ভিত্তি করেই সমগ্র জ্যামিতিক গঠন তৈরি হয়।
১. রেখা (Line)
যে জ্যামিতিক আকৃতি উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত এবং যার কোনো শুরু বা শেষ নেই তাকে রেখা বলে।
বৈশিষ্ট্য:
- উভয় দিকে অসীম বিস্তৃত
- দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করা যায় না
- দুটি বিন্দু দ্বারা একটি রেখা নির্ধারিত হয়
AB → একটি রেখা
২. রশ্মি (Ray)
যে রেখার একটি নির্দিষ্ট শুরু বিন্দু থাকে কিন্তু একদিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে তাকে রশ্মি বলে।
বৈশিষ্ট্য:
- একটি প্রারম্ভিক বিন্দু থাকে
- একদিকে অসীম বিস্তৃত
- দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করা যায় না
AB → রশ্মি (A থেকে শুরু)
৩. রেখাংশ (Line Segment)
যে রেখার দুটি প্রান্তবিন্দু থাকে তাকে রেখাংশ বলে। এটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট।
বৈশিষ্ট্য:
- দুটি প্রান্তবিন্দু থাকে
- নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য থাকে
- পরিমাপ করা যায়
AB - রেখাংশ
তুলনামূলক পার্থক্য
- রেখা: দুই দিকে অসীম
- রশ্মি: এক দিকে অসীম
- রেখাংশ: সীমাবদ্ধ ও নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য
মনে রাখার সহজ উপায়
- Line = দুই দিকে চলতে থাকে
- Ray = এক দিকেই চলে
- Segment = শুরু ও শেষ আছে
সমতলীয় জ্যামিতির স্বীকার্য অনুযায়ী সমতলে সরলরেখা বিদ্যমান যার প্রতিটি বিন্দু সমতলে অবস্থিত। মনে করি, সমতলে AB একটি সরলরেখা এবং রেখাটির উপর অবস্থিত একটি বিন্দু C। C বিন্দুকে A ও B বিন্দুর অন্তবর্তী বলা হয় যদি A, C ও B একই সরলরেখার ভিন্ন ভিন্ন বিন্দু হয় এবং AC + CB = AB হয়। A, C ও B বিন্দু তিনটিকে সমরেখ বিন্দুও বলা হয়। A ও B এবং এদের অন্তবর্তী সকল বিন্দুর সেটকে A ও B বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বা সংক্ষেপে AB রেখাংশ বলা হয় । A ও B বিন্দুর অন্তবর্তী প্রত্যেক বিন্দুকে রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়। আবার, C বিন্দু এবং C বিন্দু থেকে AB সরলরেখা বরাবর কোন একদিকে অসীম পর্যন্ত বিন্দুর সেটকে রশ্মি বলা হয়। C বিন্দু AB সরলরেখাকে CA ও CB রশ্মিতে বিভক্ত করে।
একই সমতলে দুইটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু একই হলে কোণ তৈরি হয়। রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু এবং এদের সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলে। চিত্রে, OP ও OQ রশ্মিদ্বয় এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু O তে ∠POQ উৎপন্ন করেছে। O বিন্দুটি ∠POQ এর শীর্ষবিন্দু। OP এর যে পার্শ্বে Q আছে সেই পার্শ্বে এবং OQ এর যে পার্শ্বে P আছে সেই পার্শ্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সেটকে ∠POQ এর অভ্যন্তর বলা হয়। কোণটির অভ্যন্তরে অথবা কোনো বাহুতে অবস্থিত নয় এমন সকল বিন্দুর সেটকে এর বহির্ভাগ বলা হয়।
কোণ (Angle)
যখন একটি বিন্দুতে দুটি রশ্মি মিলিত হয়, তখন তাদের মধ্যবর্তী স্থানকে কোণ বলা হয়।
এই সাধারণ বিন্দুটিকে শীর্ষবিন্দু (Vertex) এবং রশ্মি দুটিকে কোণের বাহু (Arms) বলা হয়।
কোণের গঠন
এখানে O হলো শীর্ষবিন্দু এবং OA ও OB হলো দুটি বাহু।
কোণের পরিমাপ
কোণ পরিমাপের একক হলো ডিগ্রি (°)। একটি পূর্ণ বৃত্তে মোট কোণ = 360°
কোণের প্রকারভেদ
১. সূক্ষ্ম কোণ (Acute Angle)
যে কোণ 0° এর বেশি কিন্তু 90° এর কম।
২. সমকোণ (Right Angle)
যে কোণ 90° এর সমান।
৩. স্থূল কোণ (Obtuse Angle)
যে কোণ 90° এর বেশি কিন্তু 180° এর কম।
৪. সরল কোণ (Straight Angle)
যে কোণ 180° এর সমান।
৫. পূর্ণ কোণ (Complete Angle)
যে কোণ 360° এর সমান।
কোণ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়
- কোণ পরিমাপ করা হয় প্রট্রাক্টরের সাহায্যে
- দুটি রেখা বা রশ্মির মিলনেই কোণ তৈরি হয়
- জ্যামিতির অনেক উপপাদ্যের ভিত্তি হলো কোণ
মনে রাখার সহজ উপায়
- 90° = সমকোণ
- 180° = সরল কোণ
- 360° = পূর্ণ কোণ
দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরল কোণ বলে। পাশের চিত্রে, AB রশ্মির প্রান্তবিন্দু A থেকে AB এর বিপরীত দিকে AC রশ্মি আঁকা হয়েছে। AC ও AB রশ্মিদ্বয় এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু A তে ∠BAC উৎপন্ন করেছে। ∠BAC কে সরল কোণ বলে। সরল কোণের পরিমাপ দুই সমকোণ বা 180°।
যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও এদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পাশে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। পাশের চিত্রে, A বিন্দুটি ∠BAC ও ∠CAD এর শীর্ষবিন্দু। A বিন্দুতে ∠BAC ও ∠CAD উৎপন্নকারী রশ্মিগুলোর মধ্যে AC সাধারণ রশ্মি। কোণ দুইটি সাধারণ রশ্মি AC এর বিপরীত পাশে অবস্থিত। ∠BAC এবং ∠CAD পরস্পর সন্নিহিত কোণ।
যদি একই রেখার উপর অবস্থিত দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সমকোণ বা 90°। সমকোণের বাহু দুইটি পরস্পরের উপর লম্ব। পাশের চিত্রে, BD রেখার A বিন্দুতে AC রশ্মি দ্বারা ∠BAC ও ∠DAC দুইটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। A বিন্দু কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু। ∠BAC ও ∠DAC উৎপন্নকারী বাহুগুলোর মধ্যে AC সাধারণ বাহু। কোণ দুইটি সাধারণ বাহু AC এর দুই পাশে অবস্থিত। ∠BAC এবং ∠DAC পরস্পর সমান হলে, এদের প্রত্যেকটিকে সমকোণ বলে। AC ও BD বাহুদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।
এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। চিত্রে ∠AOC সূক্ষ্মকোণ এবং ∠AOD স্থূলকোণ। এখানে ∠AOB এক সমকোণ।
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ।
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ। পাশের চিত্রে, ∠AOB একটি সমকোণ। OC রশ্মি কোণটির বাহুদ্বয়ের অভ্যন্তরে অবস্থিত। এর ফলে ∠AOC এবং ∠COB এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির পরিমাপের যোগফল ∠AOB এর পরিমাপের সমান, অর্থাৎ এক সমকোণ। ∠AOC এবং ∠COB পরস্পর পূরক কোণ।
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ হলে কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ। পাশের চিত্রে, O, AB সরলরেখার অন্তঃস্থ একটি বিন্দু। OC একটি রশ্মি যা OA রশ্মি ও OB রশ্মি থেকে ভিন্ন। এর ফলে ∠AOC এবং ∠COB এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির পরিমাপের যোগফল ∠AOB কোণের পরিমাপের সমান, অর্থাৎ দুই সমকোণ, কেননা ∠AOB একটি সরলকোণ। ∠AOC এবং ∠COB পরস্পর সম্পূরক কোণ।
চিত্রে: ∠ABD ও ∠CBD পরস্পর সম্পূরক কোণ ∠ABD + ∠CBD = ১৮০°
কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ তৈরি করে তা ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ। চিত্রে OA ও OB পরস্পর বিপরীত রশ্মি। আবার OC ও OD পরস্পর বিপরীত রশ্মি। ∠BOD ও ∠AOC পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
আবার ∠BOC ও ∠DOA একটি অপরটির বিপ্রতীপ কোণ। দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়।
Read more
