বৃত্ত (Circle)

এক টাকার একটি বাংলাদেশি মুদ্রা নিয়ে সাদা কাগজের উপর রেখে মুদ্রাটির মাঝ বরাবর বাঁ হাতের তর্জনি দিয়ে চেপে ধরি। এই অবস্থায় ডান হাতে সরু পেন্সিল নিয়ে মুদ্রাটির গাঁ ঘেষে চারদিকে ঘুরিয়ে আনি। মুদ্রাটি সরিয়ে নিলে কাগজে একটি গোলাকার আবদ্ধ বক্ররেখা দেখা যাবে। এটি একটি বৃত্ত।

নিখুঁতভাবে বৃত্ত আঁকার জন্য পেন্সিল কম্পাস ব্যবহার করা হয়। কম্পাসের কাঁটাটি কাগজের উপর চেপে ধরে অপর প্রান্তে সংযুক্ত পেন্সিলটি কাগজের উপর চারদিকে ঘুরিয়ে আনলেই একটি হয়ে থাকে, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। তাহলে বৃত্ত আঁকার সময় 'বৃত্ত আঁকা নির্দিষ্ট একটি বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুগুলোকে আঁকা হয়। এই নির্দিষ্ট বিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র। কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যেকোনো বিন্দুর দূরত্বকে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলা হয়।

বৃত্ত (Circle)

বৃত্ত হলো এমন একটি সমতলীয় জ্যামিতিক আকৃতি যেখানে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সমষ্টিকে বৃত্ত বলা হয়। নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে কেন্দ্র (Center) এবং সমান দূরত্বকে ব্যাসার্ধ (Radius) বলা হয়।

মৌলিক উপাদান (Basic Elements of a Circle)

• কেন্দ্র (Center): বৃত্তের মধ্যবিন্দু
• ব্যাসার্ধ (Radius): কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব
• ব্যাস (Diameter): কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অতিক্রমকারী জ্যা, যা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ
• জ্যা (Chord): বৃত্তের যেকোনো দুই বিন্দুকে যুক্ত করা রেখাংশ
• চাপ (Arc): বৃত্তের পরিধির একটি অংশ
• পরিধি (Circumference): বৃত্তের চারপাশের দৈর্ঘ্য

বৃত্তের সূত্র (Important Formula)

পরিধি (Circumference)

$C=2\pi r$

বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area of Circle)

$A=\pi r^2$

ব্যাসের সাথে সম্পর্ক

$d=2r$

বৃত্তের গুরুত্বপূর্ণ ধারণা (Key Concepts)

• সমান ব্যাসার্ধযুক্ত সকল বৃত্ত পরস্পর সদৃশ
• একই বৃত্তে সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমান দূরত্বে থাকে
• ব্যাস বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা

উদাহরণ

যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি হয়, তবে—

পরিধি:

$C=2\pi \times 7=14\pi$

ক্ষেত্রফল:

$A=\pi \times 7^2=49\pi$

অতএব, বৃত্ত জ্যামিতির একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারণা যা প্রকৃতি, প্রকৌশল এবং বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

পাশের চিত্রে, AB এমন একটি জ্যা, যা বৃত্তের কেন্দ্র O দিয়ে গেছে। এরূপ ক্ষেত্রে আমরা বলি, জ্যাটি বৃত্তের একটি ব্যাস। ব্যাসের দৈর্ঘ্যকেও ব্যাস বলা হয়। AB ব্যাসটি দ্বারা সৃষ্ট চাপ দুইটি সমান; এরা প্রত্যেকে একটি অর্ধবৃত্ত। বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যা, বৃত্তের একটি ব্যাস। ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা। বৃত্তের প্রত্যেক ব্যাস বৃত্তকে দুইটি অর্ধবৃত্তে বিভক্ত করে। ব্যাসের অর্ধেক দৈর্ঘ্যকে ব্যাসার্ধ বলে। ব্যাস ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

বৃত্তের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলে। অর্থাৎ বৃত্তস্থিত যেকোনো বিন্দু P থেকে বৃত্ত বরাবর ঘুরে পুনরায় P বিন্দু পর্যন্ত পথের দূরত্বই পরিধি। বৃত্ত সরলরেখা নয় বলে রুলারের সাহায্যে বৃত্তের পরিধির দৈর্ঘ্য পরিমাপ করা যায় না। পরিধি মাপার একটি সহজ উপায় আছে। ছবি আকার কাগজে একটি বৃত্ত এঁকে বৃত্ত বরাবর কেটে নাও। পরিধির উপর একটি বিন্দু চিহ্নিত কর। এবার কাগজে একটি রেখাংশ আঁক এবং বৃত্তাকার কার্ডটি কাগজের উপর খাড়াভাবে রাখ যেন পরিধির চিহ্নিত বিন্দুটি রেখাংশের এক প্রান্তের সাথে মিলে যায। এখন কার্ডটি রেখাংশ বরাবর গড়িয়ে নাও যতক্ষণ-না পরিধির চিহ্নিত বিন্দুটি রেখাংশকে পুনরায় স্পর্শ করে। স্পর্শবিন্দুটি চিহ্নিত কর এবং রেখাংশের প্রান্তবিন্দু থেকে এর দৈর্ঘ্য পরিমাপ কর। এই পরিমাপই পরিধির দৈর্ঘ্য। লক্ষ কর, ছোট বৃত্তের ব্যাস ছোট, পরিধিও ছোট; অন্যদিকে বড় বৃত্তের ব্যাস বড়, পরিধিও বড়।

ব্যাসার্ধ, ব্যাস, জ্যা ও পরিধি (Radius, Diameter, Chord & Circumference)

বৃত্তের বিভিন্ন মৌলিক উপাদান হলো ব্যাসার্ধ, ব্যাস, জ্যা এবং পরিধি। এগুলো বৃত্ত জ্যামিতির ভিত্তি তৈরি করে।

ব্যাসার্ধ (Radius)

বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দু পর্যন্ত দূরত্বকে ব্যাসার্ধ বলা হয়।

$r$

• প্রতিটি বৃত্তে অসংখ্য ব্যাসার্ধ থাকে
• সব ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান

ব্যাস (Diameter)

কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে বৃত্তের দুই প্রান্তকে যুক্ত করা রেখাংশকে ব্যাস বলা হয়।

$d=2r$

• ব্যাস = ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ
• ব্যাস বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা

জ্যা (Chord)

বৃত্তের পরিধির যেকোনো দুই বিন্দুকে সংযুক্ত করা সরলরেখা অংশকে জ্যা বলা হয়।

• সব ব্যাসই জ্যা, কিন্তু সব জ্যা ব্যাস নয়
• কেন্দ্র দিয়ে না গেলে সেটি সাধারণ জ্যা

পরিধি (Circumference)

বৃত্তের চারপাশের মোট দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলা হয়।

$C=2\pi r$

অথবা,

$C=\pi d$

• এখানে π ≈ 3.1416 (প্রায়)
• পরিধি হলো বৃত্তের সীমারেখা

গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক

• ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
• পরিধি = 2πr = πd
• বড় ব্যাসার্ধ → বড় বৃত্ত → বেশি পরিধি

উদাহরণ

যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সেমি হয়, তবে—

ব্যাস:

$d=2\times 5=10$

পরিধি:

$C=2\pi \times 5=10\pi$

অতএব, ব্যাসার্ধ, ব্যাস, জ্যা এবং পরিধি বৃত্তের মৌলিক জ্যামিতিক ধারণা যা সকল বৃত্তীয় গণনার ভিত্তি।

উপরের চিত্রে, একটি বৃত্ত দেখানো হয়েছে, যার কেন্দ্র O । বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু P, Q নিয়ে এদের সংযোজক রেখাংশ PQ টানি। PQ রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। জ্যা দ্বারা বৃত্তটি দুইটি অংশে বিভক্ত হয়েছে । জ্যাটির দুই পাশের দুই অংশে বৃত্তটির উপর দুইটি বিন্দু Y, Z নিলে ঐ দুইটি অংশের নাম PYQ ও PZQ । জ্যা দ্বারা বিভক্ত বৃত্তের প্রত্যেক অংশকে বৃত্তচাপ, বা সংক্ষেপে চাপ বলে। চিত্রে, PQ জ্যা দ্বারা সৃষ্ট চাপ দুইটি হচ্ছে PYQ ও PZQ ।

বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। প্রত্যেক জ্যা বৃত্তকে দুইটি চাপে বিভক্ত করে।

বৃত্তের জ্যা ও ব্যাস (Chord and Diameter of a Circle)

বৃত্ত জ্যামিতিতে জ্যা এবং ব্যাস অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ দুটি ধারণা। এগুলোর মাধ্যমে বৃত্তের আকার, কেন্দ্রের অবস্থান এবং বিভিন্ন সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়।

জ্যা (Chord)

বৃত্তের পরিধির যেকোনো দুইটি বিন্দুকে সংযোগকারী সরলরেখা অংশকে জ্যা বলা হয়।

$\mathrm{AB}$

এখানে A এবং B বৃত্তের দুটি বিন্দু এবং AB একটি জ্যা।

জ্যার বৈশিষ্ট্য

• বৃত্তে অসংখ্য জ্যা থাকতে পারে
• জ্যা কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে গেলে সেটি ব্যাস হয়
• যত জ্যা কেন্দ্রের কাছাকাছি, তত বড় হয়

ব্যাস (Diameter)

যে জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে তাকে ব্যাস বলা হয়।

$d=2r$

অর্থাৎ ব্যাস হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

ব্যাসের বৈশিষ্ট্য

• ব্যাস বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা
• প্রতিটি বৃত্তে অসংখ্য জ্যা থাকলেও ব্যাস মাত্র একটি কেন্দ্রের মাধ্যমে নির্ধারিত অবস্থানে থাকে
• ব্যাস বৃত্তকে দুইটি সমান অংশে বিভক্ত করে

জ্যা ও ব্যাসের সম্পর্ক

• সব ব্যাসই জ্যা, কিন্তু সব জ্যা ব্যাস নয়
• ব্যাস হলো বিশেষ ধরনের জ্যা যা কেন্দ্র দিয়ে যায়
• ব্যাসের দৈর্ঘ্য সর্বদা সর্বাধিক

গাণিতিক সম্পর্ক

যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হয়, তবে—

$\mathrm{Diameter}=2r$

এবং জ্যার দৈর্ঘ্য কেন্দ্র থেকে দূরত্বের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়।

উদাহরণ

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে—

ব্যাস:

$d=2\times 7=14\mathrm{cm}$

এখানে 14 সেমি হলো বৃত্তের সর্ববৃহৎ জ্যা অর্থাৎ ব্যাস।

মনে রাখার উপায়

• জ্যা = যেকোনো দুই বিন্দু যুক্ত রেখা
• ব্যাস = কেন্দ্র দিয়ে যাওয়া সর্ববৃহৎ জ্যা
• ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ

বৃত্তচাপ (Arc)

বৃত্তের যেকোনো দুইটি বিন্দুর মধ্যের পরিধির অংশকে চাপ বলে। চিত্রে A ও B দুইটি বিন্দুর মাঝে বৃত্তের অংশগুলো লক্ষ করি। দেখা যায়, দুইটি অংশের একটি অংশ ছোট, অন্যটি তুলনামূলকভাবে বড় । ছোট অংশটিকে উপচাপ ও বড়টিকে অধিচাপ বলা হয়। A ও B এই চাপের প্রান্তবিন্দু এবং চাপের অন্য সকল বিন্দু তার অন্তঃস্থ বিন্দু। চাপের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু R নির্দিষ্ট করে চাপটিকে ARB চাপ বলে অভিহিত করা হয় এবং ARB প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। আবার কখনো উপচাপটি AB প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। বৃত্তের দুইটি বিন্দু A ও B বৃত্তটিকে দুইটি চাপে বিভক্ত করে। উভয় চাপের প্রান্তবিন্দু A ও B এবং প্রান্তবিন্দু ছাড়া চাপ দুইটির অন্য কোনো সাধারণ বিন্দু নেই।

কোণ কর্তৃক খণ্ডিত চাপ

একটি কোণ কোনো বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত বা ছিন্ন করে বলা হয় যদি

১. চাপটির প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু কোণটির বাহুতে অবস্থিত হয়,

২. কোণটির প্রত্যেক বাহুতে চাপটির অন্তত একটি প্রান্তবিন্দু অবস্থিত হয় এবং

৩. চাপটির অন্তঃস্থ প্রত্যেকটি বিন্দু কোণটির অভ্যন্তরে থাকে। চিত্রে প্রদর্শিত কোণটি O কেন্দ্রিক বৃত্তে APB চাপ খণ্ডিত করে।

বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে এদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোণ বলা হয়। চিত্রে ∠ACB বৃত্তস্থ কোণ। প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত করে। এই চাপ উপচাপ, অর্ধবৃত্ত অথবা অধিচাপ হতে পারে।

একটি বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে, কোণটি সেই চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং খণ্ডিত চাপের অনুবন্ধী চাপে অন্তর্লিখিত বলা হয়।

পাশের চিত্রে বৃত্তস্থ কোণটি APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান এবং ACB চাপে অন্তর্লিখিত।

লক্ষণীয় যে, APB ও ACB একে অপরের অনুবন্ধী চাপ।

মন্তব্য : বৃত্তের কোনো চাপে অন্তর্লিখিত একটি কোণ হচ্ছে সেই কোণ যার শীর্ষবিন্দু ঐ চাপের একটি অন্তঃস্থ বিন্দু এবং যার এক একটি বাহু ঐ চাপের এক একটি প্রান্তবিন্দু দিয়ে যায়। বৃত্তের কোনো চাপে দণ্ডায়মান একটি বৃত্তস্থ কোণ হচ্ছে ঐ চাপের অনুবন্ধী চাপে অন্তর্লিখিত একটি কোণ।

একটি কোণের শীর্ষবিন্দু কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হলে, কোণটিকে ঐ বৃত্তের একটি কেন্দ্রস্থ কোণ বলা হয় এবং কোণটি বৃত্তে যে চাপ খণ্ডিত করে সেই চাপের ওপর তা দণ্ডায়মান বলা হয়। পাশের চিত্রের ∠AOB কোণটি একটি কেন্দ্রস্থ কোণ এবং তা APB চাপের ওপর দণ্ডায়মান। প্রত্যেক কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তে একটি উপচাপ খণ্ডিত করে। চিত্রে APB একটি উপচাপ। বৃত্তের কোনো উপচাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বলতে এরূপ কোণকেই বোঝায় যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত এবং যার বাহুদ্বয় ঐ চাপের প্রান্তবিন্দু দুইটি দিয়ে যায়।

অর্ধবৃত্তের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বিবেচনার জন্য ওপরে উল্লেখিত বর্ণনা অর্থবহ নয়। অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রে কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC সরলকোণ এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC সমকোণ।

বৃত্তীয় চতুর্ভুজ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ হলো এমন চতুর্ভুজ যার চারটি শীর্ষবিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (Inscribed Quadrilaterals)

যে চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু একই বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত থাকে, তাকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (Cyclic Quadrilateral) বলা হয়।

অর্থাৎ, একটি চতুর্ভুজ যদি একটি বৃত্তের ভিতরে এমনভাবে অঙ্কিত হয় যে এর প্রতিটি কোণ বৃত্তকে স্পর্শ করে, তবে সেটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

মূল বৈশিষ্ট্য

• চারটি শীর্ষবিন্দু একই বৃত্তে অবস্থিত
• বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°
• সকল কোণ বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত

বিপরীত কোণের উপপাদ্য

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি সর্বদা 180°।

$\angle A+\angle C=180°$

এবং

$\angle B+\angle D=180°$

উপপাদ্যের ব্যাখ্যা

যদি একটি চতুর্ভুজ বৃত্তের ভিতরে অঙ্কিত হয়, তবে প্রতিটি বিপরীত কোণ একটি সরলরেখা গঠন করে যার যোগফল 180° হয়।

কোণের সম্পর্ক

• A + C = 180°
• B + D = 180°

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের শর্ত

কোনো চতুর্ভুজ বৃত্তস্থ হবে যদি—

• তার বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180° হয়
অথবা
• চারটি শীর্ষবিন্দু একটি বৃত্তে অবস্থিত হতে পারে

উদাহরণ

একটি চতুর্ভুজে যদি ∠A = 110° এবং ∠C = 70° হয়, তবে—

$110°+70°=180°$

অতএব, এটি একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম

• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ = cyclic quadrilateral
• বিপরীত কোণ সর্বদা supplementary
• একটি বৃত্তের উপর অঙ্কিত সব চতুর্ভুজ এই নিয়ম অনুসরণ করে

মনে রাখার কৌশল

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে শুধু একটি নিয়ম মনে রাখলেই যথেষ্ট:
“বিপরীত কোণদ্বয়ের যোগফল = 180°”

সমতলে একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার পারস্পরিক অবস্থান বিবেচনা করি। এক্ষেত্রে নিচের চিত্রের প্রদত্ত তিনটি সম্ভাবনা রয়েছে :

ক) বৃত্ত ও সরলরেখার কোনো সাধারণ বিন্দু নেই,

খ) সরলরেখাটি বৃত্তকে দুইটি বিন্দুতে ছেদ করেছে,

গ) সরলরেখাটি বৃত্তকে একটি বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।

সমতলে একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি ছেদবিন্দু থাকতে পারে। সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি দুইটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি ছেদক বলা হয় এবং যদি একটি ও কেবল একটি সাধারণ বিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক বলা হয়। শেষোক্ত ক্ষেত্রে, সাধারণ বিন্দুটিকে ঐ স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু বলা হয়। উপরের চিত্রে একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার পারস্পরিক অবস্থান দেখানো হয়েছে।

চিত্র-ক এ বৃত্ত ও PQ সরলরেখার কোনো সাধারণ বিন্দু নেই, চিত্র-খ এ PQ সরলরেখাটি বৃত্তকে A ও B দুইটি বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং চিত্র-গ এ PQ সরলরেখাটি বৃত্তকে A বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। PQ বৃত্তটির স্পর্শক ও A এই স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু।

মন্তব্য : বৃত্তের প্রত্যেক ছেদকের ছেদবিন্দুদ্বয়ের অন্তবর্তী সকল বিন্দু বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকে।

সাধারণ স্পর্শক (Common tangent)

একটি সরলরেখা যদি দুইটি বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে একে বৃত্ত দুইটির একটি সাধারণ স্পর্শক বলা হয়। পাশের চিত্রগুলোতে AB উভয় বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক। চিত্র-ক ও চিত্র-খ এ স্পর্শবিন্দু ভিন্ন ভিন্ন। চিত্র-গ ও চিত্র-ঘ এ স্পর্শবিন্দু একই।

দুইটি বৃত্তের কোনো সাধারণ স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু দুইটি ভিন্ন হলে স্পর্শকটিকে

ক) সরল সাধারণ স্পর্শক বলা হয় যদি বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে এবং

খ) তির্যক সাধারণ স্পর্শক বলা হয় যদি বৃত্ত দুইটির কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকে।

চিত্র-ক এ স্পর্শকটি সরল সাধারণ স্পর্শক এবং চিত্র-খ এ স্পর্শকটি তির্যক সাধারণ স্পর্শক।

দুইটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক যদি বৃত্ত দুইটিকে একই বিন্দুতে স্পর্শ করে তবে ঐ বিন্দুতে বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে স্পর্শ করে বলা হয়। এরূপ ক্ষেত্রে, বৃত্ত দুইটির অন্তঃস্পর্শ হয়েছে বলা হয় যদি কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের একই পার্শ্বে থাকে এবং বহিঃস্পর্শ হয়েছে বলা হয় যদি কেন্দ্রদ্বয় স্পর্শকের বিপরীত পার্শ্বে থাকে। চিত্র-গ এ বৃত্ত দুইটির অন্তঃস্পর্শ এবং চিত্র-ঘ এ বহিঃস্পর্শ হয়েছে।

স্পর্শক (Tangent) হলো বৃত্ত জ্যামিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা। এটি বৃত্তকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং বৃত্তের ভেতরে প্রবেশ করে না।

স্পর্শক (Tangent)

যে সরলরেখা বৃত্তকে ঠিক একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে, তাকে স্পর্শক বলা হয়। স্পর্শ করার বিন্দুটিকে স্পর্শবিন্দু (Point of Contact) বলা হয়।

স্পর্শকের বৈশিষ্ট্য

• স্পর্শক বৃত্তকে মাত্র এক বিন্দুতে স্পর্শ করে
• স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব হয়

মূল উপপাদ্য ১: স্পর্শক ও ব্যাসার্ধের সম্পর্ক

বৃত্তের কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ঐ বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।

$\mathrm{OT}\perp \mathrm{PT}$

এখানে O = কেন্দ্র, T = স্পর্শবিন্দু, PT = স্পর্শক

উপপাদ্য ২: একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকের সমতা

বৃত্তের বাইরের একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুইটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$

এখানে P = বাহ্যিক বিন্দু, A ও B = স্পর্শবিন্দু

উপপাদ্য ৩: কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব

কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব সর্বদা বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান।

$\mathrm{OT}=r$

উপপাদ্য ৪: স্পর্শক ও জ্যা সম্পর্ক

স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ঐ বিন্দুতে অঙ্কিত জ্যার উপর অর্ধবৃত্তীয় কোণ তৈরি করে।

• স্পর্শক ও জ্যার মধ্যে কোণ বৃত্তের অভ্যন্তরীণ কোণের সমান

উপপাদ্য ৫: দুইটি স্পর্শকের মধ্যে কোণ

বাহ্যিক বিন্দু থেকে অঙ্কিত দুইটি স্পর্শকের মধ্যে কোণ কেন্দ্রের কোণের সম্পূরক অংশের অর্ধেক।

$\mathrm{\angle APB}=180°-\mathrm{\angle AOB}$

উদাহরণ

একটি বৃত্তের কেন্দ্র O এবং বাইরের বিন্দু P থেকে দুইটি স্পর্শক PA এবং PB অঙ্কিত হলে,

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$

অর্থাৎ দুইটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।

গুরুত্বপূর্ণ সংক্ষিপ্ত নিয়ম

• স্পর্শক = এক বিন্দুতে স্পর্শ করে
• ব্যাসার্ধ ⟂ স্পর্শক
• একই বাহ্যিক বিন্দু থেকে স্পর্শক দুইটি সমান

মনে রাখার কৌশল

স্পর্শক সম্পর্কিত সব উপপাদ্যের মূল ধারণা:
“স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ সবসময় লম্ব”

উপপাদ্য ২৫. বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ওপরস্থ P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, PT ⊥ OP.

অঙ্কন : PT স্পর্শকের ওপর যেকোনো একটি বিন্দু Q নিই এবং O,Q যোগ করি।

প্রমাণ: যেহেতু বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক, সুতরাং ঐ P বিন্দু ব্যতীত PT এর ওপরস্থ অন্য সকল বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকবে। সুতরাং Q বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।

$\therefore$ OQ বৃত্তের ব্যাসার্ধ OP এর চেয়ে বড়, অর্থাৎ, OQ > OP এবং তা স্পর্শবিন্দু P ব্যতীত PT এর ওপরস্থ Q বিন্দুর সকল অবস্থানের জন্য সত্য।

$\therefore$ কেন্দ্র O থেকে PT স্পর্শকের ওপর OP হল ক্ষুদ্রতম দূরত্ব।

সুতরাং PT ⊥ OP [কোনো সরলরেখার বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে উক্ত সরলরেখার উপর যতগুলো রেখাংশ টানা যায় তন্মধ্যে লম্ব রেখাংশটিই ক্ষুদ্রতম]

(প্রমাণিত)

অনুসিদ্ধান্ত ৮. বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

অনুসিদ্ধান্ত ৯. স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের ওপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।

অনুসিদ্ধান্ত ১০. বৃত্তের কোনো বিন্দু দিয়ে ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।

উপপাদ্য ২৬. বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক । প্রমাণ করতে হবে যে, PA = PB

অঙ্কন : O, A; O, B এবং O, P যোগ করি।

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. যেহেতু PA স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ, সেহেতু PA ⊥ OA

$\therefore$ ∠PAO = এক সমকোণ। [$\because$ স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব]

অনুরূপে ∠PBO = এক সমকোণ।

$\therefore$ ∆PAO এবং ∆PBO উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ।

ধাপ ২. এখন, ∆PAO এবং ∆PBO সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ে অতিভুজ PO = অতিভুজ PO এবং OA = OB [$\therefore$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]

$\therefore$ ∆PAO ≅ ∆PBO [সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]

$\therefore$ PA = PB । (প্রমাণিত)

মন্তব্য :

১. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া প্রত্যেক বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু অপর বৃত্তের বাইরে থাকবে।

২. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, স্পর্শবিন্দু ছাড়া ছোট বৃত্তের অন্য সকল বিন্দু বড় বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকবে।

উপপাদ্য ২৭. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শ বিন্দু সমরেখ।

মনে করি, A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পর O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, A,O,B বিন্দু তিনটি সমরেখ।

অঙ্কন : যেহেতু বৃত্তদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে স্পর্শ করেছে, সুতরাং O বিন্দুতে এদের একটি সাধারণ স্পর্শক থাকবে। এখন O বিন্দুতে সাধারণ স্পর্শক POQ অঙ্কন করি এবং O, A ও O, B যোগ করি।

প্ৰমাণ :

A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং POQ স্পর্শক।

সুতরাং ∠POA = এক সমকোণ। তদ্রূপ ∠POB = এক সমকোণ

∠POA + ∠POB = এক সমকোণ + এক সমকোণ = দুই সমকোণ।

বা ∠AOB দুই সমকোণ

অর্থাৎ, ∠AOB একটি সরলকোণ।

$\therefore$ A, O, B বিন্দুত্রয় সমরেখ। (প্রমাণিত)

অনুসিদ্ধান্ত ১১. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।

অনুসিদ্ধান্ত ১২. দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।