ক্রম ও ধারা (Sequence & Series)

ক্রম ও ধারা (Sequence & Series)

গণিতে কোনো নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে সাজানো সংখ্যার তালিকাকে ক্রম (Sequence) বলা হয় এবং সেই সংখ্যাগুলোর যোগফলকে ধারা (Series) বলা হয়।

ক্রম (Sequence)

ক্রম হলো এমন একটি সাজানো সংখ্যা সমষ্টি যেখানে প্রতিটি পদ একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে আগের পদ থেকে নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ

2, 4, 6, 8, 10, ...

এখানে প্রতিটি সংখ্যা আগের সংখ্যার সাথে 2 যোগ করে পাওয়া যাচ্ছে।

সাধারণ পদ (General Term)

ক্রমের n-তম পদকে সাধারণ পদ বলা হয়, যা সাধারণত a_n দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$a_n$

ধারা (Series)

ক্রমের পদগুলোকে যোগ করলে যে রূপ পাওয়া যায় তাকে ধারা বলা হয়।

উদাহরণ

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ...

গাণিতিক ক্রম (Arithmetic Sequence / AP)

যে ক্রমে প্রতিটি পরবর্তী পদ আগের পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করে পাওয়া যায় তাকে গাণিতিক ক্রম বলে।

সাধারণ রূপ

$a,a+d,a+2d,a+3d$

এখানে,

• a = প্রথম পদ
• d = সাধারণ পার্থক্য (Common Difference)

n-তম পদ

$a_n=a+(n-1)d$

প্রথম n সংখ্যার যোগফল

$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1\left)d\right]$

জ্যামিতিক ক্রম (Geometric Sequence / GP)

যে ক্রমে প্রতিটি পরবর্তী পদ আগের পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা গুণ করে পাওয়া যায় তাকে জ্যামিতিক ক্রম বলে।

সাধারণ রূপ

$a,ar,a{r}^2,a{r}^3$

এখানে,

• a = প্রথম পদ
• r = সাধারণ অনুপাত (Common Ratio)

n-তম পদ

$a_n=a{r}^{n-1}$

প্রথম n পদের যোগফল

যদি r ≠ 1 হয়,

$S_n=a\frac{r^n-1}{r-1}$

অসীম জ্যামিতিক ধারা

যদি |r| < 1 হয়, তবে অসীম জ্যামিতিক ধারার যোগফল হবে:

$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

হারমোনিক ধারা (Harmonic Series)

যে ধারার পদগুলো গাণিতিক ক্রমের বিপরীত রূপ তাকে হারমোনিক ধারা বলা হয়।

উদাহরণ

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

সিগমা নোটেশন (Sigma Notation)

কোনো ধারার যোগফল সংক্ষিপ্তভাবে প্রকাশ করতে Σ (Sigma) ব্যবহার করা হয়।

$\sum _{i=1}^n{a}_i$

গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

• AP: aₙ = a + (n−1)d
• AP: Sₙ = n/2 [2a + (n−1)d]
• GP: aₙ = arⁿ⁻¹
• GP: Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)
• Infinite GP: S∞ = a/(1−r)

মনে রাখার উপায়

ক্রম হলো তালিকা, ধারা হলো যোগফল। AP মানে যোগে বাড়ে, GP মানে গুণে বাড়ে।

প্রাত্যহিক জীবনে ‘ক্ৰম' বহুল প্রচলিত একটি শব্দ। যেমন - দোকানের তাকে ভোগ্যপণ্য সাজাতে, নাটক ও অনুষ্ঠানের ঘটনাবলী সাজাতে, গুদামঘরে সুন্দরভাবে দ্রব্যাদি রাখতে ক্রমের ধারণা ব্যবহৃত হয়। আবার অনেক কাজ সহজে এবং দৃষ্টিনন্দনভাবে সম্পাদন করতে আমরা বড় হতে ছোট, শিশু হতে বৃদ্ধ, হালকা হতে ভারী ইত্যাদি বিভিন্ন ধরনের ক্রম ব্যবহার করি। এই ক্রমের ধারণা হতেই বিভিন্ন প্রকার গাণিতিক ধারার উদ্ভব হয়েছে। এই অধ্যায়ে অনুক্রম ও ধারার মধ্যে সম্পর্ক ও এতদ সংক্রান্ত বিষয়বস্তু উপস্থাপন করা হয়েছে।

অনুক্রম (Sequence)

নিচের সম্পর্কটি লক্ষ করি :

এখানে প্রত্যেক স্বাভাবিক সংখ্যা n তার দ্বিগুণ সংখ্যা 2n এর সাথে সম্পর্কিত। অর্থাৎ স্বাভাবিক সংখ্যার সেট {1, 2, 3, . . .} থেকে একটি নিয়মের মাধ্যমে যোগবোধক জোড় সংখার সেট {2, 4, 6, . . .} পাওয়া যায়। এই সাজানো জোড়সংখ্যার সেটটি একটি অনুক্রম। সুতরাং, কতকগুলো রাশি একটা বিশেষ নিয়মে ক্রমান্বয়ে এমনভাবে সাজানো হয় যে প্রত্যেক রাশি তার পূর্বের পদ ও পরের পদের সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা জানা যায়। এভাবে সাজানো রাশিগুলোর সেটকে অনুক্রম (Sequence) বলা হয়।

উপরের সম্পর্কটিকে ফাংশন বলে এবং f(n) = 2n লিখা হয়। এই অনুক্রমের সাধারণ পদ 2n যেকোনো অনুক্রমের পদসংখ্যা অসীম। অনুক্রমটি সাধারণ পদের সাহায্যে লিখার পদ্ধতি হলো {2n}, n = 1, 2, 3, . . বা, {27} $\begin{array}{c}+\infty \\ n=1\end{array}$ বা, {2n}।

অনুক্রমের প্রথম রাশিকে প্রথম পদ, দ্বিতীয় রাশিকে দ্বিতীয় পদ, তৃতীয় রাশিকে তৃতীয় পদ ইত্যাদি বলা হয়। 1, 3, 5, 7, ... অনুক্রমের প্রথম পদ = 1, দ্বিতীয় পদ = 3, ইত্যাদি। নিচে অনুক্রমের চারটি উদাহরণ দেওয়া হলো :

ধারা (Series)

কোনো অনুক্রমের পদগুলো পরপর + চিহ্ন দ্বারা যুক্ত করলে একটি ধারা (Series) পাওয়া যায়। যেমন, 1 + 3 + 5 + 7 + . . . একটি ধারা। ধারাটির পরপর দুইটি পদের পার্থক্য সমান। আবার 2 + 4 + 8 + 16 +. . . একটি ধারা। এর পরপর দুইটি পদের অনুপাত সমান। সুতরাং, যেকোনো ধারার পরপর দুইটি পদের মধ্যে সম্পর্কের উপর নির্ভর করে ধারাটির বৈশিষ্ট্য। ধারাগুলোর মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ দুইটি ধারা হলো সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারা।

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 3 – 1 = 2,

তৃতীয় পদ দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 – 2, চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5, ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1 + 4 + 7 + 10 + . . . একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a +d) + (a + 2d) + . . . ।

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + (1 – 1)d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + (2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + (3 – 1)d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + (4 – 1) d

. . . . . .

. . . . . .

$\therefore$ n তম পদ = a + (n - 1) d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n 1, 2, 3, 4, . . . বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ = নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1) × 2 = 2n + 1 ।

উদাহরণ ২. 5 + 8 + 11 + 14 + . . . ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

$\therefore$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n – 1)d

$\therefore$ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 I

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n$।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_n$

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে লিখে পাওয়া যায়

উদাহরণ ৩. প্রথম 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধান: আমরা (3) নং সূত্র ব্যবহার করে পাই,

$\therefore$ প্রথম 50 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল 1275 ।

উদাহরণ ৪. 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 99 = কত?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 1, সাধারণ অন্তর d = 2 – 1 = 1 এবং শেষ পদ p = 99 ।

$\therefore$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 99

আমরা জানি, সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n – 1)d

$\therefore$ a + (n - 1)d = 99

বা, 1 + (n – 1)1 = 99

বা, 1 + n − 1 = 99

$\therefore$ n = 99

উদাহরণ ৫. 7 + 12 + 17 + . . . ধারাটির প্রথম 30 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 7, সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5

$\therefore$ ইহা একটি সমান্তর ধারা। এখানে পদ সংখ্যা n = 30

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

উদাহরণ ৬. রশিদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন।

ক) সমস্যাটিকে n সংখ্যক পদ পর্যন্ত ধারায় প্রকাশ কর।

খ) তিনি 18 তম মাসে কত টাকা এবং প্রথম 18 মাসে মোট কত টাকা সঞ্চয় করেন?

গ) তিনি কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান :

ধারার বিভিন্ন সূত্র

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি $S_n$ ।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি $S_n$

প্রয়োজনীয় সূত্র

কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে। যেমন, 2 + 4 + 8 + 16 + 32 ধারাটির প্রথম পদ 2, দ্বিতীয় পদ 4, তৃতীয় পদ ৪, চতুর্থ পদ 16, পঞ্চম পদ 32 । এখানে,

দ্বিতীয় পদের সাথে প্রথম পদের অনুপাত $=\frac{4}{2}=2$

তৃতীয় পদের সাথে দ্বিতীয় পদের অনুপাত $=\frac{8}{4}=2$

চতুর্থ পদের সাথে তৃতীয় পদের অনুপাত $=\frac{16}{8}=2$

পঞ্চম পদের সাথে চতুর্থ পদের অনুপাত $=\frac{32}{16}=2$ ।

সুতরাং, ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা। এই ধারায় যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান। উল্লেখিত ধারায় সাধারণ অনুপাত 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি গুণোত্তর সসীম ধারা।

ভৌত ও জীব বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে, ব্যাংক ও বীমা ইত্যাদি প্রতিষ্ঠানে এবং বিভিন্ন প্রকার প্রযুক্তি বিদ্যায় গুণোত্তর ধারার ব্যাপক প্রয়োগ আছে।

গুণোত্তর ধারার পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট না থাকলে একে অনন্ত গুণোত্তর ধারা বলে।

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদকে সাধারণত a দ্বারা এবং সাধারণ অনুপাতকে r দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ ar, তৃতীয় পদ $a{r}^2$ ইত্যাদি। সুতরাং ধারাটি হবে,

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+ . . .$

গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ

মনে করি, যেকোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r, তাহলে ধারাটির

এই n তম পদকেই গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অনুপাত । জানা থাকলে n তম পদে পর্যায়ক্রমে r - 1, 2, 3, . . . ইত্যাদি বসিয়ে ধারাটির - যেকোনো পদ নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ৭. 2 + 4 + 8 + 16 ধারাটির 10 তম পদ কত?

ধারাটির প্রথম পদ a = 2, সাধরণ অনুপাত $r=\frac{4}{2}=2$

$\therefore$ প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n তম পদ $=a{r}^{n-1}$

$\therefore$ ধারাটির 10 তম পদ $=2\times 2^{10-1}=2\times 2^9=1024$

উদাহরণ ৮. 128 + 64 + 32 + ... ধারাটির সাধারণ পদ কত?

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ a = 128, সাধারণ অনুপাত r $=\frac{64}{128}=\frac{1}{2}$

$\therefore$ ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার সাধারণ পদ $=a{r}^{n-1}$

উদাহরণ ৯. একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9 হলে, ধারাটির পঞ্চম পদ এবং দশম পদ নির্ণয় কর।

সমাধান : প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ a = 27, দ্বিতীয় পদ = 9

তাহলে সাধারণ অনুপাত $r=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$

গুণোত্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n । যদি n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n$ হয়, তাহলে

উদাহরণ ১০. 12 + 24 + 48 +. . . + 768 ধারাটির সমষ্টি কত?

উদাহরণ ১২. পলাশ সরকার 2005 সালের জানুয়ারি মাসে বার্ষিক 120000 টাকা বেতনে চাকুরীতে যোগদান করলেন। তার বেতন বৃদ্ধির পরিমাণ প্রতি বছর 5000 টাকা। প্রতি বছর তার বেতন থেকে 10% ভবিষ্যৎ তহবিল হিসেবে কর্তন করা হয়। তিনি বেতন থেকে বার্ষিক 12% চক্রবৃদ্ধি মুনাফা হারে বছর শেষে একটি ব্যাংকে 12000 টাকা জমা রাখেন। তিনি 2030 সালের 31 ডিসেম্বর চাকুরী থেকে অবসরে যাবেন।

ক) পলাশ সরকারের মূল বেতন কোন ধারাকে সমর্থন করে? ধারাটি লিখ।

খ) ভবিষ্যৎ তহবিল ব্যতিত সে বেতন হিসেবে চাকুরী জীবনে মোট কত টাকা পাবেন।

গ) 2031 সালের 31 ডিসেম্বর ঐ ব্যাংকে মুনাফাসহ তার মোট কত টাকা জমা হবে?

সমাধান :

ক) পলাশ সরকারের মূল বেতন সমান্তর ধারা সমর্থন করে।

ধারাটির প্রথম পদ a = 120000 এবং সাধারণ অন্তর = 5000

$\therefore$ দ্বিতীয় পদ = 120000 + 5000 = 125000

তৃতীয় পদ = 125000 + 5000 = 130000

$\therefore$ ধারাটি, 120000 + 125000 + 130000 + . . .

খ) 2005 সালের জানুয়ারি থেকে 2030 সালের 31 ডিসেম্বর পর্যন্ত মোট ( 2030 – 2005 + 1) বা, 26 বছর ভবিষ্যৎ তহবিল ব্যতিত তাঁর বেতন বাবদ প্রাপ্য টাকার পরিমাণ

(120000 - 120000 এর 10%) + (125000 - 125000 এর 10%) + (130000 — 130000 এর 10%) + . . .

এক্ষেত্রে সৃষ্ট ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার প্রথম পদ, a = 108000, সাধারণ অন্তর d = 112500 - 108000 4500 এবং পদ সংখ্যা n = 26

= 13(216000 + 112500) = 13 × 328500 = 4270500 টাকা

গ) 2005 সাল থেকে 2031 পর্যন্ত জমা করার মোট সময় (2031 – 2005) বা 26 বছর

12000 টাকার 1 বছর শেষে জমা করেন $12000\left(1+\frac{12}{100}\right)=12000\times 1.12$ টাকা

12000 টাকার 2 বছর শেষে জমা করেন $12000\times {(1.12)}^2$ টাকা

12000 টাকার ও বছর শেষে জমা করেন $12000\times {(1.12)}^3$ টাকা

= 2020488 টাকা (প্রায়)