ল.সা.গু ও গ.সা.গু (L.C.M and H.C.F)

ল.সা.গু ও গ.সা.গু (L.C.M and H.C.F)

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) এবং সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাকে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) বলা হয়।

ল.সা.গু (L.C.M - Least Common Multiple)

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট গুণিতককে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু বলা হয়।

উদাহরণ

6 এর গুণিতক: 6, 12, 18, 24, 30...

8 এর গুণিতক: 8, 16, 24, 32...

এখানে 6 ও 8 এর সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম হলো 24।

অতএব, 6 ও 8 এর ল.সা.গু = 24

গ.সা.গু (H.C.F - Highest Common Factor)

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়ককে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু বলা হয়।

উদাহরণ

12 এর গুণনীয়ক: 1, 2, 3, 4, 6, 12

18 এর গুণনীয়ক: 1, 2, 3, 6, 9, 18

এখানে সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে বৃহত্তম হলো 6।

অতএব, 12 ও 18 এর গ.সা.গু = 6

ল.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি

• গুণিতক লেখার পদ্ধতি
• মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
• ভাগ পদ্ধতি

গ.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি

• গুণনীয়ক লেখার পদ্ধতি
• মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
• ভাগ পদ্ধতি

ল.সা.গু ও গ.সা.গু এর সম্পর্ক

ল.সা.গু $\times$ গ.সা.গু = সংখ্যাদ্বয়েরগুণফল

বৈশিষ্ট্য

• ল.সা.গু সবসময় প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সমান বা বড় হয়।
• গ.সা.গু সবসময় প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সমান বা ছোট হয়।
• মৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু সাধারণত 1 হয়।
• দুটি সহমৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু = 1

মনে রাখার উপায়

ল.সা.গু → ছোট সাধারণ গুণিতক গ.সা.গু → বড় সাধারণ গুণনীয়ক

গুণনীয়ক (Factors)

যে সকল সংখ্যা কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করতে পারে, তাদেরকে সেই সংখ্যার গুণনীয়ক (Factors) বলা হয়।

সংজ্ঞা

যদি a × b = n হয়, তবে a এবং b উভয়ই n এর গুণনীয়ক।

উদাহরণ

12 এর গুণনীয়ক নির্ণয় করি:

12 = 1 × 12
12 = 2 × 6
12 = 3 × 4

অতএব, 12 এর গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 12

গুণনীয়কের বৈশিষ্ট্য

• গুণনীয়ক সর্বদা ধনাত্মক হয়
• প্রতিটি সংখ্যার অন্তত ২টি গুণনীয়ক থাকে (1 এবং নিজে)
• গুণনীয়ক সংখ্যা সীমিত

গুণনীয়ক নির্ণয়ের পদ্ধতি

১. ভাগ পদ্ধতি

যে সকল সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 0 হয়, সেগুলো গুণনীয়ক।

উদাহরণ: 12 ÷ 3 = 4 ⇒ 3 গুণনীয়ক

২. গুণফল পদ্ধতি

যে দুইটি সংখ্যার গুণফল মূল সংখ্যা হয়, তারা গুণনীয়ক।

উদাহরণ:

2 × 6 = 12 ⇒ 2 এবং 6 গুণনীয়ক

গুণনীয়কের প্রকারভেদ

• সাধারণ গুণনীয়ক
• মৌলিক গুণনীয়ক (Prime Factors)

মৌলিক গুণনীয়ক

যে গুণনীয়কগুলো শুধুমাত্র 1 এবং নিজে দ্বারা বিভাজ্য, তাদের মৌলিক গুণনীয়ক বলা হয়।

উদাহরণ: 12 = 2 × 2 × 3

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• 1 সব সংখ্যার গুণনীয়ক
• প্রতিটি সংখ্যার সর্বোচ্চ গুণনীয়ক = নিজ সংখ্যা
• গুণনীয়ক সংখ্যা গুণিতকের চেয়ে কম হয়

মনে রাখার কৌশল

• Factor = exact divisor
• যেসব সংখ্যা ভাগ করলে remainder 0 → গুণনীয়ক

x, y ও z তিনটি রাশি। ধরি,

এখানে একটি ভাগ প্রক্রিয়া দেখানো হয়েছে। x কে ভাগ করা হয়েছে, তাই x ভাজ্য। আবার, y দ্বারা ভাগ করা হয়েছে, ফলে y ভাজক এবং এ হলো ভাগফল।

যেমন, 10$÷$2 = 5

এখানে,

10 $\to$ ভাজ্য

2 $\to$ ভাজক

5$\to$ভাগফল

এক্ষেত্রে 10,2 এর একটি গুণিতক। আবার 10,5 এরও একটি গুণিতক। অপরদিকে 2 এবং 5 উভয় 10 এর উৎপাদক।

গুণিতক (Multiples)

কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যাকে 1, 2, 3, 4, ... ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে ফলাফল পাওয়া যায়, তাকে সেই সংখ্যার গুণিতক (Multiples) বলা হয়।

সংজ্ঞা

যদি n একটি সংখ্যা হয়, তবে n × 1, n × 2, n × 3, n × 4, ... এগুলো n এর গুণিতক।

উদাহরণ

5 এর গুণিতক:

5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
5 × 4 = 20
5 × 5 = 25

অতএব, 5 এর গুণিতক = 5, 10, 15, 20, 25, ...

গুণিতকের বৈশিষ্ট্য

• গুণিতক সংখ্যা অসীম (infinite)
• প্রতিটি সংখ্যার অসংখ্য গুণিতক থাকে
• গুণিতক সর্বদা সংখ্যাটির চেয়ে সমান বা বড় হয় (শূন্য বাদে)
• 0 সব সংখ্যার গুণিতক (কারণ n × 0 = 0)

গুণনীয়ক ও গুণিতকের পার্থক্য

• গুণনীয়ক = যে সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায়
• গুণিতক = যে সংখ্যা গুণ করে পাওয়া যায়

উদাহরণ:

12 এর ক্ষেত্রে:
গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 12
গুণিতক = 12, 24, 36, 48, ...

গুণিতক নির্ণয়ের কৌশল

যেকোনো সংখ্যা n হলে তার গুণিতক পাওয়া যায়:

n × 1, n × 2, n × 3, ...

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• গুণিতক কখনো শেষ হয় না
• গুণিতক সবসময় সংখ্যাটির গুণফল
• প্রতিটি সংখ্যার অসংখ্য গুণিতক থাকে

মনে রাখার কৌশল

• Multiple = repeated addition / multiplication
• Factors → divide
• Multiples → multiply

প্রদত্ত রাশিগুলোর কয়েকটি সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক থাকলে, তার মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়কটিকে প্রদত্ত রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বলা হয়।

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ককে সংক্ষেপে গ.সা.গু. (H.C.F.) লেখা হয়।

৪৮ ও ৭২ এর গ.সা.গু. নির্ণয় করি-

সাধারণ গুণনীয়কের সাহায্যে

সংখ্যা দুটির সাধারণ গুণনীয়কগুলো লিখি।

৪৮ এর সকল গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৪৮

৭২ এর সকল গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২

সংখ্যা দুটির সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে ২৪ সবচেয়ে বড় বা গরিষ্ঠ।

সুতরাং ৪৮ ও ৭২ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. হলো ২৪।

মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে

সংখ্যা দুটির মৌলিক গুণনীয়কগুলো বের করি।

৪৮ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক: ২$\times$২$\times$২$\times$২$\times$৩

৭২ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক: ২$\times$২$\times$২$\times$৩$\times$৩

সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলোর গুণফল = ২$\times$২$\times$২$\times$৩ = ২৪

সুতরাং ৪৮ ও ৭২ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. হলো ২৪।

ইউক্লিডীয় প্রক্রিয়া (ভাগ পদ্ধতি)

৪৮) ৭২ (১

৪৮
২৪) ৪৮ (২

৪৮

০

∴ ৭২ ও ৪৮ এর গ.সা.গু. শেষ ভাজক ২৪।

জ্ঞাতব্য

• একাধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড়টি তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক।
• একাধিক সংখ্যার গ.সা.গু. এদের সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলোর গুণফল।
• সংখ্যাগুলোর কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক না থাকলে তাদের গ.সা.গু. ১।
• গুণনীয়কের অপর নাম উৎপাদক।

লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (Least Common Multiple)

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট গুণিতককে লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু বলা হয়।

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতককে তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বলা হয়। লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতককে সংক্ষেপে ল.সা.গু. (L.C.M.) লেখা হয়।

সংক্ষিপ্ত রূপ

ল.সা.গু = L.C.M (Least Common Multiple)

২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. নির্ণয় করি-

প্রথম পদ্ধতি: সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণিতক বের করি।

২৪ এর গুণিতক: ২৪, ৪৮, ৭২, ৯৬, ১২০, ১৪৪, ১৬৮, ১৯২, ২১৬, ২৪০, ………

৩৬ এর গুণিতক: ৩৬, ৭২, ১০৮, ১৪৪, ১৮০, ২১৬, ২৫২, ২৮৮, ………

সংখ্যা দুটির সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ৭২ সবচেয়ে ছোট বা লঘিষ্ঠ

সুতরাং ২৪, ৩৬ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু. হলো ৭২।

দ্বিতীয় পদ্ধতি: সংখ্যাগুলোর মৌলিক গুণনীয়ক বের করি।

২৪ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক: ২$\times$২$\times$২$\times$৩

৩৬ এর সকল মৌলিক গুণনীয়ক: ২ $\times$ ২ $\times$ ৩$\times$৩

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মৌলিক উৎপাদকে ২ আছে সর্বাধিক তিনবার, ৩ দুইবার। কাজেই ২ তিনবার, ৩ দুইবার নিয়ে ধারাবাহিক গুণফল বের করলে ল.সা.গু. পাওয়া যায়।

∴ ২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. ২$\times$২$\times$২$\times$৩$\times$৩ = ৭২।

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি:

২ \২৪, ৩৬

২\১২, ১৮

৩\৬, ৯,

২, ৩

∴ ২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. = ২$\times$২$\times$৩$\times$২$\times$৩=৭২।

একইভাবে তিন বা ততোধিক সংখ্যার ল.সা.গু. বের করা যায়।

জ্ঞাতব্য

• একাধিক সংখ্যার সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোটটি তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক।
• সংখ্যাগুলোর কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক না থাকলে তাদের ল.সা.গু. হবে সংখ্যাগুলোর গুণফল।
• কোনো একটি সংখ্যার গুণিতক অনির্দিষ্ট।

উদাহরণ

6 এর গুণিতক: 6, 12, 18, 24, 30...

8 এর গুণিতক: 8, 16, 24, 32...

এখানে 6 ও 8 এর সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতম হলো 24।

অতএব, 6 ও 8 এর ল.সা.গু = 24

ল.সা.গু নির্ণয়ের পদ্ধতি

• গুণিতক লেখার পদ্ধতি
• মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতি
• ভাগ পদ্ধতি

মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ পদ্ধতির উদাহরণ

12 = 2 × 2 × 3

18 = 2 × 3 × 3

এখানে সকল মৌলিক গুণনীয়কের সর্বোচ্চ ঘাত নিয়ে পাই:

ল.সা.গু = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

বৈশিষ্ট্য

• ল.সা.গু সবসময় প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সমান বা বড় হয়।
• ল.সা.গু একটি সাধারণ গুণিতক।
• দুটি সহমৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল।
• ল.সা.গু দৈনন্দিন জীবনের বিভিন্ন গণনায় ব্যবহৃত হয়।

মনে রাখার উপায়

সাধারণ গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যাই লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু)।

গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর মধ্যে সম্পর্ক

দুইটি সংখ্যার গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.) এর মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক রয়েছে।

সূত্র

গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর মধ্যে সম্পর্ক

দুইটি সংখ্যার গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.) এর মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক রয়েছে।

সূত্র

গ.সা.গু. $\times$ল.সা.গু = সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল

সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. = সংখ্যাগুলোর অনুপাতের $\times$গুণফল গ.সা.গু.

সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু. = ল.সা.গু./অনুপাত রাশিদ্বয়ের গুণফল

যেমন- দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩: ৫ এবং গ.সা.গু. ৭ হলে-

সংখ্যাদুটি যথাক্রমে (৩$\times$৭) ও (৫ $\times$ ৭) বা ২১ ও ৩৫।

সংখ্যা দুটির ল.সা.গু, ৩৫$\times$ ৭ = ১০৫।

অর্থাৎ

$\mathrm{HCF}\times \mathrm{LCM}$ = প্রথম সংখ্যা $\times$দ্বিতীয় সংখ্যা

উদাহরণ

12 ও 18 এর ক্ষেত্রে,

12 এর গ.সা.গু = 6

12 ও 18 এর ল.সা.গু = 36

এখন,

6 × 36 = 216

এবং,

12 × 18 = 216

অতএব,

গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল

বৈশিষ্ট্য

• এই সম্পর্ক শুধুমাত্র দুইটি সংখ্যার ক্ষেত্রে সরাসরি প্রযোজ্য।
• গ.সা.গু ছোট সংখ্যা এবং ল.সা.গু বড় সংখ্যা হয়।
• দুটি সহমৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু = 1 হয়।
• সহমৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল।

মনে রাখার উপায়

“গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল”

এটি গ.সা.গু ও ল.সা.গু অধ্যায়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্র।

অর্থাৎ

$HCM\times LCM$= প্রথম সংখ্যা $\times$দ্বিতীয় সংখ্যা

উদাহরণ

12 ও 18 এর ক্ষেত্রে,

12 এর গ.সা.গু = 6

12 ও 18 এর ল.সা.গু = 36

এখন,

6 × 36 = 216

এবং,

12 × 18 = 216

অতএব,

গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল

বৈশিষ্ট্য

• এই সম্পর্ক শুধুমাত্র দুইটি সংখ্যার ক্ষেত্রে সরাসরি প্রযোজ্য।
• গ.সা.গু ছোট সংখ্যা এবং ল.সা.গু বড় সংখ্যা হয়।
• দুটি সহমৌলিক সংখ্যার গ.সা.গু = 1 হয়।
• সহমৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল।

মনে রাখার উপায়

“গ.সা.গু × ল.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল”

এটি গ.সা.গু ও ল.সা.গু অধ্যায়ের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্র।

ভগ্নাংশের গ.সা.গু. ও ল.সা.গু.

ভগ্নাংশের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) এবং লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.) নির্ণয়ের জন্য লব ও হরের গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. ব্যবহার করা হয়।

ভগ্নাংশের গ.সা.গু. নির্ণয়ের সূত্র

লবগুলোর গ.সা.গু./হরগুলোর ল.সা.গু.

ভগ্নাংশের ল.সা.গু. নির্ণয়ের সূত্র

লবগুলোর ল.সা.গু./হরগুলোর গ.সা.গু.

উদাহরণ

নির্ণয় কর:

$\frac{2}{3},\frac{4}{9}$

গ.সা.গু.

2 ও 4 এর গ.সা.গু. = 2

3 ও 9 এর ল.সা.গু. = 9

অতএব,

$\frac{2}{9}$

ল.সা.গু.

2 ও 4 এর ল.সা.গু. = 4

3 ও 9 এর গ.সা.গু. = 3

অতএব,

$\frac{4}{3}$

বৈশিষ্ট্য

• ভগ্নাংশের গ.সা.গু. নির্ণয়ে লবের গ.সা.গু. এবং হরের ল.সা.গু. নেওয়া হয়।
• ভগ্নাংশের ল.সা.গু. নির্ণয়ে লবের ল.সা.গু. এবং হরের গ.সা.গু. নেওয়া হয়।
• সরল ভগ্নাংশে রূপান্তর করলে হিসাব সহজ হয়।

মনে রাখার উপায়

গ.সা.গু. → “লবের গ.সা.গু. / হরের ল.সা.গু.”

ল.সা.গু. → “লবের ল.সা.গু. / হরের গ.সা.গু.”