জ্যামিতি প্রাথমিক ধারণা (Basic Concept)

জ্যামিতি প্রাথমিক ধারণা (Basic Concept)

‘জ্যা’ অর্থ ভূমি, ‘মিতি’ অর্থ পরিমাপ। অর্থাৎ ভূমির পরিমাপ সংক্রান্ত আলোচনাই জ্যামিতির মূল ভিত্তি। ভূমির আকার, আকৃতি ও পরিমাপ সম্পর্কিত বিশ্লেষণ থেকেই জ্যামিতির উৎপত্তি।

খ্রিষ্টপূর্ব ৩০০ অব্দে গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিড (Euclid) তার বিখ্যাত গ্রন্থ Elements-এর ১৩টি খণ্ডে জ্যামিতির মৌলিক সংজ্ঞা, উপপাদ্য ও প্রমাণসমূহ সুসংগঠিতভাবে উপস্থাপন করেন। এই গ্রন্থের ভিত্তিতেই ইউক্লিডীয় জ্যামিতির (Euclidean Geometry) ভিত্তি স্থাপিত হয়।

ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে কিছু মৌলিক ধারণা বা স্বতঃসিদ্ধ (Axioms/Postulates) গ্রহণ করা হয় এবং সেগুলোর ওপর ভিত্তি করে যুক্তির মাধ্যমে বিভিন্ন জ্যামিতিক উপপাদ্য প্রমাণ করা হয়। এই যুক্তিনির্ভর প্রমাণ পদ্ধতিই ইউক্লিডীয় জ্যামিতির প্রধান বৈশিষ্ট্য।

বর্তমানে জ্যামিতির পরিধি বহুমাত্রিকভাবে বিস্তৃত হয়েছে। সমতল জ্যামিতির পাশাপাশি স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, ত্রিমাত্রিক জ্যামিতি এবং আধুনিক বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির ব্যাপক ব্যবহার দেখা যায়।

গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

• জ্যামিতি মূলত ভূমি ও আকারের পরিমাপ নিয়ে কাজ করে
• ইউক্লিড জ্যামিতিকে বৈজ্ঞানিক ভিত্তিতে প্রতিষ্ঠিত করেন
• স্বতঃসিদ্ধ ও যুক্তির মাধ্যমে প্রমাণ করা হয়
• আধুনিক জ্যামিতি বহু শাখায় বিস্তৃত

আমাদের চারপাশে বিস্তৃত জগত (space) সীমাহীন। এর বিভিন্ন অংশ জুড়ে রয়েছে ছোট বড় নানা রকম বস্তু। ছোট বড় বস্তু বলতে বালুকণা, আলপিন, পেন্সিল, কাগজ, বই, চেয়ার, টেবিল, ইট, পাথর, বাড়িঘর, পাহাড়, পৃথিবী, গ্রহ-নক্ষত্র সবই বুঝানো হয়। বিভিন্ন বস্তু স্থানের যে অংশ জুড়ে থাকে সে স্থানটুকুর আকার, আকৃতি, অবস্থান, বৈশিষ্ট্য প্রভৃতি থেকেই জ্যামিতিক ধ্যান-ধারণার উদ্ভব।

কোনো ঘনবস্তু (solid) যে স্থান অধিকার করে থাকে, তা তিন দিকে বিস্তৃত। এ তিন দিকের বিস্তারেই বস্তুটির তিনটি মাত্রা (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা) নির্দেশ করে। সেজন্য প্রত্যেক ঘনবস্তুই ত্রিমাত্রিক (three dimensional)। যেমন, একটি ইট বা বাক্সের তিনটি মাত্রা (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা) আছে। একটি গোলকের তিনটি মাত্রা আছে। এর তিন মাত্রার ভিন্নতা স্পষ্ট বোঝা না গেলেও একে দৈর্ঘ্য-প্রস্থ-উচ্চতা বিশিষ্ট খণ্ডে বিভক্ত করা যায়।

ঘনবস্তুর উপরিভাগ তল (surface) নির্দেশ করে অর্থাৎ, প্রত্যেক ঘনবস্তু এক বা একাধিক তল দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে। যেমন, একটি বাক্সের ছয়টি পৃষ্ঠ ছয়টি সমতলের প্রতিরূপ। গোলকের উপরিভাগ ও একটি তল। তবে বাক্সের পৃষ্ঠতল ও গোলকের পৃষ্ঠ তল ভিন্ন প্রকারের। প্রথমটি সমতল (plane), দ্বিতীয়টি বক্রতল (curved surface)।

তল : তল দ্বিমাত্রিক (Two-dimensional)। এর শুধু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কোনো উচ্চতা নাই। একটি বাক্সের দুইটি মাত্রা ঠিক রেখে তৃতীয় মাত্রা ক্রমশ হ্রাস করে শূন্যে পরিণত করলে, বাক্সটির পৃষ্ঠবিশেষ মাত্র অবশিষ্ট থাকে। এভাবে ঘনবস্তু থেকে তলের ধারণায় আসা যায়।

দুইটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে একটি রেখা (line) উৎপন্ন হয়। যেমন, বাক্সের দুইটি পৃষ্ঠতল বাক্সের একধারে একটি রেখায় মিলিত হয়। এই রেখা একটি সরলরেখা (straight line)। একটি লেবুকে একটি পাতলা ছুরি দিয়ে কাটলে, ছুরির সমতল যেখানে লেবুর বক্রতলকে ছেদ করে সেখানে একটি বক্ররেখা (curved line) উৎপন্ন হয়।

রেখা : রেখা একমাত্রিক (One-dimensional)। এর শুধু দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই। বাক্সের একটি পৃষ্ঠ-তলের প্রস্থ ক্রমশ হ্রাস পেয়ে সম্পূর্ণ শূন্য হলে, ঐ তলের একটি রেখা মাত্র অবশিষ্ট থাকে। এভাবে তলের ধারণা থেকে রেখার ধারণায় আসা যায়।

দুইটি রেখা পরস্পর ছেদ করলে বিন্দুর উৎপত্তি হয়। অর্থাৎ, দুইটি রেখার ছেদস্থান বিন্দু (point) দ্বারা নির্দিষ্ট হয়। বাক্সের দুইটি ধার যেমন, বাক্সের এক কোণায় একটি বিন্দুতে মিলিত হয়।

বিন্দুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, শুধু অবস্থান আছে। একটি রেখার দৈর্ঘ্য ক্রমশঃ হ্রাস পেলে অবশেষে একটি বিন্দুতে পর্যবসিত হয়। বিন্দুকে শূন্য মাত্রার সত্তা (entity) বলে গণ্য করা হয়।

উপরে তল, রেখা ও বিন্দু সম্পর্কে যে ধারণা দেওয়া হলো, তা তল, রেখা ও বিন্দুর সংজ্ঞা নয় বর্ণনা মাত্র। এই বর্ণনায় মাত্রা বলতে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা ইত্যাদি ধারণা ব্যবহার করা হয়েছে, যেগুলো সংজ্ঞায়িত নয়। ইউক্লিড তাঁর ‘Elements' গ্রন্থের প্রথম খণ্ডের শুরুতেই বিন্দু, রেখা ও তলের যে সংজ্ঞা উল্লেখ করেছেন তা-ও আধুনিক দৃষ্টিভঙ্গি অনুসারে অসম্পূর্ণ। ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ :

১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।

২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই।

৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।

৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।

৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।

৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।

৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

লক্ষ করলে দেখা যায় যে, এই বর্ণনায় অংশ, দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, সমভাবে ইত্যাদি শব্দগুলো অসংজ্ঞায়িতভাবে গ্রহণ করা হয়েছে। ধরে নেয়া হয়েছে যে, এগুলো সম্পর্কে আমাদের প্রাথমিক ধারণা রয়েছে। এসব ধারণার উপর ভিত্তি করে বিন্দু, সরলরেখা ও সমতলের ধারণা দেওয়া হয়েছে। বাস্তবিক পক্ষে, যেকোনো গাণিতিক আলোচনায় এক বা একাধিক প্রাথমিক ধারণা স্বীকার করে নিতে হয়। ইউক্লিড এগুলোকে স্বতঃসিদ্ধ (axioms) বলে আখ্যায়িত করেন। ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি স্বতঃসিদ্ধ :

১. যে সকল বস্তু একই বস্তুর সমান, সেগুলো পরস্পর সমান ।

২. সমান সমান বস্তুর সাথে সমান বস্তু যোগ করা হলে যোগফল সমান।

৩. সমান সমান বস্তু থেকে সমান বস্তু বিয়োগ করা হলে বিয়োগফল সমান।

৪. যা পরস্পরের সাথে মিলে যায়, তা পরস্পর সমান।

৫. পূর্ণ তার অংশের চেয়ে বড়।

আধুনিক জ্যামিতিতে বিন্দু, সরলরেখা ও সমতলকে প্রাথমিক ধারণা হিসাবে গ্রহণ করে এদের কিছু বৈশিষ্ট্যকে স্বীকার করে নেওয়া হয়। এই স্বীকৃত বৈশিষ্ট্যগুলোকে জ্যামিতিক স্বীকার্য (postulate) বলা হয়। বাস্তব ধারণার সঙ্গে সঙ্গতি রেখেই এই স্বীকার্যসমূহ নির্ধারণ করা হয়েছে। ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো :

স্বীকার্য ১. একটি বিন্দু থেকে অন্য একটি বিন্দু পর্যন্ত একটি সরলরেখা আঁকা যায়।

স্বীকার্য ২. খণ্ডিত রেখাকে যথেচ্ছভাবে বাড়ানো যায়।

স্বীকার্য ৩. যেকোনো কেন্দ্র ও যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকা যায়।

স্বীকার্য ৪. সকল সমকোণ পরস্পর সমান।

স্বীকার্য ৫. একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের চেয়ে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের চেয়ে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

ইউক্লিড সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্যগুলোর সাহায্যে যুক্তিমূলক নতুন প্রতিজ্ঞা প্রমাণ করেন। তিনি সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ, স্বীকার্য ও প্রমাণিত প্রতিজ্ঞার সাহায্যে আবার নতুন একটি প্রতিজ্ঞাও প্রমাণ করেন। ইউক্লিড তার ‘ইলিমেন্টস' গ্রন্থে মোট ৪৬৫টি শৃঙ্খলাবদ্ধ প্রতিজ্ঞার প্রমাণ দিয়েছেন যা আধুনিক যুক্তিমূলক জ্যামিতির ভিত্তি।

লক্ষ করি যে, ইউক্লিডের প্রথম স্বীকার্যে কিছু অসম্পূর্ণতা রয়েছে। দুইটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে যে একটি অনন্য সরলরেখা অঙ্কন করা যায় তা উপেক্ষিত হয়েছে। পঞ্চম স্বীকার্য অন্য চারটি স্বীকার্যের চেয়ে জটিল। অন্যদিকে, প্রথম থেকে চতুর্থ স্বীকার্যগুলো এতো সহজ যে এগুলো ‘স্পষ্টই সত্য' বলে প্রতীয়মান হয়। কিন্তু এগুলো প্রমাণ করা যায় না। সুতরাং, উক্তিগুলো ‘প্রমাণবিহীন সত্য বা স্বীকার্য বলে মেনে নেয়া হয়। ইউক্লিডীয় জ্যামিতির পাঁচটি স্বীকার্যের মধ্যে পঞ্চম স্বীকার্যটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং বিখ্যাত। এটিকে সমান্তরাল রেখা স্বীকার্য (Parallel Postulate) নামেও জানা যায়।

মূল বক্তব্য

যদি একটি সরলরেখা দুটি সরলরেখাকে এমনভাবে ছেদ করে যে একই পাশে গঠিত অভ্যন্তরীণ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ (১৮০°)-এর কম হয়, তবে ঐ দুটি রেখা সেই পাশে অসীমভাবে প্রসারিত হলে পরস্পরকে ছেদ করবে।

গাণিতিক রূপ

$\alpha +\beta <180°\Rightarrow$রেখাদ্বয় পরস্পর ছেদ করবে

সহজভাবে ব্যাখ্যা

• যদি দুটি রেখা একটি তৃতীয় রেখা দ্বারা ছেদিত হয়
• এবং একই পাশে থাকা দুই অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল ১৮০° এর কম হয়
• তাহলে ঐ দুই রেখা পরস্পর মিলিত হবে (ছেদ করবে)

সমান্তরাল রেখার সংজ্ঞা (এর ভিত্তিতে)

যদি দুটি সরলরেখা একটি তৃতীয় রেখা দ্বারা ছেদিত হলে একই পাশে অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল ১৮০° হয়, তবে রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে।

গাণিতিক রূপ

$\alpha +\beta =180°\Rightarrow l\parallel m$

গুরুত্বপূর্ণ কথা

• এটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ স্বীকার্য
• সমান্তরাল রেখার ধারণা এই স্বীকার্যের উপর ভিত্তি করে
• অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি (Non-Euclidean Geometry) এর সূচনা এখান থেকেই

সমতল জ্যামিতি হলো জ্যামিতির একটি শাখা যেখানে দ্বিমাত্রিক (2D) আকৃতি, বিন্দু, রেখা, কোণ এবং বিভিন্ন জ্যামিতিক চিত্র নিয়ে আলোচনা করা হয়। এখানে সকল আকৃতি একটি সমতল বা পৃষ্ঠের উপর অবস্থিত থাকে।

মৌলিক ধারণা (Basic Concepts)

• বিন্দু (Point): যার কোনো দৈর্ঘ্য, প্রস্থ বা বেধ নেই, শুধুমাত্র অবস্থান আছে।
• রেখা (Line): অসীম সংখ্যক বিন্দুর সমষ্টি যা দুই দিকে অসীম প্রসারিত।
• রেখাংশ (Line Segment): দুইটি বিন্দুর মধ্যে সীমাবদ্ধ অংশ।
• কিরণ (Ray): একটি বিন্দু থেকে শুরু হয়ে একদিকে অসীম প্রসারিত রেখা।

কোণ (Angle)

দুটি রেখা একটি সাধারণ বিন্দুতে মিলিত হলে যে খোলা স্থান তৈরি হয় তাকে কোণ বলে।

কোণের পরিমাপ

• সমকোণ = 90°
• সন্নিকট কোণ = 0° থেকে 90°
• স্থূল কোণ = 90° থেকে 180°
• সরল কোণ = 180°

ত্রিভুজ (Triangle)

তিনটি রেখাংশ দ্বারা গঠিত বন্ধ আকৃতিকে ত্রিভুজ বলে।

ত্রিভুজের কোণ সমষ্টি

$A+B+C=180°$

পাইথাগোরাস উপপাদ্য

$a^2+b^2=c^2$

বৃত্ত (Circle)

একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সমষ্টিকে বৃত্ত বলে।

গুরুত্বপূর্ণ অংশ

• ব্যাসার্ধ (Radius)
• ব্যাস (Diameter)
• পরিধি (Circumference)

পরিধির সূত্র

$C=2\pi r$

ক্ষেত্রফল

$A=\pi r^2$

গুরুত্বপূর্ণ কথা

• সমতল জ্যামিতি 2D আকৃতি নিয়ে কাজ করে
• এটি দৈনন্দিন জীবনের আকার ও পরিমাপ বোঝার ভিত্তি
• ত্রিভুজ, বৃত্ত, চতুর্ভুজ ইত্যাদি প্রধান বিষয়

পূর্বেই বিন্দু, সরলরেখা ও সমতল জ্যামিতির তিনটি প্রাথমিক ধারণা উল্লেখ করা হয়েছে। এদের যথাযথ সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব না হলেও এদের সম্পর্কে আমাদের বাস্তব অভিজ্ঞতাপ্রসূত ধারণা হয়েছে। বিমূর্ত জ্যামিতিক ধারণা হিসাবে স্থানকে বিন্দুসমূহের সেট ধরা হয় এবং সরলরেখা ও সমতলকে এই সার্বিক সেটের উপসেট বিবেচনা করা হয়। অর্থাৎ,

স্বীকার্য ১. জগত (space) সকল বিন্দুর সেট এবং সমতল ও সরলরেখা এই সেটের উপসেট।

এই স্বীকার্য থেকে আমরা লক্ষ করি যে, প্রত্যেক সমতল ও প্রত্যেক সরলরেখা এক একটি সেট, যার উপাদান হচ্ছে বিন্দু। জ্যামিতিক বর্ণনায় সাধারণত সেট প্রতীকের ব্যবহার পরিহার করা হয়। যেমন, কোনো বিন্দু একটি সরলরেখার (বা সমতলের) অন্তর্ভুক্ত হলে বিন্দুটি ঐ সরলরেখায় (বা সমতলে অবস্থিত অথবা, সরলরেখাটি (বা সমতলটি) ঐ বিন্দু দিয়ে যায়। একইভাবে, একটি সরলরেখা একটি সমতলের উপসেট হলে সরলরেখাটি ঐ সমতলে অবস্থিত, অথবা, সমতলটি ঐ সরলরেখা দিয়ে যায় এ রকম বাক্য দ্বারা তা বর্ণনা করা হয়।

সরলরেখা ও সমতলের বৈশিষ্ট্য হিসেবে স্বীকার করে নেওয়া হয় যে,

স্বীকার্য ২. দুইটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সরলরেখা আছে, যাতে উভয় বিন্দু অবস্থিত।

স্বীকার্য ৩. একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি ভিন্ন বিন্দুর জন্য একটি ও কেবল একটি সমতল আছে, যাতে বিন্দু তিনটি অবস্থিত।

স্বীকার্য ৪. কোনো সমতলের দুইটি ভিন্ন বিন্দু দিয়ে যায় এমন সরলরেখা ঐ সমতলে অবস্থিত।

স্বীকার্য ৫.

ক) জগতে (space) একাধিক সমতল বিদ্যমান

খ) প্রত্যেক সমতলে একাধিক সরলরেখা অবস্থিত।

গ) প্রত্যেক সরলরেখার বিন্দুসমূহ এবং বাস্তব সংখ্যাসমূহকে এমনভাবে সম্পর্কিত করা যায় যেন, রেখাটির প্রত্যেক বিন্দুর সঙ্গে একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যা সংশ্লিষ্ট হয় এবং প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার সঙ্গে রেখাটির একটি অনন্য বিন্দু সংশ্লিষ্ট হয়।

মন্তব্য : স্বীকার্য ১ থেকে স্বীকার্য ৫ কে আপতন স্বীকার্য (incidence axiom) বলা হয়।

জ্যামিতিতে দূরত্বের ধারণাও একটি প্রাথমিক ধারণা। এ জন্য স্বীকার করে নেওয়া হয় যে,

স্বীকার্য ৬.

ক) P ও Q বিন্দুযুগল একটি অনন্য বাস্তব সংখ্যা নির্দিষ্ট করে থাকে। সংখ্যাটিকে P বিন্দু থেকে Q বিন্দুর দূরত্ব বলা হয় এবং PQ দ্বারা সূচিত করা হয়।

খ) P ও Q ভিন্ন বিন্দু হলে PQ সংখ্যাটি ধনাত্মক। অন্যথায়, PQ = 0 ।

গ) P থেকে Q এর দূরত্ব এবং Q থেকে P এর দূরত্ব একই। অর্থাৎ PQ = QP

PQ = QP হওয়াতে এই দূরত্বকে সাধারণত P বিন্দু ও Q বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব বলা হয়। ব্যবহারিকভাবে, এই দূরত্ব পূর্ব নির্ধারিত এককের সাহায্যে পরিমাপ করা হয়।

স্বীকার্য ৫ (গ) অনুযায়ী প্রত্যেক সরলরেখায় অবস্থিত বিন্দুসমূহের সেট ও বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে এক-এক মিল স্থাপন করা যায়। এ প্রসঙ্গে স্বীকার করে নেওয়া হয় যে,

স্বীকার্য ৭. কোনো সরলরেখায় অবস্থিত বিন্দুসমূহের সেট এবং বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে এমনভাবে এক-এক মিল স্থাপন করা যায়, যেন রেখাটির যেকোনো দুইটি বিন্দু P, Q এর জন্য PQ = \a – b হয়, যেখানে মিলকরণের ফলে P ও Q এর সঙ্গে যথাক্রমে a ও b বাস্তব সংখ্যা সংশ্লিষ্ট হয়।

এই স্বীকার্যে বর্ণিত মিলকরণ করা হলে, রেখাটি একটি সংখ্যারেখায় পরিণত হয়েছে বলা হয়। সংখ্যারেখায় P বিন্দুর সঙ্গে a সংখ্যাটি সংশ্লিষ্ট হলে P কে a এর লেখবিন্দু এবং a কে P এর স্থানাঙ্ক বলা হয়। কোনো সরলরেখাকে সংখ্যারেখায় পরিণত করার জন্য প্রথমে রেখাটির একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক 0 এবং অপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক 1 ধরে নেওয়া হয়। এতে রেখাটিতে একটি একক দূরত্ব এবং একটি ধনাত্মক দিক নির্দিষ্ট হয়। এ জন্য স্বীকার করে নেওয়া হয় যে,

স্বীকার্য ৮. যেকোনো সরলরেখা AB কে এমনভাবে সংখ্যারেখায় পরিণত করা যায় যে, A এর স্থানাঙ্ক 0 এবং B এর স্থানাঙ্ক ধনাত্মক হয়।

মন্তব্য : স্বীকার্য ৬ কে দূরত্ব স্বীকার্য, স্বীকার্য ৭ কে রুলার স্বীকার্য এবং স্বীকার্য ৮ কে রুলার স্থাপন স্বীকার্য বলা হয়।

জ্যামিতিক বর্ণনাকে স্পষ্ট করার জন্য চিত্র ব্যবহার করা হয়। কাগজের ওপর পেন্সিল বা কলমের সূক্ষ্ম ফোঁটা দিয়ে বিন্দুর প্রতিরূপ আঁকা হয়। সোজা রুলার বরাবর দাগ টেনে সরলরেখার প্রতিরূপ আঁকা হয় । সরলরেখার চিত্রে দুই দিকে তীরচিহ্ন দিয়ে বোঝানো হয় যে, রেখাটি উভয়দিকে সীমাহীনভাবে বিস্তৃত। স্বীকার্য ২ অনুযায়ী দুইটি ভিন্ন বিন্দু A ও B একটি অনন্য সরলরেখা নির্দিষ্ট করে যাতে বিন্দু দুইটি অবস্থিত হয়। এই রেখাকে AB রেখা বা BA রেখা বলা হয়। স্বীকার্য ৫ (গ) অনুযায়ী এরূপ প্রত্যেক সরলরেখা অসংখ্য বিন্দু ধারণ করে।

স্বীকার্য (৫) (ক) অনুযায়ী জগতে একাধিক সমতল বিদ্যমান। এরূপ প্রত্যেক সমতলে অসংখ্য সরলরেখা রয়েছে। জ্যামিতির যে শাখায় একই সমতলে অবস্থিত বিন্দু, রেখা এবং এদের সঙ্গে সম্পর্কিত বিভিন্ন জ্যামিতিক সত্তা সম্পর্কে আলোচনা করা হয়, তাকে সমতল জ্যামিতি (plane geometry) বলা হয়। এ পুস্তকে সমতল জ্যামিতিই আমাদের মূল বিবেচ্য বিষয়। সুতরাং, বিশেষ কোনো উল্লেখ না থাকলে বুঝতে হবে যে, আলোচ্য সকল বিন্দু, রেখা ইত্যাদি একই সমতলে অবস্থিত। এরূপ একটি নির্দিষ্ট সমতলই আলোচনার সার্বিক সেট। এছাড়া শুধু রেখা উল্লেখ করলে আমরা সরলরেখাই বুঝাবো।

যেকোনো গাণিতিক তত্ত্বে কতিপয় প্রাথমিক ধারণা, সংজ্ঞা এবং স্বীকার্যের উপর ভিত্তি করে ধাপে ধাপে ঐ তত্ত্ব সম্পর্কিত বিভিন্ন উক্তি যৌক্তিকভাবে প্রমাণ করা হয়। এরূপ উক্তিকে সাধারণত প্রতিজ্ঞা বলা হয়। প্রতিজ্ঞার যৌক্তিকতা প্রমাণের জন্য যুক্তিবিদ্যার কিছু নিয়ম প্রয়োগ করা হয়। যেমন :

১. আরোহ পদ্ধতি (Mathematical Induction)

২. অবরোহ পদ্ধতি ((Mathematical Deduction)

৩. বিরোধ পদ্ধতি (Proof by contradiction) ইত্যাদি।

বিরোধ পদ্ধতি (Proof by contradiction)

দার্শনিক এরিস্টটল যুক্তিমূলক প্রমাণের এ পদ্ধতিটির সূচনা করেন। এ পদ্ধতির ভিত্তি হলো :

১. একই গুণকে একই সময় স্বীকার ও অস্বীকার করা যায় না।

২. একই জিনিসের দুইটি পরস্পরবিরোধী গুণ থাকতে পারে না।

৩. যা পরস্পরবিরোধী তা অচিন্ত্যনীয়

৪. কোনো বস্তু এক সময়ে যে গুণের অধিকারী হয়, সেই বস্তু সেই একই সময়ে সেই গুণের অনধিকারী হতে পারে না।

জ্যামিতিতে কতকগুলো প্রতিজ্ঞাকে বিশেষ গুরুত্ব দিয়ে উপপাদ্য হিসেবে গ্রহণ করা হয় এবং অন্যান্য প্রতিজ্ঞা প্রমাণে ক্রম অনুযায়ী এদের ব্যবহার করা হয়। জ্যামিতিক প্রমাণে বিভিন্ন তথ্য চিত্রের সাহায্যে বর্ণনা করা হয়। তবে প্রমাণ অবশ্যই যুক্তিনির্ভর হতে হবে।

জ্যামিতিক প্রতিজ্ঞার বর্ণনায় সাধারণ নির্বচন (general enunciation) অথবা বিশেষ নির্বচন (particular enunciation) ব্যবহার করা হয়। সাধারণ নির্বচন হচ্ছে চিত্রনিরপেক্ষ বর্ণনা আর বিশেষ নির্বচন হচ্ছে চিত্রনির্ভর বর্ণনা। কোনো প্রতিজ্ঞার সাধারণ নির্বচন দেওয়া থাকলে প্রতিজ্ঞার বিষয়বস্তু বিশেষ নির্বচনের মাধ্যমে নির্দিষ্ট করা হয়। এ জন্য প্রয়োজনীয় চিত্র অঙ্কন করতে হয়। জ্যামিতিক উপপাদ্যের প্রমাণে সাধারণত নিম্নোক্ত ধাপগুলো থাকে :

১. সাধারণ নির্বচন

২. চিত্র ও বিশেষ নির্বচন

৩. প্রয়োজনীয় অঙ্কনের বর্ণনা এবং

৪. প্রমাণের যৌক্তিক ধাপগুলোর বর্ণনা।

যদি কোনো প্রতিজ্ঞা সরাসরিভাবে একটি উপপাদ্যের সিদ্ধান্ত থেকে প্রমাণিত হয়, তবে একে অনেক সময় ঐ উপপাদ্যের অনুসিদ্ধান্ত (corollary) হিসেবে উল্লেখ করা যায়। বিভিন্ন প্রতিজ্ঞা প্রমাণ করা ছাড়াও জ্যামিতিতে বিভিন্ন চিত্র অঙ্কন করার প্রস্তাবনা বিবেচনা করা হয়। এগুলোকে সম্পাদ্য বলা হয় । সম্পাদ্যে চিত্র অঙ্কন করে চিত্রাঙ্কনের বর্ণনা ও যৌক্তিকতা উল্লেখ করতে হয়।

জ্যামিতিক প্রমাণ হলো এমন একটি যুক্তিনির্ভর প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে কোনো জ্যামিতিক উপপাদ্য বা সম্পর্ককে স্বতঃসিদ্ধ, সংজ্ঞা এবং পূর্বে প্রমাণিত উপপাদ্যের সাহায্যে ধাপে ধাপে সত্য প্রমাণ করা হয়।

প্রমাণের মূল ভিত্তি

• স্বতঃসিদ্ধ (Axioms/Postulates)
• সংজ্ঞা (Definitions)
• পূর্বে প্রমাণিত উপপাদ্য (Theorems)

জ্যামিতিক প্রমাণের ধাপ

• প্রদত্ত (Given): যেসব তথ্য সমস্যায় দেওয়া থাকে
• প্রমাণ করতে হবে (To Prove): যা সত্য প্রমাণ করতে হবে
• নির্মাণ (Construction): প্রয়োজন হলে অতিরিক্ত রেখা বা বিন্দু যোগ করা
• প্রমাণ (Proof): যুক্তির মাধ্যমে ধাপে ধাপে সমাধান

উদাহরণ

প্রমাণ করতে হবে যে, একটি ত্রিভুজের কোণসমষ্টি ১৮০°।

প্রদত্ত: একটি ত্রিভুজ ABC

প্রমাণ করতে হবে:

$A+B+C=180°$

প্রমাণের ধারণা

একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান্তরাল রেখা অঙ্কন করে সংশ্লিষ্ট কোণগুলোর সমতা ব্যবহার করে প্রমাণ করা হয় যে তিনটি কোণের যোগফল ১৮০°।

গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যসমূহ

• ত্রিভুজের কোণসমষ্টি উপপাদ্য
• সমান্তরাল রেখার কোণ উপপাদ্য
• সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তিকোণ সমান
• বৃত্তের স্পর্শক সম্পর্কিত উপপাদ্য

গুরুত্বপূর্ণ কথা

• জ্যামিতিক প্রমাণ সম্পূর্ণ যুক্তিনির্ভর
• প্রতিটি ধাপ পূর্ববর্তী সত্যের উপর নির্ভর করে
• এটি গণিতের যুক্তি দক্ষতা বৃদ্ধি করে

রেখা, রশ্মি, রেখাংশ (Line, Ray, Line Segment)

জ্যামিতিতে বিন্দু ও রেখা হলো মৌলিক ধারণা। এগুলোর উপর ভিত্তি করেই সমগ্র জ্যামিতিক গঠন তৈরি হয়।

১. রেখা (Line)

যে জ্যামিতিক আকৃতি উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত এবং যার কোনো শুরু বা শেষ নেই তাকে রেখা বলে।

বৈশিষ্ট্য:

• উভয় দিকে অসীম বিস্তৃত
• দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করা যায় না
• দুটি বিন্দু দ্বারা একটি রেখা নির্ধারিত হয়

AB → একটি রেখা

২. রশ্মি (Ray)

যে রেখার একটি নির্দিষ্ট শুরু বিন্দু থাকে কিন্তু একদিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে তাকে রশ্মি বলে।

বৈশিষ্ট্য:

• একটি প্রারম্ভিক বিন্দু থাকে
• একদিকে অসীম বিস্তৃত
• দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করা যায় না

AB → রশ্মি (A থেকে শুরু)

৩. রেখাংশ (Line Segment)

যে রেখার দুটি প্রান্তবিন্দু থাকে তাকে রেখাংশ বলে। এটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট।

বৈশিষ্ট্য:

• দুটি প্রান্তবিন্দু থাকে
• নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য থাকে
• পরিমাপ করা যায়

AB - রেখাংশ

তুলনামূলক পার্থক্য

• রেখা: দুই দিকে অসীম
• রশ্মি: এক দিকে অসীম
• রেখাংশ: সীমাবদ্ধ ও নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য

মনে রাখার সহজ উপায়

• Line = দুই দিকে চলতে থাকে
• Ray = এক দিকেই চলে
• Segment = শুরু ও শেষ আছে

সমতলীয় জ্যামিতির স্বীকার্য অনুযায়ী সমতলে সরলরেখা বিদ্যমান যার প্রতিটি বিন্দু সমতলে অবস্থিত। মনে করি, সমতলে AB একটি সরলরেখা এবং রেখাটির উপর অবস্থিত একটি বিন্দু C। C বিন্দুকে A ও B বিন্দুর অন্তবর্তী বলা হয় যদি A, C ও B একই সরলরেখার ভিন্ন ভিন্ন বিন্দু হয় এবং AC + CB = AB হয়। A, C ও B বিন্দু তিনটিকে সমরেখ বিন্দুও বলা হয়। A ও B এবং এদের অন্তবর্তী সকল বিন্দুর সেটকে A ও B বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বা সংক্ষেপে AB রেখাংশ বলা হয় । A ও B বিন্দুর অন্তবর্তী প্রত্যেক বিন্দুকে রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়। আবার, C বিন্দু এবং C বিন্দু থেকে AB সরলরেখা বরাবর কোন একদিকে অসীম পর্যন্ত বিন্দুর সেটকে রশ্মি বলা হয়। C বিন্দু AB সরলরেখাকে CA ও CB রশ্মিতে বিভক্ত করে।

একই সমতলে দুইটি রশ্মির প্রান্তবিন্দু একই হলে কোণ তৈরি হয়। রশ্মি দুইটিকে কোণের বাহু এবং এদের সাধারণ বিন্দুকে শীর্ষবিন্দু বলে। চিত্রে, OP ও OQ রশ্মিদ্বয় এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু O তে ∠POQ উৎপন্ন করেছে। O বিন্দুটি ∠POQ এর শীর্ষবিন্দু। OP এর যে পার্শ্বে Q আছে সেই পার্শ্বে এবং OQ এর যে পার্শ্বে P আছে সেই পার্শ্বে অবস্থিত সকল বিন্দুর সেটকে ∠POQ এর অভ্যন্তর বলা হয়। কোণটির অভ্যন্তরে অথবা কোনো বাহুতে অবস্থিত নয় এমন সকল বিন্দুর সেটকে এর বহির্ভাগ বলা হয়।

কোণ (Angle)

যখন একটি বিন্দুতে দুটি রশ্মি মিলিত হয়, তখন তাদের মধ্যবর্তী স্থানকে কোণ বলা হয়।

এই সাধারণ বিন্দুটিকে শীর্ষবিন্দু (Vertex) এবং রশ্মি দুটিকে কোণের বাহু (Arms) বলা হয়।

কোণের গঠন

$\text{∠AOB}$

এখানে O হলো শীর্ষবিন্দু এবং OA ও OB হলো দুটি বাহু।

কোণের পরিমাপ

কোণ পরিমাপের একক হলো ডিগ্রি (°)। একটি পূর্ণ বৃত্তে মোট কোণ = 360°

$360°$

কোণের প্রকারভেদ

১. সূক্ষ্ম কোণ (Acute Angle)

যে কোণ 0° এর বেশি কিন্তু 90° এর কম।

$0°<\theta <90°$

২. সমকোণ (Right Angle)

যে কোণ 90° এর সমান।

$\theta =90°$

৩. স্থূল কোণ (Obtuse Angle)

যে কোণ 90° এর বেশি কিন্তু 180° এর কম।

$90°<\theta <180°$

৪. সরল কোণ (Straight Angle)

যে কোণ 180° এর সমান।

$\theta =180°$

৫. পূর্ণ কোণ (Complete Angle)

যে কোণ 360° এর সমান।

$\theta =360°$

কোণ সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ বিষয়

• কোণ পরিমাপ করা হয় প্রট্রাক্টরের সাহায্যে
• দুটি রেখা বা রশ্মির মিলনেই কোণ তৈরি হয়
• জ্যামিতির অনেক উপপাদ্যের ভিত্তি হলো কোণ

মনে রাখার সহজ উপায়

• 90° = সমকোণ
• 180° = সরল কোণ
• 360° = পূর্ণ কোণ

দুইটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন করে, তাকে সরল কোণ বলে। পাশের চিত্রে, AB রশ্মির প্রান্তবিন্দু A থেকে AB এর বিপরীত দিকে AC রশ্মি আঁকা হয়েছে। AC ও AB রশ্মিদ্বয় এদের সাধারণ প্রান্তবিন্দু A তে ∠BAC উৎপন্ন করেছে। ∠BAC কে সরল কোণ বলে। সরল কোণের পরিমাপ দুই সমকোণ বা 180°।

যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও এদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পাশে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। পাশের চিত্রে, A বিন্দুটি ∠BAC ও ∠CAD এর শীর্ষবিন্দু। A বিন্দুতে ∠BAC ও ∠CAD উৎপন্নকারী রশ্মিগুলোর মধ্যে AC সাধারণ রশ্মি। কোণ দুইটি সাধারণ রশ্মি AC এর বিপরীত পাশে অবস্থিত। ∠BAC এবং ∠CAD পরস্পর সন্নিহিত কোণ।

যদি একই রেখার উপর অবস্থিত দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে কোণ দুইটির প্রত্যেকটি সমকোণ বা 90°। সমকোণের বাহু দুইটি পরস্পরের উপর লম্ব। পাশের চিত্রে, BD রেখার A বিন্দুতে AC রশ্মি দ্বারা ∠BAC ও ∠DAC দুইটি কোণ উৎপন্ন হয়েছে। A বিন্দু কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু। ∠BAC ও ∠DAC উৎপন্নকারী বাহুগুলোর মধ্যে AC সাধারণ বাহু। কোণ দুইটি সাধারণ বাহু AC এর দুই পাশে অবস্থিত। ∠BAC এবং ∠DAC পরস্পর সমান হলে, এদের প্রত্যেকটিকে সমকোণ বলে। AC ও BD বাহুদ্বয় পরস্পরের উপর লম্ব।

এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ এবং এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। চিত্রে ∠AOC সূক্ষ্মকোণ এবং ∠AOD স্থূলকোণ। এখানে ∠AOB এক সমকোণ।

দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ।

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটির একটি অপরটির পূরক কোণ। পাশের চিত্রে, ∠AOB একটি সমকোণ। OC রশ্মি কোণটির বাহুদ্বয়ের অভ্যন্তরে অবস্থিত। এর ফলে ∠AOC এবং ∠COB এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির পরিমাপের যোগফল ∠AOB এর পরিমাপের সমান, অর্থাৎ এক সমকোণ। ∠AOC এবং ∠COB পরস্পর পূরক কোণ।

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ হলে কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ। পাশের চিত্রে, O, AB সরলরেখার অন্তঃস্থ একটি বিন্দু। OC একটি রশ্মি যা OA রশ্মি ও OB রশ্মি থেকে ভিন্ন। এর ফলে ∠AOC এবং ∠COB এই দুইটি কোণ উৎপন্ন হলো। কোণ দুইটির পরিমাপের যোগফল ∠AOB কোণের পরিমাপের সমান, অর্থাৎ দুই সমকোণ, কেননা ∠AOB একটি সরলকোণ। ∠AOC এবং ∠COB পরস্পর সম্পূরক কোণ।

চিত্রে: ∠ABD ও ∠CBD পরস্পর সম্পূরক কোণ $\because$ ∠ABD + ∠CBD = ১৮০°

কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ তৈরি করে তা ঐ কোণের বিপ্রতীপ কোণ। চিত্রে OA ও OB পরস্পর বিপরীত রশ্মি। আবার OC ও OD পরস্পর বিপরীত রশ্মি। ∠BOD ও ∠AOC পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।

আবার ∠BOC ও ∠DOA একটি অপরটির বিপ্রতীপ কোণ। দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়।

সমান্তরাল সরলরেখা (Parallel Straight Lines)

যে দুটি বা একাধিক সরলরেখা একই সমতলে অবস্থান করে এবং কখনোই পরস্পরকে ছেদ করে না, তাদেরকে সমান্তরাল সরলরেখা বলা হয়।

চিহ্ন

সমান্তরাল রেখা বোঝাতে প্রতীক ব্যবহার করা হয়:

$\text{AB}\parallel \text{CD}$

সংজ্ঞা

যদি দুটি রেখা একই সমতলে থেকে একে অপরকে কখনো ছেদ না করে, তবে তারা সমান্তরাল।

সমান্তরাল রেখার বৈশিষ্ট্য

• একই সমতলে অবস্থান করে
• কখনোই একে অপরকে ছেদ করে না
• দূরত্ব সর্বদা সমান থাকে

সমান্তরাল রেখা ও ছেদকের সম্পর্ক

যদি একটি সরলরেখা দুইটি সমান্তরাল রেখাকে ছেদ করে, তবে বিভিন্ন ধরনের কোণ সৃষ্টি হয়:

• সমসঙ্গত কোণ (Corresponding angles)
• অন্তঃস্থ বিপ্রতীপ কোণ (Alternate interior angles)
• অন্তঃস্থ একই পার্শ্বের কোণ (Co-interior angles)

গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য

১. সমসঙ্গত কোণ উপপাদ্য

যদি একটি ছেদক দুইটি সমান্তরাল রেখাকে ছেদ করে, তবে সমসঙ্গত কোণ দুটি সমান হয়।

$\mathrm{\angle 1}=\mathrm{\angle 2}$

২. অন্তঃস্থ বিপ্রতীপ কোণ উপপাদ্য

সমান্তরাল রেখার ক্ষেত্রে বিপরীত পাশে অবস্থিত অন্তঃস্থ কোণ দুটি সমান হয়।

$\mathrm{\angle 3}=\mathrm{\angle 4}$

৩. অন্তঃস্থ একই পার্শ্বের কোণ

সমান্তরাল রেখার ক্ষেত্রে একই পাশে অবস্থিত অন্তঃস্থ কোণগুলোর যোগফল 180° হয়।

$\mathrm{\angle A}+\mathrm{\angle B}=180°$

উদাহরণ

যদি AB ∥ CD এবং একটি ছেদক তাদের ছেদ করে, তবে সংশ্লিষ্ট কোণসমূহ সমান হবে।

মনে রাখার সহজ নিয়ম

• Corresponding = সমান
• Alternate = সমান
• Co-interior = 180°

গুরুত্ব

• জ্যামিতিক প্রমাণে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ
• ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত
• ইঞ্জিনিয়ারিং ও নকশায় ব্যবহৃত হয়