যে সকল গণিতের সমস্যা নির্দিষ্ট কোনো একটি অধ্যায়ের মধ্যে সীমাবদ্ধ না থেকে একাধিক অধ্যায়ের ধারণা একসাথে ব্যবহার করে সমাধান করতে হয়, সেগুলোকে বিবিধ (Miscellaneous) সমস্যা বলা হয়।
মৌলিক ধারণা
বিবিধ সমস্যায় সময়, কাজ, গতি, শতকরা, লাভ-ক্ষতি, অনুপাত, বয়স, পঞ্জিকা ইত্যাদি বিভিন্ন অধ্যায়ের সূত্র একসাথে ব্যবহার করা হয়।
গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য
- একাধিক অধ্যায়ের ধারণা একত্রে ব্যবহার করা হয়
- প্রশ্নের ধরন নির্দিষ্ট থাকে না
- বিশ্লেষণ ও যুক্তি প্রয়োগ গুরুত্বপূর্ণ
- ধাপে ধাপে সমাধান করতে হয়
সমাধানের সাধারণ ধাপ
বিবিধ সমস্যার সমাধানে সাধারণত নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করা হয়:
- প্রশ্ন ভালোভাবে পড়ে তথ্য সংগ্রহ করা
- প্রয়োজনীয় সূত্র নির্ধারণ করা
- ধাপে ধাপে হিসাব করা
- শেষে উত্তর যাচাই করা
ব্যবহৃত বিষয়সমূহ
বিবিধ সমস্যায় সাধারণত নিচের বিষয়গুলো বেশি ব্যবহৃত হয়:
- সময় ও কাজ
- গতি ও দূরত্ব
- শতকরা ও লাভ-ক্ষতি
- অনুপাত ও সমানুপাত
- বয়স সংক্রান্ত সমস্যা
- পঞ্জিকা ও ক্যালেন্ডার
গুরুত্বপূর্ণ ধারণা
বিবিধ অংকে একাধিক সূত্র একসাথে প্রয়োগ করতে হয়, তাই প্রতিটি ধাপ ভালোভাবে বিশ্লেষণ করা জরুরি।
উদাহরণ ধারণা
একটি সমস্যা যেখানে বলা হলো—একজন ব্যক্তি ২০% লাভে পণ্য বিক্রি করল এবং একই সাথে সময় অনুযায়ী ছাড়ও দিল, এখানে লাভ-ক্ষতি ও শতকরা দুইটি বিষয় একসাথে ব্যবহার করতে হবে।
মনে রাখার উপায়
যখন কোনো অংক একাধিক টপিকের সমন্বয়ে তৈরি হয়, তখন সেটি বিবিধ (Miscellaneous) সমস্যা। এই ধরনের অংকে ধাপে ধাপে চিন্তা করাই সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।
দশমিক ভগ্নাংশ সংখ্যা (Decimal Fractional Number) : মূলদ সংখ্যা ও অমূলদ সংখ্যাকে দশমিক দিয়ে প্রকাশ করা হলে একে দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন, 3 = 3.0, , √3 = 1.732… ইত্যাদি দশমিক ভগ্নাংশ। দশমিক বিন্দুর পর অঙ্ক সংখ্যা সসীম হলে, এদেরকে সসীম দশমিক ভগ্নাংশ এবং অঙ্ক সংখ্যা অসীম হলে, এদেরকে অসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয় । যেমন, 0.52, 3.4152 ইত্যাদি সসীম দশমিক ভগ্নাংশ এবং = 1.333..., √5 =2.123512367..., ইত্যাদি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ। আবার, অসীম দশমিক ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে দশমিক বিন্দুর পর কিছু অঙ্কের পূনরাবৃত্তি হলে, তাদেরকে অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ এবং অঙ্কগুলোর পুনরাবৃত্তি না হলে 122 এদের অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন, ইত্যাদি অসীম আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ এবং ইত্যাদি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ।
সসীম দশমিক ভগ্নাংশ (Terminating Decimal Fraction)
যে সকল দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর পর অঙ্কের সংখ্যা নির্দিষ্ট এবং শেষ হয়ে যায়, তাদের সসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়। অর্থাৎ, দশমিকের পর আর কোনো অঙ্ক অসীমভাবে চলতে থাকে না।
উদাহরণ
ভগ্নাংশ রূপে প্রকাশ
বৈশিষ্ট্য
- দশমিকের পর নির্দিষ্ট সংখ্যক অঙ্ক থাকে।
- এটি কখনো অসীমভাবে চলতে থাকে না।
- সব সসীম দশমিক ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- হরের মৌলিক গুণনীয়ক শুধু 2 ও 5 থাকলে সাধারণত সসীম দশমিক পাওয়া যায়।
মনে রাখার উপায়
যে দশমিক ভগ্নাংশ শেষ হয়ে যায়, সেটিই সসীম দশমিক ভগ্নাংশ। অর্থাৎ “শেষ আছে = সসীম”।
অসীম দশমিক ভগ্নাংশ (Non-terminating Decimal Fraction)
যে সকল দশমিক ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর পর অঙ্ক কখনো শেষ হয় না এবং অসীমভাবে চলতে থাকে, তাদের অসীম দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।
অসীম দশমিক ভগ্নাংশ দুই ধরনের হতে পারে—
- আবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ (Recurring Decimal)
- অনাবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ (Non-recurring Decimal)
১. আবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ
যে দশমিক ভগ্নাংশে কিছু অঙ্ক নির্দিষ্ট নিয়মে বারবার পুনরাবৃত্তি হয়, তাকে আবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।
উদাহরণ
২. অনাবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ
যে দশমিক ভগ্নাংশে কোনো অঙ্ক পুনরাবৃত্তি হয় না এবং অসীমভাবে চলতে থাকে, তাকে অনাবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ বলা হয়।
উদাহরণ
বৈশিষ্ট্য
- দশমিকের পর সংখ্যা কখনো শেষ হয় না।
- আবর্ত হলে কিছু অঙ্ক বারবার পুনরাবৃত্তি হয়।
- অনাবর্ত হলে কোনো পুনরাবৃত্তি থাকে না।
- অনাবর্ত দশমিক ভগ্নাংশ অমূলদ সংখ্যা হয়।
মনে রাখার উপায়
যে দশমিক ভগ্নাংশ শেষ হয় না, সেটিই অসীম দশমিক ভগ্নাংশ। যদি পুনরাবৃত্তি থাকে → আবর্ত না থাকলে → অনাবর্ত
Read more
