স্থানাংক জ্যামিতি

বীজগণিত (Algebra) - সাধারণ গণিত - | NCTB BOOK

স্থানাংক জ্যামিতি (Coordinate Geometry)

জ্যামিতির যে শাখায় বিন্দুর অবস্থান সংখ্যা বা স্থানাংকের সাহায্যে নির্ণয় করা হয় তাকে স্থানাংক জ্যামিতি বলে। এখানে জ্যামিতিক চিত্রকে বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে বিশ্লেষণ করা হয়।

কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা (Cartesian Coordinate System)

দুটি পরস্পর লম্ব সংখ্যারেখার সাহায্যে সমতলে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করা হয়। অনুভূমিক রেখাকে x-অক্ষ এবং উল্লম্ব রেখাকে y-অক্ষ বলা হয়।

x-অক্ষ ও y-অক্ষের ছেদবিন্দুকে মূলবিন্দু (Origin) বলা হয়।

$O (0, 0)$

স্থানাংক (Coordinates)

সমতলে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশকারী সংখ্যাজোড়কে স্থানাংক বলে।

যদি কোনো বিন্দু P এর স্থানাংক হয়:

$P (x, y)$

তবে x কে ভুজ (Abscissa) এবং y কে কোটি (Ordinate) বলা হয়।

চতুর্ভাগ (Quadrants)

x-অক্ষ ও y-অক্ষ সমতলকে চারটি ভাগে বিভক্ত করে, যেগুলোকে চতুর্ভাগ বলে।

১ম চতুর্ভাগে x ও y উভয়ই ধনাত্মক
২য় চতুর্ভাগে x ঋণাত্মক এবং y ধনাত্মক
৩য় চতুর্ভাগে x ও y উভয়ই ঋণাত্মক
৪র্থ চতুর্ভাগে x ধনাত্মক এবং y ঋণাত্মক

দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব

যদি দুটি বিন্দু হয়:

$A (x_{1}, y_{1})$

এবং

$B (x_{2}, y_{2})$

তবে তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব:

$D = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

মধ্যবিন্দু সূত্র (Midpoint Formula)

দুটি বিন্দুর মধ্যবিন্দু:

$M = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

বিভাগ সূত্র (Section Formula)

যদি কোনো বিন্দু দুটি বিন্দুকে m : n অনুপাতে বিভক্ত করে, তবে বিভাজক বিন্দুর স্থানাংক:

$(\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n})$

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

তিনটি বিন্দু

$A (x_{1}, y_{1})$

$B (x_{2}, y_{2})$

এবং

$C (x_{3}, y_{3})$

দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:

$A = \frac{1}{2} | x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2}) |$

সরলরেখার ঢাল (Slope of a Straight Line)

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রান্ত সরলরেখার ঢাল:

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

সরলরেখার সমীকরণ

ঢাল m এবং একটি বিন্দু

$(x_{1}, y_{1})$

দেওয়া থাকলে সরলরেখার সমীকরণ:

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

মূলবিন্দুর স্থানাংক সবসময় (0,0)
x-অক্ষের উপর সব বিন্দুর y = 0
y-অক্ষের উপর সব বিন্দুর x = 0
দূরত্ব সূত্র পিথাগোরাসের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে গঠিত
ঢাল ধনাত্মক হলে রেখা উপরের দিকে ওঠে এবং ঋণাত্মক হলে নিচের দিকে নামে

মনে রাখার উপায়

স্থানাংক জ্যামিতিতে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্রগুলো হলো:

দূরত্ব সূত্র
মধ্যবিন্দু সূত্র
ঢাল সূত্র
সরলরেখার সমীকরণ

Content added By

Najjar Hossain Raju

বিন্দুর দূরত্ব ও ঢাল নির্ণয়

বিন্দুর দূরত্ব ও ঢাল নির্ণয় (Distance and Slope of a Point)

স্থানাংক জ্যামিতিতে দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব এবং সরলরেখার ঢাল নির্ণয় একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। দুটি বিন্দুর অবস্থান জানা থাকলে সহজেই তাদের মধ্যকার দূরত্ব ও রেখার ঢাল নির্ণয় করা যায়।

বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয়

ধরা যাক, দুটি বিন্দু

$A (x_{1}, y_{1})$

এবং

$B (x_{2}, y_{2})$

তাহলে A ও B বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে,

$D = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

দূরত্ব সূত্রের ব্যাখ্যা

এটি মূলত পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রয়োগ। দুটি বিন্দুর অনুভূমিক পার্থক্য এবং উল্লম্ব পার্থক্য ব্যবহার করে অতিভুজের মান নির্ণয় করা হয়।

উদাহরণ

দুটি বিন্দু A(2, 3) এবং B(6, 7) হলে,

$D = \sqrt{{(6 - 2)}^{2} + {(7 - 3)}^{2}}$

অর্থাৎ,

$D = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$

সরলরেখার ঢাল (Slope)

কোনো সরলরেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তার ট্যানজেন্টকে রেখার ঢাল বলা হয়।

যদি দুটি বিন্দু হয়

$(x_{1}, y_{1})$

এবং

$(x_{2}, y_{2})$

তাহলে রেখার ঢাল,

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

ঢালের প্রকৃতি

m > 0 হলে রেখা ঊর্ধ্বমুখী হয়
m < 0 হলে রেখা নিম্নমুখী হয়
m = 0 হলে রেখা x-অক্ষের সমান্তরাল হয়
ঢাল অসংজ্ঞায়িত হলে রেখা y-অক্ষের সমান্তরাল হয়

উদাহরণ

দুটি বিন্দু A(1, 2) এবং B(5, 10) হলে,

$m = \frac{10 - 2}{5 - 1}$

অর্থাৎ,

$m = \frac{8}{4} = 2$

বিশেষ ক্ষেত্র

যদি দুটি বিন্দুর y স্থানাংক সমান হয়, তবে রেখাটি অনুভূমিক হবে
যদি দুটি বিন্দুর x স্থানাংক সমান হয়, তবে রেখাটি উল্লম্ব হবে
সমান ঢালবিশিষ্ট দুইটি রেখা পরস্পর সমান্তরাল হয়
দুইটি রেখার ঢালের গুণফল −1 হলে রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হয়

সমান্তরাল রেখার শর্ত

$m_{1} = m_{2}$

লম্ব রেখার শর্ত

$m_{1} m_{2} = - 1$

মনে রাখার উপায়

দূরত্ব সূত্রে “বিয়োগ → বর্গ → যোগ → বর্গমূল” এবং ঢাল সূত্রে “উল্লম্ব পরিবর্তন ÷ অনুভূমিক পরিবর্তন” ব্যবহার করা হয়।

Content added By

Najjar Hossain Raju

সরলরেখার সমীকরণ

সরলরেখার সমীকরণ (Equation of Straight Line)

স্থানাংক জ্যামিতিতে কোনো সরলরেখার অবস্থানকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করার জন্য যে সমীকরণ ব্যবহৃত হয় তাকে সরলরেখার সমীকরণ বলা হয়।

সরলরেখার সাধারণ রূপ

$a x + b y + c = 0$

এখানে a, b এবং c ধ্রুবক এবং a ও b একসাথে শূন্য হবে না।

ঢাল-ছেদ রূপ (Slope-Intercept Form)

যদি কোনো সরলরেখার ঢাল m এবং y-অক্ষকে c বিন্দুতে ছেদ করে, তবে রেখার সমীকরণ হবে:

$y = m x + c$

এখানে,

m = রেখার ঢাল
c = y-অক্ষে ছেদক

উদাহরণ

যদি রেখার ঢাল 2 এবং y-অক্ষে ছেদক 3 হয়, তবে সমীকরণ:

$y = 2 x + 3$

এক বিন্দু ও ঢাল দ্বারা সরলরেখার সমীকরণ

যদি কোনো রেখা

$(x_{1}, y_{1})$

বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে এবং রেখার ঢাল m হয়, তবে সমীকরণ:

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

উদাহরণ

রেখাটি যদি (2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং ঢাল 4 হয়, তবে

$y - 3 = 4 (x - 2)$

দুই বিন্দু দ্বারা সরলরেখার সমীকরণ

যদি একটি রেখা

$(x_{1}, y_{1})$

এবং

$(x_{2}, y_{2})$

দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে, তবে সমীকরণ:

$\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

উদাহরণ

রেখাটি যদি (1, 2) এবং (3, 6) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তবে

$\frac{y - 2}{6 - 2} = \frac{x - 1}{3 - 1}$

অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা

x-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

যদি কোনো রেখা x-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে y এর মান ধ্রুবক হবে।

$y = k$

y-অক্ষের সমান্তরাল রেখা

যদি কোনো রেখা y-অক্ষের সমান্তরাল হয়, তবে x এর মান ধ্রুবক হবে।

$x = k$

ছেদক রূপ (Intercept Form)

যদি কোনো রেখা x-অক্ষকে a এককে এবং y-অক্ষকে b এককে ছেদ করে, তবে সমীকরণ:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

লম্ব রেখার শর্ত

দুটি রেখার ঢালের গুণফল −1 হলে রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হয়।

$m_{1} m_{2} = - 1$

সমান্তরাল রেখার শর্ত

দুটি রেখার ঢাল সমান হলে রেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল হয়।

$m_{1} = m_{2}$

বিশেষ তথ্য

ঢাল ধনাত্মক হলে রেখা ঊর্ধ্বমুখী হয়
ঢাল ঋণাত্মক হলে রেখা নিম্নমুখী হয়
ঢাল শূন্য হলে রেখা অনুভূমিক হয়
ঢাল অসংজ্ঞায়িত হলে রেখা উল্লম্ব হয়

মনে রাখার উপায়

সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত সূত্র হলো:

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

এটিকে Point-Slope Form বলা হয়।

Content added By

Najjar Hossain Raju

বীজগণিতীয় রাশিমালা (Algebraic expressions) বীজগণিতের মৌলিক চার প্রক্রিয়া (Basic Operations of Algebra) সাধারণ সূত্রাবলী (General formulas) উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization) বীজগণিতীয় রাশিমালার ল.সা.গু ও গ.সা.গু (L.C.M & H.C.F of algebraic expressions )

স্থানাংক জ্যামিতি

বিন্দুর দূরত্ব ও ঢাল নির্ণয়

সরলরেখার সমীকরণ

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!

স্থানাংক জ্যামিতি

বিন্দুর দূরত্ব ও ঢাল নির্ণয়

সরলরেখার সমীকরণ

All Notifications

Promotion

Satt AI

Hi, আমি SATT AI!