ত্রিভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য

ত্রিভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems Related to Triangle)

ত্রিভুজের বাহু, কোণ ও বিভিন্ন সম্পর্ক নিয়ে যেসব গাণিতিক সত্য প্রমাণিত হয়েছে, সেগুলোকে ত্রিভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য বলা হয়।

১. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°

যে কোনো ত্রিভুজের অন্তঃকোণ তিনটির সমষ্টি সর্বদা 180°।

$\mathrm{\angle A}+\mathrm{\angle B}+\mathrm{\angle C}=180°$

উদাহরণ

যদি একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ 50° এবং 60° হয়, তবে তৃতীয় কোণ হবে:

$180°-50°-60°=70°$

২. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়

ত্রিভুজ গঠনের জন্য যেকোনো দুই বাহুর যোগফল অবশ্যই তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় হতে হবে।

$a+b>c$

উদাহরণ

যদি তিনটি বাহু 3 cm, 4 cm ও 5 cm হয়:

$3+4>5$

অতএব ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

৩. বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ বৃহত্তর হয়

ত্রিভুজে যে বাহু সবচেয়ে বড়, তার বিপরীত কোণও সবচেয়ে বড় হবে।

উদাহরণ

যদি,

$\mathrm{AB}>\mathrm{BC}$

তবে,

$\mathrm{\angle C}>\mathrm{\angle A}$

৪. সমান বাহুর বিপরীত কোণ সমান

যদি ত্রিভুজের দুইটি বাহু সমান হয়, তবে ঐ বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণও সমান হবে।

উদাহরণ

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$

তাহলে,

$\mathrm{\angle B}=\mathrm{\angle C}$

৫. সমান কোণের বিপরীত বাহু সমান

যদি দুইটি কোণ সমান হয়, তবে তাদের বিপরীত বাহুও সমান হবে।

উদাহরণ

$\mathrm{\angle B}=\mathrm{\angle C}$

তাহলে,

$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$

৬. বহিঃকোণ উপপাদ্য

ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণ তার বিপরীত দুই অন্তঃকোণের সমষ্টির সমান।

$\mathrm{\angle ACD}=\mathrm{\angle A}+\mathrm{\angle B}$

উদাহরণ

যদি ∠A = 50° এবং ∠B = 60° হয়,

$\mathrm{\angle ACD}=50°+60°=110°$

৭. পিথাগোরাসের উপপাদ্য

সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

$c^2=a^2+b^2$

উদাহরণ

যদি a = 3 cm এবং b = 4 cm হয়,

$c^2=9+16=25$

অতএব,

$c=5$

মনে রাখার সহজ উপায়

• তিন কোণের যোগফল = 180°
• বড় বাহু ↔ বড় কোণ
• সমান বাহু ↔ সমান কোণ
• বহিঃকোণ = বিপরীত দুই অন্তঃকোণের যোগফল

উপপাদ্য ১. একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে অপর একটি রশ্মি মিলিত হলে, যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এদের সমষ্টি দুই সমকোণ।

প্রমাণ : মনে করি, AB সরলরেখাটির O বিন্দুতে OC রশ্মির প্রান্তবিন্দু মিলিত হয়েছে। ফলে ZAOC ও LCOB দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হল। AB রেখার উপর DO লম্ব আঁকি। সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি

= ∠AOC + ∠COB = ∠AOD + ∠DOC + ∠COB

= ∠AOD + ∠DOB = 2 সমকোণ।

উপপাদ্য ২. দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে, উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।

মনে করি, AB ও CD রেখাদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে O বিন্দুতে ∠AOC, ∠COB, ∠BOD, ∠AOD কোণ উৎপন্ন হয়েছে।

∠AOC বিপ্রতীপ ∠BOD এবং ∠COB = বিপ্রতীপ ∠AOD I

উপপাদ্য ৩. দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন

ক) প্রত্যেক অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হবে।

খ) প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।

গ) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক।

চিত্রে, AB || CD এবং PQ ছেদক এদের যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।

সুতরাং,

ক) ∠PEB = অনুরূপ ∠EFD [সংজ্ঞানুসারে]

খ) ∠AEF = একান্তর ∠EFD

গ)∠BEF + ∠EFD = দুই সমকোণ

উপপাদ্য ৪. দুইটি সরলরেখা অপর একটি সরলরেখাকে ছেদ করলে যদি

ক) অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান হয়, অথবা

খ) একান্তর কোণগুলো পরস্পর সমান হয়, অথবা

গ) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের যোগফল দুই সমকোণের সমান হয়, তবে ঐ সরলরেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।

চিত্রে, AB ও CD রেখাদ্বয়কে PQ রেখা যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং

ক) ∠PEB = অনুরূপ ∠EFD অথবা,

খ) ∠AEF একান্তর ∠EFD অথবা,

গ) ∠BEF + ∠EFD দুই সমকোণ।

সুতরাং, AB ও CD রেখা দুইটি পরস্পর সমান্তরাল।

অনুসিদ্ধান্ত ১. যেসব সরলরেখা একই সরলরেখার সমান্তরাল সেগুলো পরস্পর সমান্তরাল।

উপপাদ্য ৫. ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান।

মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। ত্রিভুজটির ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = দুই সমকোণ।

C বিন্দু দিয়ে CE আঁকি যাতে AB || CE হয়। এবার ∠ABC ∠ECD [অনুরূপ কোণ বলে]

এবং ∠BAC = ∠ACE [একান্তর কোণ বলে]

$\therefore$ ∠ABC + ∠BAC = ∠ECD + ∠ACE = ∠ACD

∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠ACD + ∠ACB দুই সমকোণ

অনুসিদ্ধান্ত ২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

অনুসিদ্ধান্ত ৩. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।

অনুসিদ্ধান্ত ৪. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক।

উপপাদ্য ৬. (বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য)

যদি দুইটি ত্রিভুজের একটির দুই বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমান হয় এবং বাহু দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ দুইটি পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম।

মনে করি, ∆ABC ও ∆DEF এ AB = DE, BC = EF এবং অন্তর্ভুক্ত ∠ABC অন্তর্ভুক্ত ∠DEF ।

তাহলে, ∆ABC ≅ ∆DEF |

উপপাদ্য ৭. যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান হবে।

মনে করি, ABC ত্রিভুজে AB AC ।

তাহলে, ∠ABC = ∠ACB

উপপাদ্য ৮. যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত বাহু দুইটিও পরস্পর সমান হবে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC ত্রিভুজে ∠ABC = ∠ACB

প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC ।

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. যদি AB = AC হয়, তবে (i) AB > AC অথবা (i) AB < AC হবে।

মনে করি, (i) AB > AC AB থেকে AC এর সমান AD কেটে নিই। এখন, ADC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু। সুতরাং

∠ADC = ∠ACD [$\therefore$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান]

∆DBC এর বহিঃস্থ কোণ ∠ADC > ∠ABC [$\therefore$ বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর]

$\therefore$ ∠ACD > ∠ABC । সুতরাং, ∠ACB > ∠ABC, কিন্তু তা প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ ২. অনুরূপভাবে, (ii) AB < AC হলে দেখানো যায় যে

∠ABC > ∠ACB, কিন্তু তাও প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ ৩. সুতরাং, AB > AC অথবা AB < AC হতে পারে না।

$\therefore$ AB = AC (প্রমাণিত)

উপপাদ্য ৯. (বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য)

যদি একটি ত্রিভুজের তিন বাহু অপর একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হবে।

মনে করি, ∆ABC এবং ∆DEF এ AB = DE, AC = DF এবং BC = EF তাহলে, AABC = ADEF |

উপপাদ্য ১০. (কোণ-বাহু-কোণ উপপাদ্য)

যদি একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও এদের সংলগ্ন বাহু যথাক্রমে অপর একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও তাদের সংলগ্ন বাহুর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হবে।

মনে করি, ∆ABC এবং ∆DEF-এ ∠B = ∠E, ∠C = ∠F এবং কোণদ্বয়ের সংলগ্ন BC বাহু = অনুরূপ EF বাহু। তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম, অর্থাৎ ∆ABC ≅ ∆DEF

উপপাদ্য ১১. (অতিভুজ-বাহু উপপাদ্য)

দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজদ্বয় সমান হলে এবং একটির এক বাহু অপরটির অপর এক বাহুর সমান হলে, ত্রিভুজদ্বয় সৰ্বসম।

∆ABC এবং ∆DEF সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ে অতিভুজ AC অতিভুজ DF এবং AB = DE । তাহলে, = ∆ABC = ∆DEF

উপপাদ্য ১২. কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর।

মনে করি, ∆ABC এ AC > AB । সুতরাং ∠ABC > ∠ACB

উপপাদ্য ১৩. কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ∠ABC এর ∠ABC > ∠ACB । প্রমাণ করতে হবে যে, AC > AB

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. যদি AC বাহু AB বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর না হয়, তবে (i) AC = AB অথবা (ii) AC < AB হবে।

(i) যদি AC = AB হয়, তবে ∠ABC ∠ACB [$\because$সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণদ্বয় সমান]

কিন্তু শর্তানুযায়ী ∠ABC > ∠ACB, তা প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ii) আবার, যদি AC < AB হয়, তবে ∠ABC < ∠ACB হবে। [$\because$ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর]

কিন্তু তাও প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ ২. সুতরাং, AC বাহু AB এর সমান বা AB থেকে ক্ষুদ্রতর হতে পারে না।

$\therefore$ AC > AB (প্রমাণিত)।

উপপাদ্য ১৪. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। ধরি, BC ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহু। তাহলে, AB + AC > BC ।

অনুসিদ্ধান্ত ৫. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। ∆ABC এর যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের অন্তর এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। তাহলে, AB – AC < BC।

উপপাদ্য ১৫. ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABC একটি ত্রিভুজ। D ও E যথাক্রমে ত্রিভুজটির AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু। তাহলে, প্রমাণ করতে হবে যে DE || BC এবং $DE=\frac{1}{2}BC$ ।

অঙ্কন: D ও E যোগ করে বর্ধিত করি যেন EF = DE হয়। C, F যোগ করি।

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. ∆ADE ও ∆CEF এর মধ্যে, AE = EC [দেওয়া আছে]

DE = EF [অঙ্কনানুসারে]

অন্তর্ভূক্ত ∠AED অন্তর্ভূক্ত ∠CEF [বিপ্রতীপ কোণ]

$\therefore$ ∆ADE ≅ ∆CEF [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

$\therefore$ ∠ADE = ∠EFC [একান্তর কোণ]

$\therefore$ AD || CF

আবার, BD = AD = CF এবং BD || CF ।

সুতরাং BDFC একটি সামান্তরিক।

$\therefore$ DF || BC বা DE || BC ।

ধাপ ২. আবার, DF = BC বা DE + EF = BC

বা DE + DE BC বা 2DE = BC বা $DE=\frac{1}{2}BC$

$\therefore$ DE || BC এবং $DE=\frac{1}{2}BC$ (প্রমাণিত)।

উপপাদ্য ১৬. পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean Theorem)

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC সমকোণ এবং AC অতিভুজ। তাহলে, $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রয়োগ (Application of Pythagoras Theorem)

পিথাগোরাসের উপপাদ্য জ্যামিতির একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম, যা সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর সম্পর্ক নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।

উপপাদ্য

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, অতিভুজের বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান।

$c^2=a^2+b^2$

এখানে, c = অতিভুজ, a ও b = অপর দুই বাহু।

প্রয়োগের ক্ষেত্রসমূহ

• দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়
• ভূমির ঢাল বা উচ্চতা নির্ণয়
• ইঞ্জিনিয়ারিং ও স্থাপত্যে পরিমাপ
• মানচিত্র ও নেভিগেশনে ব্যবহার

১. সরাসরি বাহু নির্ণয়

যদি দুইটি বাহু জানা থাকে, তবে তৃতীয় বাহু নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ:

যদি a = 3 এবং b = 4 হয়, তবে

$c^2=3^2+4^2$$=9+16=25$$c=5$

২. দূরত্ব নির্ণয় (Coordinate Geometry)

দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করা হয়।

ধরি, দুটি বিন্দু

$A(x_1,y_1)$
$B(x_2,y_2)$

দূরত্ব সূত্র

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$ (y₂-y₁) 2

৩. বাস্তব জীবনের প্রয়োগ

• সিঁড়ির দৈর্ঘ্য নির্ণয়
• ভবনের উচ্চতা নির্ণয়
• রাস্তার ঢাল নির্ণয়
• ড্রোন বা বিমানের দূরত্ব নির্ধারণ

গুরুত্বপূর্ণ কথা

• শুধুমাত্র সমকোণী ত্রিভুজে প্রযোজ্য
• সব সময় অতিভুজ সবচেয়ে বড় বাহু
• গণিত ও প্রকৌশলে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র

উদাহরণ ১. ∆ABC এর AB AC, BA কে D পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন AD = AC হয়। C, D যোগ করা হল।

ক) উদ্দীপকের ভিত্তিতে চিত্র আঁক।

খ) প্রমাণ কর যে, BC + CD > 2AC

গ) প্রমাণ কর যে, ∠BCD = এক সমকোণ।

সমাধান :

ক)

খ) দেওয়া আছে AB = AC এবং অঙ্কন অনুসারে AC = AD

∆BCD এ

BC + CD > BD [ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর]

বা, BC + CD > AB + AD

বা, BC + CD > AD + AD

বা, BC + CD > 2AD

$\therefore$ BC + CD > 2AC [$\because$ AB = AC = AD]

গ) দেওয়া আছে AB = AC সুতরাং ∠ABC = ∠ACB

অর্থাৎ ∠DBC = ∠ACB

অঙ্কন অনুসারে AC = AD সুতরাং ∠ADC = ∠ACD

অর্থাৎ ∠BDC = ∠ACD

∆BCD এ

∠BDC + ∠DBC + ∠BCD = দুই সমকোণ [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই কোণের সমান]

বা, ∠ACD + ∠ACB + ∠BCD = দুই সমকোণ

বা, ∠BCD + ∠BCD = দুই সমকোণ

$\therefore$ ∠BCD = এক সমকোণ।

উদাহরণ ২. PQR একটি ত্রিভুজ। PA, QB ও RC তিনটি মধ্যমা O বিন্দুতে ছেদ করেছে।

ক) প্রদত্ত তথ্যের আলোকে চিত্র আঁক।

খ) প্রমাণ কর যে, PQ + PR > QO + RO

গ) প্রমাণ কর যে, PA + QB + RC < PQ + QR + PR

সমাধান :

ক)

খ) চিত্র ‘ক’ থেকে প্রমাণ করতে হবে যে, PQ + PR > QO + RO

প্রমাণ : ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার ৩য় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর

∆PQB এ PQ + PB > QB

আবার ∆BOR এ BR + BO > RO

$\therefore$ PQ + PB + BR + BO > QB + RO

বা, PQ + PR+ BO > QO + OB + RO

$\therefore$ PQ + PR > QO + RO

গ) অঙ্কন : PA কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন PA = AD হয়। Q, D যোগ করি।

প্ৰমাণ :

∆QAD এবং ∆PAR এ

QA = AR, AD = PA

এবং অন্তর্ভুক্ত ∠QAD = অন্তর্ভুক্ত ∠PAR

$\therefore$ ∆QAD = ∆PAR এবং QD = PR

এখন, ∆PQD এ PQ + QD > PD

বা, PQ + PR > 2PA [$\because$ A, PD এর মধ্যবিন্দু]

একইভাবে, PQ + QR > 2QB এবং PR + QR > 2RC

$\therefore$ PQ + PR + PQ + QR + PR + QR > 2PA + 2QB + 2RC

বা, 2PQ + 2QR + 2PR > 2PA + 2QB + 2RC

বা, PQ + QR + PR > PA + QB + RC

$\therefore$ PA + QB + RC < PQ + QR + PR