চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Quadrilaterals)
চতুর্ভুজ হলো চার বাহুবিশিষ্ট একটি বন্ধ সমতল জ্যামিতিক আকার। চতুর্ভুজের বিভিন্ন প্রকার ও তাদের বৈশিষ্ট্যের ওপর ভিত্তি করে কিছু গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য রয়েছে, যেগুলো জ্যামিতি সমাধানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
১. চতুর্ভুজের কোণসমষ্টি উপপাদ্য
যে কোনো চতুর্ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি সর্বদা 360°।
উপপাদ্য ব্যাখ্যা
যে কোনো চতুর্ভুজকে একটি কর্ণ দ্বারা দুইটি ত্রিভুজে ভাগ করা যায়। প্রতিটি ত্রিভুজের কোণসমষ্টি 180° হওয়ায় মোট কোণসমষ্টি হয় 360°।
২. সামান্তরিকের বিপরীত বাহু উপপাদ্য
যদি কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল হয়, তবে সেটি সামান্তরিক।
৩. সামান্তরিকের কর্ণ উপপাদ্য
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
এবং
৪. আয়ত উপপাদ্য
যদি কোনো সামান্তরিকের একটি কোণ 90° হয়, তবে সেটি আয়ত এবং এর কর্ণদ্বয় সমান হয়।
৫. রম্বস উপপাদ্য
যদি কোনো সামান্তরিকের চারটি বাহু সমান হয়, তবে সেটি রম্বস এবং এর কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।
৬. বর্গ উপপাদ্য
যদি কোনো চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান এবং চারটি কোণ 90° হয়, তবে সেটি বর্গ। এর কর্ণদ্বয় সমান ও পরস্পরের উপর লম্ব।
৭. ট্রাপিজিয়াম উপপাদ্য
যদি কোনো চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল হয়, তবে সেটি ট্রাপিজিয়াম।
মধ্যরেখা উপপাদ্য
ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোগকারী রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তার দৈর্ঘ্য হয় তাদের গড়।
৮. ঘুড়ি উপপাদ্য
যদি কোনো চতুর্ভুজের দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান হয়, তবে সেটি ঘুড়ি এবং এর কর্ণদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব হয়।
গুরুত্বপূর্ণ সংক্ষিপ্ত নিয়ম
- সামান্তরিক → বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল
- আয়ত → কর্ণ সমান
- রম্বস → কর্ণ পরস্পর লম্ব
- বর্গ → কর্ণ সমান ও লম্ব
- ট্রাপিজিয়াম → এক জোড়া বাহু সমান্তরাল
- ঘুড়ি → দুই জোড়া সন্নিহিত বাহু সমান
মনে রাখার কৌশল
চতুর্ভুজের সব ধরনের উপপাদ্য মূলত কর্ণ, বাহু ও কোণের সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে গঠিত। তাই চিত্র এঁকে কর্ণ বিশ্লেষণ করলে সমাধান সহজ হয়।
উপপাদ্য ১
চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি চার সমকোণ৷
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি চতুর্ভুজ।
প্রমাণ করতে হবে যে, ∠A+ ∠B + ∠C+ ∠D = 4 সমকোণ।
অঙ্কন : A ও C যোগ করি । AC কর্ণটি চতুর্ভুজটিকে ∆ABC ও ∆ADC দুইটি ত্রিভুজে বিভক্ত করেছে।
প্ৰমাণ :
ধাপ | যথার্থতা |
(১) ∆ABC এ ∠BAC + ∠ACB + ∠B = 2 সমকোণ। (২) অনুরূপভাবে, ∆DAC এ ∠DAC + LACD + 2D = 2 সমকোণ। (৩) অতএব, ∠DAC + ∠ACD + ∠D + ∠BAC + ∠ACB + ∠B = (2+2) সমকোণ৷ (8) ∠DAC + ∠BAC = ∠A এবং ∠ACD + ∠ACB = ∠C সুতরাং, ∠A+ ∠B + ∠C + ∠D= 4 সমকোণ (প্রমাণিত) | [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ]
[ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 2 সমকোণ]
[(১) ও (২) থেকে] [সন্নিহিত কোণের যোগফল] [সন্নিহিত কোণের যোগফল] [(৩) থেকে] |
# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন
উপপাদ্য ২
সামান্তরিকের বিপরীত বাহু ও কোণগুলো পরস্পর সমান।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক এবং
AC ও BD তার দুইটি কর্ণ । প্রমাণ করতে হবে যে,
(ক) AB বাহু = CD বাহু, AD বাহু = BC বাহু
(খ) ∠BAD = ∠BCD, ∠ABC = ∠ADC
প্ৰমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) AB B DC এবং AC তাদের ছেদক, সুতরাং BAC = LACD (২) আবার, BC II AD এবং AC তাদের ছেদক, সুতরাং ∠ACB = ZDAC (৩) এখন ∠ABC ও DC এ ∠BAC = ∠ACD, ∠ACB = ∠DAC এবং AC বাহু সাধারণ। ∴ ABC ≅ MDC অতএব, AB = CD, BC = AD ও ∠ABC = ∠ADC অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, ∆BAD ≅ ∆CD সুতরাং, ∠BAD = ∠BCD [প্রমাণিত] | [একান্তর কোণ সমান]
[একান্তর কোণ সমান]
[ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
|
# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন
100 ডিগ্রী
90 ডিগ্রী
80 ডিগ্রী
65 ডিগ্রী
উপপাদ্য ৩
সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD সামান্তরিকের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AO = CO, BO = DO
প্রমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) AB ও DC রেখাদ্বয় সমান্তরাল এবং AC এদের ছেদক। অতএব, ∠BAC = একান্তর ∠ACD (২) AB ও DC রেখাদ্বয় সমান্তরাল এবং BD এদের ছেদক। সুতরাং, ∠BDC = একান্তর ∠ABD (৩) এখন, AAOB ও ACOD এ A ∠OAB = ∠OCD, ∠OBA = ∠ODC এবং AB = DC সুতরাং, ∆AOB ≅ ∆COD অতএব, AO = CO এবং BO = DO (প্রমাণিত) | [একান্তর কোণ সমান]
[একান্তর কোণ সমান]
∵ ∠BAC = ∠ACD; ∠BDC = ∠ABD [ত্রিভুজের কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য]
|
# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন
উপপাদ্য ৪
আয়তের কর্ণদ্বয় সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD আয়তের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে,
(i) AC = BD
(ii) AO = CO, BO = DO
প্ৰমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) আয়ত একটি সামান্তরিক। সুতরাং, AO=CO, BO=DO (২) এখন ∆ABD ও ∆ACD এ AB = DC এবং AD = AD অন্তর্ভূক্ত ZDAB = অন্তর্ভূক্ত ZADC সুতরাং, ∆ABD = ∆ACD অতএব, AC = BD (প্রমাণিত) | [সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
[সামান্তরিকের বিপরীত বাহু পরস্পর সমান] [সাধারণ বাহু] [প্রত্যেকে সমকোণ] [ত্রিভুজের বাহু-কোণ - বাহু - উপপাদ্য]
|
# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন
উপপাদ্য ৫
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABCD রম্বসের
AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যে,
(i) ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 1 সমকোণ
(ii) AO = CO, BO = DO
প্রমাণ :
| ধাপ | যথার্থতা |
|---|---|
(১) রম্বস একটি সামান্তরিক। সুতরাং, AO=CO, BO=DO (২) এখন AAOB ও ABOC এ AB = BC AO=CO এবং OB = OB অতএব, ∆AOB = ∆BOC | [ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে ]
[রম্বসের বাহুগুলো সমান] [(১) থেকে] [সাধারণ বাহু] [ত্রিভুজের বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য] |
সুতরাং ∠AOB = ∠BOC
∠AOB + ∠BOC = 1 সরলকোণ = 2 সমকোণ।
∠AOB = ∠BOC =1 সমকোণ।
অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে,
∠COD = ∠DOA = 1 সমকোণ (প্রমাণিত)
# বহুনির্বাচনী প্রশ্ন
Read more
