সেট (Set)

বাস্তব বা চিন্তাজগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে। ইংরেজি বর্ণমালার প্রথম পাঁচটি বর্ণ, এশিয়া মহাদেশের দেশসমূহ, স্বাভাবিক সংখ্যা ইত্যাদির সেট সু-সংজ্ঞায়িত সেটের উদাহরণ। কোন বস্তু বিবেচনাধীন সেটের অন্তর্ভুক্ত আর কোনটি নয় তা সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারিত হতে হবে। সেটের বস্তুর কোনো পুনরাবৃত্তি ও ক্রম নেই।

সেটের প্রত্যেক বস্তুকে সেটের উপাদান (element) বলা হয় । সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর A, B, C,..., X, Y, Z দ্বারা এবং উপাদানকে ছোট হাতের অক্ষর a, b, c, x, y, z দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সেটের উপাদানগুলোকে{ } এই প্রতীকের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করে সেট হিসেবে ব্যবহার করা হয় । যেমন: a,b,c-এর সেট {a,b,c}; তিস্তা, মেঘনা, যমুনা ও ব্রহ্মপুত্র নদ-নদীর সেট {তিস্তা, মেঘনা, যমুনা, ব্রহ্মপুত্র}, প্রথম দুইটি জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট {2, 4}; 6 এর গুণনীয়কসমূহের সেট {1, 2, 3, 6} ইত্যাদি । মনে করি, সেট A এর একটি উপাদান x । একে গাণিতিকভাবে x ∈ A প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । x ∈ A কে পড়তে হয়, x, A সেটের উপাদান ( x belongs to A)। যেমন, B = {m, n} হলে, m ∈ B এবং n ∈ B.

উদাহরণ ১। প্রথম পাঁচটি বিজোড় সংখ্যার সেট A হলে, A = {1,3,5,7,9}

সেট (Set)

সুস্পষ্টভাবে নির্ধারিত বস্তু বা সংখ্যার সমষ্টিকে সেট বলা হয়। বীজগণিত ও গণিতের বিভিন্ন শাখায় সেট একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা।

সেট প্রকাশের পদ্ধতি

সাধারণত সেটকে বড় হাতের ইংরেজি অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং উপাদানগুলো দ্বিতীয় বন্ধনীর মধ্যে লেখা হয়।

উদাহরণ:

$A=\{1,2,3,4\}$

সেটের উপাদান

সেটের অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি বস্তুকে সেটের উপাদান বলা হয়।

যদি 2, A সেটের একটি উপাদান হয় তবে লিখি:

$2\in A$

সেটের প্রকারভেদ

১. সসীম সেট (Finite Set)

যে সেটের উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট, তাকে সসীম সেট বলে।

উদাহরণ:

$\{2,4,6\}$

২. অসীম সেট (Infinite Set)

যে সেটের উপাদান সংখ্যা অসীম, তাকে অসীম সেট বলে।

উদাহরণ:

$\{1,2,3,...\}$

৩. শূন্য সেট (Null Set)

যে সেটে কোনো উপাদান থাকে না, তাকে শূন্য সেট বলে।

$\left\{\right\}$

৪. সমান সেট (Equal Set)

দুইটি সেটের সব উপাদান একই হলে তাদের সমান সেট বলা হয়।

সাবসেট (Subset)

একটি সেটের সব উপাদান যদি অন্য একটি সেটে থাকে, তবে প্রথম সেটটি দ্বিতীয় সেটের উপসেট।

উদাহরণ:

$A=\{1,2\},B=\{1,2,3\}$

তাহলে,

$A\subset B$

সেটের মৌলিক ক্রিয়া

১. ইউনিয়ন (Union)

দুই সেটের সব উপাদান নিয়ে নতুন সেট গঠন করলে তাকে ইউনিয়ন বলে।

$A\cup B$

২. ছেদ (Intersection)

দুই সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ বলে।

$A\cap B$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• সেট সুস্পষ্ট হতে হবে
• উপাদান একাধিকবার লেখা হয় না
• উপাদানের ক্রম পরিবর্তন হলেও সেট পরিবর্তিত হয় না
• শূন্য সেট সব সেটের উপসেট

মনে রাখার উপায়

সেট হলো “সুস্পষ্ট উপাদানের সমষ্টি” এবং ইউনিয়ন মানে একত্র, ছেদ মানে সাধারণ অংশ।

প্রধানত সেট দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়। যথা: (১) তালিকা পদ্ধতি (Tabular Method) (2) সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method)

(১) তালিকা পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করে দ্বিতীয় বন্ধনী { } এর মধ্যে আবদ্ধ করা হয় এবং একাধিক উপাদান থাকলে ‘কমা’ ব্যবহার করে উপাদানগুলোকে পৃথক করা হয় । যেমন : A = {1, 2, 3} B = {x, y, z}, C = {100}, D = {গোলাপ, রজনীগন্ধা}, E = {রহিম, সুমন, শুভ্র, চাংপাই} ইত্যাদি।

(২) সেট গঠন পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ না করে উপাদান নির্ধারণের জন্য শর্ত দেওয়া থাকে । যেমন : 10 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক জোড় সংখ্যার সেট A হলে, A = {x : x স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা, x < 10}

এখানে, ‘:’ দ্বারা ‘এরূপ যেন' বা সংক্ষেপে ‘যেন’ বোঝায় । সেট গঠন পদ্ধতিতে { } এর ভেতরে ' : ' চিহ্নের আগে একটি অজানা রাশি বা চলক ধরে নিতে হয় এবং পরে চলকের ওপর প্রয়োজনীয় শর্ত আরোপ করতে হয়। যেমন: { 3, 6, 9, 12 } সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করতে চাই । লক্ষ করি, 3, 6, 9, 12, সংখ্যাগুলো স্বাভাবিক সংখ্যা, 3 দ্বারা বিভাজ্য এবং 12 এর বড় নয় । এক্ষেত্রে সেটের উপাদানকে 'y' চলক বিবেচনা করলে 'y' এর ওপর শর্ত হবে y স্বাভাবিক সংখ্যা, 3 এর গুণিতক এবং 12 এর চেয়ে বড় নয় () ≤ 12)। সুতরাং সেট গঠন পদ্ধতিতে হবে {y: y স্বাভাবিক সংখ্যা, 3 এর গুণিতক এবং y ≤ 12}।

উদাহরণ ১। P = {4, 8, 12, 16, 20} সেটটিকে সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ কর ।

সমাধান : P সেটের উপাদানসমূহ 4, 8, 12, 16, 20

এখানে, প্রত্যেকটি উপাদান জোড় সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং 20 এর বড় নয়।

∴ P = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}

উদাহরণ ২। Q = {x : x, 42 এর সকল গুণনীয়ক} সেটটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।

সমাধান : Q সেটটি 42 এর গুণনীয়কসমূহের সেট।

∴ 42 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

নির্ণেয় সেট Q = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

(Finite set) যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়, একে সসীম সেট বলে। যেমন A = {a, b, c, d}, B = { 5, 10, 15, 100} ইত্যাদি সসীম সেট। এখানে A সেটে 4টি উপাদান এবং B সেটে 20 টি উপাদান আছে।

যে সেটের উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট ও গণনা করা সম্ভব, তাকে সসীম সেট বলা হয়। অর্থাৎ, যেসব সেটের উপাদান গণনা করে শেষ করা যায়, সেগুলোই সসীম সেট।

মৌলিক ধারণা

সসীম সেটে উপাদানের সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকে এবং তা একটি নির্দিষ্ট মানে শেষ হয়।

উদাহরণ

$A=\{1,2,3,4,5\}$

এখানে A সেটের উপাদান সংখ্যা 5, যা নির্দিষ্ট। তাই এটি সসীম সেট।

আরেকটি উদাহরণ

$B=\{a,b,c,d\}$

B সেটেও উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট, তাই এটি সসীম সেট।

বৈশিষ্ট্য

• উপাদান সংখ্যা গণনা করা যায়
• উপাদান শেষ হয়ে যায়
• উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকে
• ছোট বা বড় যেকোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা হতে পারে

সসীম সেটের উপাদান সংখ্যা (Cardinality)

যদি কোনো সেট A তে n টি উপাদান থাকে, তবে তাকে লিখা হয়:

$\left|A\right|=n$

উদাহরণ

যদি A = {1, 2, 3, 4} হয়, তবে

$\left|A\right|=4$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• সসীম সেটে উপাদান সংখ্যা নির্দিষ্ট থাকে
• উপাদান গণনা করে শেষ করা যায়
• এটি বাস্তব জীবনের অনেক সমস্যায় ব্যবহৃত হয়

মনে রাখার উপায়

“যে সেট গণনা করে শেষ করা যায় = সসীম সেট” — এই নিয়ম মনে রাখলেই সহজে বোঝা যায়।

অসীম সেট (Infinite Set)

যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় না, তাকে অসীম সেট বলে। যেমন, A = {x : x বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা}, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N {1, 2, 3, 4, ...}, পূর্ণসংখ্যার সেট Z = {… – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3}, মূলদ সংখ্যার সেট Q = {$\frac{a}{b}$ : a ও b পূর্ণসংখ্যা এবং b≠ 0} বাস্তব সংখ্যার সেট R ইত্যাদি অসীম সেট।

উদাহরণ ৪. দেখাও যে, সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট একটি অসীম সেট।

সমাধান : স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

N সেট থেকে বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ নিয়ে গঠিত সেট A {1, 3, 5, 7, ...}

N সেট থেকে জোড় স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহ নিয়ে গঠিত সেট B {2, 4, 6, 8, ...}

N সেট থেকে 3 এর গুণিতকসমূহের সেট C {3, 6, 9, 12, ...} ইত্যাদি।

এখানে, N সেট থেকে গঠিত উপরের সেটসমূহের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না। ফলে A, B, C অসীম সেট।

$\therefore$ N একটি অসীম সেট।

ফাঁকা সেট (Empty Set)

যে সেটের কোনো উপাদান নেই তাকে ফাঁকা সেট বলে। ফাঁকা সেটকে Ø দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ের তিনজন ছাত্রের সেট, {x ∈ N : 10 < x < 11}, {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং 23 < x < 29} ইত্যাদি।

যে সেটে কোনো উপাদান থাকে না, তাকে ফাঁকা সেট বা শূন্য সেট (Null Set) বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

ফাঁকা সেটে কোনো সদস্য না থাকায় এর উপাদান সংখ্যা শূন্য (0) হয়।

প্রকাশের পদ্ধতি

ফাঁকা সেটকে সাধারণত দুইভাবে প্রকাশ করা হয়—

$\left\{\right\}$

অথবা

$\varnothing$

উদাহরণ

১ থেকে ৩ এর মধ্যে এমন স্বাভাবিক সংখ্যা যা 5 দ্বারা বিভাজ্য — এই ধরনের কোনো সংখ্যা নেই।

$A=\left\{x\right|x\in N,x>3andx<2\}$

এখানে কোনো উপাদান নেই, তাই এটি ফাঁকা সেট।

বৈশিষ্ট্য

• ফাঁকা সেটে কোনো উপাদান থাকে না
• উপাদান সংখ্যা শূন্য (|A| = 0)
• এটি প্রতিটি সেটের উপসেট হতে পারে
• ফাঁকা সেটকে শূন্য সেটও বলা হয়

গাণিতিক প্রকাশ

$\left|\varnothing \right|=0$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ফাঁকা সেট মানে “কোনো সদস্য নেই”, তবে এটি একটি সেট হিসেবে গণ্য করা হয়।

মনে রাখার উপায়

“যেখানে কোনো উপাদান নেই = ফাঁকা সেট” — এই সহজ ধারণা মনে রাখলেই বোঝা যায়।

ভেনচিত্র (Venn-Diagram)

জন ভেন (১৮৩৪-১৯২৩) সেটের কার্যবিধি চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ করেন। এতে বিবেচনাধীন সেটগুলোকে সমতলে অবস্থিত বিভিন্ন আকারের জ্যামিতিক চিত্র যেমন আয়ত, বৃত্ত এবং ত্রিভুজ ব্যবহার করা হয়। জন ভেনের নামানুসারে চিত্রগুলো ভেন চিত্র নামে পরিচিত।

নিচে কয়েকটি সেটের ভেনচিত্র প্রদর্শন করা হলো :

ভেনচিত্র ব্যবহার করে অতি সহজে সেট ও সেট প্রক্রিয়ার বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য যাচাই করা যায়।

ভেনচিত্র হলো এমন একটি চিত্র যার মাধ্যমে সেটের মধ্যে সম্পর্ক, যেমন ইউনিয়ন (∪), ছেদ (∩), এবং পার্থক্য খুব সহজে বোঝানো হয়। এটি সেট তত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ ভিজ্যুয়াল উপস্থাপন পদ্ধতি।

মৌলিক ধারণা

ভেনচিত্রে সাধারণত বৃত্ত ব্যবহার করে সেটগুলো দেখানো হয় এবং আয়তক্ষেত্র দ্বারা সার্বিক সেট (Universal Set) বোঝানো হয়।

চিহ্ন ও অর্থ

• ∪ = ইউনিয়ন (Union)
• ∩ = ছেদ (Intersection)
• U = সার্বিক সেট (Universal Set)

দুই সেটের ভেনচিত্র

ধরা যাক A এবং B দুটি সেট।

ইউনিয়ন (A ∪ B)

A ∪ B মানে A এবং B সেটের সব উপাদান একত্রে নেওয়া।

$A\cup B$

ছেদ (A ∩ B)

A ∩ B মানে A এবং B সেটের সাধারণ উপাদানগুলো।

$A\cap B$

ভেনচিত্রের ব্যবহার

• সেটের সম্পর্ক বোঝাতে ব্যবহৃত হয়
• গণিতের সমস্যা সহজে সমাধান করা যায়
• সম্ভাব্যতা (Probability) বোঝাতে গুরুত্বপূর্ণ
• ডেটা বিশ্লেষণে ব্যবহার করা হয়

উদাহরণ

A = {1, 2, 3} এবং B = {3, 4, 5} হলে,

$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$

এবং

$A\cap B=\left\{3\right\}$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

• ভেনচিত্রে সেটগুলো বৃত্ত আকারে দেখানো হয়
• ছায়াযুক্ত অংশ দ্বারা ফলাফল বোঝানো হয়
• একাধিক সেটের সম্পর্ক সহজে বোঝা যায়

মনে রাখার উপায়

“ভেনচিত্র = সেটের ছবি” — যেখানে চিত্র দেখেই সেটের সম্পর্ক বোঝা যায়।

মনে করি, A = {a, b} একটি সেট। A সেটের উপাদান নিয়ে আমরা {a, b}, {a}, {b} সেটগুলো গঠন করতে পারি। গঠিত {a, b}, {a}, {b} সেটগুলো A সেটের উপসেট। কোনো সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় এদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট।

যেমন : P = {2, 3, 4, 5} এবং Q = {3,5} হলে, Q সেটটি P সেটের উপসেট। অর্থাৎ Q ⊆ P. কারণ Q সেটের 3 এবং 5 উপাদানসমূহ P সেটে বিদ্যমান। '2' প্রতীক দ্বারা উপসেটকে সূচিত করা হয়।

উদাহরণ ৪। A = {1, 2, 3} এর উপসেটসমূহ লেখ।

সমাধান : A সেটের উপসেটসমূহ নিম্নরূপ :

{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, Ø

প্রকৃত উপসেট (Proper subset)

কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম এদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন, A = {3, 4, 5, 6} এবং B = {3,5} দুইটি সেট। এখানে, B এর সব উপাদান A সেটে বিদ্যমান এবং B সেটের উপাদান সংখ্যা A সেটের উপাদান সংখ্যা থেকে কম।

$\therefore$ B, A এর একটি প্রকৃত উপসেট এবং B ⊆ A লিখে প্রকাশ করা হয়।

উপসেটের উদাহরণে Q ও R প্রত্যেকে P এর প্রকৃত উপসেট। উল্লেখ্য ফাঁকা সেট বা Ø যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট।

উদাহরণ ৫. P = {x, y, z} এর উপসেটগুলো লিখ এবং সেগুলো থেকে প্রকৃত উপসেট বাছাই কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P = {x, y, 2}

P এর উপসেটসমূহ {x, y, 2}, {x, y}, {x, 2}, {y, 2}, {x}, {y}, {z}, Ø ।

P এর প্রকৃত উপসেটসমূহ {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x}, {y}, {z}, Ø ।

দ্রষ্টব্য : কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ওই সেটের উপসেটের সংখ্যা $2^n$ এবং প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা $2^n–1$

দুইটি সেটের উপাদান একই হলে, সেট দুইটিকে সমান বলা হয়। যেমন: A {3, 5, 7} এবং B {5, 3, 3, 7} দুইটি সমান সেট এবং A = B চিহ্ন দ্বারা লেখা হয়। লক্ষ করি A = B যদি এবং কেবল যদি A ⊆ B এবং B ⊆ A হয়।

আবার, A = {3, 5, 7}, B = {5, 3, 3, 7} এবং C {7, 7, 3, 5, 5 } হলে A, B ও C সেট তিনটি সমতা বোঝায়। অর্থাৎ, A = B = C ।

দ্রষ্টব্য : সেটের উপাদানগুলোর ক্রম বদলালে বা কোনো উপাদান পুনরাবৃত্তি করলে সেটের কোনো পরিবর্তন হয় না।

মনে করি, A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং B = {3,5}। সেট A থেকে সেট B এর উপাদানগুলো বাদ দিলে যে সেটটি হয় তা {1, 2, 4} এবং লেখা হয় A \ B বা A – B এবং পড়া হয় A বাদ B ।

$\therefore$ A B = {1, 2, 3, 4, 5} {3, 5} = {1, 2, 4}

উদাহরণ ১. P = {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q = {x : x, 3 এর গুণিতক এবং æ < 12} হলে P – Q নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P {x : x, 12 এর গুণনীয়কসমূহ}

এখানে, 12 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 3, 4, 6, 12

$\therefore$ P = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

আবার, Q {x : x, 3 এর গুণিতক এবং x < 12}

এখানে, 12 পর্যন্ত 3 এর গুণিতকসমূহ 3, 6, 9, 12

$\therefore$ Q= {3,6,9, 12}

$\therefore$ P - Q = {1, 2, 3, 4, 6, 12} - {3, 6, 9, 12} = {1, 2, 4}

নির্ণেয় সেট : {1, 2, 4}

সার্বিক সেট (Universal Set)

যে সেটের মধ্যে আলোচ্য সকল সেটের উপাদান অন্তর্ভুক্ত থাকে, তাকে সার্বিক সেট (Universal Set) বলা হয়। এটি সাধারণত সকল সম্পর্কিত সেটের “বড় সেট” হিসেবে বিবেচিত হয়।

প্রতীক

সার্বিক সেটকে সাধারণত U দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

কোনো নির্দিষ্ট সমস্যা বা আলোচনায় যেসব সেট নিয়ে কাজ করা হয়, তাদের সকল উপাদান যে বৃহত্তম সেটে থাকে, সেটিই সার্বিক সেট।

উদাহরণ

ধরা যাক আমরা 1 থেকে 10 পর্যন্ত সংখ্যাগুলো নিয়ে কাজ করছি, তাহলে সার্বিক সেট হবে—

$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

আরেকটি উদাহরণ

A = {1, 2, 3} এবং B = {3, 4, 5} হলে সার্বিক সেট হতে পারে—

$U=\{1,2,3,4,5\}$

বৈশিষ্ট্য

• সার্বিক সেটে সকল সেটের উপাদান থাকে
• এটি আলোচ্য প্রসঙ্গের উপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হতে পারে
• সেট তত্ত্বে ভেনচিত্রে আয়তক্ষেত্র দ্বারা দেখানো হয়
• প্রতিটি সেট সার্বিক সেটের উপসেট হয়

গাণিতিক প্রকাশ

যদি A একটি সেট হয়, তবে—

$A\subseteq U$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

সার্বিক সেট হলো এমন একটি সেট যা নির্দিষ্ট সমস্যার সকল সম্ভাব্য উপাদান ধারণ করে।

মনে রাখার উপায়

“যে সেটের ভিতরে সব সেট থাকে = সার্বিক সেট (U)” — এই ধারণা মনে রাখলেই সহজে বোঝা যায়।

আলোচনায় সংশ্লিষ্ট সকল সেট একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট। যেমন : A = {x, y} সেটটি B = {x, y, z} এর একটি উপসেট। এখানে, B সেটকে A সেটের সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে।

সুতরাং আলোচনা সংশ্লিষ্ট সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয় তবে ঐ নির্দিষ্ট সেটকে তার উপসেটগুলোর সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে।

সার্বিক সেটকে সাধারণত U দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তবে অন্য প্রতীকের সাহায্যেও সার্বিক সেট প্রকাশ করা যায়। যেমন: সকল জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট C = {2,4,6, . . .} এবং সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} হলে C সেটের সাপেক্ষে সার্বিক সেট হবে N ।

পূরক সেট (Complement of a Set)

সার্বিক সেট (U) এর মধ্যে কোনো সেট A বাদ দিলে যে সেটটি পাওয়া যায়, তাকে A সেটের পূরক সেট বলা হয়।

প্রতীক

A-এর পূরক সেটকে সাধারণত A′ অথবা A^c দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

যদি U সার্বিক সেট হয় এবং A তার একটি উপসেট হয়, তবে A-এর মধ্যে না থাকা কিন্তু U-এর মধ্যে থাকা সকল উপাদান নিয়ে পূরক সেট গঠিত হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$A\prime =U-A$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$U=\{1,2,3,4,5,6\}$

এবং

$A=\{2,4,6\}$

তাহলে A-এর পূরক সেট হবে—

$A\prime =\{1,3,5\}$

ভেনচিত্রে পূরক সেট

ভেনচিত্রে সার্বিক সেটের বাইরে A সেটের অংশ বাদ দিলে যে অংশ থাকে, সেটিই A-এর পূরক সেট।

বৈশিষ্ট্য

• A ∪ A′ = U
• A ∩ A′ = ∅
• পূরক সেট সর্বদা সার্বিক সেটের উপর নির্ভরশীল
• একই সেটের পূরক ভিন্ন U হলে পরিবর্তিত হতে পারে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

পূরক সেট মানে হলো “যা সেটে নেই কিন্তু সার্বিক সেটে আছে”।

মনে রাখার উপায়

“U থেকে A বাদ দিলে যা থাকে = A-এর পূরক সেট” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

U সার্বিক সেট এবং A সেটটি U এর উপসেট। A সেটের বহির্ভূত সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A সেটের পূরক সেট বলে। A এর পূরক সেটকে $A^c$ বা $A^{\text{'}}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। গাণিতিকভাবে $A^c=U\backslash A$

মনে করি, P ও Q দুইটি সেট এবং P সেটের যেসব উপাদান Q সেটের উপাদান নয়, ঐ উপাদানগুলোর সেটকে P এর প্রেক্ষিতে Q এর পূরক সেট বলা হয় এবং লেখা হয় $Q^c=P\backslash Q$ ।

উদাহরণ ১. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {2, 4, 6, 7} এবং B = {1, 3, 5} হলে $A^c$ ও $B^c$ নির্ণয় কর।

সমাধান : $A^c$ = U \ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \ {2, 4, 6, 7} = {1, 3, 5}

এবং $B^c$ = U \ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} \ {1, 3, 5} = {2, 4, 6, 7}

নির্ণেয় সেট $A^c$ = {1,3,5} এবং B = {2, 4, 6, 7}

সংযোগ সেট (Union of Sets)

দুই বা ততোধিক সেটের সব উপাদান একত্র করে যে নতুন সেট গঠন করা হয়, তাকে সংযোগ সেট বা ইউনিয়ন (Union) বলা হয়।

প্রতীক

সংযোগ সেটকে ∪ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

A এবং B দুটি সেট হলে A ∪ B মানে হলো A এবং B সেটের সব উপাদান একত্রে নেওয়া, তবে কোনো উপাদান একাধিকবার লেখা হয় না।

গাণিতিক প্রকাশ

$A\cup B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2,3\}$$B=\{3,4,5\}$

তাহলে,

$A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$

ভেনচিত্রে সংযোগ

ভেনচিত্রে A ∪ B হলো A এবং B দুইটি সেটের সব অংশ একত্রে নেওয়া অঞ্চল।

বৈশিষ্ট্য

• A ∪ B = B ∪ A (কমিউটেটিভ ধর্ম)
• A ∪ A = A
• A ∪ ∅ = A
• সব উপাদান একবার করে লেখা হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

সংযোগ সেট মানে হলো “দুই সেটের সব উপাদান একসাথে”।

মনে রাখার উপায়

“∪ মানে ইউনিয়ন = সব একসাথে” — এই ধারণা মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

দুই বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট বলা হয়। মনে করি, A ও B দুইটি সেট। A ও B সেটের সংযোগকে A ∪ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A সংযোগ B অথবা A Union B। সেট গঠন পদ্ধতিতে A ∪ B = {x : x ∈ A অথবা x ∈ B}।

উদাহরণ ১. C = {3, 4, 5} এবং D = {4, 6, 8} হলে, C ∪ D নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, C = {3, 4, 5}

এবং D = {4, 6, 8}

$\therefore$ C ∪ D = {3, 4, 5} ∪ { 4, 6, 8} = {3, 4, 5, 6, 8}

নির্ণেয় সেট : {3, 4, 5, 6, 8}

দুই বা ততোধিক সেটের মধ্যে যে সাধারণ উপাদানগুলো থাকে, তাদের নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলা হয়।

প্রতীক

ছেদ সেটকে ∩ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

A এবং B দুটি সেট হলে A ∩ B মানে হলো A এবং B সেটের সাধারণ উপাদানগুলো।

গাণিতিক প্রকাশ

$A\cap B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2,3,4\}$$B=\{3,4,5,6\}$

তাহলে,

$A\cap B=\{3,4\}$

ভেনচিত্রে ছেদ

ভেনচিত্রে A ∩ B হলো A এবং B সেটের মধ্যবর্তী সাধারণ অংশ।

বৈশিষ্ট্য

• A ∩ B = B ∩ A (কমিউটেটিভ ধর্ম)
• A ∩ A = A
• A ∩ ∅ = ∅
• যদি কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে, তবে ছেদ সেট শূন্য সেট হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ছেদ সেট মানে হলো “দুই সেটের মধ্যে মিল থাকা অংশ”।

মনে রাখার উপায়

“∩ মানে Intersection = যেখানে মিল আছে” — এইভাবে মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

মনে করি, A ও B দুইটি সেট। A ও B এর ছেদ সেটকে A ∩ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A ছেদ B বা A intersection B। সেট গঠন পদ্ধতিতে A ∩ B = {x : x ∈ A এবং x ∈ B}।

উদাহরণ ১. P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} এবং Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে, P ∩ Q নির্ণয় কর।

সমাধান :

দেওয়া আছে,

P = {x ∈ N : 2 < x < 6} = {3, 4, 5, 6}

Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} = {2, 4, 6, 8}

$\therefore$ P ∩ Q = {3, 4, 5, 6} ∩ {2, 4, 6, 8} = {4,6}

নির্ণেয় সেট : {4,6}

দুইটি সেটের মধ্যে যদি কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে তবে সেট দুইটিকে পরস্পর নিশ্ছেদ সেট বলে। মনে করি, A ও B দুইটি সেট। A ∩ B = Ø হলে A ও B পরস্পর নিশ্ছেদ সেট হবে।

প্রতীক

A এবং B দুটি সেট নিশ্ছেদ হলে লিখা হয়—

$A\cap B=\varnothing$

মৌলিক ধারণা

নিশ্ছেদ সেটে কোনো সেটের সাথে অন্য সেটের কোনো উপাদান মিলে না। তাই তাদের মধ্যে কোনো সাধারণ অংশ থাকে না।

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2,3\}$$B=\{4,5,6\}$

এখানে A এবং B এর কোনো সাধারণ উপাদান নেই। তাই,

$A\cap B=\varnothing$

ভেনচিত্রে নিশ্ছেদ সেট

ভেনচিত্রে নিশ্ছেদ সেটে দুইটি বৃত্ত একে অপরের সাথে ওভারল্যাপ করে না।

বৈশিষ্ট্য

• কোনো সাধারণ উপাদান থাকে না
• A ∩ B = ∅
• ভেনচিত্রে সেট দুটি আলাদা থাকে
• দুই সেট সম্পূর্ণ পৃথক হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

নিশ্ছেদ সেট মানে হলো “যেখানে কোনো মিল নেই”।

মনে রাখার উপায়

“যদি ছেদ শূন্য হয় = নিশ্ছেদ সেট” — এই সহজ নিয়ম মনে রাখলেই বোঝা যায়।

শক্তি সেট (Power Sets)

কোনো একটি সেটের সকল সম্ভাব্য উপসেটের সমষ্টিকে সেই সেটের শক্তি সেট বলা হয়।

প্রতীক

যদি A একটি সেট হয়, তবে A-এর শক্তি সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

একটি সেটের মধ্যে যতগুলো উপসেট তৈরি করা যায়, তাদের সবগুলো একত্র করলে যে সেট পাওয়া যায়, সেটিই শক্তি সেট।

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2\}$

তাহলে A-এর উপসেটগুলো হবে:

{∅}, {1}, {2}, {1,2}

অতএব শক্তি সেট হবে:

$P\left(A\right)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{1,2\left\}\right\}$

শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা

যদি কোনো সেটে nটি উপাদান থাকে, তবে তার শক্তি সেটে উপাদান সংখ্যা হবে:

$2^n$

উদাহরণ

যদি A = {1, 2, 3} হয়, তবে n = 3

$2^3=8$

অতএব শক্তি সেটে মোট 8টি উপসেট থাকবে।

বৈশিষ্ট্য

• শক্তি সেটে সব সম্ভাব্য উপসেট থাকে
• শূন্য সেট সব সেটের উপসেট
• মৌলিক সেট নিজেও শক্তি সেটে থাকে
• উপাদান সংখ্যা সর্বদা 2^n হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

শক্তি সেট মানে হলো “একটি সেটের সব সম্ভাব্য উপসেটের সেট”।

মনে রাখার উপায়

“n উপাদান → শক্তি সেট = 2^n উপাদান” — এই সূত্র মনে রাখলেই সহজে বোঝা যায়।

A = {m, n} একটি সেট। A সেটের উপসেটসমূহ হলো {m, n}, {m}, {n}, Ø; এখানে উপসেটসমূহের সেট {{m, n}, {m}, {n}, Ø} কে A সেটের শক্তি সেট বলা হয়। A সেটের শক্তি সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সুতরাং কোনো সেটের সকল উপসেট দ্বারা গঠিত সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট বলা হয়।

উদাহরণ ১. A = Ø, B = {a}, C = {a, b} সেট তিনটির শক্তি সেটগুলোর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান : এখানে, P(A) = {Ø}

$\therefore$ A সেটের উপাদান সংখ্যা শূন্য এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 1 = $2^n$

আবার, P(B) = {{a}, Ø}

$\therefore$ B সেটের উপাদান সংখ্যা 1 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 2 = $2^1$

এবং P(C) = {{a}, {6}, {a, b}, Ø}

$\therefore$ C সেটের উপাদান সংখ্যা 2 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা = 4 = $2^2$

সুতরাং, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, ঐ সেটের শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা হবে $2^n$

একজোড়া উপাদানের মধ্যে কোনটি প্রথম অবস্থানে আর কোনটি দ্বিতীয় অবস্থানে থাকবে, তা নির্দিষ্ট করে জোড়া আকারে প্রকাশকে ক্রমজোড় বলা হয়।

যদি কোনো ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদান বা পদ x এবং দ্বিতীয় উপাদান বা পদ y হয়, তবে ক্রমজোড়টিকে (x, y) দিয়ে প্রকাশ করা হয়। ক্রমজোড় (x, y) ও (a, b) সমান বা (x, y) = (a, b) হবে যদি x = a এবং y = b হয়।

দুইটি উপাদানকে নির্দিষ্ট ক্রমে সাজিয়ে যে জোড় তৈরি করা হয়, তাকে ক্রমজোড় বলা হয়।

প্রতীক

ক্রমজোড়কে সাধারণত (a, b) আকারে প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

ক্রমজোড়ে উপাদানের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। অর্থাৎ (a, b) এবং (b, a) এক নয়, যদি না a = b হয়।

উদাহরণ

$(2,3)$

এখানে প্রথম উপাদান 2 এবং দ্বিতীয় উপাদান 3।

গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য

(2, 3) ≠ (3, 2)

ক্রমজোড়ের সমতা

দুটি ক্রমজোড় তখনই সমান হবে যখন তাদের প্রথম ও দ্বিতীয় উপাদান একই হবে।

$(a,b)=(c,d)\Rightarrow a=c,b=d$

কার্টেসিয়ান গুণন (Cartesian Product)

দুইটি সেটের সব সম্ভাব্য ক্রমজোড়ের সমষ্টিকে কার্টেসিয়ান গুণন বলা হয়।

$A\times B$

উদাহরণ

A = {1, 2}, B = {x, y} হলে,

$A\times B=\left\{\right(1,x),(1,y),(2,x),(2,y\left)\right\}$

বৈশিষ্ট্য

• ক্রম গুরুত্বপূর্ণ
• (a, b) ≠ (b, a) সাধারণত
• দুইটি উপাদান নিয়ে গঠিত
• কার্টেসিয়ান গুণনে ব্যবহৃত হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ক্রমজোড় মানে হলো “নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানো দুইটি উপাদান”।

মনে রাখার উপায়

“Order থাকলে পরিবর্তন মানেই নতুন জোড়” — এই নিয়ম মনে রাখলেই সহজে বোঝা যায়।

উদাহরণ ১. (2x + y 3 ) = (6, x - y) হলে (x, y) নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, (2x + y, 3) = (6, x – y)

ক্রমজোড়ের শর্তমতে,

2x + y = 6 ---- (1)

x - y = 3 ---- (2)

সমীকরণ (1) ও (2) যোগ করে পাই, 3x = 9 বা x = 3

সমীকরণ (1) এ x এর মান বসিয়ে পাই, 6 + y = 6 বা y = 0

$\therefore$(x, y) = (3, 0)

কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product)

দুইটি সেটের উপাদানগুলোকে ক্রমানুসারে জোড়া বানিয়ে যে নতুন সেট তৈরি করা হয়, তাকে কার্তেসীয় গুণজ বলা হয়।

প্রতীক

A এবং B সেটের কার্তেসীয় গুণজকে A × B দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

মৌলিক ধারণা

A × B মানে হলো A সেটের প্রতিটি উপাদানকে B সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে জোড়া (ordered pair) বানানো।

গাণিতিক প্রকাশ

$A\times B=\left\{\right(a,b\left)\right|a\in A,b\in B\}$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2\}$$B=\{x,y\}$

তাহলে,

$A\times B=\left\{\right(1,x),(1,y),(2,x),(2,y\left)\right\}$

উপাদান সংখ্যা

যদি A সেটে mটি এবং B সেটে nটি উপাদান থাকে, তবে

$|A\times B|=m\times n$

বৈশিষ্ট্য

• ক্রম গুরুত্বপূর্ণ (A × B ≠ B × A সাধারণত)
• প্রতিটি উপাদান ordered pair আকারে থাকে
• সব সম্ভাব্য জোড়া তৈরি হয়
• গ্রাফ ও সম্পর্ক (Relation) নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

কার্তেসীয় গুণজ মানে হলো “দুই সেটের সব সম্ভাব্য ordered pair এর সমষ্টি”।

মনে রাখার উপায়

“এক সেটের প্রতিটি উপাদান → অন্য সেটের সব উপাদানের সাথে জোড়া” — এই নিয়ম মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

করিম সাহেব তাঁর বাড়ির একটি ঘরের ভিতরের দেওয়ালে সাদা বা নীল রং এবং বাইরের দেওয়ালে লাল বা হলুদ বা সবুজ রং এর লেপন দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিলেন। ভিতরের দেওয়ালে রং এর সেট A {সাদা, নীল} এবং বাইরের দেওয়ালে রং এর সেট B {লাল, হলুদ ও সবুজ}। করিম সাহেব তাঁর ঘরের রং লেপন (সাদা, লাল), (সাদা, হলুদ), (সাদা, সবুজ), (নীল, লাল), (নীল, হলুদ), (নীল, সবুজ) ক্রমজোড় আকারে দিতে পারেন।

উক্ত ক্রমজোড়ের সেটকে নিচের মতো করে লেখা হয় :

A × B= {(সাদা, লাল), (সাদা, হলুদ), (সাদা, সবুজ), (নীল, লাল), (নীল, হলুদ), (নীল, সবুজ)}

উপরোক্ত ক্রমজোড়ের সেটটিকেই কার্তেসীয় গুণজ সেট বলা হয়।

সেট গঠন পদ্ধতিতে, A × B = {(x, y) : x ∈ A এবং y ∈ B}

A × B কে পড়া হয় A ক্রস B

উদাহরণ ১. P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4}, R = P ∩ Q হলে P × R এবং R × Q নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P = {1, 2, 3}, Q = {3, 4}

এবং R = P ∩ Q = {1, 2, 3} {3, 4} = {3}

$\therefore$ P × R = {1, 2, 3} × {3} = {(1, 3), (2, 3), (3, 3)}

এবং R × Q = {3} × { 3, 4} = { (3, 3), ( 3, 4)}

উদাহরণ ২. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 311 এবং 419 কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 23 অবশিষ্ট থাকে এদের সেট নির্ণয় কর।

সমাধান : যে স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 311 এবং 419 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 23 অবশিষ্ট থাকে, সে সংখ্যা হবে 23 অপেক্ষা বড় এবং 311 - 23 = 288 এবং 419 - 23 = 396 এর সাধারণ গুণনীয়ক।

মনে করি, 23 অপেক্ষা বড় 288 এর গুণনীয়কসমূহের সেট A ।

এখানে, 288 = 1 × 288 = 2 × 144 = 3 x 96 = 4 × 72 = 6 × 48 = 8 × 36 = 9 × 32 = 12 × 24 = 16 × 18

$\therefore$ A = {24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288}

মনে করি, 23 অপেক্ষা বড় 396 এর গুণনীয়কসমূহের সেট B ।

এখানে, 396 = 1 × 396 = 2 × 198 = 3 × 132 = 4 × 99 = 6 × 66 = 9 × 44 = 11 × 36 = 12 × 33 = 18 × 22

$\therefore$ B = {33, 36, 44, 66, 99, 132, 198, 396}

$\therefore$ A ∩ B = {24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288} {33, 36, 44, 66, 99, 132, 198, 396}

$\therefore$ A ∩ B = {36}

নির্ণেয় সেট {36}

উদাহরণ ৩. 100 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে কোনো পরীক্ষায় ৪৪ জন বাংলায়, ৪০ জন গণিতে এবং 70 জন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে। ভেনচিত্রের সাহায্যে তথ্যগুলো প্রকাশ কর এবং কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে, তা নির্ণয় কর।

সমাধান : ভেনচিত্রে আয়তাকার ক্ষেত্রটি 100 জন শিক্ষার্থীর সেট U এবং বাংলায় ও গণিতে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট যথাক্রমে B ও M দ্বারা নির্দেশ করে। ফলে ভেনচিত্রটি চারটি নিশ্ছেদ সেটে বিভক্ত হয়েছে, যাদেরকে P, Q, R, F দ্বারা চিহ্নিত করা হলো।

এখানে, উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট Q = B ∩ M, যার সদস্য সংখ্যা 70

P = শুধু বাংলায় পাশ শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 88 - 70 = 18

R = শুধু গণিতে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 80 - 70 = 10

P U Q U R = B U M, যেকোনো একটি বিষয়ে এবং উভয় বিষয়ে পাশ শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 18+ 10 +70 = 98

F = উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীদের সেট, যার সদস্য সংখ্যা = 100 - 98 = 2

$\therefore$ উভয় বিষয়ে ফেল করেছে 2 জন শিক্ষার্থী।

অন্বয় (Relation)

দুইটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে নির্দিষ্ট নিয়মে গঠিত সম্পর্ককে অন্বয় (Relation) বলা হয়।

মৌলিক ধারণা

যদি A এবং B দুটি সেট হয়, তবে A থেকে B এর মধ্যে কিছু নির্বাচিত ordered pair এর সমষ্টিকে অন্বয় বলা হয়।

প্রতীক

অন্বয়কে সাধারণত R দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ

$R\subseteq A\times B$

উদাহরণ

ধরা যাক,

$A=\{1,2,3\}$

এবং B = A, তাহলে একটি অন্বয় হতে পারে “ছোট বা সমান (≤)” সম্পর্ক:

$R=\left\{\right(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3\left)\right\}$

অন্বয়ের প্রকারভেদ

১. স্বপরিচয় অন্বয় (Identity Relation)

যেখানে প্রতিটি উপাদান নিজেকেই সম্পর্কিত করে।

$R=\left\{\right(a,a\left)\right\}$

২. সার্বজনীন অন্বয় (Universal Relation)

যেখানে A × B এর সকল ordered pair থাকে।

$R=A\times B$

৩. শূন্য অন্বয় (Empty Relation)

যেখানে কোনো ordered pair থাকে না।

$R=\varnothing$

বৈশিষ্ট্য

• অন্বয় হলো কার্তেসীয় গুণজের উপসেট
• Ordered pair দ্বারা গঠিত
• দুই সেটের মধ্যে সম্পর্ক প্রকাশ করে
• বিভিন্ন ধরনের হতে পারে

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

অন্বয় মানে হলো “দুই সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে সম্পর্ক”।

মনে রাখার উপায়

“Relation = সেটের মধ্যে সম্পর্ক দেখায়” — এইভাবে মনে রাখলে সহজে বোঝা যায়।

আমরা জানি, বাংলাদেশের রাজধানী ঢাকা, ভারতের রাজধানী নতুন দিল্লী এবং থাইল্যান্ডের রাজধানী ব্যাংকক। এখানে দেশের সাথে রাজধানীর একটি অন্বয় বা সম্পর্ক আছে। এ সম্পর্ক হচ্ছে দেশ-রাজধানী অন্বয়। উক্ত সম্পর্ককে সেট আকারে নিম্নরূপে দেখানো যায় :

অর্থাৎ দেশ-রাজধানীর অন্বয় = {(বাংলাদেশ, ঢাকা), (ভারত, নতুন দিল্লী ), (থাইল্যান্ড, ব্যাংকক)}।

যদি A ও B দুইটি সেট হয় তবে সেটদ্বয়ের কার্তেসীয় গুণজ A × B সেটের অন্তর্গত ক্রমজোড়গুলোর অশূন্য উপসেট R কে A সেট হতে B সেটের একটি অন্বয় বা সম্পর্ক বলা হয়। এখানে, R সেট A × B সেটের একটি উপসেট অর্থাৎ, R ⊆ A × B

উদাহরণ ১. মনে করি, A = {3, 5} এবং B = {2, 4}

$\therefore$ A × B = {3, 5} × {2, 4} = {(3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}

$\therefore$ R ⊆ {(3,2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}

যখন A সেটের একটি উপাদান ও B সেটের একটি উপাদান y এবং (x, y) ∈ R হয় তবে লেখা হয় x R y এবং পড়া হয় x, y এর সাথে অন্বিত (x is related to y) অর্থাৎ উপাদান x, উপাদান Y এর সাথে R সম্পর্কযুক্ত।

যদি x > y শর্ত হয় তবে, R = {(3,2), (5, 2), (5, 4)}

এবং যদি x < y শর্ত হয় তবে, R = {(3, 4)}

আবার, A সেট হতে A সেটের একটি অন্বয় অর্থাৎ R ⊆ A × A হলে, R কে A এর অন্বয় বলা হয়।

A এবং B দুইটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে সম্পর্ক দেওয়া থাকলে x ∈ A এর সংগে সম্পর্কিত y ∈ B নিয়ে যে সব ক্রমজোড় (x, y) পাওয়া যায়, এদের অশূন্য উপসেট হচ্ছে একটি অন্বয়।

উদাহরণ ২. যদি P = {2, 3, 4}, Q = {4,6} এবং P ও Q এর উপাদানগুলোর মধ্যে y = 2x সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, P = {2, 3, 4} এবং Q = {4, 6}

প্রশ্নানুসারে, R = {(x, y) : x ∈ P, y ∈ Q এবং y = 2x}

এখানে, P × Q = {2, 3, 4} × {4, 6} = {(2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 4), (4, 6)}

$\therefore$ R= {(2,4), (3, 6)}

নির্ণেয় অন্বয় {(2, 4), ( 3, 6)}

উদাহরণ ৩. যদি A = {1, 2, 3}, B {0, 2, 4} এবং A ও B এর উপাদানগুলোর মধ্যে x = y - 1 সম্পর্ক বিবেচনায় থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট অন্বয় বর্ণনা কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, A = {1, 2, 3}, B = {0, 2, 4}

প্রশ্নানসারে, অন্বয় R = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B এবং x = y - 1}

এখানে, A × B = {1, 2, 3} × {0, 2, 4}

= {(1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (3, 0), (3, 2), (3, 4)}

$\therefore$ R = {(1, 2), (3, 4)}