বাস্তব সংখ্যা ও এর শ্রেণিবিন্যাস ( Real Numbers & Classification of Real Numbers)

সংখ্যার ইতিহাস মানব সভ্যতার ইতিহাসের মতই প্রাচীন। পরিমাণকে প্রতীক দিয়ে সংখ্যা আকারে প্রকাশ করার পদ্ধতি থেকে গণিতের উৎপত্তি। গ্রিক দার্শনিক এরিস্টটলের মতে, প্রাচীন মিশরের পুরোহিত সম্প্রদায়ের অনুশীলনের মাধ্যমে গণিতের আনুষ্ঠানিক অভিষেক ঘটে। তাই বলা যায় সংখ্যাভিত্তিক গণিতের সৃষ্টি যীশুখ্রিস্টের জন্মের প্রায় দুই হাজার বছর পূর্বে। এরপর নানা জাতি ও সভ্যতার হাত ঘুরে সংখ্যা ও সংখ্যারীতি অধুনা একটি সার্বজনীন রূপ ধারণ করেছে।
স্বাভাবিক সংখ্যার গণনার প্রয়োজনে প্রাচীন ভারতবর্ষের গণিতবিদগণ সর্বপ্রথম শূন্য ও দশভিত্তিক স্থানীয়মান পদ্ধতির প্রচলন করেন, যা সংখ্যা বর্ণনায় একটি মাইলফলক হিসেবে বিবেচিত হয়। পরে ভারতীয় ও চীনা গণিতবিদগণ শূন্য, ঋণাত্মক, বাস্তব, পূর্ণ ও ভগ্নাংশের ধারণার বিস্তৃতি ঘটান যা মধ্যযুগে আরবীয় গণিতবিদগণ ভিত্তি হিসেবে গ্রহণ করেন। দশমিক ভগ্নাংশের সাহায্যে সংখ্যা প্রকাশের কৃতিত্ব মধ্যপ্রাচ্যের মুসলিম গণিতবিদদের বলে মনে করা হয়। আবার তাঁরাই একাদশ শতাব্দীতে সর্বপ্রথম বীজগণিতীয় দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হিসেবে বর্গমূল আকারে অমূলদ সংখ্যার প্রবর্তন করেন। ইতিহাসবিদদের ধারণা খ্রিস্টপূর্ব ৫০০ অব্দের কাছাকাছি গ্রিক দার্শনিকরাও জ্যামিতিক অঙ্কনের প্রয়োজনে অমূলদ সংখ্যা, বিশেষ করে দুই-এর বর্গমূলের প্রয়োজনীয়তা অনুভব করেছিলেন। ঊনবিংশ শতাব্দীতে ইউরোপীয় গণিতবিদগণ বাস্তব সংখ্যাকে প্রণালীবদ্ধ করে পূর্ণতা দান করেন। দৈনন্দিন প্রয়োজনে বাস্তব সংখ্যা সম্বন্ধে শিক্ষার্থীদের সুস্পষ্ট জ্ঞান থাকা প্রয়োজন। এ অধ্যায়ে বাস্তব সংখ্যা বিষয়ে সামগ্রিক আলোচনা করা হয়েছে।

বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস (Classification of Real Numbers)

বাস্তব সংখ্যা (Real Number) হলো এমন সব সংখ্যা যেগুলোকে সংখ্যা রেখায় প্রকাশ করা যায়। বাস্তব সংখ্যাকে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে কয়েকটি শ্রেণিতে ভাগ করা হয়।

বাস্তব সংখ্যার প্রকারভেদ

• স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number)
• পূর্ণ সংখ্যা (Integer)
• মূলদ সংখ্যা (Rational Number)
• অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)
• বাস্তব সংখ্যা (Real Number)

শ্রেণিবিন্যাস চিত্র

উদাহরণ

মনে রাখার উপায়

• সকল স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণ সংখ্যা
• সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যা
• সকল মূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যা

স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number): 1, 2, 3, 4, ... ইত্যাদি স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা । 2, 3, 5, 7, ... ইত্যাদি মৌলিক সংখ্যা এবং 4, 6, 8, 9, ... ইত্যাদি যৌগিক সংখ্যা । দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার গ.সা.গু. 1 হলে এদেরকে পরস্পরের সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন 6 ও 35 পরস্পরের সহমৌলিক।

গণনার জন্য ব্যবহৃত ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলা হয়। সাধারণভাবে ১ থেকে শুরু করে ধারাবাহিকভাবে বৃদ্ধি পাওয়া সংখ্যাগুলোই স্বাভাবিক সংখ্যা।

উদাহরণ

$1,2,3,4,5,...$

প্রকাশ

স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য

• স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো সবসময় ধনাত্মক হয়।
• এতে ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা থাকে না।
• ০ সাধারণত স্বাভাবিক সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত নয়।
• স্বাভাবিক সংখ্যার কোনো শেষ নেই।

মনে রাখার উপায়

গণনা করার জন্য যেসব সংখ্যা ব্যবহার করা হয়, সেগুলোই স্বাভাবিক সংখ্যা।

যেমন: ১টি বই, ২টি কলম, ৩টি খাতা ইত্যাদি।

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number): যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার মাত্র দুটি গুণনীয়ক থাকে— ১ এবং সংখ্যাটি নিজে, তাদের মৌলিক সংখ্যা বলা হয়।

উদাহরণ

$2,3,5,7,11,13,...$

প্রকাশ

মৌলিক সংখ্যার কোনো নির্দিষ্ট প্রতীক নেই, তবে সাধারণত Prime Number হিসেবে প্রকাশ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য

• মৌলিক সংখ্যার গুণনীয়ক মাত্র দুটি।
• ১ মৌলিক সংখ্যা নয়।
• ২ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা।
• ২ ছাড়া সকল মৌলিক সংখ্যা বিজোড়।

মনে রাখার উপায়

যে সংখ্যাকে শুধু ১ এবং নিজে ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, সেটিই মৌলিক সংখ্যা।

যেমন: ৫ কে শুধু ১ ও ৫ দিয়ে ভাগ করা যায়।

Key Notes:

১-১০ পর্যন্ত মোট ৪ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7

১-২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-২০ পর্যন্ত মোট ৮ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

১-৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-৩০ পর্যন্ত মোট ১০ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

১-৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-৪০ পর্যন্ত মোট ১২ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37

১-৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-৫০ পর্যন্ত মোট ১৫ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-১০০ পর্যন্ত মোট ২৫ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

১-২০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা

১-২০০ পর্যন্ত মোট ৪৬ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। । সেগুলো হলো : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

যৌগিক সংখ্যা (Composite Number)

যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার দুইয়ের বেশি গুণনীয়ক থাকে, তাদের যৌগিক সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ, যে সংখ্যাকে ১ এবং নিজে ছাড়া অন্য সংখ্যা দিয়েও নিঃশেষে ভাগ করা যায়, সেটিই যৌগিক সংখ্যা।

উদাহরণ

$4,6,8,9,10,12,...$

বৈশিষ্ট্য

• যৌগিক সংখ্যার গুণনীয়ক দুইয়ের বেশি হয়।
• ৪ হলো ক্ষুদ্রতম যৌগিক সংখ্যা।
• সব জোড় সংখ্যা যৌগিক, তবে ২ ব্যতিক্রম।
• ১ যৌগিক সংখ্যা নয়।

মনে রাখার উপায়

যে সংখ্যাকে ১ এবং নিজে ছাড়া অন্য সংখ্যা দিয়েও ভাগ করা যায়, সেটিই যৌগিক সংখ্যা। উদাহরণ: ৬ কে ১, ২, ৩ ও ৬ দিয়ে ভাগ করা যায়, তাই ৬ একটি যৌগিক সংখ্যা।

১-১০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ৪ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9

১-২০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ১১ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20

১-৩০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ১৯ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30

১-৪০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ২৭ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40

১-৫০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ৩৪ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50

১-১০০ পর্যন্ত যৌগিক সংখ্যা

মোট ৭৪ টি যৌগিক সংখ্যা রয়েছে।

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100

সহমৌলিক সংখ্যা (Coprime / Relatively Prime Number)

দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যার গ.সা.গু. 1 হলে এদেরকে পরস্পরের সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন 6 ও 35 পরস্পরের সহমৌলিক।

যে দুটি বা ততোধিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক থাকে না, তাদেরকে সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ, দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু (GCD) যদি ১ হয়, তাহলে তারা সহমৌলিক সংখ্যা।

গাণিতিক শর্ত

$\mathrm{GCD}(a,b)=1$

উদাহরণ

(8, 15), (7, 9), (5, 12), (4, 9)

ব্যাখ্যা

• 8 এর গুণনীয়ক: 1, 2, 4, 8
• 15 এর গুণনীয়ক: 1, 3, 5, 15

এখানে সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১, তাই 8 ও 15 সহমৌলিক সংখ্যা।

বৈশিষ্ট্য

• সহমৌলিক সংখ্যা সবসময় জোড়া আকারে থাকে।
• এদের মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১ থাকে।
• এরা মৌলিক বা যৌগিক হতে পারে, কিন্তু শর্ত হলো GCD = 1 হতে হবে।

মনে রাখার উপায়

যে দুটি সংখ্যার মধ্যে ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, সেটাই সহমৌলিক সংখ্যা।

উদাহরণ: 9 ও 16 → সাধারণ গুণনীয়ক শুধু ১, তাই সহমৌলিক।

পূর্ণসংখ্যা (Integer) : শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। অর্থাৎ ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... ইত্যাদি পূর্ণসংখ্যা ।

প্রকাশ

পূর্ণসংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বৈশিষ্ট্য

• পূর্ণসংখ্যায় ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় সংখ্যা থাকে।
• শূন্য (0) একটি পূর্ণসংখ্যা।
• এতে কোনো ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা থাকে না।
• এটি অসীম সংখ্যার সমষ্টি।

মনে রাখার উপায়

স্বাভাবিক সংখ্যা + শূন্য + স্বাভাবিক সংখ্যার ঋণাত্মক মান = পূর্ণসংখ্যা।

যেমন: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number) : $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$ আকারের কোনো সংখ্যাকে (সাধারণ) ভগ্নাংশ সংখ্যা বা সংক্ষেপে ভগ্নাংশ বলা হয়, যেখানে q ≠ 0, 9 ≠ 1 এবং q দ্বারা p নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। যেমন $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{-5}{3}, \frac{4}{6}$ ইত্যাদি (সাধারণ) ভগ্নাংশ সংখ্যা। কোনো (সাধারণ) ভগ্নাংশ $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$এর ক্ষেত্রে p < q হলে ভগ্নাংশটিকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং p > q হলে ভগ্নাংশটিকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। যেমন $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, ...$ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং $\frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{4}, ...$ ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ।

প্রকৃত ভগ্নাংশ (Proper Fraction)

যে ভগ্নাংশের লব (Numerator) সর্বদা হর (Denominator) অপেক্ষা ছোট থাকে, তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। অর্থাৎ, ভগ্নাংশটির মান সবসময় ১ এর চেয়ে ছোট হয়।

গাণিতিক শর্ত

$p<q$

যেখানে, p = লব, q = হর (q ≠ 0)

উদাহরণ

$\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{7}{9},\frac{4}{11}$

বৈশিষ্ট্য

• লব সবসময় হরের চেয়ে ছোট হয়।
• প্রকৃত ভগ্নাংশের মান সবসময় ১ এর চেয়ে ছোট।
• এগুলো ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে।
• দশমিক আকারে প্রকাশ করলে মান 1 এর কম থাকে।

মনে রাখার উপায়

যে ভগ্নাংশে “লব < হর”, সেটিই প্রকৃত ভগ্নাংশ। অর্থাৎ অংশটি সম্পূর্ণর চেয়ে ছোট।