ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)

ত্রিকোণমিতি (Trigonometry)

ত্রিকোণমিতি হলো গণিতের একটি শাখা যেখানে ত্রিভুজের বাহু ও কোণের মধ্যে সম্পর্ক নিয়ে আলোচনা করা হয়। বিশেষ করে সমকোণী ত্রিভুজে কোণ, বাহু এবং অনুপাত নির্ণয় ত্রিকোণমিতির মূল বিষয়।

ত্রিকোণমিতির মৌলিক অনুপাত (Basic Ratios)

একটি সমকোণী ত্রিভুজে কোনো একটি কোণ θ হলে—

সাইন (Sine)

$\sin \theta =\frac{\text{লম্ব}}{\text{কর্ণ}}$

কোসাইন (Cosine)

$\cos \theta =\frac{\text{ভূমি}}{\text{কর্ণ}}$

ট্যানজেন্ট (Tangent)

$\tan \theta =\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$

রেসিপ্রোকাল অনুপাত (Reciprocal Ratios)

• cosec θ = 1/sin θ
• sec θ = 1/cos θ
• cot θ = 1/tan θ

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচিতি (Identities)

${\sin \theta }^2+{\cos \theta }^2=1$$1+{\tan \theta }^2={\sec \theta }^2$$1+{\cot \theta }^2={\mathrm{cosec}\theta }^2$

ত্রিকোণমিতিক কোণের মান (Standard Values)

0°, 30°, 45°, 60°, 90° কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক মান গুরুত্বপূর্ণ।

• sin 30° = 1/2
• sin 45° = 1/√2
• sin 60° = √3/2
• cos 60° = 1/2
• cos 45° = 1/√2
• cos 30° = √3/2

ত্রিকোণমিতির ব্যবহার (Applications)

• উচ্চতা ও দূরত্ব নির্ণয়
• নির্মাণ ও প্রকৌশল
• নৌচালনা ও বিমান চলাচল
• পদার্থবিজ্ঞান ও তরঙ্গ বিশ্লেষণ

উদাহরণ

যদি কোনো সমকোণী ত্রিভুজে লম্ব = 3 এবং ভূমি = 4 হয়, তবে—

$\tan \theta =\frac{3}{4}$

এবং কর্ণ,

$h=\sqrt{3^2+4^2}=5$

মনে রাখার কৌশল

SOH-CAH-TOA:
• Sine = Opposite / Hypotenuse
• Cosine = Adjacent / Hypotenuse
• Tangent = Opposite / Adjacent

আমরা প্রতিনিয়ত ত্রিভুজ, বিশেষ করে সমকোণী ত্রিভুজের ব্যবহার করে থাকি। আমাদের চারিদিকের পরিবেশে নানা উদাহরণ দেখা যায় যেখানে কল্পনায় সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যায়। সেই প্রাচীন যুগে মানুষ জ্যামিতির সাহায্যে নদীর তীরে দাঁড়িয়ে নদীর প্রস্থ নির্ণয় করার কৌশল শিখেছিল। গাছে না উঠেও গাছের ছায়ার সঙ্গে লাঠির তুলনা করে নিখুঁতভাবে গাছের উচ্চতা মাপতে শিখেছিল। এই গাণিতিক কৌশল শেখানোর জন্য সৃষ্টি হয়েছে ত্রিকোণমিতি নামে গণিতের এক বিশেষ শাখা। Trigonometry শব্দটি গ্রিক শব্দ tri (অর্থ তিন), gon (অর্থ ধার) ও metron (অর্থ পরিমাপ) দ্বারা গঠিত। ত্রিকোণমিতিতে ত্রিভুজের বাহু ও কোণের মধ্যে সম্পর্ক বিষয়ে পাঠদান করা হয়। মিশর ও ব্যাবিলনীয় সভ্যতায় ত্রিকোণমিতি ব্যবহারের নিদর্শন রয়েছে। মিশরীয়রা ভূমি জরিপ ও প্রকৌশল কাজে এর বহুল ব্যবহার করত বলে ধারণা করা হয়। এর সাহায্যে জ্যোতির্বিদগণ পৃথিবী থেকে দূরবর্তী গ্রহ-নক্ষত্রের দূরত্ব নির্ণয় করতেন। অধুনা ত্রিকোণমিতির ব্যবহার গণিতের সকল শাখায়। ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান, নেভিগেশন ইত্যাদি ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতির ব্যাপক ব্যবহার হয়ে থাকে। জ্যোতির্বিজ্ঞান, ক্যালকুলাসসহ গণিতের অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ শাখায় ত্রিকোণমিতির ব্যবহার রয়েছে।

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর নামকরণ

আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো অতিভুজ, ভূমি ও উন্নতি নামে অভিহিত হয়। ত্রিভুজের অনুভূমিক অবস্থানের জন্য এ নামসমূহ সার্থক। আবার সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটির সাপেক্ষে অবস্থানের প্রেক্ষিতেও বাহুগুলোর নামকরণ করা হয়। যথা :

১. ‘অতিভুজ (hypotenuse)', সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম বাহু যা সমকোণের বিপরীত বাহু

২. বিপরীত বাহু (opposite side)', যা হলো প্রদত্ত কোণের সরাসরি বিপরীত দিকের বাহু

৩. ‘সন্নিহিত বাহু (adjacent side)', যা প্রদত্ত কোণ সৃষ্টিকারী একটি রেখাংশ।

জ্যামিতিক চিত্রের শীর্ষবিন্দু চিহ্নিত করার জন্য বড় হাতের বর্ণ ও বাহু নির্দেশ করতে ছোট হাতের বর্ণ ব্যবহার করা হয়। কোণ নির্দেশের জন্য প্রায়শই গ্রিক বর্ণ ব্যবহৃত হয়। গ্রিক বর্ণমালার ছয়টি বহুল ব্যবহৃত বর্ণ হলো :

প্রাচীন গ্রিসের বিখ্যাত গণিতবিদদের হাত ধরেই জ্যামিতি ও ত্রিকোণমিতিতে গ্রিক বর্ণগুলোর ব্যবহার হয়ে আসছে।

উদাহরণ ১. θ কোণের জন্য অতিভুজ, সন্নিহিত বাহু ও বিপরীত বাহু চিহ্নিত কর।

সমাধান :

উদাহরণ ২. a ও β কোণের জন্য অতিভুজ, সন্নিহিত বাহু ও বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, ∠XOA একটি সূক্ষ্মকোণ। OA বাহুতে যেকোনো একটি বিন্দু P নিই। P থেকে OX বাহু পর্যন্ত PM লম্ব টানি। ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ POM গঠিত হলো। এই ∆POM এর PM, OM ও OP বাহুগুলোর যে তিনটি অনুপাত পাওয়া যায় এদের মান OA বাহুতে নির্বাচিত P বিন্দুর অবস্থানের ওপর নির্ভর করে না।

∠XOA কোণের OA বাহুতে যেকোনো বিন্দু P ও P1 থেকে OX বাহু পর্যন্ত যথাক্রমে PM ও P1M1 লম্ব অঙ্কন করলে ∆POM ও $∆P_{1}O{M}_1$ দুইটি সদৃশ সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়।

এখন, ∆POM ও $∆P_{1}O{M}_1$ সদৃশ হওয়ায়,

অর্থাৎ, অনুপাতসমূহের প্রত্যেকটি ধ্রুবক। এই অনুপাতসমূহকে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলে।

সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

মনে করি, ∠XOA একটি সূক্ষ্মকোণ। OA বাহুতে যেকোনো একটি বিন্দু P নিই। P থেকে OA বাহু পর্যন্ত PM লম্ব টানি। ফলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ POM গঠিত হলো। এই ∠POM এর PM, OM ও OP বাহুগুলোর যে ছয়টি অনুপাত পাওয়া যায় এদের ZXOA এর ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলা হয় এবং এদের প্রত্যেকটিকে এক একটি সুনির্দিষ্ট নামে নামকরণ করা হয়।

∠XOA সাপেক্ষে সমকোণী ত্রিভুজ POM এর PM বিপরীত বাহু, OM সন্নিহিত বাহু, OP অতিভুজ। এখন ∠XOA = 6 ধরলে, θ কোণের যে ছয়টি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পাওয়া যায় তা নিম্নে বর্ণনা করা হলো।

চিত্র থেকে,

লক্ষ করি, sin θ প্রতীকটি θ কোণের সাইন-এর অনুপাতকে বোঝায়; sin ও θ এর গুণফলকে নয়। θ বাদে sin আলাদা কোনো অর্থ বহন করে না। ত্রিকোণমিতিক অন্যান্য অনুপাতের ক্ষেত্রেও বিষয়টি প্রযোজ্য।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত হলো সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যে নির্দিষ্ট অনুপাত। এই অনুপাতগুলো ব্যবহার করে কোণ ও বাহুর মান নির্ণয় করা যায়।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Basic Ratios)

একটি সমকোণী ত্রিভুজে কোনো কোণ θ হলে—

সাইন (Sine)

$\sin \theta =\frac{\text{লম্ব}}{\text{কর্ণ}}$

কোসাইন (Cosine)

$\cos \theta =\frac{\text{ভূমি}}{\text{কর্ণ}}$

ট্যানজেন্ট (Tangent)

$\tan \theta =\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}$

রেসিপ্রোকাল অনুপাত (Reciprocal Ratios)

• cosec θ = 1 / sin θ
• sec θ = 1 / cos θ
• cot θ = 1 / tan θ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের পারস্পরিক সম্পর্ক

১. মৌলিক পরিচিতি (Fundamental Identity)

${\sin \theta }^2+{\cos \theta }^2=1$

২. ট্যানজেন্ট ও সেক্যান্ট সম্পর্ক

$1+{\tan \theta }^2={\sec \theta }^2$

৩. কট ও কোসেক সম্পর্ক

$1+{\cot \theta }^2={\mathrm{cosec}\theta }^2$

পরিপূরক কোণের সম্পর্ক (Complementary Angles)

যদি দুটি কোণ পরিপূরক হয় (θ এবং 90° − θ), তবে—

• sin θ = cos (90° − θ)
• cos θ = sin (90° − θ)
• tan θ = cot (90° − θ)
• sec θ = cosec (90° − θ)

গুরুত্বপূর্ণ অনুপাত সম্পর্ক

• tan θ = sin θ / cos θ
• cot θ = cos θ / sin θ
• sec θ = 1 / cos θ
• cosec θ = 1 / sin θ

উদাহরণ

যদি sin θ = 3/5 হয়, তবে—

cos θ নির্ণয়:

${\sin \theta }^2+{\cos \theta }^2=1$

(3/5)² + cos²θ = 1
9/25 + cos²θ = 1
cos²θ = 16/25
cos θ = 4/5

মনে রাখার কৌশল

• sin, cos, tan = মৌলিক অনুপাত
• sec, cosec, cot = বিপরীত অনুপাত
• সব পরিচিতি sin² + cos² = 1 থেকে তৈরি

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর সম্পর্ক

মনে করি, ∠XOA = θ একটি সূক্ষ্মকোণ।

পাশের চিত্র সাপেক্ষে, সংজ্ঞানুযায়ী,

ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি

উদাহরণ ৩. $\tan A=\frac{4}{3}$ হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $\tan A=\frac{4}{3}$ ।

উদাহরণ ৪. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tan A = 1 হলে 2sin A.cos A = 1 এর সত্যতা যাচাই কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, tan A = 1

অতএব, বিপরীত বাহু = সন্নিহিত বাহু = a

উদাহরণ ৫. প্রমাণ কর যে, $\tan \theta + cot \theta = sec \theta . \cos ec \theta$

সমাধান :

বামপক্ষ = $\tan \theta + cot \theta$

$=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }+\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$

উদাহরণ ১০. প্রমাণ কর : $\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}= sec A-\tan A$

সমাধান :

বিভিন্ন কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Different Angles)

ত্রিকোণমিতিতে কিছু নির্দিষ্ট কোণের (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) মান অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই মানগুলো পরীক্ষায় বারবার ব্যবহৃত হয়।

মানক কোণগুলোর ত্রিকোণমিতিক মান (Standard Values)

0° এর মান

• sin 0° = 0
• cos 0° = 1
• tan 0° = 0
• cot 0° = অনির্ধারিত
• sec 0° = 1
• cosec 0° = অনির্ধারিত

30° এর মান

• sin 30° = 1/2
• cos 30° = √3/2
• tan 30° = 1/√3
• cot 30° = √3
• sec 30° = 2/√3
• cosec 30° = 2

45° এর মান

• sin 45° = 1/√2
• cos 45° = 1/√2
• tan 45° = 1
• cot 45° = 1
• sec 45° = √2
• cosec 45° = √2

60° এর মান

• sin 60° = √3/2
• cos 60° = 1/2
• tan 60° = √3
• cot 60° = 1/√3
• sec 60° = 2
• cosec 60° = 2/√3

90° এর মান

• sin 90° = 1
• cos 90° = 0
• tan 90° = অনির্ধারিত
• cot 90° = 0
• sec 90° = অনির্ধারিত
• cosec 90° = 1

মনে রাখার সহজ কৌশল (Shortcut Method)

ত্রিকোণমিতিক মান মনে রাখার সহজ নিয়ম:

sin θ → 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1
cos θ → উল্টো ক্রমে

টেবিল আকারে সংক্ষেপ

0° → 30° → 45° → 60° → 90°

sin: 0 → 1/2 → 1/√2 → √3/2 → 1
cos: 1 → √3/2 → 1/√2 → 1/2 → 0
tan: 0 → 1/√3 → 1 → √3 → অনির্ধারিত

গুরুত্বপূর্ণ তথ্য

• 45° এ sin = cos
• 30° ও 60° পরস্পরের পরিপূরক কোণ
• 90° এ cos শূন্য হয়, তাই tan অনির্ধারিত

মনে রাখার কৌশল

“0 থেকে 1 পর্যন্ত sin বাড়ে, আর cos কমে”

বিশেষ কিছু কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

30°, 45° ও 60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

30° ও 60° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত :

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ বের করি :

45° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত :

পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আমরা জানি যে, দুইটি সূক্ষ্মকোণের পরিমাপের সমষ্টি 90° হলে, এদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়। যেমন, 30° ও 60° এবং 15° ও 75° পরস্পর পূরক কোণ।

সাধারণভাবে, θ কোণ ও ( 90° – θ) কোণ পরস্পরের পূরক কোণ

উপরের সূত্রগুলো নিম্নলিখিতভাবে কথায় প্রকাশ করা যায় :

পূরক কোণের sine = কোণের cosine

পূরক কোণের cosine = কোণের sine

পূরক কোণের tangent = কোণের cotangent ইত্যাদি।

0° ও 90° কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

আমরা সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ θ এর জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো নির্ণয় করতে শিখেছি। এবার দেখি, কোণটি ক্রমশঃ ছোট করা হলে ত্রিকোণমিতির অনুপাতগুলো কীরূপ হয়। θ কোণটি যতই ছোট হতে থাকে, বিপরীত বাহু PN এর দৈর্ঘ্য ততই ছোট হয়। P বিন্দুটি N বিন্দুর নিকটতর হয় এবং অবশেষে θ কোণটি যখন 0° এর খুব কাছে অবস্থিত হয়, OP প্রায় ON এর সাথে মিলে যায়।

θ সূক্ষ্মকোণ হলে আমরা দেখেছি

0° কোণের জন্য সম্ভাব্য ক্ষেত্রে এ সম্পর্কগুলো যাতে বজায় থাকে সে দিকে লক্ষ রেখে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

0 দ্বারা ভাগ করা যায় না বিধায় cosec 0° ও cot 0° সংজ্ঞায়িত করা যায় না।

আবার, যখন θ কোণটি 90° এর খুব কাছে, অতিভুজ OP প্রায় PN এর সমান। সুতরাং, sin θ এর মান প্রায় 1 । অন্যদিকে, θ কোণটি প্রায় 90° এর সমান হলে ON শূন্যের কাছাকাছি; cos θ এর মান প্রায় 0।

দ্রষ্টব্য : ব্যবহারের সুবিধার্থে 0, 30, 45, 60° ও 90° কোণগুলোর ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর মান নিচের ছকে দেখানো হলো :

লক্ষ করি : নির্ধারিত কয়েকটি কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক মানসমূহ মনে রাখার সহজ উপায়।

উদাহরণ ১৩. মান নির্ণয় কর :

সমাধান :

সমাধান :

অতি প্রাচীন কাল থেকেই দূরবর্তী কোনো বস্তুর দূরত্ব ও উচ্চতা নির্ণয় করতে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ করা হয়। বর্তমান যুগে ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ব্যবহার বেড়ে যাওয়ায় এর গুরুত্ব অপরিসীম। যে সব পাহাড়, পর্বত, টাওয়ার, গাছের উচ্চতা এবং নদ-নদীর প্রস্থ সহজে মাপা যায় না সে সব ক্ষেত্রে উচ্চতা ও প্রস্থ ত্রিকোণমিতির সাহায্যে নির্ণয় করা যায়। এক্ষেত্রে সূক্ষ্মকোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান জেনে রাখা প্রয়োজন।

ভূ-রেখা, ঊর্ধ্বরেখা এবং উল্লম্বতল (Horizontal Line, Vertical Line and Vertical Plane)

ভূ-রেখা হচ্ছে ভূমি তলে অবস্থিত যে কোনো সরলরেখা। ভূ-রেখাকে শয়নরেখাও বলা হয়। ঊর্ধ্বরেখা হচ্ছে ভূমি তলের উপর লম্ব যে কোনো সরলরেখা। একে উল্লম্ব রেখাও বলে।

ভূমি তলের উপর লম্বভাবে অবস্থিত পরস্পরচ্ছেদী ভূ-রেখা ও ঊর্ধ্বরেখা একটি তল নির্দিষ্ট করে। এ তলকে উল্লম্ব তল বলে।

চিত্রে ভূমি তলের কোনো স্থান C থেকে CB দূরত্বে AB উচ্চতা বিশিষ্ট একটি গাছ লম্ব অবস্থায় দন্ডায়মান। এখানে CB রেখা হচ্ছে ভূ-রেখা, BA রেখা হচ্ছে ঊর্ধ্বরেখা এবং ABC তলটি ভূমির উপর লম্ব যা উল্লম্বতল।

উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ (Angle of Elevation and Angle of Depression)

চিত্রটি লক্ষ করি, ভূমির সমান্তরাল AB একটি সরলরেখা। A, O, B, P, Q বিন্দুগুলো একই উল্লম্বতলে অবস্থিত। AB সরলরেখার উপরের P বিন্দুটি AB রেখার সাথে ∠POB উৎপন্ন করে। এখানে, O বিন্দুর সাপেক্ষে P বিন্দুর উন্নতি কোণ ∠POB ।

সুতরাং ভূভঙ্গের উপরের কোন বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলা হয়।

Q বিন্দু ভূ-রেখার সমান্তরাল AB রেখার নিচের দিকে অবস্থিত। এখানে, O বিন্দুর সাপেক্ষে Q বিন্দুর অবনতি কোণ হচ্ছে ∠QOB। সুতরাং ভুতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোন বিন্দু ভূ-রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলা হয়।

১. 30° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি > লম্ব হবে।

২. 45° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি = লম্ব হবে।

৩. 60° কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে ভূমি << লম্ব হবে।

উদাহরণ ১. একটি টাওয়ারের পাদদেশ থেকে 75 মিটার দূরে ভূতলস্থ কোনো বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষের উন্নতি 30° হলে, টাওয়ারের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, টাওয়ারের উচ্চতা AB = h মিটার, টাওয়ারের পাদদেশ থেকে BC = 75 মিটার দূরে ভূতল C বিন্দুতে টাওয়ারের শীর্ষ A বিন্দুর উন্নতি ∠ACB = 30°

উদাহরণ ২. একটি গাছের উচ্চতা 105 মিটার। গাছটির শীর্ষ ভূমির কোনো বিন্দুতে উন্নতি কোণ 60° তৈরি করলে, গাছটির গোড়া থেকে ভূতলস্থ বিন্দুটির দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান :

উদাহরণ ৩. 18 মিটার লম্বা একটি মই একটি দেওয়ালের ছাদ বরাবর ঠেস দিয়ে ভূমির সঙ্গে 45° কোণ উৎপন্ন করে। দেওয়ালটির উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, দেওয়ালটির উচ্চতা AB = h মিটার, মইটির দৈর্ঘ্য AC = 18 মিটার এবং ভূমির সঙ্গে ∠ACB = 45° উৎপন্ন করে।

সুতরাং দেওয়ালটির উচ্চতা 12.73 মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৪. ঝড়ে একটি গাছ হেলে পড়লো। গাছের গোড়া থেকে 7 মিটার উচ্চতায় একটি খুঁটি ঠেস দিয়ে গাছটিকে সোজা করা হলো। মাটিতে খুঁটিটির স্পর্শ বিন্দুর অবনতি কোণ 30° হলে, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য BC : = মিটার, গাছের গোড়া থেকে AB 7 মিটার উচ্চতায় খুঁটিটি ঠেস দিয়ে আছে এবং অবনতি ∠DBC = 30°

$\therefore$ ∠ACB = ∠DBC = 30° [একান্তর কোণ বলে]

সমকোণী ∠ABC থেকে পাই,

$\therefore$ BC = 14

$\therefore$ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য 14 মিটার।

উদাহরণ ৫. ভূতলস্থ কোনো স্থানে একটি দালানের ছাদের একটি বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° । ঐ স্থান থেকে 42 মিটার পিছিয়ে গেলে দালানের ঐ বিন্দুর উন্নতি কোণ 45° হয়। দালানের উচ্চতা নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, দালানের উচ্চতা AB = h মিটার এবং শীর্ষের উন্নতি ∠ACB = 60° এবং C স্থান থেকে CD = 42 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি ∠ADB = 45° হয়।

ধরি, BC = x মিটার।

$\therefore$ h = 99.373 (প্রায়)

$\therefore$ দালানটির উচ্চতা 99.37 মিটার (প্রায়)।

উদাহরণ ৬. একটি খুঁটি এমন ভাবে ভেঙে গেল যে, তার অবিচ্ছিন্ন ভাঙা অংশ দন্ডায়মান অংশের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে। খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, খুঁটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য AB = h মিটার, খুঁটিটি BC = x মিটার উচ্চতায় ভেঙে গিয়ে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভাঙা অংশ দণ্ডায়মান অংশের সাথে ∠BCD = 30° উৎপন্ন করে খুঁটির গোড়া থেকে BD = 10 মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করে।

এখানে, CD = AC = AB – BC = (h – x) মিটার

△BCD থেকে পাই,

বা, h – x = 20 বা, h = 20 + x বা, h = $20+10\sqrt{3}$ [x এর মান বসিয়ে]

$\therefore$ h = 37.321 (প্রায়)

$\therefore$ খুঁটির দৈর্ঘ্য 37.32 মিটার (প্রায়)।