সাধারণ সূত্রাবলী (General formulas)

বীজগণিত (Algebra) - সাধারণ গণিত - | NCTB BOOK

বীজগণিতীয় সাধারণ সূত্রাবলী (General Formulas)

বীজগণিতে বিভিন্ন রাশি সরলীকরণ, উৎপাদক বিশ্লেষণ এবং সমীকরণ সমাধানের জন্য কিছু গুরুত্বপূর্ণ সাধারণ সূত্র ব্যবহার করা হয়।

১. দুই রাশির যোগের বর্গ

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

২. দুই রাশির বিয়োগের বর্গ

${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

৩. বর্গের অন্তর

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

৪. দুই রাশির যোগ ও বিয়োগের গুণফল

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

৫. তিন রাশির বর্গের সূত্র

${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 bc + 2 ca$

৬. দুই রাশির যোগের ঘন

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

৭. দুই রাশির বিয়োগের ঘন

${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

সূত্রগুলো রাশি সরলীকরণে ব্যবহৃত হয়
উৎপাদক বিশ্লেষণে এই সূত্রগুলো গুরুত্বপূর্ণ
বর্গ ও ঘনের সূত্র সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয়
চিহ্নের (+, −) দিকে সতর্ক থাকতে হয়

মনে রাখার উপায়

বর্গের সূত্রে “মাঝখানে 2ab” এবং ঘনের সূত্রে “3a²b ও 3ab²” থাকে — এই বিষয়টি মনে রাখলে সূত্র সহজে মনে থাকে।

Content added By

Najjar Hossain Raju

বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগাণিতিক প্রতীক দ্বারা প্রকাশিত যেকোনো সাধারণ নিয়ম বা সিদ্ধান্তকে বীজগাণিতিক সূত্র বলা হয় । সপ্তম ও অষ্টম শ্রেণিতে বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এতদসংক্রান্ত অনুসিদ্ধান্তগুলো সম্বন্ধে আলোচনা করা হয়েছে। এ অধ্যায়ে ঐগুলো পুনরুল্লেখ করে কতিপয় প্রয়োগ দেখানো হলো।

সূত্র ১. ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

সূত্র ২. ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

মন্তব্য: সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে দেখা যায় যে, $a^{2} - b^{2}$ এর সাথে 2ab অথবা – 2ab যোগ করলে একটি পূর্ণবর্গ, অর্থাৎ ${(a + b)}^{2}$ অথবা ${(a - b)}^{2}$ পাওয়া যায়। সূত্র ১ এ b এর স্থলে –b বসালে সূত্র ২ পাওয়া যায় : ${a + (- b)}^{2} = a^{2} + 2 a (- b) + {(- b)}^{2}$ অর্থাৎ ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ।

অনুসিদ্ধান্ত ১. $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b$

অনুসিদ্ধান্ত ২. $a^{2} + b^{2} = {(a - b)}^{2} + 2 a b$

অনুসিদ্ধান্ত ৩. ${(a + b)}^{2} = {(a - b)}^{2} + 4 a b$

প্রমাণ : ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} + 4 a b = {(a - b)}^{2} + 4 a b$

অনুসিদ্ধান্ত ৪. ${(a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2} - 4 a b$

প্রমাণ : ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} - 4 a b = {(a + b)}^{2} - 4 a b$

অনুসিদ্ধান্ত ৫. $a ² + b ² = \frac{{(a + b)}^{2} + {(a - b)}^{2}}{2}$

প্রমাণ : সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে,

অনুসিদ্ধান্ত ৬. $a b = {(\frac{a + b}{2})}^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2}$

প্রমাণ : সূত্র ১ ও সূত্র ২ হতে,

মন্তব্য : অনুসিদ্ধান্ত ৬ প্রয়োগ করে যেকোনো দুইটি রাশির গুণফলকে ঐ দুইটি রাশির সমষ্টির অর্ধেকের বর্গ হতে ঐ দুইটি রাশির অন্তরের অর্ধেকের বর্গের অন্তররূপে প্রকাশ করা যায়।

সূত্র ৩. $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

অর্থাৎ, দুইটি রাশির বর্গের বিয়োগফল = রাশি দুইটির যোগফল × রাশি দুইটির বিয়োগফল

সূত্র ৪. $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$

অর্থাৎ, $(x + a) (x + b) = x^{2} +$ (a ও b এর বীজগাণিতিক যোগফল) x + (a ও b এর গুণফল)

বর্গসূত্রের সম্প্রসারণ: a` + b + c রাশিটিতে তিনটি পদ আছে। একে (a + b) এবং c এ দুইটি পদের সমষ্টিরূপে বিবেচনা করা যায়। অতএব, সূত্র ১ প্রয়োগ করে রাশিটির বর্গ করে পাই,

$(a + b + c) ² = (a + b) + c ² = (a + b) ² + 2 (a + b) c + c ²$

$= a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 a c + 2 b c + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$

সূত্র ৫. ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c$

অনুসিদ্ধান্ত ৭. $a^{2} + b^{2} + c^{2} = {(a + b + c)}^{2} - 2 (a b + b c + a c)$

অনুসিদ্ধান্ত ৮. $2 (a b + b c + a c) = {(a + b + c)}^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

দ্রষ্টব্য : সূত্র ৫ প্রয়োগ করে পাই,

ক) ${(a + b - c)}^{2} = {{a + b + (- c)}}^{2}$

$= a^{2} + b^{2} + {(- c)}^{2} + 2 a b + 2 b (- c) + 2 a (- c)$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b - 2 b c - 2 a c$

খ) $(a - b + c)^{2} = {a + (- b) + c}^{2}$

$= a^{2} + {(- b)}^{2} + c^{2} + 2 a (- b) + 2 (- b) c + 2 a c$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 b c + 2 a c$

গ) ${(a - b - c)}^{2} = {a + (- b) + (- c)}^{2}$

$= a^{2} + {(- b)}^{2} + {(- c)}^{2} + 2 a (- b) + 2 (- b) (- c) + 2 a (- c)$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b + 2 b c - 2 a c$

উদাহরণ ১. (4x + 5y) এর বর্গ কত?

সমাধান : $(4 x + 5 y)^{2} = (4 x)^{2} + 2 \times (4 x) \times (5 y) + (5 y)^{2} = 16 x^{2} + 40 x y + 25 y^{2}$

উদাহরণ ২. (3a - 7b) এর বর্গ কত?

সমাধান : $(3 a - 7 b)^{2} = (3 a)^{2} - 2 \times (3 a) \times (7 b) + (7 b)^{2} = 9 a^{2} - 42 a b + 49 b^{2}$

উদাহরণ ৩. বর্গের সূত্র প্রয়োগ করে 996 এর বর্গ নির্ণয় কর।

সমাধান : $(996)^{2} = (1000 - 4)^{2} = (1000)^{2} - 2 \times 1000 \times 4 + 4^{2}$

$= 1000000 - 8000 + 16 = 1000016 - 8000 = 992016$

উদাহরণ ৪. a + b + c + d এর বর্গ কত?

সমাধান : $(a + b + c + d)^{2} = {(a + b) + (c + d)}^{2}$

$= (a + b)^{2} + 2 (a + b) (c + d) + (c + d)^{2}$

$= a^{2} + 2 a b + b^{2} + 2 (a c + a d + b c + b d) + c^{2} + 2 c d + d^{2}$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 a d + 2 b c + 2 b d + 2 c d$

উদাহরণ ৫. সরল কর :

$(5 x + 7 y + 3 z)^{2} + 2 (7 x - 7 y - 3 z) (5 x + 7 y + 3 z) + (7 x - 7 y - 3 z)^{2}$

সমাধান : , 5x + 7y + 3z = a এবং 7x - 7y - 3z = b

$∴$ প্রদত্ত রাশি $= a^{2} + 2 . b . a + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$= {(a + b)}^{2}$

$= {(5 x + 7 y + 3 z) + (7 x - 7 y - 3 z)}^{2}$

$= (12 x)^{2} = 144 x^{2}$

উদাহরণ ৬. x - y = 2 এবং xy = 24 হলে, x + y এর মান কত?

সমাধান : $(x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4 x y = (2)^{2} + 4 \times 24 = 4 + 96 = 100$

$∴ x + y = \pm \sqrt{100} = \pm 10$

উদাহরণ ৭. যদি $a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4} = 3$ এবং $a^{2} + a b + b^{2} = 3$ হয়, তবে $a^{2} + b^{2}$ এর মান কত?

সমাধান : $a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$

$= (a^{2})^{2} + 2 a^{2} b^{2} + (b^{2})^{2} - a^{2} b^{2}$

$= (a^{2} + b^{2})^{2} - (a b)^{2}$

$= (a^{2} + b^{2} + a b) (a^{2} + b^{2} - a b)$

$= (a^{2} + a b + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2})$

$∴$ $3 = 3 (a^{2} - a b + b^{2})$ [মান বসিয়ে]

বা, $a^{2} - a b + b^{2} = \frac{3}{3} = 1$

এখন, $a^{2} + a b + b^{2} = 3$ এবং $a^{2} - a b + b^{2} = 1$

যোগ করে পাই, $2 (a^{2} + b^{2}) = 4$

বা, $a^{2} + b^{2} = \frac{4}{2} = 2$

$∴$ $a^{2} + b^{2} = 2$

উদাহরণ ৮. প্রমাণ কর যে, $(a + b)^{4} - (a - b)^{4} = 8 a b (a^{2} + b^{2})$

সমাধান : $(a + b)^{4} - (a - b)^{4}$

$= {(a + b)^{2}}^{2} - {(a - b)^{2}}^{2}$

$= {(a + b)^{2} + (a - b)^{2}} {(a + b)^{2} - (a - b)^{2}}$

$= 2 (a^{2} + b^{2}) \times 4 a b$ [অনুসিদ্ধান্ত ৫ এবং অনুসিদ্ধান্ত ৬ ব্যবহার করে]

$= 8 a b (a^{2} + b^{2})$

$∴ (a + b)^{4} - (a - b)^{4} = 8 a b (a^{2} + b^{2})$

উদাহরণ ৯. a + b + c = 15 এবং $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 83$ হলে, $a b + b c + a c$ এর মান কত?

সমাধান : প্রথম পদ্ধতি :

$2 (a b + b c + a c) = (a + b + c)^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = (15)^{2} - 83 = 225 - 83 = 142$

$∴ a b + b c + a c = \frac{142}{2} = 71$

উদাহরণ ১০. a + b + c = 2 এবং ab + bc + ac = 1 হলে, $(a + b)^{2} + (b + c)^{2} + (c + a)^{2}$ এর মান কত?

সমাধান : $(a + b)^{2} + (b + c)^{2} + (c + a)^{2}$

$= a^{2} + 2 a b + b^{2} + b^{2} + 2 b c + c^{2} + c^{2} + 2 c a + a^{2}$

$= (a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a) + (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$= (a + b + c)^{2} + (a + b + c)^{2} - 2 (a b + b c + c a)$

$= (2)^{2} + (2)^{2} - 2 \times 1 = 4 + 4 - 2 = 8 - 2 = 6$

উদাহরণ ১১. (2x + 3y)(4x - 5y) কে দুইটি বর্গের বিয়োগফলরূপে প্রকাশ কর।

সমাধান : ধরি, 2x + 3y = a এবং 4x - 5y = b

$∴$ প্রদত্ত রাশি $a b = {(\frac{a + b}{2})}^{2} - {(\frac{a - b}{2})}^{2}$

$= {(\frac{2 x_3 y + 4 x - 5 y}{2})}^{2} - {(\frac{2 x + 3 y - 4 y + 5 y}{2})}^{2}$ [a ও b এর মান বসিয়ে]

$= (3 x - y)^{2} - (4 y - x)^{2}$

$∴ (2 x + 3 y) (4 x - 5 y) = (3 x - y)^{2} - (4 y - x)^{2}$

Content added By

Najjar Hossain Raju

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগণিতে ঘন (Cube) সম্পর্কিত বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ব্যবহার করে জটিল রাশিকে সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও সরলীকরণ করা হয়।

ঘনের মৌলিক ধারণা

কোনো সংখ্যাকে বা রাশিকে তিনবার গুণ করলে তাকে সেই সংখ্যার ঘন বলা হয়।

উদাহরণ:

$a \times a \times a = a^{3}$

ঘন সংবলিত গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

১. দুই রাশির যোগের ঘন

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

২. দুই রাশির বিয়োগের ঘন

${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

৩. দুই ঘনের যোগ

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

৪. দুই ঘনের বিয়োগ

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ঘন মানে কোনো রাশির তৃতীয় ঘাত
ঘন সূত্র উৎপাদক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়
যোগ ও বিয়োগের ঘনের সূত্র আলাদা
দুই ঘনের যোগ ও বিয়োগের নির্দিষ্ট সূত্র রয়েছে

মনে রাখার উপায়

“দুই ঘনের যোগে মাঝখানে ঋণ, আর বিয়োগে মাঝখানে ধন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সূত্র সহজে মনে থাকে।

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

সূত্র ৬. $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

প্রমাণ : $(a + b)^{3} = (a + b) (a + b)^{2}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + b (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৯. $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

সূত্র ৭. $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

প্রমাণ : $(a - b)^{3} = (a - b) (a - b)^{2}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} - 2 a b + b^{2}) - b (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

অনুসিদ্ধান্ত ১০. $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

সূত্র ৮. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

প্রমাণ : $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

$= (a + b) {(a + b)^{2} - 3 a b}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - 3 a b)$

$= (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

সূত্র ৯. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

প্রমাণ : $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

$= (a - b) {(a - b)^{2} + 3 a b}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + 3 a b)$

$= (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

উদাহরণ ১২. 2x + 6y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2 x + 3 y)^{3}$

$= (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} . 3 y + 3.2 x (3 y)^{2} + (3 y)^{3}$

$= 8 x^{3} + 3.4 x^{2} . 3 y + 3.2 x . 9 y^{2} + 27 y^{3}$

$= 8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$

উদাহরণ ১৩. 2x - y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2 x - y)^{3}$

$= (2 x)^{3} - 3 (2 x)^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= 8 x^{3} - 3.4 x^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$

উদাহরণ ১৪. x = 37 হলে, $8 x^{3} + 72 x^{2} + 216 x + 216$ এর মান কত?

সমাধান: $8 x^{3} + 72 x^{2} + 216 x + 216$

$= (2 x)^{3} + 3 . (2 x)^{2} . 6 + 3.2 x . (6)^{2} + (6)^{3}$

$= (2 x + 6)^{3} = (2 \times 37 + 6)^{3}$ [মান বসিয়ে]

$= (74 + 6)^{3} = (80)^{3} = 512000$

উদাহরণ ১৫. যদি 7x - y = 8 এবং xy = 5 হয়, তবে $x^{3} - y^{3} + 8 (x + y)^{2}$ এর মান কত?

সমাধান: $x^{3} - y^{3} + 8 (x + y)^{2}$

$= (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) + 8 {(x - y)^{2} + 4 x y}$

$= (8)^{3} + 3 \times 5 \times 8 + 8 (8^{2} + 4 \times 5)$ [মান বসিয়ে]

$= 8^{3} + 15 \times 8 + 8 (8^{2} + 4 \times 5)$

$= 8^{3} + 15 \times 8 + 8 \times 84$

$= 8 (8^{2} + 15 + 84) = 8 (64 + 15 + 84)$

$= 8 \times 163 = 1304$

উদাহরণ ১৬. যদি $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 18 \sqrt{3}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

উদাহরণ ১৭. x + y = 5, xy = 6 হলে এবং x > y হলে

ক) $2 (x^{2} + y^{2})$ এর মান নির্ণয় কর।

খ) $x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2})$ এর মান নির্ণয় কর।

গ) $x^{5} + y^{5}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) আমরা জানি,

$= 2 (5^{2} - 2.6) = 2 \times 13 = 26$

$∴ 2 (x^{2} + y^{2}) = 26$

খ) দেওয়া আছে, $x + y = 5$ এবং $x y = 6, x > y$

$∴ x - y = \sqrt{{(x + y)}^{2} - 4 x y}$ (প্রদত্ত শর্ত মোতাবেক ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

$= \sqrt{5^{2} - 4 \times 6} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1$

$x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2})$

$= (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) - \frac{3}{2} . 2 (x^{2} + y^{2})$

$= 1^{3} + 3.6.1 - \frac{3}{2} . 26$

$= 1 + 18 - 39$

$= - 20$

$∴ x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2}) = - 20$

গ) x + y = 5 এবং x - y = 1

যোগ করে, 2x = 6 $∴ x = \frac{6}{2} = 3$

বিয়োগ করে, 2y = 4 $∴ y = \frac{4}{2} = 2$

$∴ x^{5} + y^{5} = 3^{5} + 2^{5} = 243 + 32 = 275$

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতীয় রাশিমালা (Algebraic expressions) বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া (Basic Operations of Algebra) উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization) বীজগণিতীয় রাশিমালার ল.সা.গু ও গ.সা.গু (L.C.M & H.C.F of algebraic expressions ) সূচক ও লগারিদম (Exponents & Logarithms)

সাধারণ সূত্রাবলী (General formulas)

বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

সাধারণ সূত্রাবলী (General formulas)

বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

All Notifications

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!