বহুপদী (Polynomials)

বীজগণিত (Algebra) - গণিত -

MCQ: 68 CQ: 10

যে বীজগাণিতিক রাশিতে চলকের ঘাত শূন্য বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় এবং বিভিন্ন পদ যোগ বা বিয়োগ আকারে থাকে তাকে বহুপদী (Polynomial) বলা হয়।

বহুপদীর সাধারণ রূপ

$a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n}$

এখানে,

a₀, a₁, ... , aₙ ধ্রুবক
x হলো চলক
n হলো বহুপদীর ঘাত এবং n ≥ 0

বহুপদীর উদাহরণ

$3 x^{2} + 5 x - 7$

এটি একটি বহুপদী।

বহুপদীর প্রকারভেদ

১. পদের সংখ্যা অনুযায়ী

একপদী (Monomial): একটি পদ থাকে

$5 x^{2}$

দ্বিপদী (Binomial): দুটি পদ থাকে

$x^{2} + 3 x$

ত্রিপদী (Trinomial): তিনটি পদ থাকে

$x^{2} + 2 x + 1$

২. ঘাত অনুযায়ী

রৈখিক বহুপদী (Linear Polynomial): ঘাত ১

$2 x + 5$

দ্বিঘাত বহুপদী (Quadratic Polynomial): ঘাত ২

$x^{2} + 4 x + 3$

ত্রিঘাত বহুপদী (Cubic Polynomial): ঘাত ৩

$x^{3} + 2 x^{2} - x$

বহুপদীর ঘাত

বহুপদীতে চলকের সর্বোচ্চ ঘাতকে বহুপদীর ঘাত বলা হয়।

যেমন,

$4 x^{5} + 3 x^{2} - 7$

এখানে বহুপদীর ঘাত = 5

বহুপদীর সহগ

চলকের সাথে যুক্ত সংখ্যাকে সহগ বলা হয়।

যেমন,

$7 x^{3}$

এখানে x³ এর সহগ = 7

বহুপদীর মান নির্ণয়

চলকের স্থানে নির্দিষ্ট মান বসিয়ে বহুপদীর মান নির্ণয় করা হয়।

যেমন,

$P (x) = x^{2} + 2 x + 1$

যদি x = 2 হয়,

$P (2) = 2^{2} + 2 \times 2 + 1 = 9$

বহুপদীর শূন্যক (Zero of Polynomial)

যে মানের জন্য বহুপদীর মান শূন্য হয় তাকে বহুপদীর শূন্যক বলা হয়।

যদি,

$P (x) = x^{2} - 4$

তবে,

$x^{2} - 4 = 0$

অর্থাৎ,

$x = 2, - 2$

এখানে 2 এবং -2 হলো বহুপদীর শূন্যক।

বহুপদীর ব্যবহার

সমীকরণ গঠন ও সমাধান
গ্রাফ অঙ্কন
পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশল
ব্যবসা ও অর্থনীতি
কম্পিউটার প্রোগ্রামিং

মনে রাখার উপায়

চলকের ঘাত যদি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় এবং রাশিটি যোগ-বিয়োগ আকারে থাকে, তবে সেটি বহুপদী।

Content added By

Najjar Hossain Raju

মূল ও সহগ সম্পর্ক

MCQ: 6 CQ: 4

Practice

মূল ও সহগ সম্পর্ক (Relation Between Roots and Coefficients)

বহুপদী সমীকরণের মূল এবং সহগের মধ্যে নির্দিষ্ট সম্পর্ককে মূল ও সহগ সম্পর্ক বলা হয়। এই সম্পর্কের মাধ্যমে সমীকরণের মূল নির্ণয়, নতুন সমীকরণ গঠন এবং বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা সমাধান করা যায়।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণ:

$a x^{2} + b x + c = 0$

যেখানে a ≠ 0 এবং সমীকরণের মূলদ্বয় α ও β।

মূলদ্বয়ের যোগফল

$α + β = \frac{- b}{a}$

মূলদ্বয়ের গুণফল

$α β = \frac{c}{a}$

মূল দ্বারা সমীকরণ গঠন

যদি মূলদ্বয় α এবং β হয়, তবে সমীকরণ হবে:

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

উদাহরণ

সমীকরণ:

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$

এখানে,

$α + β = \frac{5}{2}$

এবং

$α β = \frac{3}{2}$

ত্রিঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

সাধারণ ত্রিঘাত সমীকরণ:

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$

সমীকরণের মূলত্রয় α, β ও γ হলে,

মূলত্রয়ের যোগফল

$α + β + γ = \frac{- b}{a}$

দুইটি মূলের গুণফলের সমষ্টি

$αβ + βγ + γα = \frac{c}{a}$

মূলত্রয়ের গুণফল

$αβγ = \frac{- d}{a}$

n ঘাত সমীকরণের মূল ও সহগ সম্পর্ক

যদি,

$a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + ... + a_{n} = 0$

এবং মূলগুলো α₁, α₂, ..., αₙ হয়, তবে

সমস্ত মূলের যোগফল

$\sum α_{1} = \frac{- a_{1}}{a_{0}}$

দুইটি মূলের গুণফলের সমষ্টি

$\sum α_{1} α_{2} = \frac{a_{2}}{a_{0}}$

সব মূলের গুণফল

$α_{1} α_{2} ... α_{n} = {(- 1)}^{n} \times \frac{a_{n}}{a_{0}}$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

মূলের যোগফল সবসময় x এর সহগের বিপরীত চিহ্নযুক্ত হয়
মূলের গুণফল ধ্রুবক পদের সাথে সম্পর্কিত
মূল জানা থাকলে সহজেই সমীকরণ গঠন করা যায়
সহগ জানা থাকলে মূলের বিভিন্ন সম্পর্ক নির্ণয় করা যায়

মনে রাখার উপায়

দ্বিঘাত সমীকরণে:

$α + β = \frac{- b}{a}$

এবং

$α β = \frac{c}{a}$

— এই দুটি সূত্র সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ।

Content added By

Najjar Hossain Raju

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$f (x) = x^{3} + k x^{2} - 6 x - 9; k$ এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?

-1

পিএসসি ও অন্যান্য নিয়োগ পরীক্ষা দুর্নীতি দমন কমিশন - সহকারী পরিচালক গণিত মূল ও সহগ সম্পর্ক

2. একটি বৃত্তের পরিধি ৫০% বাড়ানো হলে, ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

১০০%

১১৫%

১২৫%

২২৫%

পিএসসি ও অন্যান্য নিয়োগ পরীক্ষা মাদকদ্রব্য নিয়ন্ত্রণ অধিদপ্তর — উপ-পরিদর্শক গণিত মূল ও সহগ সম্পর্ক

3. How many real roots does the polynomial $2 x^{3} + 8 x - 7 h a v e ?$

None

One

Two

Three

রূপালী ব্যাংক পিএলসি রূপালী ব্যাংক — অফিসার গণিত মূল ও সহগ সম্পর্ক

4. $6 x^{3} - 11 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ সমীকরণের মূল তিনটি $α, β, δ$ হলে, $α β + β δ + δ α$ এর মান হবে_

\frac{11}{6}

-1

পিএসসি ও অন্যান্য নিয়োগ পরীক্ষা বাংলাদেশ জরিপ অধিদপ্তর — সহকারী সুপারিনটেনডেন্ট অব সার্ভে গণিত মূল ও সহগ সম্পর্ক

5. $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ হলে, f(x)= কত?

বেসরকারি শিক্ষক নিবন্ধন ও প্রত্যয়ন কর্তৃপক্ষ (এনটিআরসিএ) ১১ তম শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা (স্কুল সমপর্যায়-২) (12-12-2014) গণিত মূল ও সহগ সম্পর্ক

প্রশ্ন তৈরি করুন View All (6)

ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য (Remainder & Factor Theorem)

ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য (Remainder & Factor Theorem)

বহুপদীকে কোনো রাশি দ্বারা ভাগ করলে যে অবশিষ্ট অংশ থাকে তাকে ভাগশেষ বলা হয়। ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্যের মাধ্যমে সহজেই কোনো বহুপদীর ভাগশেষ এবং উৎপাদক নির্ণয় করা যায়।

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem)

যদি কোনো বহুপদী

$f (x)$

কে

$x - a$

দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে

$f (a)$

অর্থাৎ,

$ভাগশেষ = f (a)$

উদাহরণ

যদি,

$f (x) = x^{2} + 3 x + 2$

এবং বহুপদীটিকে

$x - 1$

দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে:

$f (1) = 1^{2} + 3 (1) + 2 = 6$

অতএব ভাগশেষ = 6

উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem)

যদি কোনো বহুপদী

$f (x)$

এর জন্য

$f (a) = 0$

হয়, তবে

$x - a$

হবে বহুপদীটির একটি উৎপাদক।

অর্থাৎ,

$f (a) = 0 \Rightarrow (x - a) একটি উৎপাদক$

উদাহরণ

যদি,

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

তবে,

$f (2) = 2^{2} - 5 (2) + 6 = 0$

অতএব,

$x - 2$

হবে বহুপদীটির একটি উৎপাদক।

ভাগ অ্যালগরিদম (Division Algorithm)

যদি কোনো বহুপদী

$f (x)$

কে

$g (x)$

দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে

$f (x) = g (x) q (x) + r (x)$

যেখানে,

q(x) = ভাগফল
r(x) = ভাগশেষ
ভাগশেষের ঘাত ভাজকের ঘাত অপেক্ষা ছোট হবে

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

ভাগশেষ নির্ণয়ে x এর স্থানে a বসানো হয়
ভাগশেষ শূন্য হলে ভাজকটি উৎপাদক হয়
উৎপাদক উপপাদ্য ভাগশেষ উপপাদ্যের বিশেষ রূপ
বহুপদী বিশ্লেষণে এই উপপাদ্য খুব গুরুত্বপূর্ণ

মনে রাখার উপায়

ভাগশেষ = f(a) এবং f(a) = 0 হলে (x − a) হবে উৎপাদক।

Content added By

Najjar Hossain Raju

সহকারী জজ নিয়োগ পরীক্ষা ১৮ তম বিজেএস (সহকারী জজ) প্রাথমিক পরীক্ষা গণিত ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য (Remainder & Factor Theorem)

5.
যদি $5 x^{3} - 2 x^{2} + x + k = 0$ এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে k এর মান কত?

-120

-60

বিসিএস প্রিলিমিনারি ও লিখিত পরীক্ষা ৪৭ তম বিসিএস প্রিলিমিনারি টেস্ট গণিত ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য (Remainder & Factor Theorem)

প্রশ্ন তৈরি করুন View All (62)

পরিসংখ্যান (Statistics) সম্ভাব্যতা (Probability) বীজগণিতীয় রাশিমালা (Algebraic expressions) বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া (Basic Operations of Algebra) সাধারণ সূত্রাবলী (General formulas)

বহুপদী (Polynomials)

মূল ও সহগ সম্পর্ক

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$f (x) = x^{3} + k x^{2} - 6 x - 9; k$ এর মান কত হলে f(3) = 0 হবে?

2. একটি বৃত্তের পরিধি ৫০% বাড়ানো হলে, ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

3. How many real roots does the polynomial $2 x^{3} + 8 x - 7 h a v e ?$

4. $6 x^{3} - 11 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ সমীকরণের মূল তিনটি $α, β, δ$ হলে, $α β + β δ + δ α$ এর মান হবে_

5. $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ হলে, f(x)= কত?

ভাগশেষ ও উৎপাদক উপপাদ্য (Remainder & Factor Theorem)

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

1.
$x^{4} - 2 x + 1$ কে x - 3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

2.
$x^{4} - 2 x + 1$ কে x-3 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

3.
X²-3x-2 কে x+1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

4.
a³- 8a -8 কে a + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

5.
যদি $5 x^{3} - 2 x^{2} + x + k = 0$ এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তাহলে k এর মান কত?

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

বহুপদী (Polynomials)

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন

All Notifications

Promotion

Hi, আমি SATT AI!