বিন্যাস ও সমাবেশ (Permutation & Combination)

গুণন বিধি

যদি একটি কাজ p সংখ্যক বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায় এবং এই উপায়গুলোর কোনো একটি উপায়ে কাজটি সম্পাদিত হওয়ার পর যদি দ্বিতীয় একটি কাজ ৭ সংখ্যক বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায়, তাহলে কাজ দুইটি একত্রে p $\times$ q সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যাবে। এটাই গণনার গুণন বিধি।

যেমন- গাবতলী থেকে ফার্মগেট দুইভাবে (হেঁটে, সিএনজি যোগে) যাওয়া যায় এবং ফার্মগেট হতে মতিঝিল তিনভাবে (বাসে, রিক্সায়, সাইকেলে) যাওয়া যায় তাহলে গাবতলী হতে মতিঝিল কতভাবে যাওয়া যায়?

গাবতলী থেকে মতিঝিল যাওয়ার উপায়-

হেঁটে - বাসে

সিএনজি - বাসে

হেঁটে - রিক্সায়

সিএনজি - রিক্সায়

হেঁটে - সাইকেলে

সিএনজি - সাইকেলে

মোট উপায় = 6 = 2 $\times$ 3 = গাবতলী থেকে ফার্মগেট যাওয়ার উপায় ফার্মগেট থেকে মতিঝিল যাওয়ার উপায়

যোজন বিধি

যদি একটি কাজ p সংখ্যক বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায় এবং আরেকটি কাজ স্বাধীনভাবে ৭ সংখ্যক বিভিন্ন উপায়ে সম্পন্ন করা যায় তাহলে কাজ দুইটি একত্রে p + q সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায়।

যেমন- গাবতলী থেকে মতিঝিল যাওয়ার মধ্যে তিনটি পরিবেশ বান্ধব উপায় (হেঁটে, রিক্সায়, সাইকেলে) এবং দুইটি পরিবেশ বান্ধব নয় এমন উপায় (সিএনজি, বাসে) রয়েছে।

যানবহনের পরিবেশ বিবেচনায়, গাবতলী থেকে মতিঝিল যাওয়ার মোট উপায় = 3 + 2 = 5.

বিন্যাস ও সমাবেশের সংজ্ঞা

কতকগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি প্রতিবারে নিয়ে যতভাবে সাজানো যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস (Permutation) বলে।

কতকগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি প্রতিবার নিয়ে যতগুলি দল গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সমাবেশ (Combination) বলে। দল বিধায় সমাবেশে অন্তর্ভুক্ত বস্তুগুলির ক্রম উপেক্ষা করা হয়।

উদাহরণ: ধরা যাক a, b, c, তিনটি বিভিন্ন অক্ষর দেয়া আছে। এদের দুই দুইটিকে একবারে নিয়ে সাজালে আমরা পাই, ab, ba, ac, ca, bc, cb। এদের প্রত্যেকটি তিনটি বিভিন্ন অক্ষরের প্রতিবারে দুইটি করে নিয়ে প্রাপ্ত এক একটি বিন্যাস। অতএব তিনটি বিভিন্ন বস্তুর দুইটিকে প্রতিবারে নিয়ে সাজালে বিন্যাসের সংখ্যা হয় 6.

ঐ অক্ষর তিনটি থেকে দুইটি করে নিয়ে (অক্ষরগুলির সাজানোর ক্রম উপেক্ষা করে) দল গঠন করলে আমরা তিনটি দল পাই, যথা ab বা ba, ac বা ca, bc বা cb. অতএব তিনটি বিভিন্ন জিনিসের প্রতিবার দুইটি করে নিয়ে প্রাপ্ত সমাবেশের সংখ্যা হয় 3.

সবগুলি ভিন্ন এরূপ বস্তুর বিন্যাস

1-সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবারে। সংখ্যক বস্তু নিয়ে প্রাপ্ত বিন্যাস সংখ্যা

ⁿP_r P(n,r)

(n ও ধনাত্মক সংখ্যা এবং n$\ge$ r )

ⁿP_r = n(n-1) (n-2) .... (n -r + 1) …………. (1)

যথা:

${}^{6}P_6=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1$

${}^{6}P_5= 6 \times 5 \times 4\times 3\times 2$

${}^{6}P_4= 6 \times 5 \times 4\times 3$

${}^{6}P_3= 6 \times 5 \times 4$

${}^{6}P_2= 6 \times 5$

${}^{6}P_1= 6$

উদাহরণ: 2, 3, 4, 5, 6, 7 ও ৪ এই অঙ্কগুলির প্রত্যেকটিকে প্রত্যেক সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে চার অঙ্কের কতগুলি পৃথক সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?

যেহেতু অঙ্কগুলি পরস্পর পৃথক

অতএব, নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা

${}^{7}P_4=7\times 6 \times 5 \times 4=840$

অনুসিদ্ধান্ত

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর সবকয়টিকে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা (1) নং সূত্রে r = n বসিয়ে নির্ণয় করা যায়।

অতএব,

${}^{n}P_n$ = n (n - 1) (n-2)... n সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত।

= n (n - 1) (n-2) ……………… 3.2.1

n =1.2.3........... (n - 2)(n - 1)

= n!

সাংকেতিক চিহ্ন 'n!' কে '⌊n' আকারেও লেখা হয় এবং পড়া হয় ফ্যাক্টোরিয়াল n এবং এটি প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ক্রমিক গুণফল প্রকাশ করে।

সুতরাং n! = n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ....... 3. 2. 1

n! = n * (n - 1)! = n(n - 1) (n - 2)! ইত্যাদি।

${}^{n}P_n$ = n(n - 1)(n - 2) ...... (n - r + 1)

= n(n-1)(n-2)........ (n - r + 1) * (n - r)! /(n-r)! [লব ও হরকে (n - r)! দ্বারা গুণ করে]

$=\frac{n!}{(n - r)!}$ ……………. (2)

সূত্র (2)-এ, r = n বসালে পাই-

${}^{n}P_n=\frac{n!}{(n - n)!}=\frac{n!}{0!}$

কিন্তু ${}^{n}P_n=n!$

অতএব, সূত্র (2) কে r = n এর জন্য বলবৎ রাখতে হলে 0! কে 1 এর সমান ধরতে হবে।

আবার (2)-এ, r = 0 বসালে পাই-

${}^{n}P_0=\frac{n!}{\left(n-0\right)!}=\frac{n!}{n!}=1$

মন্তব্য: 0! = 1 একটি আলাদা সংজ্ঞা বা রীতি (convention)।

সবগুলি ভিন্ন নহে এরূপ বস্তুর বিন্যাস

n- সংখ্যক বস্তুর সব কটি একবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন তাদের p-সংখ্যক বস্তু এক প্রকার, q-সংখ্যক দ্বিতীয় প্রকার, r সংখ্যক তৃতীয় প্রকার এবং বাকী বস্তুগুলি ভিন্ন ভিন্ন।

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা $=\frac{n!}{p! q! r!}$

উদাহরণ: 'committee' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একবারে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

'committee' শব্দটিতে মোট ৭টি অক্ষর আছে, যাদের মধ্যে 2টি m, 2টি t, 2টি e, বাকি সব ভিন্ন ভিন্ন। সুতরাং সবগুলি অক্ষর একবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা

$=\frac{9!}{2! \times 2! \times 2!}$

$=\frac{9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2}{2\times 2\times 2}$

= 45360

বস্তু সমূহের পুনরাবৃত্তি ঘটতে পারে, এরূপ ক্ষেত্রে বিন্যাস

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তুর । সংখ্যক একবারে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যখন যেকোনো বিন্যাসের প্রত্যেকটি বস্তু r সংখ্যকবার পুনরাবৃত্ত হতে পারে।

11 সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু দ্বারা । সংখ্যক শূন্য স্থান যত রকমভাবে পূরণ করা যাবে তাই নির্ণেয় বিন্যাসের সংখ্যার সমান।

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = n^r.

উদাহরণ: 1, 2, 3, 4, 5 অঙ্কগুলির প্রত্যেকটিকে যেকোনো সংখ্যক বার নিয়ে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যেতে পারে?

প্রদত্ত ১টি অঙ্ক হতে 3টি করে নিয়ে সংখ্যা গঠনের উপায় = 5³ = 125.

কতগুলি বস্তু থেকে কয়েকটি বা সবকটি অথবা নির্দিষ্ট কয়েকটি প্রতিবারে নিয়ে যত ভাবে বিন্যস্ত করা বা সাজানো যায় তাদের প্রত্যেকটিকে এক একটি বিন্যাস বলে ।

উদাহরণ: মনে করি A, B, C, তিনটি বর্ণ। একসাথে সবকটি বর্ণ নিয়ে সাজানো যায়। ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA মোট ৬ ভাবে। যাদের প্রতিটিকে এক একটি বিন্যাস বলে ।

সুতরাং উপরোক্ত উদাহরণ থেকে বুঝা যায় সবকটি ঘটনাই এক একটি বিন্যাস বা সাজানোর ব্যবস্থা তাহলে মোট সাজানোর ব্যবস্থা হলো ৬ টি।

উদাহরণ: মনে করি A,B,C তিনটি বর্ণ। একসাথে দুইটি বর্ণ করে নিয়ে সাজানো যায়। AB, BA, AC, CA, BC, CB .

বাস্তবে প্রয়োগ :

ছাত্র-ছাত্রীদের রোল নম্বর, গাড়ীর লাইসেন্স, মোবাইল নম্বর, ভোটার আইডি কার্ডের নম্বর ০ থেকে ৯ পর্যন্ত ১০ টি ডিজিট নিয়েই কোটি কোটি সংখ্যা বানানো হয়, যার একটির সাথে অন্য কোনটির মিল নেই। এগুলো সবগুলোই বিন্যাসের নিয়ম অনুসারে তৈরী করা হয়।

বিন্যাসের সুত্র

n সংখ্যক বিভিন্ন বস্তু হতে প্রতিবারে r সংখ্যক বস্তু নিয়ে মোট সাজানোর ব্যবস্থা বের করার সূত্র হলো:

$n_{P_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{(n-r)!}$[ এখানে n = মোট উপাদান , r = মোট উপাদানের মধ্যে যতটি উপাদান নিয়ে বিন্যাস করতে হয়। ]

সুত্রের ব্যাখ্যা: এখানে n! অর্থ হলো n এর সাথে তার নিচের সকল ক্রমিক সংখ্যার গুণফল। যেমন: ধরি n এর মান 5 এবং r এর মান 2। তাহলে মানগুলো বসিয়ে সুত্রটি নিম্নোক্ত নিয়মে ব্যবহার করতে হবে,

$5_{P_2}=\frac{\mathrm{5!}}{(5-2)!}=\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{3!}}=\frac{\mathrm{5\times 4\times 3\times 2\times 1}}{\mathrm{3\times 2\times 1}}$

অথবা $$

5!
3!

=$\frac{\mathrm{5!}}{\mathrm{3!}}=\frac{\mathrm{5\times 4\times 3!}}{\mathrm{3!}}$ [ এখন উপরের ও নিচের 3! কে কেটে দিলে শুধু 5×4 = 20 থাকে ।

বি:দ্র: এক্ষেত্রে মনে রাখতে হবে ঘটনাবলি পুণরাবৃত্তি হয় না ।

Factorial (!) কী ও কেন?

Factorial (!) হচ্ছে কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণন বিধি যা ১ করে কমে ক্রমান্বয়ে গুণ হয়ে ১ পর্যন্ত হবে। যেমন, ২! = ২×১, ৩! = ৩×২×১, ৪! = ৪×৩×২×১ এবং ৫ ! = (৫×৪×৩×২×১) = ১২০; ইত্যাদি।

অবশ্যই মনে রাখুন: 0! = 1 (কারণ বড় সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়ালকে ঐ সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে তার আগের সংখ্যার ফ্যাক্টোরিয়াল আসে। যেমন: ৬! = ৭২০ তাই ৭২০÷৬ = ১২০ হলো ৫! এর মান। তাই ১! = ১ এর ১ কে ১ দিয়ে ভাগ করলে আবার ১ ই হয় যা ১ এর পূর্ববর্তী সংখ্যা ০! এর মান। সুতরাং ০! = ১ লিখা হয়।)

এখানে ১ করে কমে যায় কেন?

ধরুন, আপনার হাতে তিনটি হ্যাঙ্গার আছে । যেখানে আপনি তিনটি ভিন্ন শার্ট সাজিয়ে রাখবেন ।

$\Rightarrow$ প্রথম হ্যাঙ্গারটিতে তিনটি শার্টের যে কোন একটি ঝোলানো যাবে ৩ ভাবে, অর্থাৎ এখানে অপশন আছে ৩টি।

$\Rightarrow$ দ্বিতীয় হ্যাঙ্গারটিতে অবশিষ্ট দুটি শার্টের মধ্য থেকে একটিকে ঝোলানোর অপশন আছে দুটি অর্থাৎ দুভাবে। (কারণ আগে একটি চলে গেছে)

$\Rightarrow$ সর্বশেষ হ্যাঙ্গারটিতে মাত্র একটি শার্ট একভাবেই ঝোলানোর উপায় আছে ।

অর্থাৎ একটি করে নেয়ার পর একটি করে অপশন কমতে থাকে বলে এই নিয়মটি লিখতে হয় ৩×২×১ = ৬ ভাবে। যাকে ফ্যাক্টোরিয়াল আকারে লিখলে লিখতে হবে ৩! ।

পুণরাবৃত্তি না করার বিন্যাস

যদি একটি উপাদানকে একের অধিকবার ব্যাবহার করা না যায় তাহলে নিম্নোক্ত কয়েকটি নিয়মে বিন্যাস করতে হয়:

যখন সব উপাদান ভিন্ন:
যখন সব উপাদান ভিন্ন তখন Permutation, দুটি বিষয়ের উপর নির্ভর করে। ১. এর উপাদান সংখ্যা ও ২. কতটি উপাদান নিতে হবে। এক্ষেত্রে উপাদান সংখ্যা n(মোট উপাদানকে n দ্বারা প্রকাশ করা হয়) এবং r সংখ্যক উপাদান নিতে হলে, বিন্যাস সংখ্যা $n{p}_r$ $n{p}_r$$n{p}_r$ P rP r, যা ব্যাখ্যা করে দাঁড়ায় n, 1 করে কমে r ধাপ পর্যন্ত।

Formula of Permutation
$n_{P_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{(n-r)!}$ [ এখানে n = মোট উপাদান , r = মোট উপাদানের মধ্যে যতটি উপাদান নিয়ে বিন্যাস করতে হয়। ]

পুণরাবৃত্তির বিন্যাস

উপরের প্রশ্নগুলোতে যে কোন সংখ্যা বা অক্ষর শুধুমাত্র ১ বার ব্যবহার করা হয়েছে। অর্থাৎ একই সংখ্যা বা অক্ষর একাধিকবার ব্যবহৃত হয় নি।
যেমন: ১ ও ২ কে একবার মাত্র ব্যবহার করে, দু ' অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়? এরকম প্রশ্নের উত্তর ২! বা ২টি যথা: ১২ এবং ২১ কিন্তু এই একই প্রশ্নে repetition allowed বা পুণরাবৃত্তি করা গেলে ১ ও ২ কে ব্যবহার করে ২ অঙ্কের সংখ্যা বানানো যাবে = ২^২ = ৪ টি । যথা: ১২, ২১, এর সাথে ১১ এবং ২২ [ অর্থাৎ একই সংখ্যাকে একাধিকবার ব্যাবহার করা যাবে। ]

Formula of Repetition = n^r [ এখানে n হচ্ছে মোট উপাদান এবং r = যতবার নিতে হবে। ]

পূনরাবৃত্তি করে A, B, C তিনটি উপাদান থেকে কয়ভাবে ২টি উপাদান নেয়া যাবে? এখানে, সকল বিন্যাস হবে এরূপ, AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC, 9টি। কেননা প্রতি ক্ষেত্রেই প্রতি ধাপে আগের সব options থেকে যায়। এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা n^r=3²=9 । অর্থাৎ এক বর্ণ রিপিট করা গেলে এভাবে।

কতকগুলো ব্স্তু থেকে প্রতিবারে কয়েকটি বা সবগুলোকে প্রতিবার নিয়ে যতগুলো দল গঠন করা যায় তাকে সমাবেশ বলে।

সমাবেশ হলো কয়েকটি উপাদান থেকে প্রত্যেকবার নির্দিষ্ট কিছু উপাদান নিয়ে এক একটি দল গঠন করা। এখানে ধারাবাহিকতা পরিবর্তন হলেও দলের সংখ্যা একই থাকবে।

সমাবেশের সূত্র: $n_{c_{\mathrm{r}}}=\frac{\mathrm{n!}}{\mathrm{r!(n-r)!}}$ n! r!(n-r)! [বিন্যাসের সূত্রের মতই শুধু অতিরিক্ত হিসেবে হরের সাথে r! গুণ করতে হবে।]

বিন্যাস বনাম সমাবেশ (Permutation Vs Combination)

Combination এর ক্ষেত্রে Order (ধারাবাহিকতা) কোন Factor নয়। কিন্তু Permutation এর ক্ষেত্রে ধারাবাহিকতা গুরুত্বপূর্ণ এবং Order এর পরিবর্তন হলে সংখ্যারও পরিবর্তন হবে। যেমন: বিভিন্ন পরীক্ষার প্রশ্নে যখন এই দুটি অধ্যায় থেকে প্রশ্ন আসবে তখন লিখে দেয়া থাকবে না কোনটি বিন্যস এবং কোনটি সমাবেশ হবে। ভালোভাবে পার্থক্য না জানলে একটার জায়গায় অন্যটির উত্তর বের করে ফেলতে পারেন। তাই এদের মধ্যকার পার্থক্যগুলো নিচে ছক আকারে তুলে ধরা হল।

বিন্যাস ও সমাবেশের মধ্যকার মৌলিক পার্থক্য

করমর্দন ও খেলার সংখ্যা

এই পদ্ধতিতে আমার শিখবো হ্যান্ডশেক সংখ্যা বের করা এবং কিভাবে কয়েকজন খেলোয়াড়ের ভেতর থেকে কতভাবে একটি ক্রিকেট, ফুটবল,বাস্কেটবল অথবা যে কোন দল গঠন করা যায়। সাথে সাথে কিভাবে এবং কতভাবে একটি দলের অধিনায়ক অথবা সহ অধিনায়ক নির্বাচিত করা যায় । দল গঠনের সময় বিভিন্ন খেলোয়াড়ের নাম আগে অথবা পরে যখনই বলা হোক না কেন তারা একটি দলই বোঝাবে, তাই দল গঠনের অংক গুলো সমাবেশের সুত্রানুযায়ী করতে হয়।

কখন গুণ (×) আর কখন যোগ (+)

যখন একটির সাথে অন্যটি নির্ভরশীল থাকে তখন গুণ করতে হবে। (প্রশ্নে “এবং” থাকলে ‘গুণ” )

যেমন: মোট ৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ৫ জন সদস্য নিয়ে একটি কলেজের কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে ২ জন মহিলা থাকবে ।

এখানে শুধু মহিলা বা শুধু পুরুষ নিয়ে কমিটি হবে না বরং পুরুষ ও মহিলা উভয়ে মিলে কমিটি হবে। অর্থাৎ একটার সাথে আরেকটা নির্ভরশীল । তাই এক্ষেত্রে গুণ করতে হবে $5_{c_3}\times 4_{c_3}$= 10×6 = 60

কিন্তু একটির উপর আরেকটি নির্ভরশীল না হলে যোগ করতে হবে। (প্রশ্নে “অথবা” থাকলে 'যোগ' )

যেমন: একটি কলেজের কমিটি তৈরী করার উপায় আছে ২০টি আরেকটি ভিন্ন কলেজের কমিটি তৈরী করার উপায় আছে ১০টি। এখানে একটি কলেজের সাথে অন্য কলেজের কমিটির কোন নির্ভরশীলতা নেই, তাই এক্ষেত্রে মোট কমিটি সংখ্যা 20+10 = 30টি